FEUILLE DE CALCUL RAPIDE 9 octobre 2016

FEUILLE DE CALCUL RAPIDE 9 octobre 2016
1. (Einteg17.tex) Calculer une primitive de
ch x
1 + sh x
2. (Eexo221.tex) Limite de
(
n
X
k=1
n
n2+k2)n∈N∗
3. (Einteg44.tex) Effectuer le changement de variable u= tan x
dans
I=Zπ
4
0
sin6x
cos4xdx
4. (Einteg87.tex) Calculer
Z2
1
e1
x
x2dx
5. (Eexo47.tex) Soit zun nombre complexe non r´eel, don-
ner une primitive de la fonction complexe d’une variable
r´eelle t−→ 1
t−z.
6. (Einteg80.tex) Calculer Ien utilisant le changement de va-
riable u= ln xpour
I=Ze
1
(2 ln x−1)2
xdx
7. (Einteg19.tex) Calculer une primitive de
x
(x+ 2)(x+ 3)
8. (Einteg64.tex) Soit n≥2 dans N, en utilisant une int´egrale
de la fonction t→1
√t, majorer
Sn=1
√2+1 √3+··· +1 √n
9. (Eexo164.tex) Calculer la limite de la suite
1
n
n
X
k=1
ek
n
10. (Einteg81.tex) Calculer Ien utilisant le changement de va-
riable u=expour
I=Z2 ln 2
ln 2
dx
ex−1
11. (Einteg37.tex) Effectuer le changement de variable u= tan x
dans
I=Zπ
4
0
dx
1 + 3 cos4x
12. (Einteg69.tex) Pr´eciser les intervalles de continuit´e pour la
fonction 1
√x2+ 2x+ 5
Dans chacun de ces intervalles, calculer une primitive.
13. (Eexo266.tex) Calculer une primitive de :
1−1
3
√x2
dx
14. (Eexo174.tex) Donner une primitive de cotan xdans ]0, π[
15. (Einteg31.tex) Calculer une primitive de
x→xexsin x
16. (Einteg51.tex) Calculer une primitive pour les fonctions
cos x−sin x
sin x+ cos x,cos x sin x+ cos x
17. (Einteg10.tex) Primitive sur ]0,2π[ de
1
1 + cos x
18. (Eexo262.tex) Calculer une primitive de :
1
√3−4x2
1AEInteg

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19. (Einteg63.tex) Soit n∈N∗, en utilisant une int´egrale de la
fonction t→√t, minorer
Sn=√1 + √2 + ··· +√n
20. (Einteg61.tex) Exprimer en fonction de t+ 1 une primitive
de t3
t+ 1
21. (Einteg59.tex) Calculer a,b,ctels que
X
(X+ 1)(X2+ 1) =a X+ 1 +bX +c X2+ 1
En d´eduire une primitive de
sin x
sin x+ cos x
22. (Einteg39.tex) Effectuer le changement de variable u= cos x
dans
I=Zπ
2
π
4
1
sin x+ sin 2xdx
23. (Einteg86.tex) Calculer
Ze
1
(ln x)2
xdx
24. (Einteg5.tex) Calculer une primitive de (x+ 1)ex
25. (Einteg72.tex) Dans l’int´egrale, faire le changement de va-
riable propos´e, en d´eduire une primitive
Zttan x
1 + sin2xdx u = tan x
26. (Einteg56.tex) Soit ϕun r´eel qui n’est pas congru `a 0 modulo
π. Calculer une primitive de
1
x2−2xcos ϕ+ 1
27. (Einteg26.tex) Calculer une primitive de
x→xcos2x
28. (Einteg42.tex) Effectuer le changement de variable t=x−π
4
dans
I=Zπ
2
0
√2
2√2 + cos x+ sin xdx
29. (Eexo173.tex) Donner une primitive de tan xdans ] −π
2,π 2[
30. (Einteg60.tex) Effectuer le changement de variable
t= (x2+ 1)1
6
dans
I=Z1
0
x dx
(x2+ 1)1
2+ (x2+ 1)1 3
31. (Eexo220.tex) Primitive de
cos xe2x+isin xe2x
32. (Einteg74.tex) Dans l’int´egrale propos´ee, effectuer le chan-
gement de variable indiqu´e sans chercher `a calculer
l’int´egrale obtenue
Ztdx
cos4xsin x, y = cos x
33. (Eexo171.tex) Soit λ < 0, donner une primitive de
1
λx2+ 1
34. (Eexo200.tex) Soit fune fonction continue sur R, pr´eciser
la d´eriv´ee de
Z1
x
f(−t)dt
2AEInteg

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35. (Einteg22.tex) Calculer une primitive de
1
1+5x2
36. (Eexo166.tex) Calculer la limite de la suite
1
n
2n
X
k=n+1
ln k
n
37. (Eexo261.tex) Calculer une primitive de :
x2
x2+ 3.
38. (Einteg85.tex) Effectuer le changement de variable t= ln x
dans l’int´egrale sans chercher `a calculer l’int´egrale obte-
nue
I=Ze
π
2
1
cos(ln(x)) dx
39. (Einteg27.tex) Calculer une primitive de
x→1
x(x+ 1)
40. (Einteg36.tex) Soit 0 <b<a. Effectuer le changement de
variable u= tan x
2dans
I=Zπ
2
0
dx
a+bcos x
41. (Einteg4.tex) Calculer une primitive de xex
42. (Einteg8.tex) Primitive sur ]0,2π[ de
1
cos x−1
43. (Eexo253.tex) Calculer
Zπ
4
0
tan t
cos2tdt
44. (Eexo57.tex) Calculer une primitive dans ] −π
2,π 2[ de
1
cos2x
45. (Eexo208.tex) Soit fune fonction C∞[a, b] avec
f(b) = f(a)+(b−a)f0(a)
+··· +(b−a)n
n!f(n)(a)
+R
Pr´eciser la forme de Lagrange de R.
46. (Einteg20.tex) Calculer
Zx
0
ln(t2+ 1)dt
47. (Eexo259.tex) Calculer l’int´egrale :
Z2
1
t+√t+ 1
(t+ 1) √tdt.
48. (Einteg35.tex) Soient fet gdeux fonctions d´efinies dans
[a, b]. Sous quelles hypoth`eses peut-on transformer
Zb
a
f0(t)g(t)dt
par la formule d’int´egration par parties ?
49. (Einteg23.tex) Calculer une primitive de
xe3x
50. (Einteg28.tex) Calculer une primitive de
x→3−x
(x+ 1)(x+ 3)
51. (Eexo264.tex) Calculer une primitive de :
(1 −√x)2
3
√xdx
3AEInteg

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52. (Einteg2.tex) Calculer une primitive de tan2x
53. (Einteg54.tex) Effectuer le changement de variable u=
√x+ 1 dans
I=Z1
0
x2+ 1
√x+ 1 dx
54. (Eexo52.tex) Calculer une primitive en pr´ecisant l’intervalle
de d´efinition
arcsin x
55. (Einteg67.tex) Pr´eciser les intervalles de continuit´e pour la
fonction 1
√4x2+ 4x
Dans chacun de ces intervalles, calculer une primitive.
56. (Einteg16.tex) Calculer une primitive de
sh x
1 + ch x
57. (Einteg53.tex) Effectuer le changement de variable u= tan t
2
dans
I=Zπ
2
0
dt
2 + cos t
58. (Einteg84.tex) On d´efinit Iet Jpar :
I=Zπ
2
0
etcos(t)dt, J =Zπ
2
0
etsin(t)dt
En utilisant des int´egrations par parties, former deux
relations entre Iet J. En d´eduire leurs valeurs.
59. (Einteg46.tex) Soit aet bdes r´eels tels que (a, b)6= (0,0).
Calculer une primitive de
e−ax cos(bx)
60. (Einteg77.tex) Calculer une primitive de
1
x2−4x+ 29
61. (Einteg57.tex) Calculer une primitive de
1
ex+ 2e−x
62. (Einteg13.tex) Calculer une primitive de sin(2x) sin(3x).
63. (Eexo58.tex) Calculer une primitive de cos2xsin3x.
64. (Einteg21.tex) Calculer une primitive de
1 + x
1 + x2
65. (Einteg66.tex) Pr´eciser les intervalles de continuit´e pour la
fonction 1
√4x2+ 4x+ 2
Dans chacun de ces intervalles, calculer une primitive.
66. (Eexo219.tex) Simplifier la valeur de la d´eriv´ee de
x→Zcos2x
0
arccos √tdt
pour x∈]0,π
2[
67. (Eexo260.tex) Calculer une primitive de :
x2(1 −3
√x).
68. (Einteg52.tex) Calculer
Z1
0
dt
t2+ (1 −t)2
69. (Einteg45.tex) Effectuer le changement de variable x= sin θ
dans
I=Z1
√2
0
√1−x2
1 + x2dx
4AEInteg

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70. (Eexo163.tex) Calculer une primitive de arccos x.
71. (Einteg82.tex) Effectuer le changement de variable u= sin x
dans l’int´egrale
I=Zπ
6
0
sin2x
cos xdx
72. (Eexo59.tex) Calculer une primitive de
cos2xsin2x
73. (Eexo53.tex) Calculer une primitive de
1
x2+x+ 1
74. (Einteg49.tex) Soit ar´eel non nul. Calculer une primitive de
1
√a2+x2
75. (Einteg33.tex) Soit a > 0, calculer une primitive de
x→ax
76. (Einteg25.tex) Calculer une primitive de
x→sin2ax
77. (Eexo54.tex) Calculer une primitive de
1
1−x2
78. (Eexo46.tex) Calculer une primitive de arcsin x
79. (Einteg11.tex) Calculer une primitive de cos(2x) cos(3x).
80. (Einteg1.tex) Calculer une primitive de 1 + tan2x
81. (Eexo269.tex) Calculer R
1
2
0arcsin2xdx.
82. (Eexo51.tex) Calculer une primitive dans ]0,+∞[
1
sinh x
83. (Einteg34.tex) Pr´eciser les hypoth`eses que doit v´erifier f
pour que la fonction
x→Zsin x
cos x
f(t)dt
soit d´efinie et d´erivable dans R. Calculer alors la d´eriv´ee.
84. (Einteg76.tex) Calculer une primitive de arcsin x.
85. (Einteg48.tex) Soit ar´eel non nul. Calculer une primitive de
1
√a2−x2
86. (Einteg68.tex) Pr´eciser les intervalles de continuit´e pour la
fonction 1
√4x−4x2
Dans chacun de ces intervalles, calculer une primitive.
87. (Einteg62.tex) Soit n∈N∗, en utilisant une int´egrale de la
fonction t→√t, majorer
Sn=√1 + √2 + ··· +√n
88. (Eexo168.tex) Tranformer par un changement de variable
l’int´egrale suivante en l’int´egrale d’une fraction ration-
nelle Zt
0
dx
2 ch x+ sh x+ 1
89. (Eexo265.tex) Calculer une primitive de :
(3x2+ 5x−12) cos 3x
5AEInteg