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I Pile [ESIM 2003]
`
ApH=−log[H3O+] = 0, `a la temp´erature de 298 Ket `a la pression atmosph´erique, les valeurs
des potentiels de r´ef´erence (potentiels standard) sont :
Couple F e3+/F e2+ Cr2O2−
7/Cr Cr3+/Cr
E◦(en V) 0,77 0,31 −0,71
•On consid`ere trois solutions aqueuses :
- une solution (A) contenant des ions F e3+ et F e2+ de concentrations ´egales et qui ont pour
valeur 10−2mol.L−1
- une solution (B) contenant des ions F e3+ de concentration ´egale `a 10−2mol.L−1et des ions
F e2+ de concentration inconnue x;
- une solution (C) acidifi´ee contenant des ions Cr2O2−
7et Cr3+ de concentrations ´egales chacune
`a 10−2mol.L−1, le pHde cette solution ´etant ´egal `a z´ero.
•On prendra RT
F.ln X= 0,06.log Xet R= 8,314 J..mol−1.K−1
1) On constitue `a l’aide de la solution (A)
et de la solution (B) la pile sch´ematis´ee ci-
dessous ; les ´electrodes sont en platine. On
n´eglige toute surtension aux ´electrodes.
Initialement, lorsque la pile ne d´ebite pas en-
core, la tension U12 =V1−V2mesur´ee est ´egale
`a 18 mV .
1.a) D´eterminer la valeur de xpour laquelle
on peut avoir cette tension.
1.b) Pr´eciser :
- la polarit´e des ´electrodes ;
- la nature des r´eactions qui se produisent au niveau des ´electrodes (pr´eciser la position de
l’anode et de la cathode) ;
- l’´equation bilan de la r´eaction.
2) On remplace la solution (B) par la solution
(C) et le voltm`etre par une r´esistance R.
2.a) Quelle est la valeur de la tension U12 =
V1−V2aux bornes de la pile lorsque l’inter-
rupteur Kest ouvert ?
2.b) On ferme l’interrupteur K.
´
Ecrire les r´eactions d’oxydo-r´eduction qui se
passent aux ´electrodes.
Donner l’´equation-bilan des transformations
chimiques.
2.c) Calculer la constante K◦de cette r´eaction d’oxydo-r´eduction.
2.d) D´eterminer la concentration des diff´erentes esp`eces dans la solution lorsque la pile est
« usée ». On fera certaines hypothèses que l’on pourra préciser ; en particulier, on néglige toutes
surtensions aux électrodes.

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II Attraction gravitationnelle [CCP TSI 2010]
On considère dans ce problème que la Terre possède une répartition de masse à symétrie sphérique,
de centre O, de masse MTet de rayon RT. On pourra donc considérer que le champ gravitationnel
créé par la Terre en un point M, est identique à celui créé par une masse ponctuelle MTplacée
en O.
Préliminaire :
1) On se place en un point Mde l’espace, extérieur à la Terre et situé à une distance rdu centre
de celle-ci.
On notera Gla constante de gravitation universelle.
Rappeler l’expression du champ gravitationnel −→ GT(M)créé par la Terre en un point Mde
l’espace.
On exprimera −→ GT(M)en fonction de G,MT,ret d’un vecteur unitaire que l’on précisera.
Représenter le vecteur −→ GT(M)sur un schéma.
Première partie :. Satellite en mouvement autour de la Terre
On étudie le mouvement autour de la Terre d’un satellite Sde masse mplacé dans le champ
gravitationnel terrestre. On néglige les frottements.
Caractéristique du mouvement du satellite autour de la Terre
2) On se place dans le référentiel, considéré comme galiléen, qui a pour origine le centre de la
Terre et ses trois axes vers trois « étoiles fixes ». Quel est le nom de ce référentiel ?
Déterminer l’expression de la force −→ fà laquelle le satellite Sest soumis. On exprimera −→ fen
fonction de m,G,MT,ret d’un vecteur unitaire que l’on précisera.
Déterminer de même l’expression de la force −→ f′à laquelle la Terre est soumise de la part du
satellite. Justifier.
3) En appliquant le théorème du moment cinétique, montrer que le mouvement du satellite S
est nécessairement plan.
Sachant qu’à l’instant t= 0 le satellite se trouve au point M0et a une vitesse v0, préciser le plan
dans lequel se fait le mouvement.
Dans la suite de cette partie , on se placera dans le cas d’une trajectoire
circulaire de rayon ret d’altitude hautour de la Terre (avec r=h+RT)
et on utilisera les coordonnées cylindriques.
L’espace est rapporté à la base cylindrique (−→ er,−→ eθ,−→ ez), un point quelconque de l’espace étant
repéré par ses coordonnées (r, θ, z).
Le plan dans lequel se fait le mouvement du satellite est le plan du repère cylindrique contenant
l’origine Odu repère (le point Oétant le centre de la Terre) et les vecteurs (−→ er,−→ eθ).
On rappelle que le vecteur position, le vecteur vitesse et le vecteur accélération dans la base
cylindrique (−→ er,−→ eθ,−→ ez)sont donnés par les expression suivantes :
−−→
OM =r−→ er+z vez −→ v= ˙r−→ er+r˙ θ−→ eθ+ ˙z−→ ez−→ a= (¨r−r˙ θ2)−→ er+ (2 ˙r˙ θ+r¨ θ)−→ eθ+ ¨z−→ ez
4) En appliquant le principe fondamental de la dynamique, montrer que le module vde la vitesse
du satellite Sest nécessairement constant au cours du mouvement et déterminer son expression
en fonction de G,MTet r.
Deuxième loi de Képler et conséquences
5) Déterminer l’expression de la période Tdu mouvement de rotation de Sautour de la Terre
en fonction de vet de rpuis en fonction de G,MTet r. En déduire la troisième loi de Képler.
6) Indiquer une méthode pour déterminer la masse de la Terre.
Donner sans justification l’ordre de grandeur de la masse de la Terre.
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Plan`etes et piles
7) Un autre satellite S′, de masse m′, en orbite circulaire autour de la Terre a une trajectoire
de rayon régal au rayon de la trajectoire de S. Les deux satellites tournent dans le même plan.
Set S′risquent-ils de se heurter au cours de leur mouvement ? On justifiera la réponse apportée.
Deuxième partie : Étude énergétique
La force à laquelle le satellite Sest soumis dérive d’une énergie potentielle Eptelle que Eppeut
s’écrire sous la forme Ep=−α
ravec αconstante positive. On prendra par convetion une énergie
potentielle nulle à l’infini.
On ne se limitera pas dans cette partie à un mouvement circulaire, mais on
se placera dans le cas d’un mouvement quelconque du satellite Sautour de
la Terre.
On notera Cla constante des aires donnée par C=r2˙ θ.
8) Déterminer l’expression de αen fonction des données du problème.
9) Déterminer l’expression de l’énergie mécanique Emdu satellite Sen fonction de m,r,˙r,˙ θet
α.
En déduire l’expression de l’énergie potentielle effective du satellite en fonction de m,C,ret α.
Donner l’allure de la représentation graphique de l’énergie potentielle effective en fonction de r.
En exploitant cette courbe, indiquer en fonction de la valeur de l’énergie mécanique le type de
trajectoire suivie par le satellite et préciser dans chaque cas s’il s’agit d’un état de diffusion ou
d’un état lié.
10) Déterminer l’énergie mécanique Emc associée à une trajectoire circulaire de rayon rcen
fonction de rc,m,Ret MT.
Déterminer la première vitesse cosmique v1, vitesse du satellite sur une orbite basse de rayon RT
autour de la Terre en fonction de RT,Get MT.
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Solution
III Pile [ESIM 2003]
1.a) Les couples mis en jeu dans les deux compartiments de la pile sont identiques (F e3+/F e2+) :
il s’agit d’une « pile de concentration ». Les demi-équations électroniques et la formule de Nernst,
pour chaque demi-pile sont donc :
F e3+ +e−⇋F e2+ E=E◦
(F e3+/F e2+ )+ 0,06.log [F e3+]
[F e2+]
• Pour la demi-pile (1) :[F e3+]1,= [F e2+]1,. Son potentiel est donc : E1,=E◦
(F e3+/F e2+)
• Pour la demi-pile (2) :[F e3+]2,=c= 10−2mol.L−1et [F e2+]2,=x.
Son potentiel est donc : E2,=E◦
(F e3+/F e2+)+ 0,06.log c
x
• La tension U12 s’écrit :
U12 =V1−V2=E1,−E2,=E◦
(F e3+/F e2+)−E◦
(F e3+/F e2+)−0,06.log c
x= 0,06.log x c
On en déduit, pour U12 = 18 mV :x=c.10
U12
0,06 = 2.10−2mol.L−1
1.b) De la polarité des électrodes (U12 =E1,−E2,>0), on déduit :
• que la demi-pile 1 est le pôle ⊕tandis que la demi-pile 2 est le pôle ⊖.
• lorsque la pile débite, le courant circule, dans le circuit électrique, de la borne ⊕vers la borne
⊖. Par conséquent, les électrons circulent en sens inverse. Ils sont donc émis par la borne ⊖
(qui est donc le siège d’une oxydation) et consommés à la borne ⊕(qui est donc le siège d’une
réduction). Finalement :
(demi-pile 1 : borne ⊕réduction à la cathode :F e3+ +e−→F e2+
demi-pile 2 : borne ⊖oxydation à l’anode :F e2+ →F e3+ +e−
• La bilan de la réaction, en indiçant les espèces pas le numéro de la demi-pile dans laquelle elles
se trouvent :
F e3+
1,+F e2+ 2,→F e2+ 1,+F e3+ 2,
2.a) Lorsque l’interrupteur est ouvert, la différence de potentiel entre les électrode est donnée
par la formule de Nernst.
• Pour la solution (A), la demi-équation électronique s’écrit :
F e3+ +e−⇋F e2+ ⇒E1,=E◦
(F e3+/F e2+)+ 0,06.log [F e3+]
[F e2+]=E◦
(F e3+/F e2+)= 0,77 V
• Pour la solution (C), la demi-équation électronique s’écrit : Cr2O2−
7+14H++6e−⇋2Cr3+ +
7H2Oou encore : Cr2O2−
7+ 14H3O++ 6e−⇋2Cr3+ + 21H2O
La formule de Nernst fournit :
E2,=E◦
(Cr2O2−
7/Cr3+)+0,06
6.log [Cr2O2−
7].h14
[Cr3+]
• Toutefois, le potentiel standard du couple Cr2O2−
7/Cr3+ n’est pas donné. On écrit alors :
Cr2O2−
7+ 14H++ 12e−⇋2Cr + 7H2O(×1) Ea
Cr ⇋Cr3+ + 3e−(×2) Eb
Cr2O2−
7+ 14H++ 6e−⇋2Cr3+ + 7H2O Ec
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Plan`etes et piles
On a, pour ces trois couples dans une même solution : Ea=Eb=Ec, avec :
12Ea= 12E◦
a+ 0,06.log([Cr2O2−
7].h14)
6Eb= 6E◦
b+ 0,06.log[Cr3+]2
6Ec= 6E◦
c+ 0,06.log [Cr2O2−
7].h14
[Cr3+]2
⇒12Ea−6Eb= 12E◦
a−6E◦
b+0,06.log [Cr2O2−
7].h14
[Cr3+]2
Soit : (((((
(
12Ea−6Eb= 12E◦
a−6E◦
b+
6Ec−6E◦
c
Donc : E◦
(Cr2O2−
7/Cr3+)=E◦
c= 2E◦ a−E◦
b= 2 ×0,31 −(−0,71) = 1,33V
• Finalement, le potentiel de la demi-pile 2 vaut :
E2,= 1,33 + 0,01.log 10−2×114
(10−2)2= 1,33 + 0,02 = 1,35 V
où l’on a utilisé le fait que [H+] = 1,0mol.L−1(pH= 0).
• La tension aux bornes de la cellule électrochimique vaut donc :
U12 =E1,−E2,= 0,77 −1,35 = −0,58 V < 0
Cl : La borne ⊕est la demi-pile 2, la borne ⊖la demi-pile 1.
2.b) Lorsque la pile débite, le courant circule à travers la résistance, de la borne ⊕(demi-pile
2) vers la borne ⊖(demi-pile 1). On en déduit que la demi-pile 1 est l’anode (le courant y entre)
tandis que la demi-pile 2 est la cathode (le courant en sort).
Anode/oxydation : F e2+ →F e3+ +e−(×6)
Cathode/réduction : Cr2O2−
7+ 14H++ 6e−→2Cr3 + +7H2O(×1)
Bilan : Cr2O2−
7+ 6F e2+ + 14H+−−⇀
↽−− 2Cr3+ + 6F e3+ + 7H2O
2.c) La constante de la réaction s’obtient en égalant les potentiels de Nernst. D’après le cours,
on a
K◦= 10
6.(E◦
(Cr2O2−
7/Cr3+)
−E◦
(F e3+/F e2+))
0.06 = 101,33−0,77
0,01 ⇒K◦= 1056 ≫1
Cl : La réaction peut-être considérée comme totale.
2.d) Ne possédant que des informations sur les concentrations dans les demi-piles, pour faire
un tableau d’avancement, on doit supposer que leurs volumes sont identiques et faire un tableau
d’avancement en termes de concentration.
F e2+ est le réactif limitant.
[Cr2O2−
7] = 0,83.10−2mol.L−1[Cr3+] = 1,3.10−2mol.L−1[F e3+] = 2.10−2mol.L−1
• Pour trouver [F e2+], on utilise la constante d’équilibre en tenant compte qu’on travaille à
pH= 0.
[F e2+] = [F e3+].[cr3+]2
K◦.[Cr2O2−
7].h14 1
6
⇒[F e2+] = 4,9.10−2mol.L−1
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