Devoir libre n°9

MPSI3 – Carnot Dijon
Devoir libre n°9
Mars 2016
– THERMODYNAMIQUE (extrait concours) –
On considère un dispositif expérimental constitué d’un cylindre vertical ouvert dans l’atmosphère, aux
parois indéformables, de section S, dans lequel deux pistons de masse et d’épaisseur négligeables peuvent se
déplacer librement. Ces deux pistons, notés π0 et π1 définissent deux compartiments étanches dans le
cylindre. Le piston π0 est le piston inférieur (cf. figure 1). On utilisera le symbole 0 pour repérer les
grandeurs relatives au compartiment inférieur et le symbole 1 pour repérer les grandeurs relatives au
compartiment supérieur. On appellera longueur du compartiment 0 la distance qui sépare le fond du cylindre
du piston π0 , et longueur du compartiment l la distance qui sépare les deux pistons.
Quelle que soit la nature des fluides contenus dans les compartiments, on supposera qu’à l’équilibre la
pression est uniforme dans les compartiments.
On supposera dans toute la suite que les frottements lors du déplacement des pistons sont totalement
négligeables du point de vue énergétique.
Fig. 1 – Dispositif expérimental
Un mécanisme, non décrit ici, permet de modifier au gré de l’utilisateur, la nature des parois du cylindre et
des pistons de la façon suivante :
– Les parois peuvent être calorifugées (interdisant alors les échanges d’énergie sous forme de chaleur).
– Les parois peuvent être rendues perméables à la chaleur.
Par ailleurs un système mécanique permet de bloquer ou de débloquer le mouvement de chacun des pistons
sans modifier la géométrie du système.
Données générales :
– Section du cylindre : S = 10-2 m2
– Accélération de la pesanteur : g = 10 m.s-2
– La pression atmosphérique est constante et égale à patm = 105 Pa
1. Étude de différentes transformations subies par un gaz parfait
Pour cette partie de l’étude, le compartiment inférieur contient du dioxygène assimilé à un gaz parfait. Le
compartiment supérieur contient du diazote également assimilé à un gaz parfait. Les parois du cylindre et le
piston π1 sont perméables à la chaleur. Le piston π0 est calorifugé.
Données :
– Rapport de capacités thermiques du dioxygène : γ = 1,40
– Constante massique du dioxygène : r1 = 260 J.K-1. kg-1
– Rapport de capacités thermiques du diazote : γ = 1,40
– Constante massique du diazote : r2 = 297 J.K-1. kg-1
Remarque : On appelle constante massique d’un gaz parfait le rapport de la constante R des gaz parfait sur la
masse molaire du gaz. On utilisera alors la loi des gaz parfaits pour une masse m de gaz sous la forme :
pV = m r T
1.1 On bloque le piston π0. Le piston π1 peut se déplacer librement. Le dispositif expérimental est alors dans
l’état d’équilibre noté A.
Le dioxygène contenu dans le compartiment 0 est caractérisé par une pression pA0 = 105 Pa et une
température TA0 = 300 K. La longueur du compartiment 0 est alors dA0 = 0,2 m.
Le diazote contenu dans le compartiment 1 est caractérisé par une pression pA1 = 105 Pa et une température
TA1 = 300 K. La longueur du compartiment 1 est alors dA1 = 0,15 m.
On place le cylindre au contact d’une source (thermostat) à la température TS = 600 K.
Chacun des sous-systèmes, constitués par chacun des gaz (repéré comme les compartiments par 0 et 1),
atteint un nouvel état d’équilibre (B).
On note TB0 , pB0 et dB0 respectivement la température du dioxygène (gaz 0), la pression du dioxygène et la
hauteur du compartiment 0 dans cet état d’équilibre.
De la même façon TB1, pB1 et dB1 représentent la température du diazote (gaz 1), la pression du diazote et la
hauteur du compartiment 1 dans son nouvel état d’équilibre.
(a) Calculer la masse m0 de dioxygène contenue dans le compartiment 0 et la masse m1 de diazote contenue
dans le compartiment 1.
(b) Caractériser la transformation subie par le dioxygène. En déduire TB0 , dB0 et pB0 .
(c) Caractériser la transformation subie par le diazote. En déduire TB1 , dB1 et pB1 .
(d) Calculer la quantité d’énergie reçue par transfert mécanique (travail) par le dioxygène W 0 (A→B ) , et
par le diazote W 1 (A→B ) au cours de la transformation.
(e) Calculer la quantité d’énergie reçue par transfert thermique (chaleur) par le dioxygène Q 0 (A→B ) , et
par le diazote Q 1 (A→B ) au cours de la transformation.
(f) Calculer la variation d’entropie ΔS0 AB pour le dioxygène entre les deux états d’équilibre.
(g) Calculer la variation d’entropie ΔS1 AB pour le diazote entre les deux états d’équilibre.
(h) Calculer l’entropie produite Sp (A→B) au cours de la transformation.
1.2 Les deux sous-systèmes étant chacun dans leur propre état d’équilibre (repéré par l’indice B), on bloque
le piston π1 , puis on débloque le piston π0 (qui est toujours calorifugé).
Le cylindre est toujours au contact de la source à la température TS = 600 K.
Chacun des sous-systèmes atteint un nouvel état d’équilibre (C).
On note TC0 , pC0 et dC0 respectivement la température du dioxygène, la pression du dioxygène et la hauteur
du compartiment 0 dans son nouvel état d’équilibre.
De la même façon TC1, pC1 et dC1 représente la température du diazote, la pression du diazote et la hauteur du
compartiment 1 dans son nouvel état d’équilibre.
(a) Que peut-on dire sur les températures TC0 et TC1 et sur les pressions pC0 et pC1 du dioxygène et du diazote
dans l’état d’équilibre C ?
(b) Déterminer les longueurs dC0 et dC1 . En déduire les pressions pC0 et pC1 .
(c) Calculer les variations d’énergie interne ΔU BC et d’entropie ΔS BC pour le système (les deux gaz) entre
les deux états d’équilibre.
(d) En déduire l’entropie produite Sp (B→C) au cours de la transformation.
2. Gaz parfait et mélange liquide-vapeur
Dans cette partie de l’étude, l’un des compartiments sera rempli d’eau en équilibre diphasique.
– Constante universelle des gaz parfaits : R = 8,31 J.K-1mol-1
– Masse molaire de l’air : MA = 29 g.mol-1
– Masse molaire de l’eau : ME = 18 g. mol-1
– Masse volumique de l’eau liquide : ρl = 1000 kg.m-3
– Capacité calorifique massique à volume constant de l’air (supposée constante) : cV,A = 716 J.kg-1.K-1
– Capacité calorifique massique à pression constante de l’eau sous forme de vapeur (supposée constante) :
cp,v = 1616 J.kg-1.K-1
– Capacité calorifique massique à pression constante de l’eau sous forme de liquide (supposée constante) :
cp,l = 4180 J.kg-1.K-1
– Pression de saturation de l’eau pour une température de T : pS (T) = ((T-273)/100)4 atm avec
1atm = 101325 Pa.
– Chaleur latente massique de vaporisation (enthalpie massique de changement d’état) de l’eau à la
température T0 = 373K : lv (T0) = 2240 kJ.kg-1
2.2 Transformation au contact d’un thermostat
Dans cette partie du problème, on admet que les parois du cylindre et les pistons sont perméables à la
chaleur.
Le piston π0 est libre de se déplacer et le piston π1 est bloqué.
Le compartiment supérieur est rempli d’air et le compartiment inférieur est rempli d’eau.
Une partie de l’eau peut être sous forme liquide, le reste sous forme de vapeur.
A l’équilibre, on admet que ces deux phases sont parfaitement séparées. On rappelle que l’air et la vapeur
d’eau sont assimilables à des gaz parfaits et que le liquide est parfaitement incompressible.
2.2.1. Dans l’état initial d’équilibre noté , on mesure la température dans un compartiment T = 380 K la
longueur du compartiment 1 (rempli d’air) d 1 = 0,1 m et la longueur du compartiment 0 (rempli
d’eau) d 0 = 0,1 m. Dans le compartiment 0, on note que l’eau est sous forme de liquide et vapeur et
que la hauteur d’eau liquide en bas du compartiment vaut d 0 ,l = 0,002 m.
(a) Calculer la pression d’équilibre pα .
(b) Calculer la masse d’air mA contenue dans le compartiment 1.
(c) Calculer la masse d’eau mE (liquide+vapeur) contenue dans le compartiment 0.
(d) Calculer le titre massique de vapeur d’eau x (rapport entre la masse d’eau sous forme vapeur et
la masse d’eau totale).
2.2.2. Le cylindre est mis au contact d’un thermostat à la température 390K. Le système atteint un nouvel
état d’équilibre noté .
(a) Montrer que l’eau ne peut pas se trouver sous forme de vapeur sèche (pas d’eau liquide).
(b) Montrer que l’eau ne peut pas se trouver sous forme de liquide seul (pas d’eau vapeur).
(c) Calculer la pression d’équilibre p.
(d) Calculer, à l’équilibre, la longueur du compartiment remplie d’air d1 .
(e) Calculer, à l’équilibre, la masse volumique de la vapeur d’eau.
(f) Calculer, à l’équilibre, la hauteur de la zone vapeur d0,V et liquide d0,l dans le compartiment 0.
(g) Calculer le titre massique de vapeur d’eau x .
(h) Calculer la variation d’entropie S pour le système eau + air.
Corrigé CCP MP 2008
1. Etude de différentes transformations subies par un gaz parfait
1.1
Rappel : pour le gaz parfait : pV / T = nR = m.R/M = m r avec r = R/M : constante massique du
gaz.
(a)
Pour O2 : PoAVoA/ ToA = noR = m0 r0 = 2/3 et pour N2 : P1AV1A/ T1A = n1R = m1r1 = 1/2.
On trouve : mo = 2,56 10-3 kg et m1 = 1,68 10-3 kg.
(b)
O évolue de façon isochore ; doB = doA = 0,20 m ;
ToB = TS = 600 K ;
PoB = PoAToB/Toa = 2.105 Pa.
(c)
1 évolue de façon monobare ; P1B = P1A = 105 Pa ; T1B = TS = 600 K ;
d1B = d1AT1B/T1A = 0,30 m
En fait, le piston 1 étant sans masse, l'évolution de 1 est isobare (même pression de part et d'autre du
piston).
(d)
WoAB = 0 ;
W1AB = -patm S (d1B- d1A) = -105.10-2(0,3- 0,15) = -150 J
(e)
nCv = nR / (-1) = m0 r0 / (-1) , d’où : QoAB = UoAB - WoAB = m0 r0 (ToB - ToA )/(-1) = 500 J
Q1AB = H1AB = m0 r0 (T1B - T1A ) /(-1) = 525 J
(f)
Le long d'un chemin isochore réversible : Qv,rév = nCvdT et dS = Qv,rév / T ,
B
d'où :
SoAB =

mocov dT/T = m0 r0 /(-1) *Ln( ToB/ ToA) = 1,15 J/K
A
B
(g)
S1AB =

mocop dT/T = m0 r0 /(-1) * Ln( T1B/ T1A) = 1,21 J/K
A
(h)
SpAB = S0AB + S1AB - S0eAB - S1eAB ou encore SpAB = S0AB + S1AB + SSAB (S= source)
SSAB = QS / TS = - ( QoAB + Q1AB ) / TS = - 1,71 J/K
SpAB = 1,15 + 1,21 – 1,71 = 0,66 J/K : signature de l'irréversibilité.
1.2
(a)
ToC = T1C = TS = 600 K ; PoC = P1C.
(b)
doC + d1C = doB + d1B = 0,50 m et doC /no = d1C /n1 d’où d1C / d0C = 3/4
On calcule : doC = 0,286 m et d1C = 0,214 m puis PoC = P1C = 1,40 105 Pa
(c)
UBC = 0 car TC = TB = TS pour les deux gaz qui sont parfaits ( U(T seul) ).
SBC = SoBC + S1BC . Les états i et f étant de même température, on calcule ces variations
d'entropie le long de chemins isothermes.
Sisotherme = Qisoth / T = - Wisoth / T = mr Ln(Vf/Vi) = mr Ln(Pi/Pf)
SBC = mor0 ln( doC/doB ) + m1r1 ln( d1C/d1B ) = 0,07 J/K.
(d)
WBC = 0 (1 immobile) et UBC = 0 (même T) d’où QBC = 0.
Donc Se = QBC/600 = 0 et SpBC = SBC = 0,07 J/K > 0 : adiabatique irréversible.
2.2
Transformation au contact d’un thermostat
2.2.1 (a)
eau = liq + vap
donc : p = pS(380K) = 1,33.105 Pa.
(b)
mA = pSd1MA/(RT) = 1,22 g.
(c)
mE,v = pS(do - do,l)ME/(RT) = 0,74 g et mE,l = Sdo,ll = 20 g
d’où mE = 20,74 g
(d)
x = 0,036
2.2.2. (a)
On aurait : p ( d1 + do ) S = ( mA/MA + mE/ME )RT d’où
p = 1,93.106 > psat(390) = 1,90.105 Pa : impossible.
(b)
On aurait : do = mE/(Sl) = 20,71 10-4 m d’où d1 = 0,2 - do
puis p = mART /(MASd1) = 6,619.104 < psat(390) = 1,90.105 : impossible.
(c)
p = psat (390) = 1,90.105 Pa
(d)
d1 = mART/(MASp) = d1 (T / T).(p / p) = 0,0718 m , d'où : do = 0,1282 m.
(e)
 ,V = mE,v/(Sdo,v) = pME/(RT) = 1,054 kg/m3
(f)
do = do,l + do,v et mE = do,lS.l + do,v.S. ,V d’où
do,l = 0,0019 m  do,l (très peu de liquide est vaporisé) et do,v = 0,1263 m.
(g)
m’E,v = 1,33 g et m’E,l = 19,41 g d’où x = 0,064
(h)
On rétablit d'abord les variations d'entropie du gaz parfait :
dS = Q/T = (dU + p dV) / T = mcV dT/T + nRdV/V
d'où : S = m cV ln(T2/T1) + mR/M ln(V2/V1) = m cV ln(T2/T1) – mR/M ln(p2/p1)
S (air) = mAcv,A ln(T/T) + (mA/MA)R ln(d1/d1) = 0,022 - 0,116
S (air) = -0,094 J/K
Pour l’eau, on peut considérer que :
m’E,l eau liquide passe de T à T : S = m’E,lcp,l ln(T/T) = 2,11 J/K ;
(mE,l - m’E,l ) eau passe de liquide à vapeur à T et p :
S = (mE,l - m’E,l ) lv(T)/ T = 3,45 J/K
car
lv(T) = 2225 kJ/kg ;
m’E,v eau vapeur passe de (T , p) à (T , p) :
S = m’E,vcp,v ln(T/T) – (m’E,v/ME)R ln(p/p) = 0,056 - 0,219 = -0,163 J/K.
D’où S (eau) = 5,40 J/K et S = 5,30 J/K .