Troisième apparition des quanta

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TROISIEME APPARITION DES QUANTA
Un peu d’histoire
Leucippe et Démocrite puis ... Dalton et consorts
Au Ve siècle avant notre ère, Leucippe conjecture que la nature est formée de grains, les atomes - ce
mot veut dire insécable. Puis Démocrite, son élève, approfondit cette théorie. Dans les siècles suivants,
l’hypothèse atomique est contestée et rejetée. Mais en 1808 John Dalton (physicien et chimiste
britannique 1766-1844) reprend l’idée des atomes pour expliquer les proportions observées lors des
réactions chimiques. Il les imagine comme des sphères pleines, c’est le modèle de Dalton.
L’hypothèse atomique est aussi relancée à la même époque par Amedeo Avogadro, Joseph Gay-
Lussac et André Marie Ampère pour leurs études sur les gaz.
John - Joseph Thomson
A la fin du XIXe siècle les physiciens réalisent des décharges électriques dans des tubes à gaz raréfié.
Ils observent les rayons cathodiques, c'est-à-dire un rayonnement émis par la cathode et se dirigeant
vers l’anode. En 1895 Jean Perrin découvre que ces rayons cathodiques sont formés de corpuscules
chargés négativement. Il imagine alors l’atome comme formé de particules négatives tournant autour
de particules positives.
En 1897 J-J. Thomson (physicien britannique 1856-1940) montre que tous les atomes donnent les
mêmes particules négatives qu’il nomme électrons et mesure leur charge massique e/m. L’atome est en
fait sécable, des particules possédant une masse et une charge peuvent en être extraites. Et comme
l’atome est neutre, il doit contenir aussi des charges positives.
J-J. Thomson propose le modèle d’atome qui porte son nom, dit aussi du plum-pudding, un gâteau aux
raisins secs. Il est constitué d’une charge positive uniformément répartie dans l’espace (la pâte du
gâteau) et d’électrons (les raisins) disposés régulièrement.
Ernest Rutherford
En 1911 Rutherford (physicien néozélandais 1871-1937) bombarde une très mince feuille d’or avec
des particules α - de charge positive, en fait des noyaux d’hélium - produites par la radioactivité
naturelle. Il s’attend à ce que les noyaux d’hélium rebondissent sur la feuille comme des ballons
arrivant sur un mur. Mais pratiquement tous les noyaux traversent la feuille d’or sans être déviés.
Quelques uns sont déviés, de manière variable - une très faible proportion repartant vers l’arrière.
En rouge deux noyaux d’or.
En bleu les trajectoires des particules α qui
arrivent par le bas du schéma.
(Les trajectoires ici schématisées sont en
fait des branches d’hyperboles.)

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L’expérience de Rutherford conduit à abandonner le modèle de Thomson car elle montre l’existence
d’un noyau positif : la charge positive est concentrée dans un rayon cent mille fois plus petit que
l’atome. (Le facteur cent mille se calcule à partir des résultats chiffrés de l’expérience.)
Rutherford propose un modèle planétaire de l’atome : les électrons tournent autour du noyau comme
les planètes gravitent autour du Soleil. L’atome est formé de quelques grains de matière - noyau et
électrons - et de beaucoup de vide.
L’impuissance de la physique classique
Lorsqu’un électron tourne autour du noyau, son mouvement possède une accélération (qui est
centripète), même s’il est uniforme (à vitesse constante).
Le schéma montre le vecteur vitesse v1 à un premier instant, puis v2 une seconde plus tard. Le vecteur
en pointillé sert à construire v2 - v1. Cette différence divisée par une seconde représente le vecteur
accélération.
Or les lois de l’électromagnétisme montrent qu’une charge accélérée émet une onde électromagnétique
et donc perd de l’énergie. Tôt ou tard l’électron devrait perdre toute son énergie cinétique et de ce fait
s’écraser sur le noyau. Le modèle planétaire de l’atome, d’après la physique classique (mécanique et
électromagnétisme) est instable.
De plus toujours d’après la physique classique, dans son mouvement en spirale vers le noyau
l’électron émet un rayonnement de spectre continu. Or comme nous l’avons déjà vu, Kirchhoff a
montré en 1859 que les spectres d’émission sont des spectres de raies - c'est-à-dire discontinus.
Les spectres d’émission et d’absorption
Emission et absorption
Un gaz chauffé ou soumis à des décharges émet des ondes électromagnétiques dont le spectre est
formé de raies. Le spectre d’émission d’un atome est discontinu et le caractérise. Les spectres de
l’atome d’hydrogène ou de sodium sont tous les deux des spectres de raies mais ce ne sont pas les
mêmes raies.
Les spectres d’absorption des gaz sont eux aussi discontinus et leurs raies ont les mêmes fréquences
que ceux d’émission.

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Les séries de l’hydrogène
En 1885, Johann Balmer (physicien et mathématicien suisse 1825-1898) découvre que les quatre raies
visibles du spectre de l’atome d’hydrogène - dites série de Balmer - obéissent à la loi suivante :
2
1 1 1
4
H
Rn
RH = 0,01097 nm-1 est la constante de Rydberg (Johannes Rydberg physicien suédois 1854-1919), et n
est un entier qui prend les valeurs 3, 4, 5 ou 6. La raie suivante obtenue pour n = 7 est rapidement
observée ce qui confirme la loi expérimentale de Balmer.
Puisque nous travaillons avec les fréquences, la formule de Balmer peut aussi s’écrire, c étant la
célérité de la lumière :
2
11
4
H
cRc n
Les séries de Lyman (1906), Paschen (1908), Brackett (1922) et Pfund (1924) sont ensuite observées
dans l’ultraviolet pour la première et dans l’infrarouge pour les trois suivantes. Elles suivent la loi :
22
11
H
Rc pn
L’entier p détermine la série : p =1 pour la série de Lyman, p = 2 pour celle de Balmer, 3 pour Paschen
etc.
La règle des combinaisons de Ritz
En 1908 Ritz remarque que pour un atome donné, un inverse de longueur d’onde du spectre est la
somme (ou la différence) de deux autres inverses de longueurs d’onde du spectre :
1 1 1 1 1 1
a b c b a c
ou
(Il était habituel de travailler avec les inverses des longueurs d’onde.)
Il trouve que cela peut s’obtenir facilement si les inverses des longueurs d’onde sont des différences de
deux termes dits termes spectraux :
1/λb = T1 - T2
1/λc = T2 - T3
donc 1/λa = 1/λb + 1/λc = T1 – T3
D’après la règle des combinaisons de Ritz chaque atome est caractérisé par une suite de nombres Tn
repérés par un indice n et connus à une constante additive près.
Par exemple, les termes spectraux T de l’hydrogène peuvent s’écrire à une constante additive près :
2
H
nR
Tn
L’arrivée de Niels Bohr
Qui est Niels Bohr ?
Niels Bohr est un physicien danois né en 1885 et mort en 1962.

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Sa thèse porte sur le comportement théorique des électrons dans les métaux. Déjà sur ce sujet il se
heurte à l’impuissance de la physique classique qui ne peut expliquer les propriétés de la conduction
électrique.
Il travaille ensuite avec J-J. Thomson puis Rutherford, ce qui dirige ses recherches vers les modèles
atomiques.
En 1913, à 28 ans, il élabore un nouveau modèle d’atome. Il est prix Nobel en 1922. Il sera le chef de
file de la brillante « école de Copenhague ».
Le modèle de Bohr
Bohr s’inspire de la quantification de Planck-Einstein, de la règle des combinaisons de Ritz, du
modèle de Rutherford et de la formule de Balmer. La physique quantique continue de naître.
Bohr utilise la quantification de Planck-Einstein : Lors de l’émission ou de l’absorption d’un photon
par un atome celui-ci cède ou reçoit l’énergie du photon hν.
Il postule ensuite que dans l’état initial et dans l’état final l’énergie de l’atome est bien
déterminée, qu’elle est « stationnaire », que l’électron ne rayonne pas - contrairement aux lois de
la physique classique.
Considérant alors l’absorption d’un photon, il peut donc traduire la conservation de l’énergie du
système atome-photon par l’égalité :
Efinale de l’atome = Einitiale de l’atome + hν
ou hν = Efinale de l’atome - Einitiale de l’atome
La règle des combinaisons de Ritz suggère que l’énergie de l’atome s’identifie à -hcTn puisque
l’énergie de l’atome est négative - voir plus loin - et que hν=hc/λ. Mais alors l’énergie de l’atome est
quantifiée, l’énergie de l’atome ne peut prendre que les valeurs de la suite -hcTn ; toutes les énergies ne
sont pas possibles. Après la quantification par Planck des échanges d’énergie avec le rayonnement,
celle de la lumière par Einstein, vient celle de l’énergie de l’atome par Bohr.
Bohr conserve le modèle planétaire de Rutherford mais comme toutes les énergies ne sont pas
permises, toutes les trajectoires non plus. Seules certaines orbites sont possibles. Et sur celles-ci, il
postule que l’électron ne rayonne pas et donc que l’énergie de l’atome est stationnaire. C’est le
premier postulat de Bohr. Ainsi est respectée la stabilité de l’atome.
La formule de Balmer lui suggère que l’énergie de l’atome d’hydrogène dépend d’un nombre entier n
à la puissance -2. Ce qui le conduit à son deuxième postulat :
L’expression de l’énergie de l’atome d’hydrogène
L’électron décrit une orbite circulaire sous l’action de la force de Coulomb.
L’énergie de l’atome est la somme de son énergie potentielle électrostatique et de son énergie
cinétique :
22
0
1
42
pc e
E E E mv
r
L’énergie potentielle est définie à une constante additive près, ici on a choisi Ep = 0 lorsque r devient
infini.
Le principe fondamental de la dynamique se traduit par l’égalité de l’accélération centripète multipliée
par la masse avec la force de Coulomb :

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22
2
0
2
2
0
4
1
28
ma F
ve
mrr
e
mv r
Donc l’énergie de l’atome s’écrit :
22
00
48
ee
Err
2
0
8e
Er
Ensuite, deuxième postulat, Bohr quantifie le moment cinétique L de l’atome. C’est une grandeur
physique qui mesure la quantité de rotation d’un corps en mouvement. Dans le cas du mouvement
circulaire de l’électron, il s’écrit :
L mvr
Il s’exprime en J.s comme la constante de Planck.
Le deuxième postulat de Bohr consiste à poser que le moment cinétique est un nombre entier fois la
constante de Planck divisée par 2π :
2
nh
Ln
D’où on peut déduire :
2
nn
nh
vmr
Et on reporte cette expression dans le principe fondamental :
22
2
0
22
02
2
0
1
24
n n n
n
n
nh e
mmr r r
h
rn
me
r a n
Le rayon de Bohr a0 vaut 0,053 nm. On a ainsi obtenu les rayons des orbites de Bohr. Il y en a une
infinité n variant de 1 à l’infini. Lorsque n = 1, l’électron est le plus proche possible du noyau. Lorsque
n est infini, l’électron n’est plus lié au noyau, l’atome est ionisé.
Et on calcule finalement l’énergie de l’atome d’hydrogène :
24
2 2 2
00
0
2
1
88
nn
n
e me
Er h n
E
En
L’énergie E0 vaut -13,6 eV. Lorsque n = 1, l’énergie de l’atome est la plus basse possible E1 = - E0,
l’atome est dans son état de plus grande stabilité. Lorsque n est infini, l’énergie s’annule, l’électron
n’est plus lié au noyau (la nullité de l’énergie correspond au choix du zéro de l’énergie potentielle).