Exercice 1

TS AP
2012-2013
Exercice algorithmique composition 1T + exercice supplémentaire
Exercice 1
On considère l’algorithme suivant :
Données :
U, V : deux nombres réels
k,N : deux entiers
Traitement :
Lire N
U prend la valeur 0
V prend la valeur 0
Pour k allant de 0 à N – 1
U prend la valeur 3U -2k + 3
V prend la valeur U + V
Fin Pour
Sortie :
Afficher U
Afficher V
a) Quel est l’affichage lorsque N = 3 ? Détailler les étapes
On complétera le tableau suivant :
k
U
V
b) On considère la suite (un) définie par u0 = 0 et pour tout entier naturel n :
un+1 = 3un – 2n + 3
Pour un entier N donné, que représentent les valeurs affichées par
l’algorithme ?
c) Comment modifier l’algorithme précédent pour afficher tous les termes
de la suite (un) entre 0 et N – 1 ?
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Exercice algorithmique composition 1T + exercice supplémentaire
Exercice 2
On considère l’algorithme suivant :
1) Tester cet algorithme avec A = 100 en complétant le tableau suivant :
n
u
Quel est l’affichage produit ?
2) Que permet d’obtenir cet algorithme ?
3) Proposer un algorithme qui calcule et affiche les N premiers termes de la
suite (vn) définie par vn = 3×n – 2.
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Exercice algorithmique composition 1T + exercice supplémentaire
CORRECTION
Exercice 1
a) Pour N = 3, le compteur k pour la boucle Pour prend les valeurs
entières 0, 1 et 2.
k
U
V
.
0
0
0
3
3
1
10
13
2
29
42
U = 3×0 - 2×0 + 3 et V = 3 + 0
U = 3×3 - 2×1 + 3 et V = 13
U = 3×10 - 2×2 + 3 et V = 29 + 13
Le programme va afficher 29 et 42.
b) On remarque que l’instruction U prend la valeur 3U – 2k + 3 correspond
à la définition récurrente de la suite (un) : un+1 = 3un – 2n + 3
L’instruction U prend la valeur 0 correspond au premier terme de la
suite u0 = 0.
Pour un entier N donné, ce programme affiche le terme uN de la suite
(un) (stocké dans la variable U).
On remarque que la variable V pour N = 3 est égale à :
0 + 3 + 13 + 42 = u0 + u1 + u2 + u3
Donc la variable V contient à la fin du programme la somme des termes
de la suite (un) pour 0 ≤ n ≤ N. (La somme des N + 1 premiers termes de
la suite (un)).
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Exercice algorithmique composition 1T + exercice supplémentaire
CORRECTION
c) Il suffit de déplacer l’affichage de la variable U dans le corps de la
boucle pour :
Données :
U, V : deux nombres réels
k,N : deux entiers
Traitement :
Lire N
U prend la valeur 0
V prend la valeur 0
Pour k allant de 0 à N – 1
Afficher U
U prend la valeur 3U -2k + 3
V prend la valeur U + V
Fin Pour
Sortie :
Afficher V
Exercice 2
1)
La boucle TantQue s’exécute tant que la condition u < A reste vraie.
n
0
1
2
3
u
10
30
90
270
Le programme va afficher 3.
2) Ce programme détermine le plus petit entier n tel que un ≥ A pour un
nombre A fixé et pour la suite (un) définie par u0 = 10 et un+1 = 3×un
Remarque :
(un) est une suite géométrique de raison 3.
On a donc un = 10×3n
L’entier n affiché par le programme est le plus petit entier qui
vérifie l’inéquation 10×33 ≥ A.
Vous apprendrez dans l’année comment résoudre cette inéquation à
l’aide de la fonction logarithme.
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Exercice algorithmique composition 1T + exercice supplémentaire
CORRECTION
3)
Données :
V : deux nombres réels
k,N : deux entiers
Traitement :
Lire N
U prend la valeur 0
Pour k allant de 0 à N – 1
Afficher U
U prend la valeur 3k - 2
Fin Pour
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