Corrigé Test T8 Cosinus Equidistance Tangente

NOM et Prénom …………………………………………
Classe de Quatrième ……
Contrat 8 Année 2012 2013
Corrigé TEST T8 COSINUS ; EQUIDISTANCE (55’)
Compte rendu :
Test raté globalement.

Equations : Trop de fautes de signe ! Que de points perdus ! Relisez !
Dit mille fois et répété : réduire avant de rassembler !

Equidistances et constructions : Que de points perdus à cause du codage manquant !

Cosinus : Faites des croquis et reporter correctement les données dessus. Utiliser de la couleur.
Il faut écrire l’hypothèse essentielle du triangle rectangle.

Somme des angles dans un triangle : Rédaction à revoir.

Pythagore : A réviser absolument ; Ne pas oublier l’hypothèse essentielle du triangle rectangle.

TRCC : La cata !
Plus généralement :
Lisez bien les données de l’énoncé.
Utilisez bien les croquis.
Lisez bien votre calculatrice.
Faites des phrases réponses.
RELISEZ !
Manque général de rigueur dans l’application des propriétés et méthodes : bonne lecture des données, arrondis,
unités, codages, phrases réponses.
4ème 3
Manque général de précision : tangente où ? Arrondis, unités.
0
Lorsque les exercices 1 et 2 sont ratés, la note est décevante.
Médiane en 2013
8
11,5
14,75
21
Médianes = 12 en 2012 ; 12,88 sur 20 en 2011. 13,75 sur 25 en 2010 ; 3,25 sur 14 en 2009 ; 5,75 sur 14 en 2008.
 Exercice n° 1 (……….…………..… / 4,5 points) : Equations. Attention aux fautes de signe !
-2k  1  7k = 10  ( -2  4k )
-9k  1 = 10
+ 2 + 4k
2y  5 ( 2  2y ) + 9 = -5  6y
2y
 10 + 10y + 9 = -5  6y
-9k  1 =
12
+ 4k
12y
-12  1 =
9k
+ 4k
12y
 1 = -5  6y
-2
-4
=
2p
5  3p
Par produits en croix, on obtient en
n’oubliant pas les parenthèses !
-4p
= -4 (5  3p)
= -4
-4p
= -20 + 12p
+ 6y = -5 + 1
-13
=
13k
18y
-13
13
=
k
y
=
-4
18
20
=
4p + 12p
20
=
16p
y
-2
=
F.I.
9
20
16
=
p
5
4
=
p
-1
=
k
F.I.
Trop, trop trop de fautes de signe !!
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Contrat 8 Année 2012 2013
 Exercice n° 2 (……..……………… / 4,5 points) : Equidistance.
Pour chaque figure, laisser les traits de construction et les codages petits et visibles.
 Un radar doit être placé :
 Lisa Viondanlesiel assiste au concert des  Le plan Vigipirate oblige le maire à
 à égale distance des 2 routes.
Maths Punk. Elle veut être :
On trace le couple perpendiculaire de  à moins de 2 m de la scène.
bissectrices des angles formés par les On trace la bande à bords parallèles à 1 cm
deux droites à leur intersection.
du bord de scène.
 et à moins de 20 m du rond point R.
 ou à égale distance des toilettes T et de la
mettre des barrières à 2 m des murs de ce
bâtiment ! Placer ces barrières.
(échelle 1 cm pour 2 m).
Rappel méthode :
On trace le cercle de centre R et de buvette B.
rayon 2 cm.
 Contre chaque côté du quadrilatère,
On trace la médiatrice du segment [BT], construire un rectangle de largeur la
sans oublier le double codage !
distance demandée (ici ……. cm).
Dans quelle zone verte sera mis ce
Faire apparaître les angles droits !
Dans quelle zone verte peut-elle se placer ?  En chaque sommet, compléter par un
La zone verte recherchée est (échelle 1 cm pour 2 m).
arc de cercle de centre ce sommet et de
l’ensemble des points en même temps La zone verte recherchée est l’union des rayon la distance demandée (ici 1 cm).
radar ? (échelle 1 cm pour 10 m).
sur les bissectrices et dans le cercle.
points de la médiatrice et des points de la
bande.
La construction de chaque rectangle contre
chaque bord du quadrilatère de départ est
une épreuve insurmontable pour beaucoup
La seconde bissectrice est souvent
oubliée !!
d’élèves : il ne s’agit pas de bêtement
prolonger les côtés du quadrilatère !
Trop de points perdus à cause des codages manquants !
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 Exercice n° 3 (……………..……… / 7 points) : D’après n°82 p.241 Diabolo Maths 4ème.
Comme tous les deux ans, Axel Aire doit faire passer à sa voiture une visite technique de sécurité. Tous les organes essentiels de
la voiture sont contrôlés dont les phares (situés à une hauteur de 1 m du sol).
Ecrivez petit ! Résultats des questions arrondis au 1/100ème près si besoin.
Partie A indépendante : Les phares avant sont-ils bien réglés ?
Le faisceau lumineux des phares avant fait un angle minimal 
HPA avec la verticale de 87°.
1.
Calculer la longueur PA. (............................. / 1,5 pts)
2.
Dans le triangle PAH, calculer la mesure de l’angle 
PAH. (.................................... / 1 pt)
3.
Par trigonométrie, calculer la longueur AH. Le code de la route impose que le faisceau
lumineux des phares d’une voiture en position moyenne ait une portée minimale de 30 m.
Les phares avant sont-ils bien réglés ? (.................................. / 1,5 pts)
Partie B indépendante : Angle maximal du faisceau lumineux avec la verticale.
La réglementation indique que la portée maximale HB du faisceau lumineux doit être de 40 m.
4.
Grâce à un célèbre théorème, calculer alors la longueur PB. (……………………. / 1,5 pts)
5.
En déduire l’angle maximal du faisceau lumineux avec la verticale. (....................... / 1,5 pts)
Exercice peu réussi souvent à cause du mauvais placement des informations sur le croquis.
Beaucoup de problèmes d’arrondis.
1.
Puisque HPA est un triangle rectangle en H,
alors
d’où
donc
4.
cos ( 
HPA ) =
le célèbre théorème de Pythagore version directe, on a :
PH
PA
1
cos ( 87° ) =
PA
1
PA
=
v.e.
cos (87°)
d’où

PA
Puisque HPB est un triangle rectangle en H, alors, d’après
PB² = HP² + HB²
PB² = 1² + 40²
19,11 m v.a au 1/100ème près.
d’où
PB² =
1 601
donc
PB
=
1 601
soit
PB

valeur exacte
40,01 m v.a au 1/100ème.
Remarque : beaucoup n’ont pas compris où placer 40 m.
2.
D’après le codage, PAH triangle rectangle en H,
Alors 
H + 
P + 
A = 180°
Donc
5.

A = 180°  
P  
H

A = 180°  87°  90°

PAH =
3°
Puisque HPB est un triangle rectangle en H,
alors
cos ( 
HPB ) =
PH
PB
1
cos ( 
HPB ) 
40,01
Souvent mal rédigé !
D’où

HPB  cos-1 (
3.
D’où

HPB 
Par Trigonométrie, lisez bien !!
AH ≈ 19,08 m
v.a au 1/100
88,57°
L’angle maximal que fait le faisceau lumineux avec la verticale
Puisque PAH est un triangle rectangle en H,
AH
alors
cos ( 
PAH ) =
AP
AH
d’où
cos ( 3° ) ≈
19,11
donc
19,11  cos (3°) ≈ AH
v.e.
d’où
1
)
40,01
est d’environ 88,57°.
Remarque : Le fait qu’on trouve que les portées soient presque
égales aux hypoténuses se comprend facilement : en fait les
ème
près.
triangles APH et BPH sont presque plats ! Ce que ne suggérait
Puisque 19,08 m < 30 m alors les phares avant ne sont pas pas le schéma. Ce fait a beaucoup perturbé certains !
bien réglés.
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1
 Exercice n° 4 (……………..……… / 5 points) : Cercles orthogonaux .
Exercice raté dans l’ensemble, jamais réussi en entier.
Nous savons tous ce que sont deux droites perpendiculaires ! Le but de l’exercice est d’étendre cette notion
de perpendicularité (on dit aussi orthogonalité) à deux cercles.
1. Deux cercles orthogonaux peuvent-ils ne pas se couper ? .................. (aucune justification demandée !)
(........................... / 0,5 pts)
De la même manière que 2 droites perpendiculaires se coupent
C
forcément, alors 2 cercles orthogonaux se coupent forcément !
Beaucoup
ne font pas le rapprochement avec 2 droites
perpendiculaires.
Soient deux cercles C et C ’ de centres respectifs O et O’
C’
et qui se coupent en deux points A et B.
Définition : « Les deux cercles C et C ’ sont dits
orthogonaux en A lorsque le triangle OAO’ est
rectangle en A ». Voir figure ci-contre.
Partie A : Propriétés.
2. Que représente la droite (OA) pour le cercle C ’ ? Justifier. (....................... / 1 pt)
 Puisque le triangle OAO’ est rectangle en A, alors (OA)  (O’A).

(OA)  (O’A)

 Puisque  A est sur le cercle C ’ de centre O' alors la droite (OA) est tangente en A au cercle C ’.


Remarques :
 De la même manière, on montre que la droite (O’A) est tangente en A au cercle C .
 On en déduit une autre définition de l’orthogonalité de 2 cercles qui s’appuie plus naturellement sur la perpendicularité de 2
droites :
Autre définition : « Les 2 cercles C et C ’ sont dits orthogonaux en A lorsque la tangente à C en A est perpendiculaire à la
tangente à C ’ en A. »
3. Montrer que le point A est sur le cercle de diamètre [OO’]. Tracer ce cercle en bleu. (.................... / 1 pt)
Puisque le triangle OAO’ est rectangle en A, alors, d’après TRCC direct, le point A est sur le cercle de
diamètre [OO’].
Question réussie 2 fois seulement sur 26 en 2013 !!!! L’intitulé exact de la question était alors beaucoup plus dur : « Montrer que
le point A est sur un troisième cercle passant par 2 autres points de la figure ».
1
D’après l’épreuve pratique de Mathématiques de Terminale S, Académie de Versailles 2010-2011.
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Contrat 8 Année 2012 2013
Partie B : Constructions. (Codages et traits de construction !)
4. Soit le cercle C ci-contre de centre O et A un point sur ce cercle.
C
 Construire en vert un cercle orthogonal à C en A. On notera O’ son
centre. (................ / 0,5 pts)
Inspirez vous de la figure au dessus !!!
 Puisque le triangle OAO’ doit être rectangle en A, on trace la tangente à C en A.
 Puis on choisit un point O’ sur cette tangente.
 Puis on trace le cercle de centre O’ et de rayon O’A.
 Combien de cercles orthogonaux à C en A existent-ils ? (............... / 0,5 pts)
On peut choisir une infinité de point O’ sur la tangente au cercle C en A, donc il y a une infinité de cercles
orthogonaux à C en A.
5. Soient un cercle C1 de centre C et un point D en dehors de ce cercle.
 Combien de cercles C de centre D sont orthogonaux au cercle C1 ? ............................. (................ / 0,5 pts)
D’après la question 3, un cercle C orthogonal au cercle C1 doit couper celui-ci en 2 points (F et G sur la figure ci-dessous) qui
sont obligatoirement sur le cercle de diamètre [CD].
Donc le cercle C n’a qu’un rayon possible : DF sur notre figure.
Donc le cercle C orthogonal au cercle C1 et de centre D est unique.
 Construire en vert un cercle de centre D et orthogonal au cercle C1. (............................. / 1 pt)
Analyse :
Puisque le cercle de centre D et orthogonal au cercle C1 recherché
doit couper le cercle C1 en deux points (F et G sur notre figure) tels
C1
que les triangles CFD et CGD soient rectangles, alors, d’après la
question 3, les points F et G sont sur le cercle de diamètre [CD].
Programme de construction :
 Construire le cercle de diamètre [CD]. Ce cercle coupe le cercle
C1 en deux points F et G.
 Construire le cercle de rayon DE.
Ce cercle est orthogonal au cercle C1 et de centre D.
Remarques :
 Cette construction s’appuie en fait sur les tangentes à un cercle passant par un point extérieur donné. (Voir contrôle 2008
Pythagore exo n°6).
 Construction jamais réussie correctement.