Exercice 1

TS AP 2012-2013
Exercice algorithmique composition 1T + exercice supplémentaire
1
Exercice 1
On considère l’algorithme suivant :
Données :
U, V : deux nombres réels
k,N : deux entiers
Traitement :
Lire N
U prend la valeur 0
V prend la valeur 0
Pour k allant de 0 à N – 1
U prend la valeur 3U -2k + 3
V prend la valeur U + V
Fin Pour
Sortie :
Afficher U
Afficher V
a) Quel est l’affichage lorsque N = 3 ? Détailler les étapes
On complétera le tableau suivant :
k U V
b) On considère la suite (u
n
) définie par u
0
= 0 et pour tout entier naturel n :
u
n+1
= 3u
n
– 2n + 3
Pour un entier N donné, que représentent les valeurs affichées par
l’algorithme ?
c) Comment modifier l’algorithme précédent pour afficher tous les termes
de la suite (u
n
) entre 0 et N – 1 ?

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Exercice algorithmique composition 1T + exercice supplémentaire
2
Exercice 2
On considère l’algorithme suivant :
1) Tester cet algorithme avec A = 100 en complétant le tableau suivant :
n
u
Quel est l’affichage produit ?
2) Que permet d’obtenir cet algorithme ?
3) Proposer un algorithme qui calcule et affiche les N premiers termes de la
suite (v
n
) définie par v
n
= 3×n – 2.

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Exercice algorithmique composition 1T + exercice supplémentaire
CORRECTION
3
Exercice 1
a) Pour N = 3, le compteur k pour la boucle Pour prend les valeurs
entières 0, 1 et 2.
U = 3×0 - 2×0 + 3 et V = 3 + 0
U = 3×3 - 2×1 + 3 et V = 13
U = 3×10 - 2×2 + 3 et V = 29 + 13
Le programme va afficher 29 et 42.
b) On remarque que l’instruction U prend la valeur 3U – 2k + 3 correspond
à la définition récurrente de la suite (u
n
) : u
n+1
= 3u
n
– 2n + 3
L’instruction U prend la valeur 0 correspond au premier terme de la
suite u
0
= 0.
Pour un entier N donné, ce programme affiche le terme u
N
de la suite
(u
n
) (stocké dans la variable U).
On remarque que la variable V pour N = 3 est égale à :
0 + 3 + 13 + 42 = u
0
+ u
1
+ u
2
+ u
3
Donc la variable V contient à la fin du programme la somme des termes
de la suite (u
n
) pour 0 ≤ n ≤ N. (La somme des N + 1 premiers termes de
la suite (u
n
)).
k U V
. 0 0
0 3 3
1 10 13
2 29 42

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Exercice algorithmique composition 1T + exercice supplémentaire
CORRECTION
4
c) Il suffit de déplacer l’affichage de la variable U dans le corps de la
boucle pour :
Données :
U, V : deux nombres réels
k,N : deux entiers
Traitement :
Lire N
U prend la valeur 0
V prend la valeur 0
Pour k allant de 0 à N – 1
Afficher U
U prend la valeur 3U -2k + 3
V prend la valeur U + V
Fin Pour
Sortie :
Afficher V
Exercice 2
1)
La boucle TantQue s’exécute tant que la condition u < A reste vraie.
n
u
0
10
1
30
2
9
0
3
270
Le programme va afficher 3.
2) Ce programme détermine le plus petit entier n tel que u
n
≥ A pour un
nombre A fixé et pour la suite (u
n
) définie par u
0
= 10 et u
n+1
= 3×u
n
Remarque :
(u
n
) est une suite géométrique de raison 3.
On a donc u
n
= 10×3
n
L’entier n affiché par le programme est le plus petit entier qui
vérifie l’inéquation 10×3
3
≥ A.
Vous apprendrez dans l’année comment résoudre cette inéquation à
l’aide de la fonction logarithme.

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Exercice algorithmique composition 1T + exercice supplémentaire
CORRECTION
5
3)
Données :
V : deux nombres réels
k,N : deux entiers
Traitement :
Lire N
U prend la valeur 0
Pour k allant de 0 à N – 1
Afficher U
U prend la valeur 3k - 2
Fin Pour