Radicaux des algèbres de Lie

Séminaire "Sophus Lie"
P. C ARTIER
Radicaux des algèbres de Lie
Séminaire "Sophus Lie", tome 1 (1954-1955), exp. no 7 bis, p. 10-15
<http://www.numdam.org/item?id=SSL_1954-1955__1__A11_0>
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7-10
Séminaire "Sophus LIE"
E.N.S., 1954/55
Exposé
7 Bis
RADICAUX DES ALGÈBRES DE LIE
algèbres associatives.
1.- Radicaux des
rappeler tout d’abord quelques définitions et résultats pas
toujours classiqucs sur les radicaux des algebres associatives avec élément
unité.
On appelle tout d’abord radical d’ une algèbre A avec unité l’ idéal
Nous allons
bilatère 03B1
1)
est l’intersection des annulateurs de tous les
’
à
gauche (de
1 -
ax
rang fini
ou non sur
est l’ ensemble des éléments
A
analogues obtenues
A soit une
en
conditions
Supposons alors que
un
A-module fidèle de
maximaux de
A ~
tels que pour tout
x ~
A 9
de
remplaçant
rang
fini
r~~
sur
A
par droite.
K
D’après
et soit
muni de la
... ~ M n
=
M .
=
gauche
=
(0)
le théorème de Jordan-
quotients successifs d’une suite de Jordan-Holder de M sont
les
chacun répétés p fois; si N est un A-module simple , il
est monogène donc c’est un module quotient du A-module à gauche A 9 mais
si A est de rang s sur K ~ il est clair que le A-module à gauche A
est contenu dans MS donc que N est isomorphe à un quotient d’un sousmodule de l.fs , donc d’après le théorème de Jordan-Hölder, il est isomorphe
Hölder,
~
M
soit
suite de Jordan-Hölder âu A-module
une
gauche
K ( exemple :
représentation régulière gauche) ;
.
simples
soit inversible à gauche.
1’) 2 r ~ ~ ~ ~
M
de
a
A-modules
K)
le corps de base
est l’intersection de tous les idéaux à
2) ~
3)
équivalentes :
défini par l’une des conditions suivantes
A
de
à
des
un
On
les
M. /M..
en
déduit que les
éléments du
radical de
A
sont
caractérisés
par
d’où l’on déduit immédiatement que le produit
les conditions
éléments quelconques du radical de A est nul, autrement dit que le
radical est un idéal nilpotent de A (Hopkins)
de
.
n
2.- Définition des radicaux
Le corps
K
est
dans
une
algèbre de
quelconque mais
Rappelons qu’une algèbre
de Lie
v
C
est de dimension finie.
est dite résoluble si
une
de ses
tent pour tout
réciproquement si
de
Lie.
il
en
une
sous-algèbre et
(
est de même de
sont résolubles, il
et
j
est
en
mené de
est de
dérivée de
C~ ~
par récurrence
est
0]L .
algèbre dérivée de
La n-ième
sur
dérivée de
si
est
Enfin
cet
Si
à
restriction
et
(~
nilpotent
donc
0
sont
pour tout
nilpotent
de
est résolu-
résolubles,
la
x ~
pour
.....x
~
C~ ~
, et
est la
comme
+ ~ /~
s’obtient
x
que
voit
on
que
soit dans le
que
x
~/h
h
donc
En effet
un
de
(~ ~ donc
de
et
6~
est
et par suite
ri
un
plus
2/
est
et
les idéaux résolubles est
comme
déjà
somme
la
36 + ~
est de dimension
somme
C~ ~
résoluble
d’un nombre fini d’idéaux-résolubles
résoluble donc
M
on a
grand idéal résoluble.
deux idéaux résolubles de
le lemme 1 . P~r suite la
idéal résoluble
(0)
=
est
.
Lie g possède
soient
~
ad
comme
nilpotente.
Corollaire s toute algèbre de
.est
n-ièmealgèbre dérivée
quotient (x est la classe de x
sont nilpotentes. Supposons réciproquement
soit nilpotente ; pour x
et que
centre de
d’après
l’est ; d’autre part~
au
par passage
~
6~
algèbre
Q
est
=
j .
p-iène algènulle, ce qui signifie que la p-ième algèbre
g/h
puis si la q-ième algèbre dérivée
(~ est contenue
est nulle.
nulle que la (p+q)-ième algèbre dérivée de
l’est.
j
bro dérivée de
ble si
de
est résoluble si
algèbre dérivée
n-ième
n-ième
étant contenue dans 1~
voit que la
on
n ~
de la
lainage
que ~
voit
on
est de même de
réciproQuement si
soit nilpotente , il
j/
j et que
ost dans le centre de
et
sont nilpotentes et
g/h
et
nilpotente,
idéal
un
et de g/h
en
v
Si
est nilpo-
x
x.
Soit j une algèbre
Si /fj est résoluble,
Lemme 1 :
ad
est nulle et qu’elle est nilpotente si
algèbres dérivées
est
finie~,
la
d’un nombre fini d’entre
de tous
somme
eux
et c’est
évidemment le plus grand idéal résoluble de
Il est
un
plus grand idéal
peu moins facile de prouver l’existence d’un
ô? .
nilpotent
de
Lemme 2 :
Soit j
de rang fini sur
On
pour cela
une algèbre
K ,
E
do
s’appuyer
Lie,
un
sur
le lemme suivant:
idéal de
l’algèbre d’opérateurs de
H
j
,
M
engendrée
j -module
par 1
et les
éléments de
l)
p(j) .
est nilpotent ; 2)
x ~ h , P(x)
pour tout
équivalentes :
Alors les conditions suivantes sont
dans le radical de
(’(h)
contenue
est
E .
Le théorème de
montre que
Hopkins
l) vérifiée
supposons la condition
2) implique 1) ; réciproquement
et soit
M.
Ni
suite de
une
Jordan-Hölder
=
considéré
Posons
c’est un
le et tous les éléments
donnent évidemment des opérateurs nilpotents
dans
d’après le théorème de Engel, le sous-espace P C N. des inva-
M
de
comme j-module .
de
riants
est
pour tout
p
(g)n
6~
N.
Corollaire : Si.
6~
les
par
n est
n
tent de
est
E
une
ce qui
Hopkins
et si
ad
prouve que
n
Définition s
simple,
E
==
p(h )
démontre que
de Lie et
P
on a
ad g
est
0
N.
(0)
n
est
nilpotent
est dans le radical de
ad g
Etant donnée
h
si n
et
ad
est
idéal bilatère ;
un
g ~ n ,
idéal nilpo-
n’ puisque
qui diaprés le lemme
~
et que
soit
.
pour tout
dans j , ce
E
donc
donc
/
on a
0
est dans le
enest un
nilpotent
nilpotente. Inversement
=
1’algèbre d’opérateurs
le radical de E
car
n
idéal donc ad
un
M
montre que
algèbre
une
algèbre
si
+p(g)~(a)n==
j-module
un
car
l’ensemble n des g~ C! tels que
est le plus grand idéal nilpotent
de j
idéa.l de
un
le théorème de
n’
est
radical de
n est
donc
est
p( )M. CM..
E .
radical de
dans le
6(a)p(g)n=
et
Ni
engendrée
mais il est invariant
nul,
on a
Comme
P .
~
annule
a
non
M./M.. y
n.
1
C ~ .
appelle radical et
on note
le plus grand des idéaux résolubles de j , on appelle plus
grand idéal. nilpotent et on note n l’idéal défini dans le corollaire précédent et
des
une algèbre
de
Lie j ,
on
appelle enfin radical nilpotent et on note l’intersection
annulateurs de tous
les j -modules simples de rang fini sur K .
on
3.- Propriétés
élémentaires des radicaux.
d’une algèbre de Lie j est le plus petit
idéal
j/n soit semi-simple ;s le radical nilpotent de j
de j
est le plus petit
est aussi
idéal de j tel que j/ soit réductive.
le plus grand idéal
tel pue pour toute représentation
(03C1 , M) de
j , p(o.) soit nilpotent pour tout a ~ .
Proposition
Soit
dans
1 : Le radical
tel. pue
un
idéal
de j
est l’idéal
supposons
résoluble + /
et
semi-simple ; l’image
qui doit être nul
de
puisque j/
semi-simple car
semi-simple, donc
est
est le radical
si
qui sont
par
; réciproquement j/ est
de j/, w’ est extension de
w est
toutes deux résolubles et
résoluble donc
semi-simple. Si maintenant % contient ~ ~ ~/~
est isomorphe à
qui .est semi-simple comme algèbre quotient
d’une algèbre semi-simple.
~/~ ~ et
~/&
est
,
représentations irréductibles
et de g/ sont en correspondance biunivoque, une telle représenétant nulle sur G . Le quotient d’une algèbre réductive étant aussi
de
tation
est évidemment réductive
a
tion est dans
classe
de
qui
ce
sa
g
est
représentaannulée dans toute.repré-
annulé
mod
est
donc nulle et
prouve
Inversement supposons
,
élément de
un
g ,
sentation irréductible
les
réductive si
est
réductive, g/a
réductive ; si
g/
tion irréductible de
car
dans toute
de g
l’élément
~a
en
ques-
.
Diaprés le lemme 2 , dire que tous les éléments d’un idéal (3’L de g
sont représentés par des opérateurs nilpotcnts dans .toute représentation
de rang fini signifie que
est contenu dans le radical de l’algèbre
est
d’opérateurs E engendrée par 03C1(g) . Il en est bien ainsi si
annulé par toute représentation irréductible d’après la caractérisation du
radical de E donnée en 1 . Réciproquement si M est un
~-module simple~
la représentation de E dans M est irréductible et fidèle donc le radical
de
équivaut à (%
C
(0) .
~(~%) =:
est nul et
E
(~
résumé la condition énoncée
’~~ ~ ~~
.
Soit g et g’ deux algèbres de Lie
On
alors f(~-)C~ f(~)C~’
f
un
homomorphisme
on a
a
f(~) = ~
h
si le
est
de
puisque
idéal de
un
6~ ~
donc
et
Si j
par
de g
est dans le centre
En effet
est
une
contenu
f
en
=
’.
=
/~ .
est contenu dans
= ’
et
est
un
sur
f(/~)
un
~
donc
algèbre résoluble
résoluble donc contenu dans
donc
de g
idéal résoluble de
est extension d’une
est dans le contre de
même
~~ si
de tout idéal
idéal nilpotont de
et est donc
=
f-1(u)
nilpotonte et
~y ~
est extenf-1(u’) ~ u
.
Si
un
élément
de
C@ .
l’image
est
algèbre nilpotente
donc
g’
~ ~ f(~)
si
,
~~ ~
dans
algèbre résoluble
f()
f
applique
particulier
f(.~-)
Si
sion centrale d’une
donc
~
sur
.
Corollaire : on a. les inclusions
Proposition 2 :
En
est annulé dans toute
représenta-
annulé dnns les représenta.tions de
1
donc
l’on déduit des représentations irréductibles de
1)
tion irréductible de
il
,
Ç
sera.
f(G )éÙ ’
t,oute représentation irréductible de
(J s ’annule sur donc
Si C @Î
définit p?r passage
quotient
représentation de Ç’ donc g f-1(’) .
Proposition 3 : Si g est _le produit des algèbres i , chaque radical de
g ost le produit j_o,s radicaux correspondants des gi .
que
1
.
,
au
.
D’après
(
de
>
Si
dela
sera achevée si
pr-oposi tion
est contenu dans
gi
idéal résoluble de
le radical
§
.
’
(
de
n.ilpotent
ductible de
ɧ
( 1’ , 1.1)
une
est
i
~’l~
identifions les
nous
°§,
d’un des radicaux
projection sur
dans le radical de même espèce de
est contenu dans le
Ùj
=
1,a
proposition 2 ,
est contenu
radicaux de
id~ .
lJ.
uno
produit des
i’
é§ .
de
correspondant
donc contenu dans
semi-simple quand
telle
g
toute
plus
un
et que
est
est
ui
(noter
1
espaces de
égale
~
hl
i
et
N
est
sous-espace
un
sous-espace invariant minimal
invariants
commutent)
§j;
pour
semi-simple
de
LÎ .
pour
et par suite ia
somme
minimaux cst invariante
i
M . Il résulte de ceci que
à
tation
que
est
idéal
un
si
car
si
j/
un
représentation irré-
la restreint à
on
de
obtient
on
4)""°’/
Or
que
représentation
invariant pa.r
correspondants des
, la démonstration
montrons que ’chacun des radicaux de
donc contenu dans 44 ; de
est
donc chacun des
radicaux
à des idéaux de
nous
gi
des
par ’
sous-
É$ ,
donc
étant annulé dans toute représen-
annulé dans
( ty ,
14) ’et
par sui te que
’
§,ic
.
C Q F.D. .
4.- Critère de Cartan pour les
algèbres résolubles.
Théorème: Le radical nilpotent
g£__ 1’,£g£g§bre_d£_Lj_£
[, ©] [( , °§ ’j° . Lc
dc
=
pour la forme
Gomme
est
égal
[Ù§ , j ]
est l’ orthogonal de
(§
à
de Killing.
[ j , 4à] C ,
"Õ ’ fl/11
j ’= B/6’ / [,
=
£§
’6 J
est eé gal
ost
go.
il résulte de
àa
,’F,/"
l’y"
=
[
prop.2
que le radical
Il est clair
[ g-a ,’ ]
]. Il
.
1
4e
est
11" ’est
que /1’1
Q’ donc 1$ ’ est
réducti ve puisque le quotient de
est semipar son centre étant une algèbre quotient de
,
est complètement réductible. Il
simple et la. représentation adjointe de
résulte de ceci et de la prop. l que c jÇ ,’%’jj c jq ,
/6
contenu dans le centre de
’
@
est
j
réductive donc
lj;
est aussi le radical de
§1 " )
=
donc
’/’= /
qj n .S/1 j = j
(0)
si
j.
’h ’*1 ’
=
est le centre de ;
et ceci prouve que
ma.is
7-15
[~ ~
première
et par suite la
affirmation du
théorème est
démontrée.
Le lemme
2, appliqué
représentation adjointe,
à la
ad
et tout
B(n ~ g)
tent et par suite
g
Tr(ad
=
est dans le radical de
n o
et sont orthogonales pour la forme
B((5~) B([~ ,~] ,q0 B(~[~ ,
de
l’exposé
que
contenu dans
et
que
’
Que
fortiori
[’,’]
résoluble. Comme est
la démonstration est achevée..
la forme trilinéaire
En
effet~ ~
6~
est
résoluble
l’orthogonal
de
x
6
(~ ~
est
tre alors que
nu
’~"
dans ~
dans
on a
.~ .
une
est
[/L~/~
Comme @
applique ~ dans ? .
=
C
un
/~
On
c~ .
idéal nilpotent
ce
C
[,]
donc
un
ce
~/" ;
idéal nilpotent
qui
idéale
un
sont
prouve que
il est donc
d’après
dans
a
théorème
dans
et
ë .
des dérivations
alors
[D , x]
Le lemme 2 de
de
le
et
=
D.x
1~exposé 5
comme
si
mon-
il est conte-
dérivation applique
il est alors clair que toute dérivation
qui prouve
E~/~] ~
est
algèbre
avec son
dérivation de
on a
donc
applique
de ~ ) .
et
forme
soit identiquement nulle.
=
Formons le produit croisé
~) ( h est
et si D
B(x~, [y ~
de
de
nilpo-
soit résoluble, il faut et il
Lie
signifie ~ ~ ~
M~O~ .
Corollaire 2 : Toute dérivation
soit
que
[~p ~~
Corollaire 1 : Pour que l’algèbre de
suffit
=
6 montre que
a
donc
et par suite
[’~~] ~
et
puis
0
E
Killing B. On a donc
0 puisque B est une
ce
donc
~/-~
de
=
qui montre
l ’ orthogonal de
quadratique invariante
orthogonales. Si
mais la propo 10 de
g)
ad
=
=
montre que pour tout
que toute