Chargement optimal de la corde à l`équilibre - Etud.insa

Chargement optimal
de la corde à l’équilibre
D. Grasselly, L. Martire
Institut National des Sciences Appliquées
3ème année, Génie Mathématique et Modélisation
Bureau d’Etudes
Responsable : Frédéric de Gournay
19 septembre 2015

TABLE DES MATIÈRES
Table des matières
1 Introduction 1
1.1 Préliminaires ....................................... 1
1.1.1 Notations ..................................... 1
1.1.2 Donnéesetinconnues............................... 1
1.1.3 Remarques sur la discrétisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Positionnementduproblème............................... 2
2 Définitions et démonstrations des grandeurs utilisées 3
2.1 Energiedusystème.................................... 3
2.1.1 Modélisation.................................... 3
2.1.2 Caractère quadratique de l’énergie du système . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.3 Existence d’un minimum pour l’énergie du système . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.4 Transformation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Effetdelacharge..................................... 10
2.3 Energie de rupture et du risque de rupture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.1 Expression du risque de rupture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Conclusion......................................... 11
3 Discrétisation 13
3.1 Approximation de la position de la corde et condition de minimisation de l’énergie . 13
3.1.1 Condition sur la dérivée seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.2 Expressionfinale ................................. 14
3.2 Calcul de l’énergie de rupture et de sa dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.1 Discrétisation du risque de rupture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.2 Dérivée de r.................................... 15
3.2.3 Détermination de l’approximation de gradient de rpar le théorème des fonc-
tionsimplicites .................................. 16
3.3 Conclusion......................................... 17
4 Minimisation par l’algorithme de gradient à pas constant 18
4.1 Généralités ........................................ 18
4.1.1 Déroulement de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.1.2 Résultats ..................................... 19
4.2 Détail : un algorithme de résolution de systèmes tridiagonaux amélioré . . . . . . . 20
4.2.1 Description de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2.2 Améliorations apportées par cet algorithme au problème posé . . . . . . . . 21
4.3 Discussions à propos de la méthode de résolution numérique . . . . . . . . . . . . . 22
4.3.1 Discussion sur la convergence de l’algorithme en fonction du pas de descente 22
4.3.2 Discussion sur l’évolution du risque de rupture en fonction du pas de descente 24
4.3.3 Conclusion sur le pas de descente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3.4 Discussion sur l’algorithme de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3.5 Conclusion (discussion à propos de la méthode numérique) . . . . . . . . . . 27
5 Bilan 29

TABLE DES MATIÈRES
6 Annexes 30
6.1 Démontrations non essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.1.1 aestdéfiniepositive ............................... 30
6.2 Sujet............................................ 30

1 INTRODUCTION
1 Introduction
1.1 Préliminaires
1.1.1 Notations
Nous noterons :
•
∼
0l’application (x7→ 0∀x∈R)
• D1(I, J)l’ensemble des fonctions une fois dérivables de Idans J(avec I, J ⊆R)
•pour alléger certaines équations, en prenant Rdet I, J ⊂Rd:
∀u∈ D1(I, J),∀i∈J1, dK,∂xiu=∂u
∂xi
On définit ici l’ensemble V(aussi défini dans le théorème 1 du sujet) :
V=v∈ C2([0,1]) / v(0) = v(1) = 0.
Par ailleurs, quand nous voudrons référencer une équation numérotée du sujet, nous le ferons
avec des crochets au lieu de parenthèses pour ne pas confondre les numéros de nos équations avec
ceux de celles du sujet. Par exemple, nous noterons “équation [3] du sujet” mais “équation (3)”
dans notre rapport.
1.1.2 Données et inconnues
Notre problème consiste à trouver la position optimale d’une charge donnée le long d’une corde,
sans avoir de rupture aux deux extrémités.
Nous avons à notre disposition des données représentant les caractéristiques physiques de la
corde et de la charge. On note kle coefficient de raideur le long de la corde, qui est propre à la
corde. De plus, on note pla répartition de poids de la charge, indépendante des caractéristiques
physiques de la corde.
Nous déterminons par la suite plusieurs inconnues liées au problème. La force exercée le long
de la corde est notée f. Celle-ci dépend du poids de la charge, “centrée” en x=a. La grandeur
ucorrespond au déplacement de la corde, c’est-à-dire le déplacement subi par la corde en tout
point sous l’effet de la charge, et ce par rapport à la position de cette dernière au repos. Enfin, on
note El’énergie de la corde, qui est liée à l’étirement de la corde par rapport à sa position ini-
tiale et au poids. En dernier lieu, nous considérons r, le risque de rupture aux extrémités de la corde.
Après avoir déterminé l’expression de r, on veut déterminer la valeur de aqui minimise celle
de r. Nous étudions d’abord ce problème de manière analytique, puis nous le résolvons de manière
numérique. On utilise alors la méthode numérique dite de gradient à pas constant, puis celle de
gradient à pas variable. De plus, des détails (notamment sa précision et ses performances) sont
à discuter, de manière théorique, mais aussi à l’aide de différents tests réalisés sur le logiciel
MatLab®.
1.1.3 Remarques sur la discrétisation
Nous notons dans ce rapport avec des majuscules les grandeurs discrétisées : par exemple U
pour u, etc. Ces dernières dépendront tous de la valeur de ade départ (à partir de laquelle ils sont
1

1 INTRODUCTION
déterminés, avec les relations de (2)). Nous noterons donc par exemple Ua.
Remarque : Dans le sujet, la fonctionnelle liée au risque de rupture est notée R. Nous choi-
sissons ici de la noter r, afin de la différencier clairement avec sa “version” discrétisée, que nous
notons Rou Ra.
Enfin, nous procédons avec un découpage de l’intervalle [0,1] en Nsous-intervalles (où Nsera
choisi). Les vecteurs utilisés (Fa,Ua,Ra, ...), comportent donc N+ 1 composantes. Quand nous
notons h, il s’agit du pas de discrétisation, et vaut h=1
N.
Comme nous travaillons sur l’intervalle [0,1], nous notons xi+1/2= (i+ 1/2)h. De plus, nous
notons Uipour U(xi), la discrétisation de uau point xi., et de même manière Ui+1/2pour U(xi+1/2).
1.2 Positionnement du problème
Notre but est donc d’optimiser la position ad’une charge sur une corde, minimisant une quan-
tité, définie plus précisément plus bas : le risque de rupture ra. Le problème continu s’énonce ainsi,
avec nos notations :
min
a∈[0,1] ra.(1)
On définit les grandeurs à manipuler, à partir des grandeurs données, en suivant le cheminement
suivant :
1. Détermination de la force faproduite sur la corde à partir de la charge ppositionnée en a.
2. Obtention du déplacement uade la corde induit par la force subie fa.
3. Calcul de raà partir de ua.
Il s’agit ensuite de les discrétiser dans le but de résoudre numériquement le problème (1) à l’aide
d’un algorithme de gradient à pas constant. On doit alors déterminer une approximation de ∂ara.
Ceci est résumé dans le schéma suivant :
grandeurs continues : a1 −→ fa2 −→ ua3 −→ ra∂ara
↓ ↓ 4↓5
grandeurs discrétisées : FaUaRa−→
6∆aRa
(2)
Où ∆aRaest l’approximation de ∂ara. Il faut noter que l’on ne déterminera pas de manière ana-
lytique la dérivée ∂ara, ce qui justifie l’absence de flèche pointant sur cette grandeur.
Nous ne développons pas ces points dans cet ordre, mais plutôt dans un ordre choisi, qui nous
semble représenter un cheminement plus naturel dans la résolution du problème, et plus clair dans
la déclaration et la description des grandeurs.
Enfin, à l’aide d’un algorithme de gradient à pas constant, nous pourrons déterminer le a
solution de (1). Nous détaillerons premièrement comment la discrétisation est mise en place, puis
nous y ajouterons le code MatLab®que nous avons mis en place pour résoudre numériquement le
problème.
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