Formulaire

Université de Strasbourg Électromagnétisme
Licence MPA, L2–S4 c G. Weick
Formulaire
Systèmes de coordonnées
Coordonnées cartésiennes
dl=dxˆ x+dyˆy+dzˆz; dτ=dxdydz
∇f=∂f
∂xˆ
x+∂f
∂yˆy+∂f ∂zˆz
∇ · v=∂vx
∂x+∂vy ∂y+∂vz ∂z
∇ × v=∂vz
∂y−∂vy ∂zˆ
x+∂vx
∂z−∂vz ∂xˆy+∂vy ∂x−∂vx ∂yˆz
∇2f=∂2f
∂x2+∂2f ∂y2+∂2f ∂z2
Coordonnées sphériques
x=rsin θcos ϕ
y=rsin θsin ϕ
z=rcos θ
ˆ
x=sin θcos ϕˆ r+cos θcos ϕˆ θ−sin ϕˆϕ
ˆy=sin θsin ϕˆ r+cos θsin ϕˆ θ+cos ϕˆϕ
ˆz=cos θˆ r−sin θˆ θ
r=qx2+y2+z2
θ=arctan(qx2+y2/z)
ϕ=arctan(y/x)
ˆ
r=sin θcos ϕˆ x+sin θsin ϕˆy+cos θˆz
ˆ
θ=cos θcos ϕˆ x+cos θsin ϕˆy−sin θˆz
ˆϕ=−sin θˆ x+cos θˆy
dl=drˆ r+rdθˆ θ+rsin θdϕˆϕ; dτ=r2sin θdrdθdϕ
∇f=∂f
∂rˆ
r+1
r
∂f
∂θ ˆ
θ+1
rsin θ
∂f
∂ϕ ˆϕ
∇ · v=1
r2
∂
∂r(r2vr) + 1 rsin θ
∂
∂θ (sin θvθ) + 1 rsin θ
∂vϕ
∂ϕ
∇ × v=1
rsin θ∂ ∂θ (sin θvϕ)−∂vθ ∂ϕ ˆ
r+1
r1 sin θ
∂vr
∂ϕ −∂ ∂r(rvϕ)ˆ
θ+1
r∂ ∂r(rvθ)−∂vr ∂θ ˆϕ
∇2f=1
r2
∂
∂rr2∂f ∂r+1 r2sin θ
∂
∂θ sin θ∂f ∂θ +1
r2sin2θ
∂2f
∂ϕ2
Coordonnées cylindriques
x=rsin θ
y=rcos θ
z=z
ˆ
x=cos θˆ r−sin θˆ θ
ˆy=sin θˆ r+cos θˆ θ
ˆz=ˆz
1

r=qx2+y2
θ=arctan(y/x)
z=z
ˆ
r=cos θˆ x+sin θˆy
ˆ
θ=−sin θˆ x+cos θˆy
ˆz=ˆz
dl=drˆ r+rdθˆ θ+dzˆz; dτ=rdrdθdz
∇f=∂f
∂rˆ
r+1
r
∂f
∂θ ˆ
θ+∂f
∂zˆz
∇ · v=1
r
∂
∂r(rvr) + 1 r
∂vθ
∂θ +∂vz ∂z
∇ × v=1
r
∂vz
∂θ −∂vθ ∂zˆ
r+∂vr
∂z−∂vz ∂rˆ
θ+1
r∂ ∂r(rvθ)−∂vr ∂θ ˆz
∇2f=1
r
∂
∂rr∂f ∂r+1 r2
∂2f
∂θ2+∂2f ∂z2
Identités vectorielles
Triples produits
(1) A·(B×C) = B·(C×A) = C·(A×B)
(2) A×(B×C) = B(A·C)−C(A·B)
Règles du produit
(3) ∇(f g) = f(∇g) + g(∇f)
(4) ∇(A·B) = A×(∇ × B) + B×(∇ × A) + (A· ∇)B+ (B· ∇)A
(5) ∇ · (fA) = f(∇ · A) + A·(∇f)
(6) ∇ · (A×B) = B·(∇ × A)−A·(∇ × B)
(7) ∇ × (fA) = f(∇ × A)−A×(∇f)
(8) ∇ × (A×B) = (B· ∇)A−(A· ∇)B+A(∇ · B)−B(∇ · A)
Dérivées secondes
(9) ∇ · (∇ × A) = 0
(10) ∇ × (∇f) = 0
(11) ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A)− ∇2A
Théorèmes fondamentaux
Théorème du gradient : Zb
adl· ∇ f=f(b)−f(a)
Théorème de la divergence : ZVdτ(∇ · A) = ISda·A(Green-Ostrogradski)
Théorème du rotationnel : ZSda·(∇ × A) = IPdl·A(Stokes)
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Équations fondamentales de l’électrodynamique
Équations de Maxwell
Forme générale :
∇ · E=1
e0ρ
∇ × E=−∂B
∂t
∇ · B=0
∇ × B=µ0J+µ0e0∂E
∂t
Dans la matière :
∇ · D=ρf
∇ × E=−∂B
∂t
∇ · B=0
∇ × H=Jf+∂D
∂t
Champs auxiliaires
Définitions :
D=e0E+P
H=1
µ0B−M
Milieux linéaires :
P=e0χeE,D=eE
M=χmH,H=1
µB
Potentiels
E=−∇V−∂A
∂t
B=∇ × A
Force de Lorentz
F=q(E+v×B)
Constantes fondamentales
e0=8.85 ×10−12 C2/Nm2(permittivité du vide)
µ0=4π×10−7N/A2(perméabilité du vide)
c=3.00 ×108m/s (vitesse de la lumière)
e=1.60 ×10−19 C (charge de l’électron)
m=9.11 ×10−31 kg (masse de l’électron)
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