Mécanique du point : problèmes à 2 corps (PCSI)

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Mécanique du point : problèmes à 2 corps (PCSI)
Question de cours & exercice
On considère une étoile double consituée deux points M1 et M2 de masse m1 et m2 , située dans la voie
lactée. On ne considère pas d'autres forces que l'attraction gravitationnelle qu'exerce une étoile sur
l'autre et on considère la voie lactée comme un référentiel galiléen.
1. Montrez que l'on peut attacher au centre de masse G de l'étoile double un repère barycentrique
−
→
− →
− →
galiléen R∗ de vecteurs unitaires i , j , k .
−−−→
−−−→
−
−
2. Exprimez les positions →
r1 = GM1 et →
r2 = GM2 des deux étoiles dans le référentiel barycentrique
−−−−→
−
en fonction des masses des étoiles et de leur écart →
r = M1 M 2 .
−
−
3. Exprimez les quantités de mouvement →
p1 et →
p2 de chaque étoile en fonction de leurs vitesses relatives
→
−
→
−
→
−
v = v2 − v1 et de leur masse réduite µ.
4. Exprimez le moment cinétique du système par rapport à G ainsi que son énergie mécanique. Que
remarquez vous ?
5. Montrez que le problème est équivalent à la détermination de la trajectoire d'une particule M de
−
masse µ placée en →
r par rapport à G et soumise à la force exercée par M1 sur M2 . Comment
déduit-t-on les trajectoires de M1 et M2 de celle de M ?
6. Déterminez et tracez la trajectoire de M , puis celles de M1 et de M2 ?
7. Question d'ouverture : comment peut-on détecter de telles étoiles ?
_____________________________________________________________
Exercice Limite de Roche
On considère une planète P de masse M et de rayon R autour de laquelle gravite un objet. Cet objet
est modélisé par deux boules identiques B1 et B2 de masse m et de rayon r jointes en un point G. On
−
→
−−−→
→, avec −
→= −
OG
note d la distance P G et f2→1 = f2→1 −
u
u
r
r
OG , la force de contact exercée par B2 sur B1
1. On suppose que le mouvement du centre de masse de l'objet est circulaire. Déterminez la vitesse
angulaire ω du centre de masse du système au premier ordre en dr .
2. On se place dans le référentiel R0 tournant à la même vitesse angulaire que le satellite. Dans
ce référentiel, les boules B1 et B2 sont donc immobiles. Déduisez en deux équations reliant les
paramètres du problème.
3. Déterminez la distance d = D à laquelle l'objet de disloque.
4. Commentez l'image ci dessous
On rappelle le développement limité
1
(1 + x)α = 1 + αx + O(x2 )
Solution
1.
Forces extérieures :
−−−−→
−
→
1
FP →B1 = −GM m (d−r)
2 ur
et
−−−−→
−
→
1
FP →B2 = −GM m (d+r)
2 ur
donc
d−
v→
v2 →
G
2m
ur
= −2m −
dt
d
donc
2.
v 2 = d2 ω 2 =
GM
d d'où
Forces exercées sur
B1
:
ω=
q
1
1
−
→
u
r
2 +
2
(d − r)
(d + r)
GM m r r −
→
= −
1
+
2
+
1
−
2
u
r
d2
d
d
2GM m −
→
u
= −
r
d2
= −GM m
GM
d3
−−−→ −−−→ −→
−−−−→ −−grav
FP →B1 , FB2 →B1 , f2→1 , Fie
1
3.
A la limite,
f2→1 = 0
2
(d − r)
1
+ Gm2
donc
1
2
2 + f2→1 + mω (d − r)
(2r)
2 1
2
−GM m
2 − Gm
2 − f2→1 + mω (d + r)
(d + r)
(2r)
−GM m
!
=
0
=
0
donc
1
2
donc
+ Gm2
1
2
2 + mω (D − r)
(D − r)
(2r)
GM m r
GM r
2 1
−
1
+
2
+
m
1
−
+
Gm
D2
D
4r2
D2
D
r
D2
r
−M − 2M + m 2 + M − M
D
4r
D
D2
r
−3M + m 2
D
4r
−GM m
D = 12 M
m
1/3
=
0
=
0
=
0
=
0
r
_____________________________________________________________
2
Daniel Suchet - 2012
_____________________________________________________________
Exercice Points de Lagrange
On considère une planète P de masse MP tournant d'une étoile S de masse MS MP suivant une orbite circulaire
de rayon D. On s'intéresse à un corps M de masse m MP MS dont on cherche les positions d'équilibre
par rapport à la planète P , c'est-à-dire les positions auxquelles M reste immobile par rapport à P . On supposera
→) dans lequel la
le référentiel RG héliocentrique galiléen et on note R le référentiel en rotation autour l'axe (S, −
u
z
planète est immobile.
Figure 1 : Paramétrisation du problème
Figure 2
1. Exprimez la vitesse angulaire de rotation Ω du référentiel R dans le référentiel RG . On se placera dans le
référentiel R pour le reste de l'exercice.
2. Exprimez la condition d'équilibre de l'objet en fonction de ses coordonnées (x, y, z) dans le repère R. En
déduire que pour tout position d'équilibre, z = 0.
Points L1 et L2
On cherche des positions d'équilibres situées sur l'axe x située dans le voisinage proche de la planète. On
posera d = D − x.
• Montrez qu'il existe une position d'équilibre pour d < 0 et déterminez sa position par rapport à la planète
P . Ce point s'appelle Point de Lagrange 1 (L1).
• Même question pour d > 0. Ce point s'appelle
Point de Lagrange 2 (L2).
Point L3
On cherche des positions d'équilibres situées sur l'axe x située dans à l'opposée de la planète par rapport à
l'étoile. On posera d = D + x.
Montrez qu'une telle position d'équilibre existe bel et bien. Ce point s'appelle Point de Lagrange 3 (L3).
Points L4 et L5
On cherche à présent des points d'équilibre situés à équidistance de la planète P et de l'étoile S . On note
d = SM = P M .
• Montrez qu'on a nécessairement d = D et en déduire la position des deux derniers points de Lagrange
L4 et L5 .
Application Commentez la gure 2
On rappelle le développement limité
3
(1 + x)α = 1 + αx + O(x2 )
Daniel Suchet - 2012
Solution
T
4π
1. Troisième loi de Kepler pour la planète : D
3 = GM . La vitesse angulaire est uniforme car le mouvement
S
est circulaire
(donc la conservation de la constante des aires impose θ̇ = cste) et est donnée par Ω =
q
GMS
2π
T =
D3 .
2
2
2. Bilan des forces :


x
−−→
−
−
→
GMS m
Sm
 y 
• Attraction gravitationnelle de S sur M : FSM = − GM
SM 3 SM = − (x2 +y 2 +z 2 )3/2
z


x−d
−
−
→
−−→
GMT m
Tm
 y 
• Attraction gravitationnelle de T sur M : FT M = − GM
T M 3 T M = − ((x−D)2 +y 2 +z 2 )3/2
z


x
−→
→
− →
− − GMS m 
−
y 
• Force d'inertie d'entrainement : Fie = −m→
ae = −m Ω ∧ Ω ∧ →
r = D3
0
Equilibre ⇒ compensation des forces

GMT
S
x−
0 = − (x2 +yGM

3/2 (x − D) +
2 +z 2 )3/2

((x−D)2 +y2 +z2 )


GMT
GMS
S
0 = − (x2 +yGM
y−
3/2 y + D 3 y
2 +z 2 )3/2
(x−D)2 +y 2 +z 2 )
(



GMT
S
0 = − 2 GM
z−
3/2 z
(x +y 2 +z 2 )3/2
((x−D)2 +y2 +z2 )
GMS
D3 x
Les deux termes qui apparaissent dans la troisième équation sont de même signe. Pour que leur somme
soit nulle, ils doivent être tous les deux nuls. On doit donc avoir z = 0.
Points L1 et L2
On impose y = 0 et on réécrit l'équation sur x en introduisant d D. Attention à la simplication
d
1
d3 = ± d2 en fonction du signe de d.
0
⇒ 3d3
Points L3
GMS
GMT
GMS
=
− (D+d)
3 (D + d) −
d3 d + D 3 (D + d)
GMS
GMT
GMS
=
− (D+d)2 ± d2 + D3 (D + d)
GMT
d
d
S
S
=
− GM
1 − 2D
± d2 + GM
1+ D
D2
D2
3
T
=± M
MS D
On impose y = 0 et on réécrit l'équation sur x en introduisant d D. Attention aux signes, d − D < 0
et d − 2D aussi
0
=
=
=
=
⇒d =
Points L4 et L5
GMS
GMT
S
− (d−D)
(d − 2D) + GM
3 (d − D) −
D 3 (d − D)
(d−2D)3
GMS
GMT
GMS
+ (d−D)
2 +
2 +
3 (d − D)
(d−2D)
GMT D
GMS d
GMS
d
d
+
1
+
2
1
D2
D
4D 2 + 2 2D + D 2
D −1
GMS +MT
T
− GM
4D 2 − 3d
D3
MT
D
12MS
On a à présent la condition x2 + y 2 = (x − D)2 + y 2 = d2 et la condition d'équilibre sur y impose
S
0
= − GM
d3 −
⇒d = D
GMT
d3
+
GMS
D3
y
Les points L4 et L5 sont donc situés au troisième sommet d'un triangle équilatéral de côté D. On en
déduit les postions de x et y :
x = D/2
y=
√
3D/2
L'image montre le système solaire, Soleil au centre. Jupiter étant la planète la plus lourde, c'est elle qui a
l'inuence gravitationnelle la plus importante. Des corps célestes s'accumulent visiblement sur les deux points
L4 et L5 du système Soleil - Jupiter mais pas sur les autres points. On en déduit que ce sont les deux seuls
4
Daniel Suchet - 2012
points stables. En réalité, ils constituent des maxima du potentiel et pour comprendre leur stabilité, il faut
prendre en compte la force de Coriolis. Les points L1 , L2 et L3 sont des points selle du potentiel et ne sont
pas stables même avec la force de Coriolis.
Les corps situés autour de L4 sont dits troyens et portent des noms associés (Priam, Enée, Anchise...). Les
corps situés autour de L5 sont dits Grecs (Achille, Agamemnon...). A noter l'existence de transfuges : Hector
gravite autour de L4 et Patrocle autour de L5 .
5
Daniel Suchet - 2012
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