D M 2 3

DM23 • Planètes et piles
I
Pile
[ESIM 2003]
À pH = − log[H3 O+ ] = 0, à la température de 298 K et à la pression atmosphérique, les valeurs
des potentiels de référence (potentiels standard) sont :
Couple
E ◦ (en V )
F e3+ /F e2+ Cr2 O72− /Cr Cr3+ /Cr
0, 77
0, 31
−0, 71
• On considère trois solutions aqueuses :
- une solution (A) contenant des ions F e3+ et F e2+ de concentrations égales et qui ont pour
valeur 10−2 mol.L−1
- une solution (B) contenant des ions F e3+ de concentration égale à 10−2 mol.L−1 et des ions
F e2+ de concentration inconnue x ;
- une solution (C) acidifiée contenant des ions Cr2 O72− et Cr3+ de concentrations égales chacune
à 10−2 mol.L−1 , le pH de cette solution étant égal à zéro.
RT
• On prendra
. ln X = 0, 06. log X et R = 8, 314 J..mol−1 .K −1
F
1) On constitue à l’aide de la solution (A)
et de la solution (B) la pile schématisée cidessous ; les électrodes sont en platine. On
néglige toute surtension aux électrodes.
Initialement, lorsque la pile ne débite pas encore, la tension U12 = V1 −V2 mesurée est égale
à 18 mV .
2) On remplace la solution (B) par la solution
(C) et le voltmètre par une résistance R.
2.a) Quelle est la valeur de la tension U12 =
V1 − V2 aux bornes de la pile lorsque l’interrupteur K est ouvert ?
2.b) On ferme l’interrupteur K.
Écrire les réactions d’oxydo-réduction qui se
passent aux électrodes.
Donner l’équation-bilan des transformations
chimiques.
2.c) Calculer la constante K ◦ de cette réaction d’oxydo-réduction.
2.d) Déterminer la concentration des différentes espèces dans la solution lorsque la pile est
« usée ». On fera certaines hypothèses que l’on pourra préciser ; en particulier, on néglige toutes
surtensions aux électrodes.
M9/SA4
1.b) Préciser :
- la polarité des électrodes ;
- la nature des réactions qui se produisent au niveau des électrodes (préciser la position de
l’anode et de la cathode) ;
- l’équation bilan de la réaction.
DM23 •
1.a) Déterminer la valeur de x pour laquelle
on peut avoir cette tension.
Planètes et piles
II
2011-2012
Attraction gravitationnelle
[CCP TSI 2010]
On considère dans ce problème que la Terre possède une répartition de masse à symétrie sphérique,
de centre O, de masse MT et de rayon RT . On pourra donc considérer que le champ gravitationnel
créé par la Terre en un point M , est identique à celui créé par une masse ponctuelle MT placée
en O.
Préliminaire :
1) On se place en un point M de l’espace, extérieur à la Terre et situé à une distance r du centre
de celle-ci.
On notera G la constante de gravitation universelle.
−→
Rappeler l’expression du champ gravitationnel GT (M ) créé par la Terre en un point M de
l’espace.
−→
On exprimera GT (M ) en fonction de G, MT , r et d’un vecteur unitaire que l’on précisera.
−→
Représenter le vecteur GT (M ) sur un schéma.
Première partie :. Satellite en mouvement autour de la Terre
On étudie le mouvement autour de la Terre d’un satellite S de masse m placé dans le champ
gravitationnel terrestre. On néglige les frottements.
Caractéristique du mouvement du satellite autour de la Terre
2) On se place dans le référentiel, considéré comme galiléen, qui a pour origine le centre de la
Terre et ses trois axes vers trois « étoiles fixes ». Quel est le nom de ce référentiel ?
−
→
→
−
Déterminer l’expression de la force f à laquelle le satellite S est soumis. On exprimera f en
fonction de m, G, MT , r et d’un vecteur unitaire que l’on précisera.
−
→
Déterminer de même l’expression de la force f ′ à laquelle la Terre est soumise de la part du
satellite. Justifier.
DM23 • E5
3) En appliquant le théorème du moment cinétique, montrer que le mouvement du satellite S
est nécessairement plan.
Sachant qu’à l’instant t = 0 le satellite se trouve au point M0 et a une vitesse v0 , préciser le plan
dans lequel se fait le mouvement.
Dans la suite de cette partie , on se placera dans le cas d’une trajectoire
circulaire de rayon r et d’altitude h autour de la Terre (avec r = h + RT )
et on utilisera les coordonnées cylindriques.
→
→
−
L’espace est rapporté à la base cylindrique (−
er , −
eθ , →
ez ), un point quelconque de l’espace étant
repéré par ses coordonnées (r, θ, z).
Le plan dans lequel se fait le mouvement du satellite est le plan du repère cylindrique contenant
−
−
l’origine O du repère (le point O étant le centre de la Terre) et les vecteurs (→
er , →
eθ ).
On rappelle que le vecteur position, le vecteur vitesse et le vecteur accélération dans la base
→
→
→
cylindrique (−
er , −
eθ , −
ez ) sont donnés par les expression suivantes :
−−→
→
−
→
→
→
→
−
→
−
→
−
OM = r −
e + z vez
v = ṙ −
e + rθ̇ −
e + ż −
e
a = (r̈ − rθ̇2 ) →
e + (2ṙθ̇ + rθ̈) −
e + z̈ →
e
r
r
θ
z
r
θ
z
4) En appliquant le principe fondamental de la dynamique, montrer que le module v de la vitesse
du satellite S est nécessairement constant au cours du mouvement et déterminer son expression
en fonction de G, MT et r.
Deuxième loi de Képler et conséquences
5) Déterminer l’expression de la période T du mouvement de rotation de S autour de la Terre
en fonction de v et de r puis en fonction de G, MT et r. En déduire la troisième loi de Képler.
6) Indiquer une méthode pour déterminer la masse de la Terre.
Donner sans justification l’ordre de grandeur de la masse de la Terre.
2
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Planètes et piles
2011-2012
7) Un autre satellite S ′ , de masse m′ , en orbite circulaire autour de la Terre a une trajectoire
de rayon r égal au rayon de la trajectoire de S. Les deux satellites tournent dans le même plan.
S et S ′ risquent-ils de se heurter au cours de leur mouvement ? On justifiera la réponse apportée.
Deuxième partie : Étude énergétique
La force à laquelle le satellite S est soumis dérive d’une énergie potentielle Ep telle que Ep peut
α
s’écrire sous la forme Ep = − avec α constante positive. On prendra par convetion une énergie
r
potentielle nulle à l’infini.
On ne se limitera pas dans cette partie à un mouvement circulaire, mais on
se placera dans le cas d’un mouvement quelconque du satellite S autour de
la Terre.
On notera C la constante des aires donnée par C = r2 θ̇.
8) Déterminer l’expression de α en fonction des données du problème.
9) Déterminer l’expression de l’énergie mécanique Em du satellite S en fonction de m, r, ṙ, θ̇ et
α.
En déduire l’expression de l’énergie potentielle effective du satellite en fonction de m, C, r et α.
Donner l’allure de la représentation graphique de l’énergie potentielle effective en fonction de r.
En exploitant cette courbe, indiquer en fonction de la valeur de l’énergie mécanique le type de
trajectoire suivie par le satellite et préciser dans chaque cas s’il s’agit d’un état de diffusion ou
d’un état lié.
10) Déterminer l’énergie mécanique Emc associée à une trajectoire circulaire de rayon rc en
fonction de rc , m, R et MT .
Déterminer la première vitesse cosmique v1 , vitesse du satellite sur une orbite basse de rayon RT
autour de la Terre en fonction de RT , G et MT .
DM23 • E5
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3
Planètes et piles
2011-2012
Solution
III
Pile
[ESIM 2003]
1.a) Les couples mis en jeu dans les deux compartiments de la pile sont identiques (F e3+ /F e2+ ) :
il s’agit d’une « pile de concentration ». Les demi-équations électroniques et la formule de Nernst,
pour chaque demi-pile sont donc :
[F e3+ ]
3+
−
2+
◦
Fe + e ⇋ Fe
E = E(F e3+ /F e2+ ) + 0, 06. log
[F e2+ ]
2+ ] . Son potentiel est donc : E = E ◦
• Pour la demi-pile (1) : [F e3+ ],
1 = [F e
,
1
,
1
(F e3+ /F e2+ )
−2 mol.L−1 et [F e2+ ] = x.
• Pour la demi-pile (2) : [F e3+ ],
2 = c = 10
,
2
c
◦
Son potentiel est donc : E,
2 = E(F e3+ /F e2+ ) + 0, 06. log
x
• La tension U12 s’écrit :
◦
◦
U12 = V1 − V2 = E,
1 − E,
2 = E(F e3+ /F e2+ ) − E(F e3+ /F e2+ ) − 0, 06. log
c
x
= 0, 06. log
x
c
U12
On en déduit, pour U12 = 18 mV : x = c.10 0,06 = 2.10−2 mol.L−1
1.b) De la polarité des électrodes (U12 = E,
1 − E,
2 > 0), on déduit :
• que la demi-pile 1 est le pôle ⊕ tandis que la demi-pile 2 est le pôle ⊖.
• lorsque la pile débite, le courant circule, dans le circuit électrique, de la borne ⊕ vers la borne
⊖. Par conséquent, les électrons circulent en sens inverse. Ils sont donc émis par la borne ⊖
(qui est donc le siège d’une oxydation) et consommés à la borne ⊕ (qui est donc le siège d’une
réduction). Finalement :
DM23 • E5
(
demi-pile 1 : borne ⊕ réduction
à la cathode : F e3+ + e− → F e2+
demi-pile 2 : borne ⊖ oxydation à l’anode :
F e2+ → F e3+ + e−
• La bilan de la réaction, en indiçant les espèces pas le numéro de la demi-pile dans laquelle elles
se trouvent :
3+
2+
2+
3+
F e,
+ F e,
→ F e,
+ F e,
1
2
1
2
2.a) Lorsque l’interrupteur est ouvert, la différence de potentiel entre les électrode est donnée
par la formule de Nernst.
• Pour la solution (A), la demi-équation électronique s’écrit :
[F e3+ ]
3+
−
2+
◦
◦
Fe + e ⇋ Fe
⇒ E,
= E(F
1 = E(F e3+ /F e2+ ) + 0, 06. log
e3+ /F e2+ ) = 0, 77 V
[F e2+ ]
• Pour la solution (C), la demi-équation électronique s’écrit : Cr2 O72− + 14H + + 6e− ⇋ 2Cr3+ +
7H2 O ou encore : Cr2 O72− + 14H3 O+ + 6e− ⇋ 2Cr3+ + 21H2 O
La formule de Nernst fournit :
[Cr2 O72− ].h1 4
0, 06
◦
.
log
E,
=
E
+
2
(Cr2 O72− /Cr 3+ )
6
[Cr3+ ]
• Toutefois, le potentiel standard du couple Cr2 O72− /Cr3+ n’est pas donné. On écrit alors :
Cr2 O72− + 14H + + 12e− ⇋ 2Cr + 7H2 O
(×1) Ea
3+
−
Cr ⇋ Cr + 3e
(×2) Eb
Cr2 O72− + 14H + + 6e− ⇋ 2Cr3+ + 7H2 O
Ec
4
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Planètes et piles
2011-2012
On a, pour ces trois couples dans une même solution : Ea = Eb = Ec , avec :

12Ea = 12Ea◦ + 0, 06. log([Cr2 O72− ].h14 ) 



6Eb = 6Eb◦ + 0, 06. log[Cr3+ ]2
[Cr2 O72− ].h14
◦
◦
⇒ 12Ea −6Eb = 12Ea −6Eb +0, 06. log
[Cr2 O72− ].h14 
[Cr3+ ]2
◦


6Ec = 6Ec + 0, 06. log

[Cr3+ ]2
(
◦
◦
((
Soit : (
12E
6Ec − 6Ec◦
((
a − 6Eb = 12Ea − 6Eb + ◦
Donc : E(Cr
2−
3+ )
2 O7 /Cr
= Ec◦ = 2Ea◦ − Eb◦ = 2 × 0, 31 − (−0, 71) = 1, 33V
• Finalement, le potentiel de la demi-pile 2 vaut :
E,
2 = 1, 33 + 0, 01. log
10−2 × 114
(10−2 )2
= 1, 33 + 0, 02 = 1, 35 V
où l’on a utilisé le fait que [H + ] = 1, 0 mol.L−1 (pH = 0).
• La tension aux bornes de la cellule électrochimique vaut donc :
U12 = E,
1 − E,
2 = 0, 77 − 1, 35 = −0, 58 V < 0
Cl : La borne ⊕ est la demi-pile 2, la borne ⊖ la demi-pile 1.
2.b) Lorsque la pile débite, le courant circule à travers la résistance, de la borne ⊕ (demi-pile
2) vers la borne ⊖ (demi-pile 1). On en déduit que la demi-pile 1 est l’anode (le courant y entre)
tandis que la demi-pile 2 est la cathode (le courant en sort).
Anode/oxydation :
F e2+
2−
+
Cathode/réduction :
Cr2 O7 + 14H + 6e−
Bilan :
Cr2 O72− + 6F e2+ + 14H +
→
→
−−
⇀
↽
−
−
F e3+ + e−
(×6)
2Cr3 + +7H2O
(×1)
2Cr3+ + 6F e3+ + 7H2 O
◦
K = 10
◦
6.(E ◦
2− /Cr 3+ ) −E(F e3+ /F e2+ ) )
(Cr2 O7
0.06
= 10
1,33−0,77
0,01
⇒
K ◦ = 1056 ≫ 1
Cl : La réaction peut-être considérée comme totale.
2.d) Ne possédant que des informations sur les concentrations dans les demi-piles, pour faire
un tableau d’avancement, on doit supposer que leurs volumes sont identiques et faire un tableau
d’avancement en termes de concentration.
F e2+ est le réactif limitant.
[Cr2 O72− ] = 0, 83.10−2 mol.L−1
[Cr3+ ] = 1, 3.10−2 mol.L−1
[F e3+ ] = 2.10−2 mol.L−1
• Pour trouver [F e2+ ], on utilise la constante d’équilibre en tenant compte qu’on travaille à
pH = 0.
[F e
2+
] = [F e
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3+
].
[cr3+ ]2
K ◦ .[Cr2 O72− ].h14
16
⇒
[F e2+ ] = 4, 9.10−2 mol.L−1
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5
DM23 • E5
2.c) La constante de la réaction s’obtient en égalant les potentiels de Nernst. D’après le cours,
on a
Planètes et piles
IV
2011-2012
Attraction gravitationnelle
−→
GMT →
er
1) GT (M ) = − 2 .−
r
[CCP TSI 2010]
GM .m
=- T er
r2
GMT
G (M)=er
T
r2
e
r
M (m) r = eO M
F
O M
2) le référentiel R qui a pour origine le centre de la Terre et trois axes
dirigés vers trois étoiles fixes est le référentiel géocentrique RG .
Le satellite est soumis à la force :
(RG)
O
MT
−
→
−→
GMT .m −
→
f = m.GT (M ) = −
er
r2
−
→
−
→ GMT .m →
−
er
D’après le principe de l’action et de la réaction : f ′ = − f =
r2
3) D’après le théorème du moment cinétique en O dans R galiléen :
!
−
→
d L O/R (M )
−
→
→ −
−−→ −
→
= MO ( f ) = OM × f = 0
dt
(
−→R
→
−
−−→ −−−→ = Cte
Donc L O/R (M ) = OM × vM/R
−−→ −−→
⊥ (OM , −
vM/R ) ∀t
−−→ −−−→
Donc OM et vM/R (qui définissent le mouvement) sont perpendiculaires à une direction constante
→
−
de l’espace : le mouvement est donc contenu dans le plan perpendiculaire à L O/R
−−→ −−→
−−−→ →
Le plan du mouvement est donc le plan (OM , −
v
) = (OM , −
v )
0
M/R
0
4) Principe fondamental de la dynamique appliqué dans R galiléen au satellite S :
DM23 • E5
→
−→ −
m.−
a−
M/R = f
⇔
m r̈ − rθ̇2
→
→
→
(−
er ,−
eθ ,−
ez )
= −
GMT m
r2
rθ̈ + 2ṙθ̇
0
z̈
0
dv
→
• D’où en projection selon −
eθ : m
= 0, soit : v = Cte
dt
GMT m
v2
→
, soit :
• D’où en projection selon −
er : −m = −
r
r2
s
2π.r
r3
5) T =
= 2π
d’où la 3ème loi de Képler :
v
GMT
⇔
v2
r
dv
dt
0
m −
= −
GMT m
r2
0
0
(le module de la vitesse est constant)
r
GMT
v=
r
4π 2
T2
=
3
r
GMT
6) On peut à partir de la trajectoire d’un satellite naturel (la Lune) ou artificiel connaitre r et
T et en déduire la masse de la Terre : MT = 6.1024 kg .
7) Les deux satellites S et S ′ étant sur la même orbite, tournent à la même vitesse constante
(indépendante de leurs masses m et m′ !) : ils ne peuvent donc pas se heurter.
→
−
dEp −
GMT .m −
→
→
8) f = −
er soit :
er = −
2
r
dr
Ep = −
Donc : Ep = −
6
α
r
GMT .m
(pour avoir Ep (∞) = 0)
+
Cte
r
avec α = GMT .m > 0
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Planètes et piles
2011-2012
9)
Em
=
=
1
α
1
α
Ek + Ep = mv 2 − = m.(ṙ2 + r2 θ̇2 ) −
2
r
2
r
2
1
α
1
C
m.ṙ2 + m. 2 −
2
r
| {z }
|2 {z r }
Ek,radiale
⇒
•
lim Ep,eff = +∞
x→0+
et
Ek,orthoradiale
1
Em = mṙ + Ep,eff
2
avec : Ep,eff =
1 mC 2 α
−
2 r2
r
lim Ep,eff = 0−
x→+∞
dEp,eff
mC 2
• Ep,eff est minimale soit :
= 0 en rm =
dr
α
rm
• Ep,eff = 0 pour r =
2
• Plusieurs cas possibles à condition d’avoir Em ≥
Ep,ef f :
- cas (5), Em > 0 : mvt hyperbolique (état de diffusion)
- cas (4), Em = 0 : mvt parabolique (état de diffusion)
- cas (3), Em < 0 : mouvement elliptique (état lié)
- cas (2), Em,min < 0 : mouvement circulaire (état lié)
- cas (1) : situation impossible.
10) • En remplaçant la vitesse par son expression sur une trajectoire circulaire (cf. 4)) dans la
définition de Em :
1
α
1 GMT
GMT .m
−
Em = mv 2 − = m.
2
r
2
rc
rc
• Première vitesse cosmique : v1 =
r
⇒
Em = −
Ep
1 GMT .m
= −Ek =
2 rc
2
GMT
(vitesse sur le cercle de rayon RT ).
RT
DM23 • E5
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7