1 Le parallélogramme

Épisode 8 - Les parallélogrammes Activités mathématiques 5e
Pour ce huitième épisode, ta mission est de :
•Connaître les propriétés du parallélogramme
•Construire un parallélogramme
•Reconnaître un parallélogramme
•Connaître les parallélogrammes particuliers
•Construire un rectangle, un losange ou un carré
•Reconnaître un rectangle, un losange ou un carré
•Effectuer des tracés précis et soignés
•Structurer un raisonnement
•Utiliser ses connaissances afin de résoudre une tâche complexe
1 Le parallélogramme
✄
✂ ✁
Activité n° 1 : Avec un pavage . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . . .✍
Julie a été au palais de la découverte à Paris et elle a été
très impressionnée par un pavage. Une fois rentrée, elle
explique à son cousin Julien son voyage et lui montre la
photo ci-contre. Elle souhaiterait décorer le mur blanc
de sa chambre avec un joli pavage mais elle ne sait pas
comment s’y prendre.
Julien affirme qu’il n’est pas compliqué de réaliser un
pavage basique. En effet, il suffit de regarder le carrelage
d’un sol avec des carreaux carrés pour s’en apercevoir.
Cependant, il va proposer un pavage plus rigolo à Julie.
Voici la méthode de Julien en trois étapes.
Réalise à ton tour un magnifique pavage sur ta feuille.
1. En utilisant le quadrilage de ton cahier, place des points rouges de la manière suivante.
2. Relie ensuite les points horizonatlement et en diagonale comme ci-dessous.
3. Colorie chaque case de ce pavage.
Julie s’exclame à la vue de ton pavage : « Mais je connais ces figures ! Elles ont de nombreuses caractéristiques. »
1. Comment s’appelle chaque case que vous avez colorié ?
2. Donne tous les éléments caractéristiques de ces figures (ses côtés, ses angles).
3. Trace les diagonales d’une de ces figures. Que remarques-tu ?
4. Quel rôle joue le point d’intersection des diagonales pour cette figure ?
✄
✂ ✁
Activité n° 2 : Attention à l’ordre des points . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . ✍
Sur la figure suivante, trace à main levée, en vert, le point D tel que ABCD soit un parallélogramme, en vert, le
point E tel que AEBC soit un parallélogramme, et en rouge, le point F tel que ABFC soit un parallélogramme.
×
A
×
B
×
C
N. SANS Page 1 Lycée Français Jean Giono

Épisode 8 - Les parallélogrammes Activités mathématiques 5e
✄
✂ ✁
Activité n° 3 : Avec un quadrilage . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . ✍
Consignes à respecter : Pour construire EFGH, utiliser les propriétés des côtés du parallélogramme. Pour
construire RSTU, utiliser les propriétés des diagonales du parallélogramme.
En respectant les consignes données, place les points H et U afin que EFGH et RSTU soient deux parallélo-
grammes.
×
E
×F
×G
×R
×S
×T
✄
✂ ✁
Activité n° 4 : Sans quadrilage . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . ✍
1. Sur la figure suivante, es-tu capable de placer le point D uniquement avec la règle et l’équerre afin que
le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme ?
×
A
×C
×B
2. Sur la figure suivante, es-tu capable de placer le point D uniquement avec le compas afin que le quadrilatère
ABCD soit un parallélogramme ?
×
A
×C
×B
Définition :
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
Par exemple, le quadrilatère ci-contre est un parallélogramme.
Cela signifie que ses côtés opposés sont parallèles.
•(AB) k(DC)
•(AD) k(BC)
×
A×B
×C
×D
Propriété :
Un paralléogramme a un centre de symétrie. C’est le point d’intersection de ses diagonales.
Par exemple , ABCD est un parallélogramme. Ses diagonales se coupent en leur milieu O, centre de symétrie
de ce parallélogramme. O est donc le milieu des diagonales [AC] et [BD].
Conséquences :
Grâce aux propriétés de la symétrie centrale, nous pouvons affirmer que :
•les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu ;
•les côtés opposés d’un parallélogramme ont la même longueur ;
•les angles opposés d’un parallélogramme ont la même mesure ;
•la somme des mesures des angles consécutifs d’un parallélogramme est égale à 180°.
Bilan 1 :
N. SANS Page 2 Lycée Français Jean Giono

Épisode 8 - Les parallélogrammes Activités mathématiques 5e
✄
✂ ✁
Exercice n° 1 : As-tu compris ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . ✍
N. SANS Page 3 Lycée Français Jean Giono

Épisode 8 - Les parallélogrammes Activités mathématiques 5e
✄
✂ ✁
Exercice n° 2 : Au choix . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . ✍
ABCD est un parallélogramme. Avec les informations de la figure,
réponds aux questions suivantes en justifiant.
1. Donne la longueur OB.
2. Donne la longueur DC.
3. Donne la mesure de l’angle \ ADC .
4. Que peux-tu dire des droites (AB) et (DC) ?
5. Que dire des segments [AC] et [BD] ?
6. Donne la mesure de l’angle \ DAB.
7. Les angles \ DAO et \ BAO ont-ils la même mesure ?
✄
✂ ✁
Exercice n° 3 : Du tracé . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . .✍
1. Construis en vraie gandeur le parallélogramme IJKL représenté ci-dessous à main levé.
2. Construis le parallélogramme ABCD avec AB = 5 cm et BC = 7 cm.
3. Construis le parallélogramme ROME avec OM = 4,5 cm, RO = 7 cm et l’angle \ ORE = 120°.
4. Construis un parallélogramme BEAU dont les diagonales mesurent 8 cm et 6 cm. Peux-tu tracer un autre
parallélogramme répondant au même critère ?
5. Construis le parallélogramme IRST de centre H tel que IH = 5cm, RH = 3,5 cm et \ RH S = 60°.
✄
✂ ✁
Exercice n° 4 : Avec des angles . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. ✍
ABCD est un parallélogramme.
Détermine la mesure de tous les angles de ce parallélogramme.
✄
✂ ✁
Exercice n° 5 : Avec le compas . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. ✍
Place trois points A,B et C non alignés. Avec ton compas uniquement, construis le point D tel que ABCD soit
un parallélogramme.
✄
✂ ✁
Exercice n° 6 : À Hambourg . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . ✍
Situé à Hambourg en Allemagne, toutes les faces de ce magnifique
bâtiment ont la forme de parallélogramme. La forme de cet im-
meuble futuriste est un parallélépipède.
Wikipidia nous dit que « En géométrie dans l’espace, un parallélé-
pipède est un solide dont les six faces sont des parallélogrammes.
Il est au parallélogramme ce que le cube est au carré et le pavé est
au rectangle. »
À l’aide de la figure ci-contre, construis la face jaune en vraie gran-
deur.
N. SANS Page 4 Lycée Français Jean Giono

Épisode 8 - Les parallélogrammes Activités mathématiques 5e
2 Reconnaître un parallélogramme
✄
✂ ✁
Activité n° 5 : Le livre . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . ✍
Pour son aniversaire, Julien a reçu en cadeau un livre d’énigmes mathématiques.
Il tombe sur le programme de construction ci-dessous.
Aidons Julien à trouver ce qui se cache derrière cette construction.
Partie A : du tracé
1. Trace un segment [AB] de 8 cm.
2. Place le point O milieu de ce segment [AB].
3. Construis un segment [MN] de 6 cm tel que O soit aussi le milieu de ce segment [MN].
4. Trace le quadrilatère AMBN.
5. Conjecture la nature de ce quadrilatère AMBN.
Partie B : une explication
1. Quel est le symétrique de la droite (AM) par rapport au point O ? Justifie ta réponse.
2. Que peux-tu dire des droites (AM) et (BN) en utilisant les propriétés de la symétrie centrale ?
3. Fais de même avec les droites (AN) et (BM).
4. Que peux-tu en déduire pour le quadrilatère AMBN ?
5. Recopie et complète la phrase suivante :
« Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent ........................., alors c’est un ...................... »
✄
✂ ✁
Exercice n° 7 : Une première démonstration . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . ✍
L’objectif de cet exercice est de prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme.
On a tracé deux cercles concentriques.
Place deux points E et G tels que le segment [EG] soit
un diamètre de C1.
Place deux points F et H tels que le segment [FH] soit
un diamètre de C2.
Trace le quadrilatère EFGH. Quelle est sa nature ?
Explique précisément pourquoi. La qualité de la rédac-
tion, l’organisation du raisonnement et le choix de la
propriété adaptée seront trois éléments importants.
C1
C2
O
✄
✂ ✁
Exercice n° 8 : Une deuxième démonstration . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . ✍
1. Place trois points non alignés I, J et K.
2. Construis M le symétrique du point J par rapport à I, et N le symétrique du pount K par rapoort à I.
3. Trace le quadrilatère JKMN. Quelle est sa nature ?
Explique précisément pourquoi. La qualité de la rédaction, l’organisation du raisonnement et le choix de
la propriété adaptée seront trois éléments importants.
✄
✂ ✁
Exercice n° 9 : Une troisième démonstration . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . .✍
Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme dont le
centre est le point I.
I est aussi le milieu de segment [MN].
Prouve que le quadrilatère AMCN est un parallélo-
gramme.
Explique précisément pourquoi. La qualité de la rédac-
tion, l’organisation du raisonnement et le choix de la
propriété adaptée seront trois éléments importants.
N. SANS Page 5 Lycée Français Jean Giono