La thèse - membres

THESE
présentée par
Bernard GENEVES
pour l’obtention du titre de
Docteur de l’université Joseph Fourier – Grenoble 1
spécialité informatique
Vers des spécifications formelles :
Fondements Mathématiques et Informatiques
pour la Géométrie Dynamique
21 décembre 2004
Jury :
M. Laurent TRILLING Président
M. Roger CUPPENS Rapporteur
M. Thomas GAWLICK Rapporteur
M. Sylvestre GALLOT Examinateur
M Jean-Marie LABORDE Directeur

Les droits de propriétés sur les produits Cabri
appartiennent à l’entreprise Cabrilog. Les droits
de propriété sur les algorithmes utilisés par Cabri
appartiennent à l’entreprise Cabrilog.

Remerciements
C'est l'équipe de recherche autour de Cabri, le Cahier de Brouillon Informatique, qui a
hébergé ce travail ; et c'est le créateur et l'inspirateur de Cabri, Jean-Marie Laborde, qui l'a
dirigé.
Sans son inspiration, ses idées visionnaires, son énergie créative, rien de ce qui suit n'aurait
existé.
Qu'il en soit ici chaleureusement remercié.
Soient remerciés aussi les rapporteurs, pour leurs remarques et critiques constructives, leurs
améliorations, et qui, en lisant mon texte, ont su le dépasser et me montrer l'horizon au-delà.
Merci à mon ami Sylvestre Gallot, pour tout ce que j'ai pu découvrir grâce au travail que nous
avons fait ensemble.
Et soient remerciés avec lui tous ceux qui m'ont accompagné et aidé dans cette aventure, par
leurs conseils, leur aide, leur enthousiasme, qui sont dans l'équipe de recherche animée par
Colette Laborde, ou qui ont travaillé autour de Cabri et sont restés tout près, ou sont partis
parfois très loin.
Merci à tous mes amis de Toulouse et de Cahors, qui continuent à m'accompagner.
Et merci à ma famille, qui s'est tant dévouée.

Abstract
Toward Formal Specifications: Mathematical and Computational Foundations
for Dynamic Geometry
This work is a mathematical and algorithmic study which aims at
preparing an axiomatization or a specification of dynamic geometry.
Problems in dynamic geometry arise with the dynamic behaviour of
multiple intersections of curves, and partially defined geometric
objects. Recent studies have shown that continuous moves are not fully
compatible with determinism of dynamic behaviours. This work details
this crucial aspect. Using techniques out of the scope of discrete
geometry, it is shown that the dynamic behaviour of circle intersections
presents unavoidable singularities.
An attempt to extend this result to conic intersections is described.
Propositions intended to unify the algorithmic aspects for handling
partially defined objects, such as points on objects, are presented,
starting from the mathematical framework to the operational
implementation. This work also shows that the basic mathematical concept
of unsigned area does not intrinsically support moves, unlike signed
area. By allowing the specification of algorithms to process the dynamic
behavior of circle intersections, this work sets a first quality step
for evaluating dynamic geometry software, with respect to their
mathematical correctness. Several implementations of this work are
included in Cabri 2 Plus. At the theoretical level, this work revisits
the problem of the nature of dynamic figures.

Résumé
Vers des spécifications formelles : Fondements Mathématiques et Informatiques pour la
Géométrie Dynamique
Ce travail est une étude algorithmique et mathématique préparant une axiomatisation ou une
spécification de la géométrie dynamique.
Le comportement dynamique des intersections de courbes, dans le cas où elles sont multiples, et
la gestion algorithmique d'objets géométriques sous-déterminés posent problème. Il est connu
depuis peu que la continuité des déplacements et le déterminisme des comportements
dynamiques ne sont pas entièrement compatibles ; ce travail précise ce point essentiel : par des
procédés globaux qui sortent du cadre de la géométrie discrète, il est montré que le comportement
dynamique des intersections de cercles présente des singularités inévitables, qui sont énumérées.
Une tentative est faite pour étendre ce résultat aux intersections de coniques.
Des propositions pour unifier le traitement algorithmique d'objets sous-déterminés, comme les
points sur objet, sont présentées, depuis le cadre mathématique jusqu'à l'implémentation effective.
Ce travail montre aussi qu'il existe des concepts mathématiques de base, comme la notion d'aire
non signée, dont la justification ultime ne supporte pas le mouvement, au contraire de la notion
d'aire signée. En permettant la spécification des algorithmes traitant du comportement dynamique
des intersections de cercles, ce travail établit un premier niveau de qualité pour les logiciels de
géométrie dynamique, permettant de juger leur cohérence mathématique. Plusieurs des
implémentations réalisées sont présentes dans Cabri2 Plus, logiciel largement diffusé par
l’entreprise Cabrilog. Au niveau théorique, ce travail repose différemment la question de la
nature des figures dynamiques, en particulier de la nature mathématique précise des lieux
géométriques en géométrie dynamique.