Lois de Kepler ACTIVITÉS 9 ∆t 2a ∆A M ∆t ∆A ∆A Soleil F’ F ∆t Deuxième loi de Kepler : L’aire balayée ∆A pendant une durée ∆t est constante Une ellipse avec ses caractéristiques Activité de découverte : la troisième loi de Kepler La troisième loi de Kepler est l’expression de la relation entre le demi-grand axe a et la période de révolution T de la trajectoire d’une planète autour de son astre : Tn = k.ak où n et k sont des entiers naturels que l’on se propose de déterminer en prenant pour astre le Soleil et pour planètes celles du système solaire. planète Période de révolution autour du soleil (en jour) Demigrand (en U.A) Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune 87,969 224,701 365,256 686,98 4332,59 10759,2 30688,5 60182,3 0,38709 8 0,72333 1,00000 1,52367 9 5,20260 3 9,55490 9 19,2184 5 30,1103 9 A l’aide d’un tableur tracer la période de révolution de chaque planète en fonction du demi-grand axe T = f(a). Trouver alors un modèle permettant de répondre au problème posé. Trajectoire du satellite S O S S Plan orbital Plan orbital et trajectoire d’un satellite Activité : le cercle des planètes disparues Liban 2009 La planète Pluton, découverte par l’américain Clyde Tombaugh en 1930 était considérée comme la neuvième planète de notre système solaire. Le 5 janvier 2005, une équipe d’astronomes a découvert sur des photographies prises le 21 octobre 2003 un nouveau corps gravitant autour du Soleil. Provisoirement nommé 2003 UB313, cet astre porte maintenant le nom d’Éris du nom de la déesse grecque de la discorde. La découverte d’Éris et d’autres astres similaires (2003 EL. 61, 2005 FY9...) a été le début de nombreuses discussions et controverses acharnées entre scientifiques sur la définition même du mot « planète ». Au cours d’une assemblée générale, le 24 août 2006 à Prague 2500 astronomes de l’Union Astronomique Internationale (UAI) ont décidé à main levée de déclasser Pluton comme planète pour lui donner le rang de « planète naine » en compagnie d’Éris et de Cérès (gros astéroïde situé entre Mars et Jupiter). ● Orbite d’Éris Éris parcourt une orbite elliptique autour du Soleil avec une période de révolution TE valant environ 557 années terrestres. Données : Période de révolution terrestre : TT =1,00 an ; Période de révolution de Pluton : TP = 248 ans 1- Énoncer précisément la troisième loi de Kepler, relative à la période de révolution d’une planète autour du Soleil, dans le cas d’une orbite elliptique. 2- L’orbite d’Éris se situe-t-elle au-delà ou en-deçà de celle de Pluton ? Justifier sans calcul. Les astronomes ont découvert ensuite qu’Éris possède un satellite naturel qui a été baptisé Dysnomia (fille d’Éris et déesse de l’anarchie...). Six nuits d’observation depuis la Terre ont permis de reconstituer l’orbite de Dysnomia. On obtient la photographie ci-contre. Données : ME et MD sont les masses respectives d’Eris et de NASA, ESA and M. Brown (California Institute of Technology) Dysnomia 22 http://web.gps.caltech.edu/~mbrown/planetlila/moon/index.html Masse de Pluton : MP = 1,31×10 kg Rayon de l’orbite circulaire de Dysnomia RD = 3,60×107 m Période de révolution de Dysnomia : TD = 15,0 jours ≈ 1,30×106 s Constante de gravitation universelle : G = 6,67×10-11 m3.kg-1.s-2 ● Mouvement de Dysnomia Le mouvement de Dysnomia autour d’Eris est supposé circulaire et uniforme. 1- Définir le référentiel permettant d’étudier le mouvement de Dysnomia autour d’Éris. Par la suite, ce référentiel sera considéré comme galiléen. 2- Établir l’expression du vecteur accélération a du centre d’inertie de Dysnomia en fonction des paramètres de l’énoncé et d’un vecteur unitaire uED représenté sur le schéma ci-contre. 3- Préciser la direction et le sens de ce vecteur accélération. 4- Montrer que la période de révolution TD de Dysnomia a pour expression : TD = 2π RD3 . G.ME 5- Retrouve-t-on la troisième loi de Kepler ? Justifier. D r uED E ● Masse d’Éris 1- Déduire de l’expression de TD celle de la masse ME d’Éris. Calculer sa valeur. 2- Calculer le rapport des masses d’Éris et de Pluton ME . Expliquer alors pourquoi la découverte MP d’Éris a remis en cause le statut de planète pour Pluton. Activité : Les satellites galiléens « Parmi les nombreux satellites de Jupiter connus à ce jour, les quatre gros satellites découverts à l’aide d’une lunette en janvier 1610 par Galilée, et baptisés plus tard Io, Europe, Ganymède et Callisto par Simon Marius, constituent un groupe à part en raison de leurs tailles, de leurs masses, de leurs orbites et de leurs compositions. Les satellites galiléens de Jupiter sont de tailles voisines de celles de la Lune ou de la planète Mercure. Ils parcourent tous les quatre des orbites quasi circulaires dont les rayons vont de 422000 km pour Io, jusqu’à 1880000 km pour Callisto. Jusqu’en mars 1979, date de la rencontre de la sonde, Voyager 1 avec le système jovien [de Jupiter], les satellites galiléens n’étaient connus que comme des points lumineux difficiles à observer en raison de l’éclat de la planète géante. » Source: Le grand Atlas de l’Astronomie. Encyclopedia Universalis. Donnée : Constante de gravitation universelle: G = 6,67×10-11 SI. 1- Établir que la valeur v de la vitesse de Io vérifie la relation v 0 = G mJ Préciser ce que r désignent G, mJ et r. 2- Dans quel référentiel les mouvements des satellites de Jupiter sont-ils décrits ? 3- Dans le référentiel «jupitérocentrique», la période de révolution de Io est égale à 1 j 18h 18 min. a- Calculer la vitesse v de Io en km.s-1. b- En déduire la valeur a de l’accélération orbitale de Io. 4- La masse de Io est égale à 892×1020 kg. a- Caractériser la force F exercée par Jupiter sur Io. Quelle est la nature de F ? b- Que dire de la force exercée par Io sur Jupiter? 5- Calculer la masse de Jupiter. 6- Le rayon de Jupiter est égal à 7,15×104 km. Calculer la masse volumique de Jupiter sachant que le volume d’une sphère de rayon r est égal à (4/3)π.r3. Comparer à celle de la Terre qui est de 5,52×103 kg.m-3. 7- Quelle est la relation vérifiée par la grandeur T2/r3 pour les satellites de Jupiter ? 8- Rappeler ce qu’est un satellite géostationnaire. 9- La période propre T de Jupiter est égale à 9h 55 min. L’un des quatre satellites galiléens peut-il être en orbite «jupitérostationnaire» ? 10- Calculer la période de révolution de Callisto.