Calcul différentiel

Chapitre 5
Calcul diff´erentiel
5.1 Questions
5A Soit f, g :R→Ret p, q > 0.
vrai faux Si f(h) = o(h), alors f(h) = O(h).
vrai faux Si f(h) = O(h), alors f(h) = o(h).
vrai faux Si f(h) = O(hp), alors f(h) = O(hq) pour tout q≥p.
vrai faux Si p<q,f(h) = o(hp) et g(h) = O(hq), alors f(h) + g(h) = o(hp).
vrai faux Si f(h) = o(hp) et g(h) = O(hq), alors f(h)g(h) = o(hp+q).
vrai faux Si fest d´erivable en a∈R, alors il existe δ > 0 tel que
fest continue sur ]a−δ, a +δ[.
vrai faux Si fest d´erivable `a gauche et `a droite en a∈R, alors fest d´erivable en a.
vrai faux Si fest d´erivable sur I⊂R, alors f0est continue sur I.
vrai faux Si fest d´erivable en aavec f0(a)>0, alors fest croissante sur un voisinage de a.
vrai faux Si f∈Cn(R) et g∈Cm(R) alors f+g∈Cmin{n,m}(R).
vrai faux Si fest d´erivable sur R, alors g(x) = pf2(x) est d´erivable sur R.
vrai faux Si f(x) = x+ex, alors (f−1)0(1) = 1 + 1
e.
vrai faux Si f(x) = x2−2x, alors (f◦f)0(1) = 0.
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CHAPITRE 5. CALCUL DIFF ´ ERENTIEL 64
5B Soit fune fonction continue sur [a, b], et d´erivable sur ]a, b[.
vrai faux Si f0(x)≥0 pour tout x∈]a, b[, alors fest croissante sur [a, b].
vrai faux Si fest croissante sur [a, b], alors f0(x)≥0 pour tout x∈]a, b[.
vrai faux Si fest strictement croissante sur [a, b], alors f0(x)>0 pour tout x∈]a, b[.
vrai faux Si f0(x)>0 pour tout x∈]a, b[, alors fest strictement croissante sur [a, b].
vrai faux Si fest convexe sur [a, b], alors f0est croissante sur ]a, b[.
vrai faux Si la tangente au point (c, f(c)), c∈]a, b[, est horizontale,
alors fadmet un extremum en c.
vrai faux Si f∈C1(]a, b[), alors fest lipschitzienne sur tout intervalle [a0, b0]⊂]a, b[.
vrai faux Si f0(x)6= 0 pour tout x∈]a, b[, alors min
x∈[a,b]f(x) = min{f(a), f(b)}.
vrai faux Si lim
x→a+f0(x) existe, alors fest d´erivable `a droite en aet lim x→a+f0(x) = f0
+(a) .
5C Soit f, g :R→Rd´erivables sur Ravec g0(x)6= 0 pour tout x∈R.
vrai faux Si f(a) = g(a) = 0 pour a∈R, alors lim
x→a
f(x)
g(x)=f0(a) g0(a).
vrai faux Si lim
x→+∞f(x) = lim x→+∞g(x)=+∞, alors lim x→+∞
f(x)
g(x)= lim
x→+∞
f0(x)
g0(x).
vrai faux Si lim
x→+∞
f0(x)
g0(x)n’existe pas, alors lim
x→+∞
f(x)
g(x)n’existe pas.
vrai faux S’il existe x6=y∈Rtels que f(y)−f(x) = g(y)−g(x),
alors il existe c∈]x, y[ tel que f0(c) = g0(c).
vrai faux Soit a∈R, alors lim
x→a
sin g(x)
g(x)existe.
vrai faux Soit a∈R, alors lim
x→a
sinh g(x)
g(x)= cosh g(a).

CHAPITRE 5. CALCUL DIFF ´ ERENTIEL 65
5D Soit Iun intervalle ouvert, une fonction f:I→Ret x0∈I.
vrai faux Si fest convexe sur I, alors fest continue sur I.
vrai faux Si fest convexe sur I, alors fest d´erivable sur I.
vrai faux Si fest convexe et deux fois d´erivable sur I, alors f00(x)>0 pour tout x∈I.
vrai faux Si fest concave et d´erivable sur I,
alors f(y)−f(x)≥f0(y)(y−x) pour tout x, y ∈I.
vrai faux Si fest convexe et d´erivable sur Iet f0(x0) = 0,
alors min
x∈If(x) = f(x0).
vrai faux Si f∈C2(I) et fadmet un point d’inflexion en x0,
alors f0admet un point stationnaire en x0.
5E Soit Iun intervalle ouvert, f, g ∈Cn(I) et a∈I.
vrai faux Si f(k)(a) = 0 pour tout 0 ≤k < 7 et f(7)(a) = 1,
alors fadmet un minimum en a.
vrai faux Si Iest sym´etrique et fest impaire sur I,
alors f(2k)(0) = 0 pour 0 ≤2k≤n,k∈N.
vrai faux Si f(k)(a) = g(k)(a) = 0 pour tout 0 ≤k < n et g(n)(a)6= 0,
alors lim
x→a
f(x)
g(x)=f(n)(a)
g(n)(a).
5F Soit a, b ∈Ret f:] −1,1[→Rtels que f(x) = ax +bx2+o(x4).
vrai faux fest continue en 0.
vrai faux Si f∈C2(] −1,1[), alors f00(0) = b.
vrai faux lim
x→0
f(x)
x=a.
vrai faux f(x)2=a2x2+b2x4+o(x6).
vrai faux Si f∈C4(] −1,1[) admet un point stationnaire
et un point d’inflexion en 0, alors a=b= 0.

CHAPITRE 5. CALCUL DIFF ´ ERENTIEL 66
5G Soit f, g :R→Rde classe C2telles que f(0) = f0(0) = 0
et g(x) = x·f(x) pour tout x∈R.
vrai faux gadmet un point stationnaire en x= 0.
  faux g00(0) = 0.
vrai faux Si f00(0) >0, alors gadmet un point d’inflexion en x= 0.
vrai faux g(x) = O(x3).
vrai faux lim
x→0
f(x)
x2=f00(0).
vrai faux Si gadmet un extremum local strict en x= 0, alors f00(0) = 0.
5H Soit f, g, h :R→Rde classe C1telles que les compositions
f◦g,g◦het f◦g◦hexistent en tout x∈R.
vrai faux Si f0(0) = 0, alors (f◦g)0(0) = 0.
vrai faux Si g0(0) = 0, alors (f◦g)0(0) = 0.
vrai faux Si f, g ∈C2, alors d2f(g(x))
dx2=g00(x)f0(g(x)) + g0(x)f00(g(x)).
vrai faux (f◦g◦h)0(x) = h0(x)·(g0◦h)(x)·(f0◦(g◦h))(x) pour tout ∈R.
vrai faux Si f(0) = g(0) = 0, alors (f◦g)(x) = f0(0)g0(0)x+o(x) dans un voisinage de 0.
5I Soit f, g :R→Rde classe C2.
vrai faux Si f0(x) = 2x+ 12f(x), alors u(x) = f(2x) v´erifie u0(x) = x+ 6u(x).
vrai faux Si f0(x) = g0(5x), alors u(x) = f(3x) v´erifie u0(x)=3g0(15x).
vrai faux Si g0(x) = xg(x), alors g0(x2) = 2x2g(x2).
vrai faux Si g0(x) = xg(x), alors u(x) = g(x2) v´erifie u0(x)=2x3u(x).
vrai faux Si f00(x)=9f(x), alors u(x) = f(1
3x) v´erifie u00(x) = u(x).