on d`A - PanaMaths

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www.panamaths.net
L’algorithme de Héron d’Alexandrie
PanaMaths [4-12] Juin 2012
Résultats préliminaires
Notons d’abord que pour un entier naturel n quelconque fixé, si n
x
est strictement positif,
alors il en va de même pour
n
a
x
et, de fait, pour 1n
x
+
.
On a 00x>.
Il découle de ce qui précède que la suite
(
)
n
x
est une suite à termes strictement positifs.
Il va (presque) de soi que l’on exclut la possibilité 0
x
a= car elle sous-entendrait que l’on
connaît la réponse à notre problème !
D’un point de vue mathématique, si 0
x
a=, on a : 10
0
11
22
aa
x
xaa
xa
⎛⎞
⎛⎞
=+= +=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠ .
On montre alors facilement par récurrence que l’on a : ,n
nua∀∈ =.
Plus précisément, s’il existe un rang N tel que N
x
a= alors on a : ,n nxa∀∈ =.
En effet, d’après l’observation précédente, si 0N
=
, le résultat est immédiat.
Supposons donc 0N>.
On a immédiatement : ,n
nNx a∀≥ = .
Mais on a aussi : 11
1
2
NN
N
a
xaxx
−
−
⎛⎞
== +
⎜⎟
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D’où 11
2NN
a
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x
−
−
=+, soit :
(
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2
211 1
20
NN N
xaxaxa
−− −
−
+= − =.
Enfin : 1N
x
a
−=.
Finalement : ,n
nNx a∀≤ = et ,n nxa∀∈ =.
Dans l’étude qui suit, on suppose donc : 0
x
a≠ et on sait alors que tous les termes de la
suite
()
n
x
seront différents de a.
Etude de l’algorithme de Héron
Etude d’une fonction
La suite étudiée est une suite récurrente de la forme
(
)
1nn
x
fx
+= où f est la fonction définie
sur *
+
 par : 1
:2a
fx x
x
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
.

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L’algorithme de Héron d’Alexandrie
PanaMaths [5-12] Juin 2012
La fonction f est dérivable en tant que fonction rationnelle et on a, pour tout x réel strictement
positif :
()
(
)
(
)
2
22 2
1
'1
22 2
x
ax a
axa
fx xx x
−+
−
⎛⎞
=−= =
⎜⎟
⎝⎠
Comme on a 0x>, il vient immédiatement 2
20x> et 0xa
+
>. Ainsi,
(
)
'
f
x est du signe
de
x
a−. Il vient donc :
• Si 0;
x
a
⎤⎡
∈⎦⎣
, 0xa−< et
(
)
'0fx
<
.
•
(
)
'0fa=.
• Si
x
a>, 0xa−> et
(
)
'0fx
<
.
On déduit de ce qui précède que la fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle
0; a
⎤⎤
⎦⎦
et strictement croissante sur l’intervalle ;a
⎡
⎡
+
∞
⎣
⎣.
La fonction f admet donc un minimum global strict en a et on a
(
)
f
aa=.
Voici la courbe représentative de la fonction f.
Il en résulte que pour tout x réel de l’ensemble 0; ;aa
⎤⎡⎤ ⎡
+
∞
⎦⎣⎦ ⎣
∪, on a :
(
)
f
xa>.