Problème d`optimisation

Module d’Algorithmique Avancée
Année 2006-2007
Eléments de NP-Complétude
Safia Kedad-Sidhoum
[email protected]
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Introduction
Algorithmes efficaces : nombre d’étapes qui croît de façon
polynomiale par rapport à la taille de l’entrée
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Introduction
Algorithmes efficaces : nombre d’étapes qui croît de façon
polynomiale par rapport à la taille de l’entrée
Problèmes NP-complets : Voyageur de commerce
(Traveling Salesman Problem)
Aucun problème NP-complet ne peut être résolu par un
algorithme polynomial,
Sil existe un algorithme polynomial pour un problème
NP-complet alors il existe un algorithme polynomial
pour tout problème NP-complet.
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Introduction
Conjecture P!=NP
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Introduction
Conjecture P!=NP
Problèmes polynomiaux : algorithmes exacts
Problèmes NP-complets : approches alternatives
(algorithmes d’approximation, heuristiques...)
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Problème d’optimisation
Prolème d’optimisation : ensemble d’instances I
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Problème d’optimisation
Prolème d’optimisation : ensemble d’instances I
Instance : (F, c)
F- ensemble des solutions réalisables,
c- fonction coût de Fdans R.
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Problème d’optimisation
hypothèses :Fet csont donnés implicitement par deux
algorithmes AFet Ac
AF- permet de répondre à f∈F,Fétant caractérisé
par un ensemble de paramètres S,
Ac- retourne la valeur de c(f)en fonction d’un
ensemble de paramètres Q.
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Problème d’optimisation
hypothèses :Fet csont donnés implicitement par deux
algorithmes AFet Ac
AF- permet de répondre à f∈F,Fétant caractérisé
par un ensemble de paramètres S,
Ac- retourne la valeur de c(f)en fonction d’un
ensemble de paramètres Q.
Instance : représentation des ensembles de paramètres
(S, Q)
(cf. modèles de calcul)
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Problème d’optimisation : Exemples
Problème du voyageur de commerce : visiter un ensemble
de nvilles exactement une fois
S- entier n,
Q- matrice de distances dij de taille (n×n).
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Problème d’optimisation : Exemples
Problème du voyageur de commerce : visiter un ensemble
de nvilles exactement une fois
S- entier n,
Q- matrice de distances dij de taille (n×n).
Instance :
AF- vérifie si le tour fest une permutation de
l’ensemble {1,2,· · · , n},
Ac- calcule le coût c(f)en sommant toutes les
distances des arêtes qui constituent le tour f.
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Problème d’optimisation : Exemples
Problème de la clique maximale : Etant donné un graphe
G= (S, A), déterminer le plus grand ensemble C⊆Stel
que pour tout élément a, b ∈C,{a, b}∈A.
S- graphe G,
Q- vide
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Problème d’optimisation : Exemples
Problème de la clique maximale : Etant donné un graphe
G= (S, A), déterminer le plus grand ensemble C⊆Stel
que pour tout élément a, b ∈C,{a, b}∈A.
S- graphe G,
Q- vide
Instance :
AF- vérifie si fest une clique de G(sous-graphe
complet),
Ac- calcule le cardinal de f.
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Problème d’optimisation
combinatoire
Problème d’optimisation combinatoire : Etant donnée une
représentation des ensembles de paramètres Set Qpour
les algorithmes AFet Ac, il s’agit de trouver la solution
réalisable optimale.
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Problème d’optimisation
combinatoire
Problème d’optimisation combinatoire : Etant donnée une
représentation des ensembles de paramètres Set Qpour
les algorithmes AFet Ac, il s’agit de trouver la solution
réalisable optimale.
Formes relaxées :
Problème d’évaluation - Etant donnés Set Q, trouver
le coût de la solution optimale,
(si Acest polynomial alors le problème d’évaluation
n’est pas plus difficile que le problème d’optimisation)
Problème de reconnaissance - Etant donnés une
instance (représentation de Set Q) et un entier L,
existe-t-il une solution réalisable f∈Ftel que
c(f)≤L? (problème de minimisation)
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Evaluation vs. Optimisation :
Exemple
Problème de la clique maximale : on dispose de la
procédure cliquesize qui permet d’évaluer le cardinal de la
clique maximale d’un graphe G.
On s’intéresse à la résolution du problème d’optimisation.
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Evaluation vs. Optimisation :
Exemple
Problème de la clique maximale : on dispose de la
procédure cliquesize qui permet d’évaluer le cardinal de la
clique maximale d’un graphe G.
On s’intéresse à la résolution du problème d’optimisation.
(Procédure récursive maxclique)
procédure maxclique(G:graphe)
Si Gne possède plus de sommets alors
retourner ∅
Sinon
Soit sun sommet tel que cliquesize(G(s)) = cliquesize(G)
–G(s)est le sous-graphe de Gconstitué de set de tous ses voisins
retourner {s}∪maxclique(G(s)\s)
Fin Si
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Evaluation vs. Optimisation :
Complexité
Soit C(n)la complexité de cliquesize
Soit T(n)la complexité de maxclique
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Evaluation vs. Optimisation :
Complexité
Soit C(n)la complexité de cliquesize
Soit T(n)la complexité de maxclique
On a :
T(0) = O(1)
T(n)≤(n+ 1)C(n) + T(n−1) + O(n)
Ainsi, T(n) = O(n2×C(n))
Si la complexité de cliquesize est bornée par une fonction
polynomiale alors maxclique le sera également (ce n’est
pas le cas !).
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Classes Pet NP
Problèmes de reconnaisance « archétypes »
Arrêt : Etant donné un algorithme et son entrée,
est-ce qu’il s’arrête ?
Satisfiabilité : Etant donnée une formule booléenne,
est-elle satisfiable ?
Circuit Hamiltonien : Etant donné un graphe, existe-t-il
un circuit passant exactement une fois par tous les
sommets du graphe ?
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