Corrigé : Trigonométrie

Ld
2M05
Test formatif
Corrigé : Trigonométrie
Exercice 1
Calculer la valeur exacte de sin(75◦ ).
Solution
√ √
√
2 3
21
sin(75 ) = sin(45 + 30 ) = sin(45 ) cos(30 ) + cos(45 ) sin(30 ) =
+
=
2 2
2 2
√
√
6+ 2
4
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
Exercice 2
La fonction ci-dessous est-elle périodique et si oui, quelle est sa période (exprimée en
radians) ?
f (x) = sin(3x +
π
5x
) + tan( )
3
3
Solution
2π
π
) est de 2π ÷ 3 =
3
3
5
3π
5x
La période de tan( ) est de π ÷ =
3
3
5
10π
3π
9π
90π
2π
=
=
ppmc(10; 9) = 90 ⇒ période de f (x) =
= 6π
3
15
5
15
15
La période de sin(3x +
Exercice 3
Résoudre l’équation en donnant la solution en radians :
1
t π
cos( − ) =
2 6
2
Solution
1
π
1
π
= cos( + k.2π) ou = cos(− + k.2π) avec k ∈ Z ⇒
2
3
2
3
t π
π
t
π
• − = + k.2π ⇒
= + k.2π ⇒ t1 = π + k.4π
2 6
3
2
2
t π
π
π
t
π
• − = − + k.2π ⇒
= − + k.2π ⇒ t2 = − + k.4π
2 6
3
2
6
3
Trigonométrie
Ld, 21/10/2011
2
Exercice 4
Résoudre l’équation en donnant la solution en radians :
sin(
4x
x
) + cos( ) = 0
3
2
Solution
3π
4x
x
π
sin( ) = − cos( ) ⇔
Comme sin(α) = − cos( + α) ou − cos( − α)
2
2
3
2
π 4x
x
π 4x
x
• − cos( + ) = − cos( ) ⇒
+
= + k.2π
2
3
2
2
3
2
π
12π
3π
5x
= − + k.2π ⇒ x1 = −
+ k.
6
2
5
5
x
3π 4x
x
3π 4x
− ) = − cos( ) ⇒
−
= + k.2π
• − cos(
2
3
2
2
3
2
11x
3π
12π
9π
=
+ k.2π ⇒ x2 =
+ k.
6
2
11
11
Exercice 5
Résoudre l’équation :
sin(t) + 3 cos(t) = 3
Solution
sin(t) = 3(1 − cos(t)) ⇒ sin2 (t) = 9(1 − cos(t))2 = 9 − 18 cos(t) + 9 cos2 (t)
Comme sin2 (t) + cos(2 (t) = 1 ⇒ 9 − 18 cos(t) + 9 cos2 (t) + cos(2 (t) = 1
⇔ 10 cos2 (t) − 18 cos(t) + 8 = 0
Posons y = cos(t) ⇒ 5y 2 − 9y + 4 = 0 ⇔ (5y − 4)(y − 1) = 0
• y=
4
5
= cos(t) et sin(t) = 3(1 − cos(t)) = 3(1 − 45 ) =
3
5
⇒ t1 ∼
= 36, 9◦ + k.360◦
• y = 1 = cos(t) et sin(t) = 3(1 − cos(t)) = 0 ⇒ t2 = k.360◦