Activités lois de Kepler

Lois de Kepler
Activité de découverte : la troisième loi de Kepler
La troisième loi de Kepler est l’expression de la relation entre le demi-grand axe a et la période de
révolution T de la trajectoire d’une planète autour de son astre : T
n
= k.a
k
où n et k sont des entiers
naturels que l’on se propose de déterminer en prenant pour astre le Soleil et pour planètes celles
du système solaire.
planète Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune
Période
de
révolution
autour du
soleil (en
jour)
87,969 224,701 365,256 686,98 4332,59 10759,2 30688,5 60182,3
Demi-
grand (en
U.A)
0,38709
8 0,72333 1,00000 1,52367 9 5,20260 3 9,55490 9 19,2184 5 30,1103 9
A l’aide d’un tableur tracer la période de révolution de chaque planète en fonction du demi-grand
axe T = f(a). Trouver alors un modèle permettant de répondre au problème posé.
F F’
M
2a
Une ellipse
avec
ses
caractéristiques
∆t
Soleil
∆A
∆A
∆A
∆t
∆t
Deuxième loi de Kepler
: L’aire balayée
∆
A
pendant une durée ∆t est constante
Plan
orbital
S
S
S
Trajectoire du satellite
O
Plan orbital et trajectoire
d’un satellite
9
ACTIVITÉS

Activité : le cercle des planètes disparues Liban 2009
La planète Pluton, découverte par l’américain Clyde Tombaugh en 1930 était considérée comme
la neuvième planète de notre système solaire.
Le 5 janvier 2005, une équipe d’astronomes a découvert sur des photographies prises le 21
octobre 2003 un nouveau corps gravitant autour du Soleil.
Provisoirement nommé 2003 UB313, cet astre porte maintenant le nom d’Éris du nom de la déesse
grecque de la discorde.
La découverte d’Éris et d’autres astres similaires (2003 EL. 61, 2005 FY9...) a été le début de
nombreuses discussions et controverses acharnées entre scientifiques sur la définition même du mot
« planète ».
Au cours d’une assemblée générale, le 24 août 2006 à Prague 2500 astronomes de l’Union
Astronomique Internationale (UAI) ont décidé à main levée de déclasser Pluton comme planète pour
lui donner le rang de « planète naine » en compagnie d’Éris et de Cérès (gros astéroïde situé entre
Mars et Jupiter).
● Orbite d’Éris
Éris parcourt une orbite elliptique autour du Soleil avec une période de révolution T
E
valant environ
557 années terrestres.
Données : Période de révolution terrestre : T
T
=1,00 an ; Période de révolution de Pluton : T
P
= 248 ans
1- Énoncer précisément la troisième loi de Kepler, relative à la période de révolution d’une
planète autour du Soleil, dans le cas d’une orbite elliptique.
2- L’orbite d’Éris se situe-t-elle au-delà ou en-deçà de celle de Pluton ? Justifier sans calcul.
Les astronomes ont découvert ensuite qu’Éris
possède un satellite naturel qui a été baptisé
Dysnomia (fille d’Éris et déesse de l’anarchie...).
Six nuits d’observation depuis la Terre ont
permis de reconstituer l’orbite de Dysnomia.
On obtient la photographie ci-contre.
Données :
M
E
et M
D
sont les masses respectives d’Eris et de
Dysnomia
Masse de Pluton : M
P
= 1,31×10
22
kg
Rayon de l’orbite circulaire de Dysnomia R
D
= 3,60×10
7
m
Période de révolution de Dysnomia : T
D
= 15,0 jours ≈ 1,30×10
6
s
Constante de gravitation universelle : G = 6,67×10
-11
m
3
.kg
-1
.s
-2
● Mouvement de Dysnomia
Le mouvement de Dysnomia autour d’Eris est supposé circulaire et
uniforme.
1- Définir le référentiel permettant d’étudier le mouvement de
Dysnomia autour d’Éris. Par la suite, ce référentiel sera
considéré comme galiléen.
2- Établir l’expression du vecteur accélération
a
du centre d’inertie de
Dysnomia en fonction des paramètres de l’énoncé et d’un vecteur
unitaire ED u représenté sur le schéma ci-contre.
3- Préciser la direction et le sens de ce vecteur accélération.
4- Montrer que la période de révolution T
D
de Dysnomia a pour
expression :
T
D
= 2π
E
3
D
M.G
R
.
5- Retrouve-t-on la troisième loi de Kepler ? Justifier.
NASA, ESA and M. Brown (California Institute of Technology)
http://web.gps.caltech.edu/~mbrown/planetlila/moon/index.html
E
D
ED
u
r

● Masse d’Éris
1- Déduire de l’expression de T
D
celle de la masse M
E
d’Éris. Calculer sa valeur.
2- Calculer le rapport des masses d’Éris et de Pluton
P
E
M
M
. Expliquer alors pourquoi la découverte
d’Éris a remis en cause le statut de planète pour Pluton.
Activité : Les satellites galiléens
« Parmi les nombreux satellites de Jupiter connus à ce jour, les quatre gros satellites découverts à
l’aide d’une lunette en janvier 1610 par Galilée, et baptisés plus tard Io, Europe, Ganymède et
Callisto par Simon Marius, constituent un groupe à part en raison de leurs tailles, de leurs masses,
de leurs orbites et de leurs compositions.
Les satellites galiléens de Jupiter sont de tailles voisines de celles de la Lune ou de la planète
Mercure. Ils parcourent tous les quatre des orbites quasi circulaires dont les rayons vont de
422000 km pour Io, jusqu’à 1880000 km pour Callisto. Jusqu’en mars 1979, date de la rencontre
de la sonde, Voyager 1 avec le système jovien [de Jupiter], les satellites galiléens n’étaient connus
que comme des points lumineux difficiles à observer en raison de l’éclat de la planète géante. »
Source: Le grand Atlas de l’Astronomie. Encyclopedia Universalis.
Donnée : Constante de gravitation universelle: G = 6,67×10
-11
SI.
1- Établir que la valeur v de la vitesse de Io vérifie la relation
r
m
G=v
J
0 Préciser ce que
désignent G, mJ et r.
2- Dans quel référentiel les mouvements des satellites de Jupiter sont-ils décrits ?
3- Dans le référentiel «jupitérocentrique», la période de révolution de Io est égale à 1 j 18h 18
min.
a- Calculer la vitesse v de Io en km.s-1.
b- En déduire la valeur a de l’accélération orbitale de Io.
4- La masse de Io est égale à 892×1020 kg.
a- Caractériser la force F exercée par Jupiter sur Io. Quelle est la nature de F ?
b- Que dire de la force exercée par Io sur Jupiter?
5- Calculer la masse de Jupiter.
6- Le rayon de Jupiter est égal à 7,15×104 km. Calculer la masse volumique de Jupiter sachant
que le volume d’une sphère de rayon r est égal à (4/3)π.r3. Comparer à celle de la Terre qui
est de 5,52×103 kg.m-3.
7- Quelle est la relation vérifiée par la grandeur T2/r3 pour les satellites de Jupiter ?
8- Rappeler ce qu’est un satellite géostationnaire.
9- La période propre T de Jupiter est égale à 9h 55 min. L’un des quatre satellites galiléens peut-il
être en orbite «jupitérostationnaire» ?
10- Calculer la période de révolution de Callisto.