Corrigé : Trigonométrie

Ld 2M05 Test formatif
Corrigé : Trigonométrie
Exercice 1
Calculer la valeur exacte de sin(75◦).
Solution
sin(75◦) = sin(45◦+30
◦) = sin(45◦)cos(30 ◦)+cos(45 ◦) sin(30 ◦)=√2
2
√3
2+√2 2
1
2=
√6+√2
4
Exercice 2
La fonction ci-dessous est-elle périodique et si oui, quelle est sa période (exprimée en
radians) ?
f(x) = sin(3x+π
3)+tan(5x 3)
Solution
La période de sin(3x+π
3)est de 2π÷3=2π 3
La période de tan(5x
3)est de π÷5 3=3π 5
2π
3=10π 15
3π
5=9π 15 ppmc(10; 9) = 90 ⇒période de f(x)=90π 15 =6π
Exercice 3
Résoudre l’équation en donnant la solution en radians : cos( t
2−π 6)=1 2
Solution
1
2=cos(
π
3+k.2π)ou 1 2=cos(−π 3+k.2π)avec k∈Z⇒
•t
2−π 6=π 3+k.2π⇒t 2=π 2+k.2π⇒t1=π+k.4π
•t
2−π 6=−π 3+k.2π⇒t 2=−π 6+k.2π⇒t2=−π 3+k.4π

Trigonométrie Ld, 21/10/2011 2
Exercice 4
Résoudre l’équation en donnant la solution en radians : sin(4x
3)+cos(
x
2)=0
Solution
Comme sin(α)=−cos(π
2+α)ou −cos(3π 2−α) sin(4x 3)=−cos(x 2)⇔
•−cos(π
2+4x 3)=−cos(x 2)⇒π 2+4x 3=x 2+k.2π
5x
6=−π 2+k.2π⇒x1=−3π 5+k.12π 5
•−cos(3π
2−4x 3)=−cos(x 2)⇒3π 2−4x 3=x 2+k.2π
11x
6=3π 2+k.2π⇒x2=9π 11 +k.12π 11
Exercice 5
Résoudre l’équation : sin(t)+3cos(t)=3
Solution
sin(t)=3(1−cos(t)) ⇒sin2(t)=9(1−cos(t))2=9−18 cos(t)+9cos
2(t)
Comme sin2(t)+cos(
2(t)=1 ⇒9−18 cos(t)+9cos 2(t)+cos( 2(t)=1
⇔10 cos2(t)−18 cos(t)+8=0
Posons y=cos(t)⇒5y2−9y+4=0 ⇔(5y−4)(y−1) = 0
•y=4
5=cos(t)et sin(t)=3(1−cos(t)) = 3(1 −4 5)=3 5⇒t1∼
=36,9◦+k.360◦
•y=1=cos(t)et sin(t)=3(1−cos(t)) = 0 ⇒t2=k.360◦