TD: Rebonds d`une balle.

TD: Rebonds d’une balle.
1 Position du probl`eme
Une balle, suppos´ee ponctuelle, part du sol, `a l’instant t0, avec une vitesse verticale ascendante v0. On
rep`ere sa position et sa vitesse par: z(t) et v(t). ` A l’instant t1, elle retombe une premi`ere fois sur le sol et
rebondit avec une vitesse v1=k.|v(t−
1)|.
1. D´eterminer l’instant tndu n-i`eme rebond.
2. ` A l’instant t, calculer le nombre nde rebonds effectu´es.
3. En d´eduire v(t) et tracer z(t).
A.N. g= 9,81 m.s−2,v0= 3 m.s−1et k= 0,9.
Solution:
Soient tnles instants o`u la balle rebondit sur le sol avec la vitesse vn=kn.v0.
On a: •• z=−g⇒• z=−g.(t−tn) + vn⇒z=−1
2.g.(t−tn)2+vn.(t−tn).
On a z= 0 `a l’instant tn+1 tel que: −1
2.g.(tn+1 −tn)2+vn.(tn+1 −tn) = 0 ⇒tn+1 −tn=2.vn g=2.kn.v0 g
⇒tn+1 =tn+2.kn.v0
gavec t0= 0. On en d´eduit: tn=
n−1
X
i=0
2.ki.v0
g=2.v0 g.1−kn 1−k.
2 Code avec Python
# -*- coding: utf-8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from sympy import nsolve, symbols
plt.show()
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