Chapitre 5.1 – La pression θ

Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 1
Chapitre 5.1 – La pression
La pression
La pression est une mesure de force par unité de surface. Dans cette définition, nous
utilisons seulement la composante de la force qui est perpendiculaire à la surface. Bien que
la force soit un vecteur, la pression est considérée comme un scalaire :
A
F
A
F
P
⊥
==
θ
cos
où
P
: La pression associée à un élément de surface (Pa)
⊥
F : Force perpendiculairement à la surface (N)
A
: Surface sur laquelle est appliquée la force (m
2
)
θ
: Angle entre la force et la normale à la surface
Unité SI (pascal) : [ ]
[
]
[ ]
21-
2
2
2
sm kg
m
m/skg
m
N
Pa
−
===== A
F
P
Situation A : La pression d’un piston. Un piston pousse horizontalement sur un cylindre
plein de 10 cm de rayon avec une force de 80 N. On désire évaluer la pression qu’exerce le
piston sur la surface du cylindre.
Nous pouvons évaluer la surface du cylindre :
2
RA π =
⇒
(
)
2
1,0 π =A
⇒
2
m0314,0=A
Évaluons maintenant la pression exercée par le piston :
A
F
P
⊥
=
⇒
(
)
( ) 0314,0
80
=P
⇒
Pa8,2548=P
L’équilibre et la pression
Selon la 2
ième
loi de Newton,
l’équilibre est atteint lorsque la
somme des forces est nulle. Dans le
cas de la pression, l’équilibre est
atteint
1
lorsque la pression évaluée de
chaque côté d’une surface d’épaisseur
infinitésimale est égale et qu’elle est
produite par des forces de signes
opposées.
1
Cette règle ne s’applique pas lorsque la gravité influence le calcul de la pression.
F
v
A
⊥
F
θ
1
F
v
2
F
v
A
FFF == 21
vv
P
A
F
P=
P
( ) mx
dx

Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 2
Théorème de la transmission horizontale de la pression
Le théorème de la transmission horizontale de la pression dans un système au repos
s’énonce de la façon suivante :
Dans un système de masses incompressibles horizontales au repos de surface
identique, la pression est constante en tout point sur un axe horizontal et elle est
égale à la pression externe causée par une force
F
v
qui se propage
horizontalement à l’ensemble du système.
Preuve :
Considérons un groupe de 3 cubes de surface A
alignés horizontalement et appuyés contre un
mur du côté droit. On applique une force
F
v
du
côté gauche afin de pousser les cubes vers le
mur. Les cubes sont incompressibles (le volume
ne change pas sous la présence d’une force).
À partir de la 2
ième
loi de Newton selon l’axe x (
∑
=
xx
maF ), évaluons les forces
normales de contact entre les cubes. Utilisons le fait que l’accélération est nulle pour tous
les cubes sont incompressibles :
Bloc
1
m Bloc
2
m Bloc
3
m
0
21
=− nF
⇒
21
nF =
0
3212
=− nn
⇒
3212
nn =
0
3M23
=− nn
⇒
3M23
nn =
En utilisant la 3
ième
loi de Newton (
BAAB
FF
v
v
−= ), on réalise que toutes les forces ont le
même module même si les cubes n’ont pas la même masse :
3M2312
nnnF ===
Évaluons la pression sur l’ensemble des surfaces verticales des différents cubes :
12
n
v
23
n
v
21
n
v
32
n
v
3M
n
v
F
v
0
1
=a
v 0
2
=a
v 0
3
=a
v
1
m
2
m
3
m
( ) mx
P P P
A
F
P=
P
Puisqu’il y a une force normale de module F qui est appliquée sur chacune des surfaces
verticales des différents cubes, alors la pression causée par la force
F
v
d’origine se propage
sur l’ensemble des cubes. ■
12
n
v
23
n
v
21
n
v
32
n
v
3M
n
v
F
v
0
1
=a
v
0
2
=a
v
0
3
=a
v
1
m
2
m
3
m
( ) mx

Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 3
Théorème de la transmission verticale de la pression sous
l’influence de la gravité
Le théorème de la transmission verticale de la pression dans un système au repos sous
l’influence de la gravité s’énonce de la façon suivante :
Dans un système de masses incompressibles verticales au repos de surface
identique, la pression externe causée par une force
F
v
se propage verticalement
à l’ensemble du système et la variation de pression gravitationnelle causée par
l’accumulation de masse au-dessus d’une surface est proportionnelle à la force
gravitationnelle
g
m
v
appliquée sur cette masse.
Mathématiquement, ce théorème se résume de la façon suivante :
g
PPP ∆+=
ext
où
P
: Pression mesurée à la surface (Pa)
ext
P : Pression externe (Pa) ( AFP /
ext ⊥
=)
g
P∆ : Variation de pression causée par la gravité (Pa) ( AgmP
totg
/=∆ )
Preuve :
Considérons un groupe de 3 cubes de surface A alignés verticalement
et appuyés contre le sol. On applique une force
F
v
sur le cube du haut
afin de pousser les cubes vers le sol. Les cubes sont incompressibles
(le volume ne change pas sous la présence d’une force).
À partir de la 2
ième
loi de Newton selon l’axe y (
∑
=
yy
maF ),
évaluons les forces normales de contact entre les cubes. Utilisons le
fait que l’accélération est nulle pour tous les cubes incompressibles :
Bloc 1 m Bloc 2 m Bloc 3 m
0
121
=−− Fgmn
⇒
Fgmn +=
112
0
12232 =−− ngmn
⇒
12232 ngmn +=
0
2333S =−− ngmn
⇒
2333S ngmn +=
En utilisant la 3
ième
loi de Newton (
BAAB
FF
v
v
−= ), nous pouvons évaluer nos forces normales
à partir de la force externe
F
v
et de la force gravitationnelle totale appliquée sur les cubes
au-dessus de la surface où la force normale est évaluée :
Surface cube 1-2
Fgmn +=
121
Surface cube 2-3
(
)
Fgmmn ++= 2132
Surface cube 3 et le sol
(
)
Fgmmmn +++= 3213S
F
v
gm v
1
21
n
v
12
n
v
gm v
2
32
n
v
23
n
v
3S
n
v
0
1
=a
v
0
2
=a
v
1
m
gm v
3
(
)
my
2
m
3
m
0
3
=a
v

Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 4
Évaluons la pression sur l’ensemble des surfaces verticales des différents cubes :
F
v
gm
v
1
21
n
v
12
n
v
gm
v
2
32
n
v
23
n
v
3S
n
v
0
1
=a
v
0
2
=a
v
1
m
gm
v
3
2
m
3
m
0
3
=a
v
A
F
P=
A
gmF
P
1
+
=
(
)
A
gmmF
P
21
++
=
(
)
A
gmmmF
P
321
+++
=
(
)
my
Généralisons l’expression de la pression de cette situation :
(
)
A
gmmmF
P
321
+++
=
⇒
A
gmF
P
tot
+
= (Remplacer
321
mmmm
tot
++= )
⇒
gext
PPP ∆+= ■ (Remplacer AFP
ext / ⊥
= , AgmP
totg
/ =∆ )
La pression atmosphérique
En 1648, le jeune prodige français Blaise Pascal a continué les travaux
sur le vide de Torricelli
2
ce qui a permis de confirmer l’existence de la
pression atmosphérique causée par le poids de l’atmosphère .
Au niveau de la mer, la pression atmosphérique moyenne est égale à la
valeur suivante :
Pa101,013kPa3,101
5
atm
×===
A
PP
Voici la répartition de la masse gazeuse dans atmosphère de la Terre :
Blaise Pascal
(1623-1662)
La pression atmosphérique est très faible à des
hauteurs supérieures à 16 km.
Sous une altitude de 30 km à 40 km, on peut retrouver
99% de la masse atmosphérique.
On évalue la masse de l'atmosphère terrestre à
5,13 10
18
kg, soit environ un millionième de la masse
de Terre.
2
Evangelista Torricelli a inventé le baromètre à tube de mercure. Le torr (unité de pression correspondant à
une colonne de mercure de 1 mm) lui a été dédié en l’honneur de ses travaux non publiés.

Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 5
La pression dans un fluide homogène
Les travaux du physicien et mathématicien italien Evangelista
Torricelli sur le baromètre à tube de mercure permis d’établir un lien
entre la variation de pression exercée par une colonne d’un fluide
3
homogène et la hauteur de la colonne en question. Ainsi, la variation de
pression
P
∆
causée par une colonne d’un fluide
homogène dépend de
la masse volumique
ρ
du fluide, de la hauteur h de la colonne du
fluide et de la gravité g . La pression augmente vers le bas de la colonne
et diminue vers le haut de la colonne :
hgP
g
ρ ±=∆
Evangelista Torricelli
(1608-1647)
où
g
P ∆ : Variation de pression causée par la gravité appliquée sur une colonne (Pa)
ρ
: Masse volumique de la matière (kg/m
3
)
g
: Champ gravitationnel appliqué sur la colonne (N/kg)
h : Hauteur de la colonne de matière (m)
Signe : (+) Positif si la colonne est au-dessus du point de mesure.
(-) Négatif si la colonne est sous le point de mesure.
Preuve :
Évaluons la variation de la pression causée par la gravité appliquée sur la
colonne de liquide d’une hauteur h , de rayon R et de masse volumique
ρ
. Utilisons le théorème précédent pour définir une expression initiale à
la variation de la pression :
A
gm
P
tot
g
=∆
⇒
(
)
A
gV
P
g
ρ
=∆ (Remplacer Vm
tot
ρ = )
⇒
(
)
A
ghA
P
g
ρ
=∆ (Remplacer hAV
=
)
⇒
hgP
g
ρ =∆ ■ (Simplifier A )
Pression dans une colonne de
liquide :
Principe du vase
communiquant :
21
hh = car
21
PP =
Cette situation est valide uniquement
lorsque la pression à la surface des deux
côtés est identique.
Pression lors d’une colonne
« virtuelle » de matière :
Il y a transmission de la pression
horizontale même s’il n’y a pas réellement
de liquide au-dessus du point.
3
Un fluide est un milieu parfaitement déformable (ex: liquide, gaz)