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FACULTÉ DES
SCIENCES
DE L’INGÉNIEUR
SECTION TRON COMMUN LMD
LMD : 1IÈRE ANNÉE
Cours Physique 2 : Electricité et Magnétisme
C
hapitre I
Electrostatique
I. Phénomène d'électrisation I. 1. Introduction Tous les corps s'électrisent, on dispose de plusieurs moyens pour le faire: -
par frottement; -
par contact avec un corps déjà électrisé; -
en reliant le corps à une borne d'un générateur électriques. Des expériences montrent que l'on peut ranger les corps schématiquement en deux classes: -
ceux pour lesquels l'électrisation reste localisée au point où l'a apporte ( par frottement par exemple) ⇒ isolants ou diélectriques. Exemple: verre, nylon, matières plastiques. 1
-
ceux pour lesquels l'électrisation se répond en tous les points du corps électrisé ⇒ conducteurs Exemple : métaux, corps humain, terre, eau I.2. Les deux sortes d'électricité Expérience Répulsion
Verre
Verre
Verre
Polystyrène
Attraction
Répulsion
Polystyrène
Polystyrène
Attraction
Verre
Ambre
Répulsion
Ambre
Polystyrène
Ambre
Ambre
Répulsion
Le comportement de l'Ambre est le même que celui du polystyrène. Nous dirons que l'électrisation de l'Ambre et du polystyrène est de même nature. On est amené à admettre l'existence de deux sortes d'électricité: l'une vitreuse ou positive et l'autre résineuse ou négative. Par ailleurs, un corps non électrisé est dit neutre. I. 3. Interprétation, structure de la matière Il est admis qu'un atome neutre comprend: -
un noyau constitué de Z protons (de charge +e) et de N neutrons (neutre électriquement et de même masse que les protons) -
Z électrons: particule de charge –e et dont la masse est 1836 fois plus faible que celle des nucléons. Ils gravitent autour du noyau. Conducteurs Ils sont constitués d'un réseau rigide d'ions positifs: ce sont des atomes ayant perdu un ou plusieurs électrons. La neutralité est assurée par ces électrons qui peuvent circuler plus ou moins librement dans le réseau (électrons libres). Lorsqu'on prélève des électrons libres sur le conducteur neutre (par frottement par exemple), un déséquilibre est créé en cet endroit. Ce déséquilibre est comblé par le déplacement 2
d'ensemble des autres électrons libres: l'électrisation (+) apparaît partout. De même, lorsqu'on apporte des électrons sur un conducteur neutre, ils se répartissent sur tout le corps qui devient électrisé (‐). Isolants Dans un isolant, les électrons ne peuvent se déplacer d'un atome à un autre: tout déséquilibre de charge reste localisé. L'électrisation n'apparaît qu'à l'endroit où elle a été apportée. Electrisation par frottement Elle s'explique par l'arrachement mécanique des électrons de l'un des corps neutre frottés et par leur transfert sur l'autre. Le sens du transfert dépend de l'affinité électronique relative des deux corps. On peut classer les corps dans un ordre tel que, lorsqu'on frotte l'un sur l'autre, deux entre deux, celui qui précède l'autre sur la liste s'électrise positivement. Ces séries sont appelées "série triboélectriques". Exemples: Poil de Lapin, Verre, Mica, Poil de Chat, Soie, Bois, Ambre, Résine, Soufre, Ebonite, Celluloid. On voit par exemple que, frotter sur la Laine ou de la Soie, le Verre s'électrise positivement, l'Ebonite négativement. II. Loi de Coulomb dans le vide Soient deux charge ponctuelles q et q' séparées par une distance r. Coulomb, par analogie avec la loi d'attraction universelle, a proposé: u
Fq 'q
avec K =
q q'
q q'
=−
u =K 2 u
2
4πε 0 r
r
1
1
4πε 0
q
Fq 'q
Fqq '
= 9 10 9 N m C − 2
On peut en tirer désormais une définition du coulomb: r
C'est la charge d'un point électrisé qui, placé à un mètre d'une charge identique, subit de sa part une force de 9 109. ⇒ Nécessité d'utiliser des sous multiples du coulomb micro C ( 1µC = 10‐6C ); nano C ( 1nC = 10‐9C ) ; pico C ( 1pC = 10‐12C ) 3
q’
III. Ordres de Grandeur des forces électrostatiques Au niveau microscopique -
Envisageons le cas d'un proton et d'un électron qui dans un atome d'Hydrogène s'attirent selon une force coulombienne: Q= 1,6 10‐19 C, r=5 10‐11 m=0,5 Å alors F=10‐7 N -
Comparons avec la force d'attraction gravitationnelle qui s'exerce entre ces deux particules F =k
-
me M p
r
2
, k=6.67 10-11, me=9 10‐31 Kg, Mp=1850 me alors F=4 10‐47N Considérons enfin le poids de ces particules (c. a. d. la force de gravitation que la terre exerce sur elles Electron: me.g=9 10‐30 N; Proton : Mp.g=1.6 10‐26 N De ces exemples, on peut immédiatement conclure que dans les problèmes d'interaction entre particules, on pourra systématiquement négliger leur poids et leur interaction gravitationnelle, ceci au mois en première approximation. 4
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L INGÉNIEUR
SE
ECTION TR
RON COMM
MUN LMD
IÈRE
LM
MD : 1 AN
NNÉE
Cours Phy
ysique 2 : Electricité et
e Magnétis
isme
C
haapitree II
Champ et Po
otentiel Ele
ectriq
que
I. R
Rappel sur le
e champ et potentiel ggravitationn
nel Ò C
Champ Il esst bien étab
bli qu'une m
masse m, siituée à une
e distance r du centre de la terre, est soumise à une force correespondant àà son poids. Cette forcee est donnéée par: P = −k
Mm
u r2
(k= 6.67 10‐11 SS.I.) Il esst possible aaussi, d'écrire cette mêême force,
sous la forme: P = mg En introduisantt le vecteurr champ de gravitation g P
u
.
.
m
r
M
5
donné par: g = − k
M
u r2
Ce vecteur décrit l'état gravitationnel de chaque point de l'espace indépendamment de la masse m qui peut y être placée. g
u
S
.
.
r
M
ÒPotentiel Une masse m, située en un point S dans le champ de pesanteur terrestre, possède une énergie potentielle Ep. Une force dérive d'un potentiel si le travail w de cette force est indépendant du chemin suivi. B
w F = ∫ F ⋅ dl = E p ( x A , y A , z A ) − E p ( x B , y B , z B ) A
C'est le cas du poids d'un corps P . L'énergie potentielle gravitationnelle EP se calcule par : dE P = −dw = − P dl = −k
= −k
Mm
+ cte
r
Mm
Mm
u dl = k 2 dr
2
r
r
que l'on peut l'écrire E p = mU
avec U = − k
M
+ cte'
r
( potentiel )
La relation entre g et U est donnée par: dU = − g dl
ou encore
g =−
dU
dl
c'est‐à‐dire g = − gradU
II. Champ et Potentiel créés par des charges électriques II.1. Charge ponctuelle unique Considérons une charge ponctuelle Q immobile, dans son voisinage, toute charge q subit une force : 6
F =k
Qq
u
r2
(loi de Coulomb ) Les charges peuvent être positives ou négatives. Deux charges positives (ou négatives) se repoussent, deux masses s'attirent, ce qui explique la différence de signe par rapport à la loi de Newton. Comme dans le cas du phénomène de gravitation, nous pouvons par similitude définir les grandeurs suivantes: Ò Force électrique: .
F
.
Qq
F =k 2 u r
q+
.
q-
F
.
q+
F
F
q-
F = qE Q>0
Q>0
Q<0
Q<0
Ò Champ électrique, Potentiel électrique: F
F
E
.
⎧V >0
q+ ⎨
⎩Ep >0
E
.
F
q-
.
E
⎧V >0
⎨
⎩Ep <0
q+
.
⎧V <0
⎨
⎩Ep <0
E
q-
⎧V <0
⎨
⎩Ep >0
F
Q>0
Q>0
Q<0
Q<0
E=k
Q
u
r2
F = qE
Q
V = k + cte
r
E p = qV
Remarque ‐
Le vecteur champ électrique E = k
Q
u est défini comme la force agissant r2
sur la charge unité placée en un point. 7
‐
Le potentiel électrique V = k
Q
+ cte est défini comme l'énergie d'une r
charge unité placée en un point. II.2. Cas de deux charges ponctuelles (Principe de superposition) Considérons le cas de deux charges ponctuelles fixes q1 et q2 agissant sur une troisième charge q. .
q2(-)
L'action conjuguée de q1 et q2 sur q u2
est la somme des actions de q1 et q2 F2
agissant séparément. F
.
F1
q(+)
F = F1 + F2 = k
q1 q
r1
2
u1 + k
q2 q
r2
2
.
.
q1(+)
u2
= q ( E1 + E 2 ) = q E
u1
Composition des forces q2(-)
Le champ E créé en un point M par
E2
deux charges ponctuelles est la somme des deux champs E1
.
E1
M
et E 2 créés par chacune des charges q1 et q2. E
.
q1(+)
Composition des champs Le potentiel en M se calcule en additionnant les potentiels créés en ce point par chacune des charges q1 et q2 : V=V1+ V2 Une charge q placée en M possède une énergie potentielle Ep=qV=q(V1+ V2) II.3. Généralisation Ò Cas de n charges ponctuelles q1, q2, q3, ……. qn n
Le champ se calcule par : E = ∑ k
i =1
n
Le potentiel est donné par : V = ∑ k
i =1
qi
ui ri 2
qi
+ cte ri
Ò Cas d'une distribution continue de charges réparties en surface ou en folume 3 cas d'une surface si σ =
dqi
(densité superficielle de charge), alors: ds
8
ds
ui ri 2
E = k ∫∫ σ
S
V = k ∫∫ σ
S
ds
+c
ri
3 cas d'un volume si ρ =
dqi
(densité volumique de charge), alors: dv
E = k ∫∫∫ ρ
dv
ui ri 2
V = k ∫∫∫ ρ
dv
+ cte ri
v
v
II.4. Passage du champ au potentiel et du potentiel au champ A chaque point de l'espace M(x, y, z) sont associés deux fonctions, l'une vectorielle et l'autre scalaire, qui permettent de décrire l'espace électrique: Le champ E = E ( x, y, z ) ; le potentiel V = V ( x, y , z ) On sait que: − dV = E dl = E x dx + E y dy + E z dz cela permet de calculer V à partir du champ E dV =
∂V
∂V
∂V
dx +
dy +
dz ∂x
∂y
∂z
Par identification: Ex = −
∂V
,
∂x
Ey = −
∂V
,
∂y
Ez = −
∂V
∂z
On écrit séparément: E = − grad V II.5. Exemple de calcul de champ et de potentiel électrique Ò Champ et potentiel créé circonférence uniformément électrisé Soit une charge q uniformément répartie, avec une densité linéiqueλ, sur une circonférence de centre O et de rayon a. Un élément dl de circonférence 9
dE =
λ dl
kdq
=k 2
2
r
x + y2
y
en raison de la symétrie sur oy dE
dEy
le champ total créé par la circonférence et E = E y = ∫ dE y = ∫ dE cos θ cos θ =
2πa
E=
(x
∫ (a
y
+y
2
)
2 1/ 2
k λ y dl
2
0
+y
)
2 3/ 2
r
O
=
k y λ 2πa
(a
2
+ y2 )
3/ 2
dl
a
on sait que q = λ 2π a E=
alors, (a
kq y
2
+ y2 )
3/ 2
⎛ ∂V
∂V
∂V ⎞
E = − grad V = −⎜⎜
i +
j +
k ⎟ ∂y
∂z ⎟⎠
⎝ ∂x
ou E = E y , une seule composante ⇒
Ey = E = −
V = −∫
dV
dy
⇒
V = ∫ dV = − ∫ E dy kay
y
dy = − k a ∫ 2
dy 2 3/ 2
(a + y )
(a + y 2 ) 3 / 2
2
⇒
V =
kq
+ cte
( a + y 2 )1 / 2
2
Ò Champ et potentiel créé par un disque circulaire uniformément électrisé Champ Un élément de surface dS, centré en P, porte charge: dq = σ ds dEy
M
Cet élément de surface créé au point M, situé sur l'axe, Un champ dE donné par: dE =
1 σ ds
4πε 0 r 2
dE
r
P
α
O
R
Ce champ est porté par PM, mais le champ total, par raison de symétrie, est porté par Oy. En conséquence: 10
x
E = ∫ dE y = ∫ dE cos α Soit une couronne circulaire comprise entre les cercles de rayon x et x+dx et portant la charge: dq = σ 2π x dx Cette charge constitue un champ: dE y = k
σ 2π x dx
r
2
cos α =
dE
dEy
M
1 σ 2π x dx y
4πε 0
r
r2
σy
x dx
dE y =
2
2ε 0 (x + y 2 )3 / 2
r
α
dx
x
O
On obtient E, en sommant dEy pour toutes les valeurs de x comprises entre O et R x=R
⎡ σy 2
1/ 2 ⎤
x dx
σyR
σ
E = ∫ dE y =
x + y2 ) ⎥
(
= ⎢−
=
3/ 2
∫
2
2
2ε 0 0 (x + y )
⎣ 2ε 0
⎦ x =0 2ε 0
0
R
⎛
y
⎜1 −
2
⎜ (R + y 2 )1 / 2
⎝
⎞
⎟ ⎟
⎠
Cas particulier 3 Si le point M est au centre du cercle: E =
σ
2ε 0
3 Si R → ∞, le disque devient un plan de dimension infinie et quelque soit la position de M, le champ et constant : E =
σ
2ε 0
Potentiel La couronne crée en M un potentiel : dV = k
x=R
C'est‐à‐dire : V = k
σ 2π x dx
∫ (x
x =0
2
+y
)
2 1/ 2
=
dq
r
[
1/ 2
σ
(
x2 + y2 )
2ε 0
]
x=R
x =0
=
[
]
1/ 2
σ
(
R2 + y2 ) − y 2ε 0
Il est possible d'en déduire le champ par: E=−
σ
dV
=
dy 2ε 0
⎛
y
⎜1 −
⎜ (R 2 + y 2 )1 / 2
⎝
⎞
⎟ ⎟
⎠
11
III. Dipôle électrique III.1. Définition Il est constitué par l'arrangement de deux charges ponctuelles égales de signes différents. p
Le moment électrique dipolaire est défini par: p = q a a
+q
-q
Cette étude particulière est justifiée, car on rencontre ce cas de figure dans certaines molécules (Ex: HCl, H2O, CO, etc…………) +
H
+
H
Cl
p
+
-
-
C
O
O
p1
p = p1 + p 2
p2
p
H
+
Moment dipolaire de certaines molécules polaires Molécule p (C.m) HCl 3,43 10‐30
HBr 2,60 10‐30 HI 1,26 10‐30 CO 0,40 10‐30 H2O 6,2 10‐30 H2S 5,3 10‐30 SO2 5,3 10‐30 NH3 5,0 10‐30 C2H5OH 3,6 10‐30 12
.
III. Potentiel et Champ créés par un dipôle à grande distance M
Le potentiel au point M dû au dipôle s'écrit: ⎛r −r ⎞
⎛q q⎞
V = k ⎜⎜ − ⎟⎟ = kq⎜⎜ 2 1 ⎟⎟ ⎝ r1 r2 ⎠
⎝ r1 r2 ⎠
r2
r
Si la distance r est grande par rapport à a, r1
on peut écrire: r2-r1
r2 − r1 ≈ a cosθ et r1 r2 ≈ r 2 θ
et l'on aura: V = kq
-q
a cos θ
cos θ
cos θ
= k qa
=kp
2
2
r
r
r2
+q
a
( p = qa ) Le champ est donné par: dV = − E dl On fera les calculs en coordonnées polaires. A prendre en considération que le gradient d'une fonction f s'exprime par: En coordonnées cartésiennes: grad f =
E
∂f
∂f
∂f
i +
j + k
∂y
∂z
∂x
.
M
En coordonnées polaires: grad f =
∂f
1 ∂f
∂f
eθ +
k
er +
θ ∂r
∂z
∂r
Il vient θ
-q
+q
⎧E
⎧ dl = dr
E ⎨ r dl ⎨ r
⎩ Eθ
⎩dlθ = rdθ
dV = − E dl
⇒
⎧dV = −( E r dr + Eθ r dθ )
⎪⎪
⎨
V
V
∂
∂
⎪ dV =
dr +
dθ
⎪⎩
∂r
∂θ
13
Par identification, on aura: ∂V
⎧
⎪ E r = − ∂r
⎪
⎨
⎪
1 ∂V
⎪ Eθ = −
r ∂θ
⎩
V =kp
cos θ
r2
∂V 2k p cos θ
⎧
⎪ E r = − ∂r =
r3
⎪
⎨
⎪
1 ∂V k p sin θ
=
⎪ Eθ = −
r ∂θ
r3
⎩
⇒
Positions particulières: .
M1
E = Eθ =
2k p
r3
(θ = π 2)
+q
-q
.
M2
E = Er =
2k p
r3
(θ = 0)
IV. Flux du champ électrique: Théorème de Gauss IV.1. Représentation d'une surface dS
dS'
On décompose (S) en élément dS très petits; chaque élément dS est représenté par un vecteur dS : S
‐
appliqué sur dS ‐
de grandeur dS ‐
dirigé selon la normale au plan dS ‐
sur une direction arbitraire qui sera conservée pour tous les éléments de S. Ainsi : S = ∫∫ dS IV.2. Angle solide 3 Angle dans le plan ∩
a'
ab : longueur de l'arc ∩
α=
a
∩
ab a ' b'
=
est indépendant de r r
r'
au maximum : α =
r'
r
O
b
b'
2π r
= 2π r
[α ] = radian : rad 14
3 Angle solide Par analogie avec ce qui précède, on définit l'angle solide Ω comme ayant pour mesure la surface S interprétée sur la sphère de rayon unité. [Ω] = stéradian : st Ω=
u
S u S cos α
=
r2
r2
α
S
Pour une surface d'orientation normale: Ω=
S
r2
(α = 0) Cette définition conduit au résultat suivant : S 4π r 2
= 4 π st ‐ pour tout l'espace : Ω = 2 =
r
r2
‐ Une calotte sphérique de centre O de rayon r a une surface telle que : Ωr ‐ Si l’angle solide est petit : Ωr ‐ Soit ∑ une surface s’appuyant, autour de M, sur le même angle solide Ω , et dont le plan fait un angle θ avec celui de dS, on a ∑
Ω
θ
∑
θ
IV. 3. Flux du vecteur champ électrostatique dS
E
dS
E'
S
‐
On appelle flux de E à travers dS, élément de S, la quantité scalaire positive ou négative : ‐
Φ
E · dS Le flux total de E à travers S est l’intégrale sur toute la surface : Φ
dΦ
E · dS Remarque Dans le cas général, E varie d’une surface élémentaire à l’autre. 15
IV. 4. Théorème de Gauss Le flux du champ électrique à travers une surface fermée entourant des charges qi est : E · dS
∑
∑
: représente la somme algébrique des charges intérieures. IV. Applications Exercice 01 Calculer le champ électrique E créé par une charge ponctuelle q en un point distant de r par rapport à celle‐ci. Exercice 02 Etudier le champ électrique créé par une charge distribuée uniformément sur un plan infini. σ est la densité superficielle de cette charge. Exercice 03 Etudier le champ électrique créé par une distribution sphérique de charges. On prendra en considération le cas d’une sphère de rayon a et de charge totale Q. la distribution de charge est soit superficielle (σ=cte) ou volumique (ρ=cte). Exercice 04 On définit trois sphères concentriques de rayons « a », « b » et « c », tels que a<b<c. La sphère de rayon « a » est chargée en surface avec une répartition surfacique constante « σ ». Le volume compris entre les sphères de rayons « b » et « c » est chargé en volume avec une répartition volumique constante « ρ ». 1. Calculer le champ électrique « E » créé en tout point de l’espace en fonction du rayon « r » (r variant de 0 à l’infini) 2. Tracer l’allure de « E » en fonction de r. Rq : on prendra ρ =
3σ a 2
b3
pour tout l’exercice. c
b
a
r
0
ρ
σ
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e Magnétis
isme
C
hap
apitre III
Cond
ducteurs électriiques
s
I. C
Conducteurss en équilib
bre électrosstatique I.1. Définition ‐ Un U conducteeur est un corps à l’intérieur duquel les charges c
librres peuven
nt se dép
placer. ‐ Un conducteeur est dit en équilib
bre électrostatique si toutes ses charges sont mobiles ; c'eest‐à‐dire qu
ue les chargges intérieures ne sont soumises àà aucune force. imm
I.2. Propriétés des conduccteurs en éq
quilibre a‐ Le champ électrique esst nul à l’inttérieur d’un
n conducteu
ur en équilibre Si E E n’était pas nul, chaq
que charge libre seraitt soumise à à une forcee
, et e se dép
placerait : lee conducteu
ur ne serait plus en équ
uilibre. 17
Pour la même raison, le champ à la surface du conducteur doit être perpendiculaire à cette surface, car s’il y avait une composante parallèle, les charges libres migreraient sur la surface du conducteur. b‐ Le conducteur en équilibre constitue un volume équipotentiel En effet, la différence de potentiel (ddp) entre deux points quelconques M et M’ est définie par ·
, or E=0 pour un conducteur en équilibre ⇒ V=cte. Comme le potentiel est le même en tous les points du conducteur, la surface externe est une surface équipotentielle. On retrouve bien que le champ est normal à cette surface. c‐ La charge est nulle en toute région interne au conducteur. La charge est localisée en surface Le champ E est nul en tout point M intérieur au conducteur, le flux Φ
·
est donc nul à travers toute surface fermée intérieure au conducteur et entourant M. D’après le théorème de Gauss, la charge intérieure à cette surface est nulle. Les charges se répartissent donc uniquement sur la surface du conducteur (en réalité une surface occupant une épaisseur de quelques couches d’atomes). Remarque Les mêmes résultats sont encore valables pour un conducteur creux. Le champ est nul dans le conducteur et la cavité qui constitue un même volume équipotentiel. Les charges sont localisées à la surface externe du conducteur. σ E=0 V=k E=0 V=k σ=0 d‐ Relation entre le champ au voisinage immédiat d’un conducteur et la charge électrique superficielle Le flux électrique se compose de 3 termes : ‐
Flux à travers la surface latérale (nul) ( ‐
Flux à travers la base intérieure (nul) (E=0) ) 18
E=0
Conducteur
Seule subsiste le flux à travers la base extérieure : Φ
‐
·
Par ailleurs, si σ est la densité superficielle de charge, la charge contenue dans le cylindre est : En appliquant le théorème de Gauss : σ
2
0
0
Intérieur
Extérieur
Couche superficielle
e‐ Pression électrostatique Les charges à la surface d’un conducteur sont soumises à des forces répulsives de la part des autres charges. La force exercée par unité de surface, ou pression électrostatique, peut se calculer en multipliant le champ électrique moyen sur la surface du conducteur par la charge par unité de surface. Le champ électrique moyen est d’après ce qui précède : La pression électrostatique vaut : I. 3. Capacité propre d’un condensateur seul dans l’espace Sur un conducteur isolé dans l’espace, déposons une charge q : il en résulte en tout point de l’espace une charge q’=αq, on aura en tout point de l’espace, un champ α , puisque E et q sont proportionnels et ceci est vrai en particulier sur le conducteur dont le potentiel est V. On écrit ceci sous la forme : 19
Q=C V La constante de proportionnalité C est appelée capacité propre du condecteur isolé : =Farad Le farad est une unité très grande, on utilise des sous multiples : 3 le microfarad : 10‐6 F (µF) 3 le nanofarad : 10‐9 F (nF) 3 le picofarad : 10‐12 F (pF) Exemple Calcul de la capacité propre d’un conducteur sphérique. Soit une sphère de rayon R. En un point quelconque situé à une distance r du centre, le potentiel est donné par : Sur la surface de la sphère (r=R), πε
4πε
d’où Ordre de grandeur ‐
La capacité de la terre (R=6400Km) est c=710 µ F ‐
Une sphère de 10 cm de rayon, portée à un potentiel de 1000 V par rapport au sol, emmagasine une charge de 10 nC (sa capacité étant de 10 pF) I.4. Energie interne d’un conducteur chargé seul dans l’espace Soit C la capacité propre du condensateur, Q sa charge et V son potentiel dans un état d’équilibre donné. ‐
L’énergie interne est mesurée par le travail qu’il faut fournir pour charger le conducteur ‐
Ou bien par le travail des forces électrostatiques mis en jeu au cours de la décharge du conducteur ‐
Ou encore, elle représente la somme des variations d’énergie potentielle subies par toutes les charges au cours de la charge du conducteur. Partant de l’énergie ;
Il s’ensuit donc que : potentielle élémentaire donnée (Cette énergie est positive >0) 20
II. Condensateurs Un condensateur B de capacité C est maintenu à un potentiel constant V (V>0 par exemple). Il porte, donc, une charge Q, telle que Q=C v + +
B
+ + +
+
+ +
V
Approchons de B un conducteur A maintenu à un potentiel constant (0 par exemple). B influence A sur le quel apparaissent des charges négatives. Ces charges <0 influencent à leurs tour le conducteur B sur lequel de nouvelles B
charges >0 apparaissent. b
+ + ++
+ +
+
+ + ++
.
A
--
---
.a
Il n’y a pas eu, proprement parlé, créations de charges sur B, c’est le générateur qui en a assuré le transport. Ainsi, à l’équilibre, du fait de la présence de A, le conducteur B porte plus de charge que lorsqu’il était seul. Il y a eu condensation de l’électricité sur B et sa capacité a augmenté. On obtient donc un condensateur (formé des condensateurs A et B), représenté schématiquement par : .b
.a
En pratique, on réalise un condensateur en utilisant 2 conducteurs en influence totale. Les charges Qa et Qb sont égales et de signe contraire. |
|
|
|
charge du condensateur (A)
(B)
Q+
Q-
Si V est la différence de potentiel entre A et B, on peut montrer que Q=C V (Capacité du condensateur) 21
II. 1. Calcul de la capacité d’un condensateur Méthode ‐ Calculer le champ en tout point intérieur au condensateur ‐ Déduire, par circulation du champ, la différence de potentiel entre les condensateurs ‐ Effectuer le rapport Exemples a. Condensateur plan Il est constitué théoriquement de deux conducteurs dont les faces en regard sont des plans parallèles indéfinis en influence total. En pratique, il suffira que l’épaisseur e, soit petite par rapport à la dimension des plaques σ
ε
2 (théorème de Gauss, surface ∑) + + + + + + + + + + + +
∑
σ
ε
- - - - - - - - - - - -
2 ε
2 σ
0
e
x
b. Condensateur cylindrique Il est composé de deux cylindres coaxiaux, rayons R1 et R2 avec R2>R1. R2
∑ est la surface de gauss, R1
∑ est un cylindre de rayon r avec R1<r<R2 Théorème de gauss : φ
φ
·
φ
φ
φ , φ : flux dans la surface de base φ
φ
: flux dans la surface latérale ·
2
r
L
V
Surface
de gauss : ∑
22
La capacité est donnée par D’autre part, on sait que R2‐R1=e, puisque e est très faible, on peut admettre que R2≈R1=R. Il vient : 1
Etant donné que 1
=
,
et 1
S=2
: la surface de l’armature, il vient Remarque Deux conducteurs en influence (condensateur) ont une capacité plus grande qu’un conducteur de surface équivalente. L’exemple suivant prouve cette affirmation : Cas b
Cas a
rb
qb
Q+
rb
Qra
B
V
V
A
Cas (a) Une sphère de rayon rb, portée à un potenetiel V par rapport au sol, porte une charge : 4
4
23
Cas (b) Condensateur sphérique (rb<r<ra) V, pris identique au cas (a), est donné par : Ainsi, avec un même générateur de tension, la charge Q emmagasinée sur le condensateur est supérieur à celle de la sphère B seule et ceci d’autant plus que les conducteurs A et B sont plus rapprochés. II.3. Energie électrique d’un condensateur Elle se calcule de la même manière que dans le cas des conducteurs II.4. Associations de condensateurs II.4.1. Association en parallèle Tous les condensateurs sont soumis à la même ddp :V, ils portent alors les charges Q1=C1V, Q2=C2V, ……….. Qn=CnV ∑
=∑
, tout se passe comme si on avait un seul condensateur de capacité ∑
et qui emmagasinerait une charge é
∑
é
∑
Va
Va
C1
Q2
Q1
Céq
Cn
C2
Qn
II.4.1. Association en série Vb
Vb
Il apparait sur chaque condensateur une charge Q et par suite, on peut écrire Q=C1V1 ⇒ V1=Q/C1 Q=C2V2 ⇒ V2=Q/C2 . 24
. . . . A
Q- Q+
Q+
C1
Q=CnVn ⇒ Vn=Q/Cn Q- Q+
C2
V= V1+ V2+…………. Vn Q-
Q+
B
Cn
C3
V
= Q (1/ C1+1/ C2+…………………….1/ Cn) = Q/Céq Et par suite : é
A
Q-
Q+
B
Céq
V
III. Application Exercice Un condensateur plan a des armatures de surface « S » et distance « e ». On applique entre les deux plaques une différence de potentiel V0=500 V. en intercalant entre les deux plaques une lame d’un diélectrique de permittivité εr, la ddp passe à V1=100 V. 1. Calculer la capacité du condensateur après introduction du diélectrique puis en déduire la valeur de εr. 2. Déterminer la charge qi induite sur chacune des faces du diélectrique. On donne : S=400 cm2 et e=5 mm. 25
FACULTÉ DES
SCIENCES
DE L’INGÉNIEUR
L INGÉNIEUR
SE
ECTION TR
RON COMM
MUN LMD
IÈRE
LM : 1 AN
LMD
NNÉE
Cours Phy
ysique 2 : Electricité et Magnétiisme
C
haapitre IV
Electro
ocinéttique, cond
duction
éle
ectriq
que
n au couran
nt électriqu
ue I. Introduction
I.1. Rupture d’’un équilibrre électrosttatique, cou
urant électrrique Soieent deux co
onducteurs A et B en éq
quilibre électrostatique. Soieent Va et Vb leurs potentiels Va
(Va>V
> b ) Qa et Q
Qb leurs chaarges. A
Déplacemeent des charges
Vb
B
Si o
on relie les cconducteurrs A et B à l’’aide d’un ffil conducteur, l’ensem
mble A, B et le fil con
nstitue un conducteur
c
r unique, pour p
lequel l’état préccédent n’esst plus en état d’équilibre. 26
Sous l’influence du champ électrostatique qui règne dans le fil, les charges se mettent en mouvement. Il y’a donc apparition d’un courant électrique qui cesse de circuler (s’annule) une fois l’équilibre est atteint. I. 2. Obtention d’un régime permanent Pour entretenir ce mouvement des charges, on apporte continuellement des charges sur l’un des conducteurs, ceci est possible grâce à l’emploi de générateur. A
B
+ G
-
+ -
I.3. propriétés principales du courant électrique Le passage du courant électrique se traduit principalement par les effets physiques suivants 2 Effet joule (Chaleur) 2 Effet chimique (Electrolyse) 2 Effet Magnétique (Déviation d’une aiguille aimentée) 2 etc ………. La plupart de ces effets dépendent de la manière dont on a branché le générateur car le courant électrique a un sens. Sens conventionnel du courant électrique Le sens conventionnel du courant + vers – à l’extérieur du générateur ‐ vers + à l’intérieur du générateur II. Vecteur densité de courant II. 1. Définitions 2 On appelle ligne de courant, la trajectoire orientée des charges positives en mouvement (fictif en général). 2 On appelle tube de courant, l’ensemble de ces lignes s’appuyant sur un contour fermé quelconque. 27
2 En chaque point M d’un milieu où se déplacent des charges électriques, on peut introduire un vecteur (appelé vecteur densité de courant) défini par : ρ Ligne
: vitesse de déplacement des charges ρ : densité volumique de charge dS
Tube
II. 2. Intensité du courant électrique On considère un tube de courant, de section droite dS, à travers laquelle circule un courant électrique de vecteur densité de courant ρ . On peut évaluer la charge dq qui traverse la surface dS pendant le temps dt. ρ
Si l’on considère maintenant une surface donné S, la charge dQ qui la traverse pendant l’intervalle de temps dt s’obtient par : I : est l’intensité du courant à travers la surface S. III. Loi d’Ohm, Loi de Joule III. 1. Expression de la loi d’Ohm La loi d’Ohm s’exprime de la façon suivante : γ
(ou encore V=R I) : Densité de courant ; : Champ électrique ; γ : Conductivité. γ
r : résistivité (notée souvent ρ) Calcul de la résistance d’un conducteur : exemple d’un conducteur cylindrique homogène dV
V
A
B
γ
S
Partant de la loi d’Ohm, on peut écrire : γ
γ
γ
L
γ
28
ρ d’où (V=R.I) =Ohm (Ω) III.2. Association des résistances .
Association en série ρ
ou encore γ
I
R1
R2
Rn
R3
.
V
∑
..
.
é
∑
é
Association en parallèle . . . . .
Or ,
,
.. . . . .
. . . .
. . . .
é
1
é
1
.
I1
R1
I2
R2
In
.
.
.
.
.
Rn
V
IV. Loi de Joule Energie w=R I2 t (Joule) Puissance P=R I2=V I= V2/R (Watt) V. Circuits électriques Un circuit électrique est constitué principalement par une association série ou parallèle de composants suivants : 2 Composants passifs : (résistances, bobines, condensateurs, etc………) 2 Composants actifs : (diodes, circuits intégrés, etc ….) 2 Des forces électromotrices fem (ou générateurs continus ou alternatifs) 2 Des forces contre électromotrices fcem (moteurs, etc..) 29
V.1. Force électromotrice et générateur C’est un dispositif capable de délivrer un courant dans le circuit extérieur sous une tension généralement continue. In existe plusieurs types de générateur : ‐
Générateur électrostatique ‐
Générateur électrochimique (pile) Quelque soit le type de générateur, il présente à ses bornes une fem ou ddp qui s’exprime en volt. Schéma équivalent d’une pile On peut représenter un générateur par un circuit équivalent constitué d’une fem en .
série avec une résistance r, appelée résistance interne du générateur. A
E
E : fem A
B
r : résistance interne r
+
.
B
Lorsqu’on branche aux bornes du générateur une résistance R, il débitera un .
I
courant I. E
R
r
.
Association des générateurs E1
E3
E2
A
B
En
E
r1
∑
r3
r2
rn
r
∑ et V.2. force contre électromotrice d’un récepteur Les récepteurs sont des appareils qui ont pour but de transformer l’énergie électrique en une autre forme d’énergie (moteur, accumulateur en charge…….). On ne peut réaliser cette opération sans perte d’énergie par effet joule dans le récepteur de résistance r. .
r
A
I
+
e -
.
B
e : fcem
30
V.3. Loi d’Ohm appliquée à un circuit fermé Soit un circuit fermé comprenant des générateurs ∑
des résistances ∑
, des récepteurs ∑
et . On peut écrire, selon le contour fermé du circuit : ∑
∑
∑
0 V.4. Application de la loi d’Ohm à une portion de circuit Un circuit fermé (ou une branche de circuit) est parcouru par un courant I. considérons une portion de circuit AB parcourue par le courant I de A vers B. si AB comporte un générateur et une résistance, une ddp existe entre A et B. ‐
Générateur E
E
A
B
I
B
A I
VA-VB= -E
‐
Résistance A
VA-VB= E
R
I B
VA-VB= R I
‐
Récepteur par de fcem « e » A
e
B
VA-VB= e
V.5. Généralisation de la loi d’Ohm : Loi de KIRCHOFF Définitions : considérons un réseau constitué de générateurs, de récepteurs et de résistances mortes. 2 On appelle Nœud tout point où aboutissent plus de deux conducteurs reliant les éléments entre eux ; 31
2 On appelle Branche, l’ensemble des éléments situés entre deux nœuds consécutifs ; 2 On appelle Maille, tout contour fermé, formé d’une suite de branches. Lois de Kirchoff 2 Loi des Nœuds : ∑
0 ∑
2 Loi des Mailles : ∑
0 V.6. Application à un réseau (mise en équation) On définit arbitrairement un sens pour les courants dans chaque branche du réseau. Puis on écrit les lois des mailles et loi des nœuds. Loi des mailles (exemple) = = B
E
R1
r2
I1
R4
I4
I2
A
I3
E
Loi des nœuds (exemple) 0 E
r3
C
D
I1
I2
I3
B
Règles E
r2
R1
I1
I4
I2
Loi des mailles I3
2 On définit un sens arbitraire des courants A
R4
D
r3
C
E
E
2 On définit un sens arbitraire des parcours 2 Pour les fem, on attribue le signe par lequel on rentre 2 Pour les chutes de tension RI, on attribue un signe + si le sens de parcours coïncide avec le sens des courants, un signe – si le sens de parcours est différent du sens du courant ∑
∑
0
0 Identique à celle trouvée auparavant 32
Loi des Nœuds 2 ∑
2 On choisit comme signe + pour les courants entrant, 2 on choisit comme signe – pour les courants sortant. Application des lois de Kirchoff On se propose de calculer la grandeur et le sens du courant ig dans le galvanomètre G, de résistance Rg, pour des valeurs données de E1, E2, R1, R2 et Rg du circuit suivant : E1
i1
ig
B
i1
i2
C
C
B
maille (1)
R2
R1
maille (2)
B
E2
C
Rg
B
maille (3)
C
Loi des nœuds 0 Nœud (B) : Loi des mailles Maille (1) : 0 Maille (2) : 0 0 Maille (3) : On obtient alors le système d’équations, suivant, à résoudre : (1) (2) (3) (1) (2) 0 4
0
33
Il vient : Si le numérateur s’avère positif, le courant dans le galvanomètre a pour sens celui choisi arbitrairement, dans le cas contraire, il circule en sens inverse. VI. Théorèmes généraux dans l’analyse des circuits VI.1. Théorème de superposition Une source quelconque d’énergie peut être considérée séparément des autres quant à son effet sur les grandeurs en jeu dans le circuit. La combinaison de tous les effets individuels donne l’effet total. La marche à suivre comprend six opérations 1. choisir une source d’énergie 2. retirer toutes les autres sources selon la règle : a. les sources de tension sont court‐circuitées b. les sources de courant sont ouvertes 3. garder dans le circuit les résistances internes des sources enlevées 4. déterminer le courant dans chaque élément, ou la tension entre les bornes de chacun d’eux. Indiquer les directions et les polarités 5. répéter les opérations de 1 à 4 pour chaque source 6. additionner algébriquement les résultats partiels Exemple Quels sont les courants dans le circuit suivant : I1
E1=10V et E2=20V R1
R2
I2
R3
E1
E2
I3
R1=1,2 KΩ, R2=1,8 KΩ et R3=2,7 KΩ Solution Choisir une source E1 et éteindre la source E2, cela correspond au circuit suivant : I’1
R1
R2
I’2
R3
E1
I’3
34
.
.
4,386
4,386
,
,
,
,
4,386 10
.
,
,
,
2,632
,
2,632
1,754
Choisir la source E2 et reprendre le circuit avec E1 éteinte, cela correspond au circuit suivant : R1
I’’1
I’’2
R2
R3
E2
I’’3
Calcul des courants dus à E2 .
,
,
7,602
,
,
,
.
7,602 10
.
7,602
,
,
,
5,263
2,339
5,263
Le courant, du aux deux sources (E1 et E2), sera : .
4,386
5,263
9,649
.
2,632
7,602
10,23
.
2,339
1,754
0,585
↑ VI.2. Théorème de Thévenin Le théorème de Thévenin établit que le courant dans toute résistance R branchée entre les deux bornes d’un réseau est le même que si R était branchée à une source de tension où : 1. la fem est la tension à vide entre les bornes de R 2. la résistance interne est la résistance du réseau entre les bornes de R, avec toutes les autres sources remplacées par des résistances égales à leurs résistances internes. Résistance de thévenin
Circuit équivalent de thévenin Rth
A
Réseau avec générateurs et résistances R
B
A
Eth
Générateur de thévenin
R
B
35
Exemple Appliquer le théorème de thévenin au circuit suivant .
A
R1
R3
E1
R2
.
2 Détermination de Eth RL
B
1. débrancher RL 2. Déterminer la tension entre A et B R1
.
A
R2
Eth
R3
E1
.
B
2 Détermination de Rth 1. débrancher RL 2. Eteindre la source E 3. Déterminer la résistance entre les deux bornes A et B .
A
R1
R2
Rth
R3
.
B
Le circuit équivalent de thevenin apparait comme suit : Rth
IL
A
RL
Eth
B
VI.3. Théorème de Norton A
A
Réseau avec générateurs GAB
et résistances B
IN
GAB
GN
B
36
Le circuit de Norton est tel que : I : courant de norton, est le courant du court‐circuit entre les bornes AB, courant équivalent entre AB si ces points étaient reliés par un conducteur parfait. G : conductance de norton, est la conductance entre les bornes A et B avec ces bornes ouvertes (élément GAB débranché), toutes les sources étant éteinte. Exemple Donner le circuit équivalent de Norton du circuit suivant : G3
I
A
G1
GL (charge)
G2
a. Courant de Norton IN B
Pour obtenir ce courant, on procède de la façon suivante ‐
Court‐circuiter GL ‐
Déterminer le courant dans court‐circuit G3
G3
A
I
G1
I
G2
G1
IN
B
b. Conductance de Norton Pour obtenir la conductance de Norton GN, on suit les étapes suivantes : ‐
Débrancher GL entre A et B ‐
Eteindre la source I ‐
Déterminer la conductance entre les bornes A et B G3
A
G1
GN
G2
B
37
‐
Le circuit équivalent de Norton est donné par : A
IN
GL
GN
B
VI.4. Transformations T ↔ π, Etoile ↔ Triangle a. Réseau en T, π (étoile, triangle) 2
1
1
2
3
3
3
Réseau en étoile ou en Y Réseau en T 1
1
2
3
3
2
3
Réseau en triangle ou en ∆ Réseau en π b. Equivalence 2
1
R1
B
A
RC
R2
RB
R3
RA
3
C
38
Les conditions d’équivalence sont : Résistance entre 1 et 2 = Résistance entre A et B Résistance entre 2 et 3 = Résistance entre B et C Résistance entre 3 et 1 = Résistance entre C et A On obtient : (1) (2) (3) (4) c. Transformation en de π en T En faisant (1) + (2) + (3), on aura : 2
(4)‐(2) (5) (4)‐(3) (6) (4)‐(1) (7) d. Transformation en de T en π A partir des relations (5), (6) et (7) on peut avoir, Exemples a. Transformer le réseau en π en réseau en T R1
RC=18 kΩ
R2
RB=12 kΩ
RA=56 kΩ
R3
39
b. Transformer le réseau en T en son équivalent en π R1=33Ω
RC
R=47Ω
RB
RA
R=68Ω
VII. Charge et décharge d’un condensateur R
A
C
E
2
1
B
VIII. 1. Charge d’un condensateur Initialement, on suppose que la ddp aux bornes du condensateur est nulle de même que sa charge ‐
A t=0, on ferme l’interrupteur (position 1) R
A
i
i
VC
C
E
B
Appliquons au circuit la loi d’ohm à un instant quelconque : E=R i + VC Avec Donc 40
C’est une équation différentielle du premier ordre à variables séparées qu’on peut résoudre en tenant compte des conditions initiales : t=0 q= 0 t=∞ q=Q0=CE solution : 1
Il vient Donc ln
Or à t=0, q=0 ln
ln
ln
ln
1
q
τ
Q0=CE
τ = RC : constante de temps
t
Courbe de la charge du condensateur 41
VII. 2. Décharge d’un condensateur Interrupteur en position 2 R
A
i
i
VC
C
B
On considère qu’à t=0, VC=V0=E et Q0=CV0=CE R i + Vc=0 0
ln
Il vient k : constante Or à t=0 q=Q0=CV0=CE, On obtient donc d’où t
VIII. Application Exercice Soit le circuit la figure ci‐dessous. L’interrupteur K est initialement en position 0 et le condensateur C initialement déchargé. On donne E=6 V, E’=3 V, R=r=r’=500 Ω et C=1µF. 42
R
K
r
r’
E
C
E’
1. A l’instant t=0, on met l’interrupteur K en position 1. a. Quelle est l’équation différentielle donnant la ddp VC aux bornes du condensateur. b. Quelle est la constante de temps τ du circuit ? c. Donner l’expression de VC en fonction du temps. d. Calculer VC pour t=0, τ, 2τ, 3τ, 4τ et 5τ. e. Représenter l’allure de la tension VC(t). 2. En réalité, à l’instant t1=2τ, on met l’interrupteur K en position 2. a. Quelle est l’équation différentielle donnant la ddp VC aux bornes du condensateur ? b. Quelle est la nouvelle constante de temps τ’ du circuit ? c. Donner l’expression de VC en fonction du temps. d. Calculer VC pour (t‐t1)=0, τ’, 2τ’, 3τ’, 4τ’ et 5 τ’. e. Représenter la variation de VC au cours du temps sur le même graphe qu’en 1‐e. f. Dans quel sens circule le courant ? 43