DS4 fonction exponentielle

TES DS4 fonction exponentielle 2013-2014
1
NOM : Prénom :
Exercice 1 :
Le glacier d’Aletsch, classé à l’UNESCO, est le plus
grand glacier des Alpes. Situé dans le sud de la
Suisse, il alimente la vallée du Rhône.
Pour étudier le recul de ce glacier au fil des années,
une première mesure a été effectuée en 1900 : ce
glacier mesurait alors 25,4 km de long.
Des relevés ont ensuite été effectués tous les 20
ans, ce qui permet de modéliser la longueur du glacier
f(t), en km, en fonction du nombre d’années écoulées depuis 1900 par
f(t) = 25,6 – 0,2 × e
0,025t
.
1) a) Calculer la dérivée de la fonction f sur l’intervalle [0 ;250].
b) En déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ;250].
Interpréter.
2) Estimer, selon le modèle la longueur du glacier en 2013.
3) A l’aide de la calculatrice, estimer l’année de disparition du glacier. Arrondir à l’unité près.
Exercice 2 :
On a représenté ci-dessus la courbe C d’une fonction g définie et dérivable sur [0 ;8] ainsi que
la tangente T à cette courbe en son point de coordonnées (0 ;7).
On désigne par g’ la fonction dérivée de la fonction g.

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PARTIE A
1) Préciser la valeur du réel g(0).
2) On admet que la tangente T passe par le point de coordonnées (4 ;-2,8).
Justifier que la valeur exacte de g’(0) est -2,45.
3) On admet que la fonction g est définie sur l’intervalle [0 ;8] par :
g(x) = a
e
bx
+ 1 où a et b sont des nombres réels.
a) Démontrer que pour tout réel x de [0 ;8], on a g’(x) = -abe
bx
(e
bx
+ 1)².
b) En utilisant les résultats des questions 1 et 2, déterminer les valeurs des réels a et b.
PARTIE B
On considère un objet manufacturé dont le prix unitaire est x, en centaines d’euros. D’après
une étude de marché, l’offre f(x) et la demande g(x) pour cet objet, en centaines d’unités, sont
définies pour tout x positif ou nul par :
f(x) = e
0,7x
– 1 et g(x) = 14
e
0,7x
+ 1.
1) Représenter, sur l’intervalle [0 ;3], la courbe associée à la fonction f dans le repère ci-
dessus.
2) Si le prix de vente unitaire de l’objet est 300 €, combien d’objets (à l’unité près) les
consommateurs sont-ils prêts à acheter ?
3) Déterminer le prix de vente unitaire de l’objet, arrondi à dix euros près, pour que la
demande soit de 350 objets ?
4) a) Donner une valeur approchée au dixième de l’unique solution de l’équation f(x) = g(x).
On appelle « prix d’équilibre » le prix permettant l’égalité entre l’offre et la demande.
Quel est le prix d’équilibre, arrondi à dix euros près.
b) Au prix d’équilibre, quelle est la valeur commune de l’offre et de la demande, arrondie à
dix unités près ?
c) Quel est le chiffre d’affaire, arrondi à mille euros près, généré par les ventes au prix
d’équilibre ?

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CORRECTION
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Exercice 1 :
Le glacier d’Aletsch, classé à l’UNESCO, est le plus
grand glacier des Alpes. Situé dans le sud de la
Suisse, il alimente la vallée du Rhône.
Pour étudier le recul de ce glacier au fil des années,
une première mesure a été effectuée en 1900 : ce
glacier mesurait alors 25,4 km de long.
Des relevés ont ensuite été effectués tous les 20
ans, ce qui permet de modéliser la longueur du glacier
f(t), en km, en fonction du nombre d’années écoulées depuis 1900 par
f(t) = 25,6 – 0,2 × e
0,025t
.
1) a) Calculer la dérivée de la fonction f sur l’intervalle [0 ;250].
b) En déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ;250].
Interpréter.
2) Estimer, selon le modèle la longueur du glacier en 2013.
3) A l’aide de la calculatrice, estimer l’année de disparition du glacier. Arrondir à l’unité près.
1) a) f est dérivable sur l’intervalle [0 ;250] car la fonction t  e
0,025t
est aussi dérivable sur
cet intervalle.
f’(t) = -0,2×0,025×e
0,025t
= -0,005e
0,025t
b) Comme pour tout t appartenant à [0 ;250], e
0,025t
> 0 , alors f’(t) < 0 sur ce même
intervalle.
La fonction f est donc strictement décroissante sur [0 ;250].
Interprétation : la longueur du glacier diminue au fil des années.
2) 2013 = 1900 + 113 et f(113) = 25,6 – 0,2×e
0,025×113
= 25,6 – 0,2e
2,825
≈ 22,2.
En 2013, on peut estimer la longueur du glacier à 22,2 km.
3) On cherche à résoudre l’équation f(x) = 0.
A l’aide de la calculatrice, on trouve, x ≈ 194.
1900 + 194 = 2094.
On peut estimer, à partir de la fonction f, que le glacier aura disparu en 2094.

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CORRECTION
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Exercice 2 :
On a représenté ci-dessus la courbe C d’une fonction g définie et dérivable sur [0 ;8] ainsi que
la tangente T à cette courbe en son point de coordonnées (0 ;7).
On désigne par g’ la fonction dérivée de la fonction g.
PARTIE A
1) Préciser la valeur du réel g(0).
2) On admet que la tangente T passe par le point de coordonnées (4 ;-2,8).
Justifier que la valeur exacte de g’(0) est -2,45.
3) On admet que la fonction g est définie sur l’intervalle [0 ;8] par :
g(x) = a
e
bx
+ 1 où a et b sont des nombres réels.
a) Démontrer que pour tout réel x de [0 ;8], on a g’(x) = -abe
bx
(e
bx
+ 1)².
b) En utilisant les résultats des questions 1 et 2, déterminer les valeurs des réels a
et b.
1) g(0) = 7
2) g’(0) est la pente de la tangente T.
Soit -2,8 – 7
4 - 0 = -2,45.
3) g(x) =a×1
v(x) en posant v(x) = e
bx
+ 1

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CORRECTION
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g’(x) = -a×v’(x)
(v(x))²
Or v’(x) = be
bx
Donc g’(x) = -abe
bx
(e
bx
+ 1)².
b) g(0) = 7  a
e
0
+ 1 = 7  a = 7×2 = 14
g’(0) = -2,45  -abe
0
(e
0
+ 1)² = -2,45  -14b = -2,45×4  b = 9,8 14 = 0,7
Donc g(x) = 14
e
0,7x
+ 1.
PARTIE B
On considère un objet manufacturé dont le prix unitaire est x, en centaines d’euros. D’après
une étude de marché, l’offre f(x) et la demande g(x) pour cet objet, en centaines d’unités, sont
définies pour tout x positif ou nul par :
f(x) = e
0,7x
– 1 et g(x) = 14
e
0,7x
+ 1.
1) Représenter, sur l’intervalle [0 ;3], la courbe associée à la fonction f dans le repère ci-
dessus.
2) Si le prix de vente unitaire de l’objet est 300 €, combien d’objets (à l’unité près) les
consommateurs sont-ils prêts à acheter ?
3) Déterminer le prix de vente unitaire de l’objet, arrondi à l’euro près, pour que la demande
soit de 350 objets ?
4) a) Donner une valeur approchée au dixième de l’unique solution de l’équation f(x) = g(x).
On appelle « prix d’équilibre » le prix permettant l’égalité entre l’offre et la demande.
Quel est le prix d’équilibre, arrondi à dix euros près.
b) Au prix d’équilibre, quelle est la valeur commune de l’offre et de la demande, arrondie à
dix unités près ?
c) Quel est le chiffre d’affaire généré par les ventes au prix d’équilibre ?