FEUILLE DE CALCUL RAPIDE 9 octobre 2016

FEUILLE DE CALCUL RAPIDE
1.
(Einteg17.tex)
9 octobre 2016
Calculer une primitive de
10.
ch x
1 + sh x
(Einteg81.tex)
Calculer I en utilisant le changement de variable u = ex pour
2 ln 2
Z
I=
ln 2
2.
(Eexo221.tex)
Limite de
(
11.
n
X
k=1
3.
(Einteg44.tex)
(Einteg37.tex)
Effectuer le changement de variable u = tan x
dans
n
)n∈N∗
2
n + k2
π
4
Z
I=
0
I=
0
sin6 x
dx
cos4 x
12.
(Einteg69.tex)
1
2
1
ex
dx
x2
13.
(Eexo266.tex)
Calculer une primitive de :
6.
7.
1
x2 + 2x + 5
Dans chacun de ces intervalles, calculer une primitive.
Calculer
Z
5.
(Eexo47.tex)
Soit z un nombre complexe non réel, donner une primitive de la fonction complexe d’une variable
1
réelle t −→ t−z
.
14.
Calculer I en utilisant le changement de variable u = ln x pour
Z e
15.
(2 ln x − 1)2
dx
I=
x
1
1
1− √
3
x
dx
(Eexo174.tex)
Donner une primitive de cotan x dans ]0, π[
(Einteg31.tex)
Calculer une primitive de
(Einteg19.tex)
x → xex sin x
Calculer une primitive de
16.
(Einteg51.tex)
Calculer une primitive pour les fonctions
cos x − sin x
,
sin x + cos x
cos x
sin x + cos x
(Einteg64.tex)
Soit n ≥ 2 dans N, en utilisant une intégrale
de la fonction t → √1t , majorer
1
1
1
Sn = √ + √ + · · · + √
n
2
3
9.
2
(Einteg80.tex)
x
(x + 2)(x + 3)
8.
dx
1 + 3 cos4 x
Préciser les intervalles de continuité pour la
fonction
√
(Einteg87.tex)
π
4
Z
Effectuer le changement de variable u = tan x
dans
4.
dx
−1
ex
(Eexo164.tex)
17.
(Einteg10.tex)
Primitive sur ]0, 2π[ de
1
1 + cos x
Calculer la limite de la suite
18.
(Eexo262.tex)
Calculer une primitive de :
n
1X k
en
n
√
k=1
1
1
3 − 4x2
AEInteg
FEUILLE DE CALCUL RAPIDE
19.
9 octobre 2016
∗
Soit
√ n ∈ N , en utilisant une intégrale de la 27.
fonction t → t, minorer
√
√
√
Sn = 1 + 2 + · · · + n
(Einteg63.tex)
28.
20.
(Einteg61.tex)
21.
(Einteg42.tex)
t3
t+1
(Einteg59.tex)
Calculer une primitive de
x → x cos2 x
dans
Exprimer en fonction de t + 1 une primitive
de
(Einteg26.tex)
29.
(Eexo173.tex)
30.
(Einteg60.tex)
Effectuer le changement de variable t = x− π4
√
Z π2
2
√
I=
dx
2 2 + cos x + sin x
0
Donner une primitive de tan x dans ] − π2 , π2 [
Calculer a, b, c tels que
a
bX + c
X
=
+
(X + 1)(X 2 + 1)
X + 1 X2 + 1
Effectuer le changement de variable
1
t = (x2 + 1) 6
En déduire une primitive de
dans
sin x
sin x + cos x
Z
I=
0
31.
22.
(Einteg39.tex)
π
2
Z
I=
π
4
1
dx
sin x + sin 2x
Calculer
Z
1
24.
(Einteg5.tex)
25.
(Einteg72.tex)
26.
1
+ 1) + (x2 + 1) 3
cos xe2x + i sin xe2x
32.
(Einteg86.tex)
x dx
1
2
(x2
Primitive de
Effectuer le changement de variable u = cos x
dans
23.
(Eexo220.tex)
1
e
(ln x)2
dx
x
Dans l’intégrale proposée, effectuer le changement de variable indiqué sans chercher à calculer
l’intégrale obtenue
(Einteg74.tex)
Z
t
dx
,
cos4 x sin x
y = cos x
Calculer une primitive de (x + 1)ex
Dans l’intégrale, faire le changement de variable proposé, en déduire une primitive
33.
Z t
tan x
dx u = tan x
1 + sin2 x
Soit ϕ un réel qui n’est pas congru à 0 modulo
34.
π. Calculer une primitive de
(Eexo171.tex)
Soit λ < 0, donner une primitive de
1
+1
λx2
(Einteg56.tex)
1
x2 − 2x cos ϕ + 1
Soit f une fonction continue sur R, préciser
la dérivée de
Z 1
f (−t)dt
(Eexo200.tex)
x
2
AEInteg
FEUILLE DE CALCUL RAPIDE
35.
(Einteg22.tex)
9 octobre 2016
Calculer une primitive de
44.
(Eexo57.tex)
Calculer une primitive dans ] − π2 , π2 [ de
1
1 + 5x2
36.
(Eexo166.tex)
1
cos2 x
45.
Calculer la limite de la suite
(Eexo208.tex)
Soit f une fonction C ∞ [a, b] avec
f (b)
2n
1 X
k
ln
n
n
f (a) + (b − a)f 0 (a)
(b − a)n (n)
f (a)
··· +
n!
R
=
+
k=n+1
+
37.
(Eexo261.tex)
Calculer une primitive de :
Préciser la forme de Lagrange de R.
x2
.
+3
x2
46.
(Einteg20.tex)
Calculer
x
Z
38.
(Einteg85.tex)
Effectuer le changement de variable t = ln x
dans l’intégrale sans chercher à calculer l’intégrale obtenue
Z e π2
cos(ln(x)) dx
I=
1
39.
(Einteg27.tex)
ln(t2 + 1)dt
0
47.
(Eexo259.tex)
48.
(Einteg35.tex)
Calculer l’intégrale :
√
Z 2
t+ t+1
√ dt.
1 (t + 1) t
Calculer une primitive de
x→
1
x(x + 1)
Soient f et g deux fonctions définies dans
[a, b]. Sous quelles hypothèses peut-on transformer
Z
b
f 0 (t)g(t) dt
a
40.
Soit 0 < b < a. Effectuer le changement de
variable u = tan x2 dans
(Einteg36.tex)
π
2
Z
I=
0
dx
a + b cos x
par la formule d’intégration par parties ?
49.
(Einteg23.tex)
Calculer une primitive de
xe3x
41.
(Einteg4.tex)
Calculer une primitive de xex
42.
(Einteg8.tex)
Primitive sur ]0, 2π[ de
50.
(Einteg28.tex)
x→
1
cos x − 1
43.
(Eexo253.tex)
Calculer
51.
Z
0
π
4
Calculer une primitive de
tan t
dt
cos2 t
3
(Eexo264.tex)
3−x
(x + 1)(x + 3)
Calculer une primitive de :
√
(1 − x)2
√
dx
3
x
AEInteg
FEUILLE DE CALCUL RAPIDE
52.
9 octobre 2016
Calculer une primitive de tan2 x
(Einteg2.tex)
60.
(Einteg77.tex)
Calculer une primitive de
1
x2 − 4x + 29
53. (Einteg54.tex)
Effectuer le changement de variable u =
√
x + 1 dans
Z 1 2
x +1
√
I=
dx
x+1
0
61.
54.
55.
(Einteg57.tex)
Calculer une primitive de
Calculer une primitive en précisant l’intervalle
de définition
arcsin x
(Eexo52.tex)
ex
62.
(Einteg13.tex)
63.
(Eexo58.tex)
64.
(Einteg21.tex)
1
+ 2e−x
Calculer une primitive de sin(2x) sin(3x).
Préciser les intervalles de continuité pour la
(Einteg67.tex)
fonction
√
1
Calculer une primitive de cos2 x sin3 x.
4x2 + 4x
Dans chacun de ces intervalles, calculer une primitive.
Calculer une primitive de
1+x
1 + x2
56.
Calculer une primitive de
(Einteg16.tex)
65.
sh x
1 + ch x
57.
dans
Préciser les intervalles de continuité pour la
fonction
1
4x2 + 4x + 2
Dans chacun de ces intervalles, calculer une primitive.
√
Effectuer le changement de variable u = tan 2t 66.
Z π2
dt
I=
2 + cos t
0
(Einteg53.tex)
(Einteg66.tex)
(Eexo219.tex)
Simplifier la valeur de la dérivée de
Z
cos2 x
x→
arccos
√
tdt
0
pour x ∈]0, π2 [
58.
On définit I et J par :
(Einteg84.tex)
Z
I=
π
2
et cos(t) dt,
Z
J=
0
π
2
67.
(Eexo260.tex)
68.
(Einteg52.tex)
et sin(t) dt
0
Calculer une primitive de :
√
x2 (1 − 3 x).
En utilisant des intégrations par parties, former deux
relations entre I et J. En déduire leurs valeurs.
Calculer
Z
0
59.
(Einteg46.tex)
Soit a et b des réels tels que (a, b) 6= (0, 0).
Calculer une primitive de
69.
e
−ax
(Einteg45.tex)
dans
cos(bx)
4
1
t2
dt
+ (1 − t)2
Effectuer le changement de variable x = sin θ
Z √1 √
2
1 − x2
dx
I=
1 + x2
0
AEInteg
FEUILLE DE CALCUL RAPIDE
70.
(Eexo163.tex)
71.
(Einteg82.tex)
72.
9 octobre 2016
Calculer une primitive de arccos x.
81.
Effectuer le changement de variable u = sin x 82.
dans l’intégrale
Z π6
sin2 x
I=
dx
cos x
0
(Eexo59.tex)
83.
Calculer une primitive de
cos2 x sin2 x
(Eexo269.tex)
(Eexo51.tex)
Calculer
R
1
2
0
arcsin2 xdx.
Calculer une primitive dans ]0, +∞[
1
sinh x
(Einteg34.tex)
Préciser les hypothèses que doit vérifier f
pour que la fonction
Z sin x
x→
f (t) dt
cos x
soit définie et dérivable dans R. Calculer alors la dérivée.
73.
(Eexo53.tex)
Calculer une primitive de
1
x2 + x + 1
74.
(Einteg49.tex)
Soit a réel non nul. Calculer une primitive de
84.
(Einteg76.tex)
Calculer une primitive de arcsin x.
85.
(Einteg48.tex)
Soit a réel non nul. Calculer une primitive de
√
1
√
2
a + x2
86.
75.
(Einteg33.tex)
Soit a > 0, calculer une primitive de
(Einteg25.tex)
(Eexo54.tex)
1
4x − 4x2
Dans chacun de ces intervalles, calculer une primitive.
87.
Calculer une primitive de
(Eexo46.tex)
79.
(Einteg11.tex)
∗
Soit
√ n ∈ N , en utilisant une intégrale de la
fonction t → t, majorer
√
√
√
Sn = 1 + 2 + · · · + n
(Einteg62.tex)
Calculer une primitive de
1
1 − x2
78.
Préciser les intervalles de continuité pour la
√
x → sin2 ax
77.
1
− x2
fonction
x → ax
76.
(Einteg68.tex)
a2
88.
(Eexo168.tex)
Tranformer par un changement de variable
l’intégrale suivante en l’intégrale d’une fraction rationnelle
Z t
dx
0 2 ch x + sh x + 1
89.
(Eexo265.tex)
Calculer une primitive de arcsin x
Calculer une primitive de cos(2x) cos(3x).
Calculer une primitive de :
(3x2 + 5x − 12) cos 3x
80.
(Einteg1.tex)
Calculer une primitive de 1 + tan2 x
5
AEInteg
FEUILLE DE CALCUL RAPIDE
90.
(Einteg89.tex)
Calculer avec une intégration par parties,
Z x
arctan t dt
9 octobre 2016
100.
(Eexo159.tex)
Calculer une primitive dans ]0, π[ de
1
sin x
0
91.
(Eexo175.tex)
Donner une primitive de coth dans ]0, +∞[ 101.
92.
(Eexo271.tex)
Calculer
R1
R1
0
ln(1 + x2 ) dx.
102.
(Einteg6.tex)
(Einteg15.tex)
Calculer une primitive de (x2 + x)ex .
Effectuer le changement de variable
Z
93.
(Eexo270.tex)
Calculer
94.
(Eexo162.tex)
Calculer une primitive de
0
t = a + u(b − a) dans I =
ch t sin t dt.
1
(1 + x2 )2
(Einteg32.tex)
103.
(Eexo170.tex)
Soit λ > 0, donner une primitive de
1
x2 − x + 1
104.
(Einteg41.tex)
Effectuer le changement de variable u = sin x
dans
π
4
Z
cos x
dx
sin x + tan2 x
I=
2
π
6
(Eexo254.tex)
Calculer l’intégrale :
Z
π/4
0
tan t
dt.
cos2 t
105.
(Einteg70.tex)
Préciser les intervalles de continuité pour la
fonction
√
97.
(Einteg40.tex)
Effectuer le changement de variable u = sin x
dans
π
6
Z
1
3 + 2x − x2
Dans chacun de ces intervalles, calculer une primitive.
cos x
dx
cos 2x
I=
0
106.
(Eexo257.tex)
Calculer l’intégrale :
Z
1
t
98.
107.
(Einteg83.tex)
1
0
Soit a réel non nul. Calculer une primitive de 108.
√
1 − t2 dt
Calculer
Z
(Einteg50.tex)
p
−1
(Einteg65.tex)
Soit n ≥
√ 2 dans N, en utilisant une intégrale
de la fonction t → t, minorer
1
1
1
Sn = √ + √ + · · · + √
n
2
3
99.
1
+λ
Calculer une primitive de
x→
96.
f (t)dt
a
x2
95.
b
1
− a2
(Eexo172.tex)
x dx
1 + x4
Soit λ < 0, donner une primitive de
1
λx2 + 1
x2
6
AEInteg
FEUILLE DE CALCUL RAPIDE
109.
(Einteg18.tex)
9 octobre 2016
Calculer une primitive de
x
√
1 + 5x2
110.
(Einteg58.tex)
Calculer
R
1
2
0
arcsin xdx.
118.
(Eexo268.tex)
119.
(Eexo55.tex)
120.
(Eexo263.tex)
Calculer une primitive de : (1 + tan x)2 .
121.
(Einteg43.tex)
Effectuer le changement de variable u = cos x
Calculer une primitive de tanh x
Calculer une primitive de
sin x
3 + sin2 x
dans
π
3
Z
I=
π
4
111.
(Eexo60.tex)
112.
(Einteg29.tex)
Calculer une primitive de arctan x.
122.
(Eexo222.tex)
Limite de
Calculer une primitive de
cos x
x→
1 + sin2 x
(
n
X
n2
k=1
123.
(Eexo207.tex)
π
4
Z
∞
Soit f une fonction C [a, b] avec
0
f (b)
=
+
+
f (a) + (b − a)f 0 (a)
(b − a)n (n)
··· +
f (a)
n!
R
k
)n∈N∗
+ k2
Exprimer comme l’intégrale d’une fraction
(Einteg7.tex)
rationnelle :
113.
1
dx
sin5 x
sin2 x
dx
cos3 x
R2
1 √
dt
1 (t+1) t
(poser u =
124.
(Eexo272.tex)
Calculer
125.
(Eexo161.tex)
Calculer une primitive de ln x
126.
(Einteg88.tex)
Primitive de
√
t)
Préciser la forme intégrale de R.
114.
(Eexo255.tex)
Calculer l’intégrale :
Z 2π
cos (nt) cos (mt) dt
x 7→ e3x 3x
0
où n, m ∈ N, m 6= n.
115.
(Einteg78.tex)
Calculer une primitive de
127.
(Eexo169.tex)
Soit λ > 0, donner une primitive de
x
2
x − 4x + 29
116.
(Einteg24.tex)
Calculer une primitive de
1
λx2 + 1
128.
(Einteg3.tex)
129.
(Eexo267.tex)
Calculer une primitive de x tan2 x.
cos3 x
Calculer une primitive de :
√
117.
(Eexo165.tex)
x+
1
√
x−1
Calculer la limite de la suite
n
X
k=1
1
k+n
130.
7
(Einteg12.tex)
Calculer une primitive de cos(2x) sin(3x).
AEInteg
FEUILLE DE CALCUL RAPIDE
131.
9 octobre 2016
Soit a et b des réels tels que (a, b) 6= (0, 0). 140.
Calculer une primitive de
(Einteg47.tex)
e
−ax
133.
1
ch x
(Eexo50.tex)
Calculer une primitive dans ] − π2 , π2 [ de
R 2x
Calculer la dérivée de x t4 +tdt2 +1 . En déduire
un développement limité de f à l’ordre 3 en 0.
1
cos x
(Eexo48.tex)
(Eexo256.tex)
Calculer l’intégrale :
π/2
Z
cos t + 2 sin t
dt
cos t + sin t
0
134.
Calculer une primitive de
sin(bx)
141.
132.
(Eexo160.tex)
(Einteg75.tex)
142.
(Eexo258.tex)
143.
(Einteg14.tex)
Calculer l’intégrale :
Z 2
dt
√
√
.
t+1+ t−1
1
Calculer la limite de
1
2
n n
1
(1 + )(1 + ) · · · (1 + )
n
n
n
Calculer
Z
π
2
0
135.
136.
Dans l’intégrale, faire le changement de variable proposé, en déduire une primitive
144.
Z t
dx
u = cotan x
sin4 x
cos x
dx
1 + sin x
(Einteg73.tex)
(Einteg9.tex)
Primitive de
1
2 + cos x
(Einteg30.tex)
Calculer une primitive de
x → x2 cos(3x)
145.
(Eexo167.tex)
Donner une primitive de e(1+i)x
146.
(Einteg79.tex)
Calculer la dérivée de
Z
x2
x→
x
137.
(Einteg38.tex)
Effectuer le changement de variable u = tan x
dans
π
4
Z
I=
0
1 − tan x
dx
1 + tan x
147.
(Einteg71.tex)
Préciser les intervalles de continuité pour la
fonction
138.
(Eexo56.tex)
Calculer une primitive de
√
1
sinh2 x
139.
(Einteg55.tex)
dt
1 + t4
1
x2 − 4x − 5
Dans chacun de ces intervalles, calculer une primitive.
Effectuer le changement de variable u = ex
dans
Z
I=
0
1
dx
ch3 x + sh3 x − 1
8
AEInteg