Degré 2

Degré 2
Ma1 Ch7 : Degré 2
expression
Cas particulier : x2- d
Si d 0 : ( x− √ d )( x + √ d )
Si d <0 : non factorisable
ax2+bx+c (avec a 
forme développée [existe tjs]
complétion du carré
2
Δ=b −4 a c
méthodes de factorisation :
1) mise en évidence
2) identités remarquables
2
2
ax +bx +c=a ( x−k ) +m
forme canonique [existe tjs]
chemin direct
b
2a
m=− Δ
4a
k=−
Δ< 0 chemin direct :
formule de Viète
2
ax +bx +c=a ( x− x1 )( x− x 2)
2
2
ax +bx +c=a ( x− x0 )
forme factorisée [n'existe pas tjs]
ax 2 +bx+ c non factorisable
−b± √ Δ
2a
b
Δ>0
Δ=0 : x 0=−
2a
Δ <0
Δ> 0 : x 1,2 =
pas de forme factorisée
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Degré 2
Ma1 Ch7 : Degré 2
équation
Cas particulier : x2=d
méthodes de factorisation :
1) mise en évidence
2) identités remarquables
ax2+bx+c=0 (avec a 
Si d 0 :
Si d <0 :
S ={± √ d }
S =∅
complétion du carré
2
chemin direct
avec formules
a( x− x 1 )( x− x 2 )=0
a( x− x 0)2 =0
chemin direct :
formule de Viète
2
thm « produit nul »
Δ=b 2−4 a c
S={ x 1 ; x 2 }
a ( x−k ) +m=0
b
avec : k =−
et m =− Δ
2a
4a
2
où : Δ=b − 4 a c
S={ x 0 }
b
Δ>0
Δ=0 : x 0=−
2a
−b± √ Δ
Δ> 0 : x 1,2 =
2a
Δ <0
a ( x−k ) +m=0
m
2
⇔( x− k ) =−
a
m
⇔ x− k=± −
a
m
⇔ x= k± −
a
√
√
S=∅
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Degré 2
Ma1 Ch7 : Degré 2
fonctions
f définie par
f(x)=ax +bx+c (avec a 
2
l'expression ax2+bx+c
est sous
forme développée [existe tjs]
forme factorisée [n'existe pas tjs]
forme canonique [existe tjs]
ordonnée à l'origine : f(0)=c
intersection avec l'axe Ox
donnée(s) par les solutions de
l'équation f(x)=0 [les zéros de f]
c’est-à-dire de ax2+bx+c = 0
axe de symétrie : x=m=− 2 a
forme convexe si a >0
forme concave si a < 0
points supplémentaires +
leurs symétriques : f(...)=...
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b
sommet : S=( − 2ba ;− 4Δa )
Si il y a des zéros : l'axe d
symétrie est situé entre les
deux zéros (ou sur l'unique zéro)
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Degré 2 : exemples
Ma1 Ch7 : Degré 2
1] y = -2x2 - 3x + 2, ou f(x) = -2x2 - 3x + 2 : forme développée
A / on n'arrive pas à factoriser directement
donc formule de Viète :
Δ=9−4(−2) 2=25>0
1
⇒ zéros: x 1=−2 et x 2=
2
1
⇒ y=−2[ x+2][ x− ]: forme factorisée
2
B/ via la complétion du carré
OU directement via les formules:
9
9
−(−3)
3
2
y=−2 [ x +3 x+ − +1]
k=
=− et
16 16
2⋅(−2)
4
2
25 25
3
9
m=− Δ =−
=
=−2 [( x + ) − −1]
4a
−8 8
4
16
2
2
3
25
3
25
2
d'où : y=a( x−k ) +m=−2 ( x+ ) +
=−2 [( x + ) − ]
4
8
4
16
2
3
25
=−2 ( x+ ) +
4
8
forme canonique
3
4
3 25
sommet : S =(− ; )
4 8
⇒ axe sym : x=−
C/ a=-2<0 : concave
D/ points suppl : ord.or : c=2, donc le point (0;2)
calcul : si x=1 : y=-3, , donc le point (1;-3)
par symétrie : (-1,5;2)
et (-2,5;3)
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Degré 2 : exemples
Ma1 Ch7 : Degré 2
2] y =2x2 - 3x + 2, ou f(x) = 2x2 - 3x + 2 : forme développée
A / on n'arrive pas à factoriser directement
donc formule de Viète :
Δ=(−3)2 −4⋅2⋅2=−7<0
⇒ pas de zéros
⇒ pas de forme factorisée
B/ y=...[via la complétion du carré] OU directement via les formules:
2
−(−3) 3
3
7
k=
= et
=2( x− ) +
2⋅2
4
4
8
2
(−3) −4⋅2⋅2
−7 7
m=− Δ =−
=−
=
4a
4⋅2
8 8
2
3
7
2
d'où : y=a( x−k ) +m=2( x− ) +
4
8
forme canonique
3
4
3 7
sommet : S =( ; )
4 8
⇒ axe sym : x=
C/ a=2>0 : convexe
D/ points suppl : ord.or : c=2, donc le point (0;2)
calcul : si x=-1 : y=7, , donc le point (-1;7)
par symétrie : (1,5;2)
et (2,5;7)
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