Dis moi où tu es, je te dirai où tu vas

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Equipe COMMANDS (ENSTA & INRIA & l’X)
https://commands.saclay.inria.fr/
U NITHÉ OU C AFÉ, le 27 mai 2011.
Hasnaa Zidani (Epi COMMANDS)
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Unithé
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Equipe COMMANDS
Hasnaa Zidani (Epi COMMANDS)
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EPI COMMANDS
Membres permanents
J. Frédéric Bonnans [DR1, INRIA]
Pierre Martinon [CR1, INRIA]
Hasnaa Zidani [EC, ENSTA ParisTech]
Collab. Extérieurs
O. Bokanowski (Paris-Diderot)
N. Forcadel (Paris-Dauphine)
Membres non permanents
Anna Désilles [ENSTA, 2010 – 2013]
Vincent Grélard [Software Engineer, INRIA]
Jun-Yi Zhao [Software Engineer, INRIA-ENSTA]
Assistante
Wallis Filippi
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Doctorants
Soledad Aronna [Rosario, Argentina, october 2008]
Giovanni Granato [CIFRE Renault, janvier 2010]
Xavier Dupuis (Alloc. ENS Lyon, sept. 2010)
Laurent Pfeiffer (bourse Monge, sept 2010)
Zhiping Rao (bourse AMX, sept. 2010)
Albert Altarovici (Marie-Curie, mars 2011)
Joao saude (CIFRE Astrium, mai 2011)
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Principaux projets de recherche (COMMANDS)
ä Optimisation de trajectoires: modélisation, étude mathématique et
méthodes numériques
ä Sensibilité par rapport à des paramètres de perturbation
ä Applications: trajectoires spatiales, gestion d’énergie, véhicules
hybrides
ä Collaborations industrielles: CNES, Astrium, EdF, Total, Renault,
DGA
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I. Systèmes dynamiques contrôlés: Analyse d’atteignabilité
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Systèmes dynamiques
ä Système dynamique désigne tout phénomène qui évolue au cours
du temps de manière causal: l’avenir ne dépend que du passé ou
du présent
(position-vitesse d’une voiture, stock d’énergie, actif financier, ...)
ä La dynamique d’un système permet de décrire son évolution. Elle
peut être:
discrète (prix du gaz, quantité de pêche, ...)
ou continue (vitesse-position d’une navette spatiale,
mouvement d’une planète, ...)
ä La trajectoire d’un système représente l’évolution du système au
cours du temps.
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Véhicule électrique
ä Système 1: La loi de la cinématique permet de décrire
l’évolution de la position et la vitesse (en fonction de
l’accélération, masse du véhicule, frottement, ... etc)
ä Système 2: de même l’état de charge de la batterie peut
être décrit par des lois physiques (en fonction de la pente ,
accélération, caractéristique de la batterie, ...)
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Système contrôlé
y désigne l’état du système
a est une commande (contrôle)
Entrée :a
sortie :y
A chaque loi de commande a(t) est associée une trajectoire
différente.
Exemple: Dans le cas d’un avion, différents choix de l’angle de
vol et/ou la poussé conduisent à des trajectoires ”aériennes“
différentes.
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Ensemble atteignable
ä L’ensemble atteignable, à partir d’une condition intiale x, est
l’ensemble de toutes les positions que le système peut atteindre
en un temps fini en utilisant une commande admissible.
Figure: Ensemble atteignable
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Soit C un ensemble cible (dans nos exemples C est une zone safe)
Bassin de capture
ä Le basin de capture de C, à l’instant t, est l’ensemble de toutes les
positions x á partir des quelles ont peut atteindre l’ensemble C.
Figure: zone de survie!
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Problème de Navigation: Zermelo
ä Considérons un bateau qui navigue sur un fleuve (avec une
vitesse maximale connue).
ä le bateau souhaite rejoindre rapidement une petit îlot qui se
trouve au milieu du fleuve
Il faut d’bord savoir s’il peut rejoindre l’île !
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Zermelo: Un courant de force uniforme
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L’environnement peut éventuellement contraindre le mouvement:
Il peut y avoir des obstacles qu’il faut éviter (fixes et/ou mobiles),
des limites liées à la nature du mouvement (ne pas sortir de la
route pour une voiture, rester entre les rives d’un cours d’eau
pour une bateau, ...)
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Zermelo: Un courant de force variable
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Zermelo: obstacles à éviter
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II. Planification de mouvement: trajectoires optimales
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Planification: Enjeux et objectifs
ä Existe-t-il une trajectoire partant d’une position dans un
ensemble X et qui peut atteindre C, durant un horizon fini de
temps (ou avec une consommation maximale donnée)?
ä Lorsqu’un obstacle est détecté par des capteurs (e.g. radar,
GPS, ...), peut on éviter la collision?
ä Comment assurer la trajectoire ”la plus visible“ (ou la mois
visible) par des observateurs (radars, ennemies, ...)
ä Parfois, le système évolue dans un environnement incertain
(bruit, actions de d’autres agents, modèle incomplet, ...):
comment assurer la survie?
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Critère de performance
On considère la fonction temps minimal:
T (x) = inf {t; yx (t) ∈ C, yx étant une trajectoire possible} .
Les isovaleurs T correspondent au bassins de capture de la
cible C.
Il existe une théorie mathématique qui permet de décrire
globalement cette fonction T (·), et qui permet de
reconstruire les trajectoires optimales.
On peut remplacer le temps par un autre indicateur (e.g.
energie, longueur curviligne du trajet, ...)
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Depuis les annés 50s: course à la conquête de l’espace
Principe de Pontryagin: analyse des trajectoires optimales
(Euler-Lagrange and Weierstrass conditions)
Principe de Bellman: description globale des domaines
atteignables
Avancées importantes dans les années 80s: analyse nonlisse,
théorie de la viscosité.
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Exemple: Ariane V
Objectif
Maximiser la charge utile MCU qui
arrive sur la GTO (ou GEO).
Collaboration avec Cnes (projet OPALE 2006-2010)
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−−→
The physical model involves 7 state variables, the position OG of
→
−
the rocket in the 3D space, its velocity v and its mass m.
eK
er
G
→
−
v
γ
`
O
eJ
G
L
eI
e`
χ
eL
→
−
Projection of v on the frame (er , eL , e` )
→
−
−
→
The forces acting on the rocket are: Gravity P , Drag FD , Thrust
−
→
→
−
FT , and Coriolis Ω .
Newton Law:
→
−
→
− −
→ −
→
→
− →
→
−
→
− −−→
dv
−
m
= P + FD + FT − 2m Ω ∧ v − m Ω ∧ ( Ω ∧ OG),
dt
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PHASE C (HJB)
m1
m2
m3
GEO
GTO
PHASE B
(transport)
PHASE A(HJB)
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m1
m3 m2
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200
0
gamma (rad)
speed (m/s)
400
0
10000
8000
6000
4000
2000
500
1000
time (sec)
1.5
mass (ton)
altitude (km)
GTO target
1
0.5
0
500
1000
time (sec)
0
500
1000
time (sec)
600
400
200
0
0
500
1000
time (sec)
Figure: Full trajectory using the HJB minimal time value function
Reference trajectory, final mass:
HJB trajectory, final mass (after reconstruction):
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mT = 21.57 (t)
mT = 22.50 (t)
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II. Incertitudes, multi-agents: Jeux différentiels
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Problème multi-joueurs
ä La dynamique du système peut aussi être contrainte par des
actions d’un joueur adverse
ä Le deuxième joueur peut être coopératif (il n’a pas de mauvaise
intention) ou peut avoir des stratégies hostiles!
ä Il est alors utile de connaître les zones sans risques, les zones
risquées et les zones interdites
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Contrôle aérien
Prenons le cas d’un drone qui voit arriver vers lui un avion: quelle
décision prendre?
Différentes zones de sécurité: différentes actions
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Conduite automatique d’un véhicule (ou robot)
Le véhicule a pour mission de rejoindre une cible donnée en
évitant la collision avec des obstacles
La cible peut être mobile, ainsi que les obstacles
possibilité d’inclure aussi des contraintes de consommation, de
visibilité (ne doit pas rester visible plus qu’un certain temps) ...
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... many thanks for your attention!
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Figure: Exemple d’un problème de cible avec contraintes sur l’état
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1.5
1
0.5
x2
Van der Pol Problem :


ẏ1 (t) = y2



ẏ2 (t) = −y1 + y2 (1 − y12 ) + a(t)



 a(t) ∈ [−1, 1]
0
−0.5
−1
−1.5
−1.5
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−1
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−0.5
0
x1
0.5
1
1.5
Unithé
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