Mon cahier en OR

Mon cahier en OR
Date du bulletin 2012-2013
Édition 1, Numéro 1
Ma révision en début d’année par Guylaine Faubert
Raisonnement proportionnel
Les proportions
Deux rapports équivalents forment une proportion.
Les propriétés des proportions
 Les rapports équivalents
Si 
 représente un rapport, alors   est
un rapport équivalent (n≠0)
Exemple : 
 Le produit croisé
Dans une proportion, le produit des extrêmes est
toujours égal au produit des moyens. Si une
proportion est représentée par 
, alors
  .
Exemple : 
 La procédure additive
Si une proportion est représentée par 
, alors
 est un rapport équivalent aux deux autres
rapports.
Exemple : 
, alors 
Ces différentes propriétés nous permettent de
trouver la valeur d’un élément inconnu dans un
rapport.
Le coefficient de proportionnalité.
 3 est le coefficient de proportionnalité qui
permet d’obtenir une quantité B à partir de la
quantité A qui lui est associée ;
    est le coefficient de proportionnalité
qui permet d’obtenir une quantité a à partir de
la quantité B qui lui est associée ;
 Comme il existe un coefficient de
proportionnalité, la table de valeurs illustre une
situation de proportionnalité.
A
0
2
5
10
25
B
0
6
15
30
75
1- Trouve la valeur de x dans les équations
suivantes :
a.
 b.  c.
2- Deux cassettes vierges coûtent 3,40$ ; trois
cassettes coûtent 5,10$. Combien débourseras-
tu si tu en achètes sept ?
3- Le prix d’un abonnement à une revue scientifique
est de 10,55$ pour trois mois. Quelle est la durée
de l’abonnement d’une personne qui a déboursé
42,20$ ?
4- Une corde de 10 cm est divisée en deux parties :
l’une mesure 3,5 cm et l’autre, 6.5 cm. Quelle
sera la longueur de chacune des parties d’une
corde de trois fois plus longue, divisée selon le
même rapport ?
5- Le tableau suivant met en relation le prix de
l’abonnement à une revue selon la durée de
l’abonnement.
Durée
(mois)
3 6 9 12 15 18 21 24
Prix
($)
10,5 21 31,5 42 52,5 63 73,5 84
Le prix est-il proportionnel à la durée de
l’abonnement ? Si oui, quel est le coefficient de
proportionnalité ? À quoi correspond-il ?
6- A) Construis une table de valeurs qui met en
relation le périmètre (en centimètres) d’un
hexagone régulier et la mesure (en centimètres)
d’un de ses côtés. Trouve au moins 10 valeurs.
B) Cette situation est-elle une situation de
proportionnalité ? Si oui, quel est le coefficient de
proportionnalité qui permet d’obtenir la mesure
d’un côté à partir d’un périmètre ? Dans la
réalité, que signifie ce coefficient de
proportionnalité ?
X3
÷3

2
Le pourcentage
Calculer <<le tant pour cent>> d’un nombre
Pour calculer <le tant pour cent> d’un
nombre, on peut utiliser une proportion
dont le deuxième terme de l’un des
rapports est 100.
Exemple : Calculer 16% de 25.
  x = 16 ÷ 4 = 4
X = 4
Pourcentages utiles et faciles à retenir…
1% d’un tout 
d’un tout
25% d’un tout 
d’un tout
10% d’un tout 
d’un tout
% d’un tout
d’un tout
20% d’un tout 
d’un tout
50% d’un tout 
d’un tout
Exprimer un pourcentage en pourcentage
Pour exprimer un rapport en pourcentage, on
peut utiliser une proportion dont le deuxième
terme de l’un des rapports est 100.
Exemple : On veut savoir quel pourcentage
de 90 représente le nombre 36.
Alors 36 représente 40% de 90.
Rechercher le cent pour cent d’un nombre
Pour trouver le 100% d’un nombre à partir
d’un pourcentage de ce nombre, on peut
utiliser l’un des deux raisonnements suivants :
Premier raisonnement :
Trouver le 1% du nombre.
Prendre 100 fois la valeur du 1% de
ce nombre.
Deuxième raisonnement :
Établir une proportion et trouver le
terme inconnu correspondant au
100% du nombre.
Il est souvent très utile de représenter la
situation à l’aide d’une illustration ou d’un
tableau.
1- Josette donne 6% de son salaire à une œuvre de
bienfaisance. Combien donne-t-elle si elle gagne 250$ par
semaine ?
2- Rémi participe à une collecte de fonds. Il a récolté 240$. Si
25% de cette somme va à Jeunesse au soleil, combien cet
organisme recevra-t-il ?
3- Un magasin offre une réduction de 
 sur toute la
marchandise. Quelle somme Marc économisera-t-il s’il
achète un chandail dont le prix courant est de 48$ ?
4- Dans une école de 2000 élèves, les inscriptions aux
activités se répartissent ainsi : 12,5% des élèves sont
inscrits en musique, 10% en arts visuels, 45% en
informatique, 20% dans les sports d’équipe et 8% dans
les sports individuels. Les autres ne participent à
aucune activité. Combien d’élèves sont inscrits dans
chacune des activités ? Quel pourcentage des élèves
n’est pas inscrit à une activité?
5- Quel pourcentage du nombre 240 les nombres suivants
représentent-ils ?
a. 24 b. 80 c. 120
6- À l’élection du conseil de classe, Jeannine a obtenu 18 voix
sur 30. Quel pourcentage des voix a-t-elle obtenu ?
7- La mesure de la longueur d’un rectangle est de 45 cm.
Celle d’un rectangle semblable est de 60 cm. Exprime le
rapport de similitude en pourcentage.
8- Ton copain a obtenu une augmentation de 13,50$. Si son
salaire était de 270$, calcule le pourcentage
d’augmentation.
9- Trouve le nombre qui, diminué de 25% de sa valeur, vaut 12.
10- Trouve le nombre qui, augmenté de 15% de sa valeur, vaut
483.
11- Après une augmentation de prix de 25%, un CD vaut 24$.
Combien valait-il avant l’augmentation ?

Les nombres négatifs
• La somme de deux nombres entiers
positifs est un nombre entier positif.
Ex. : 18 + 20 = 38
• La somme de deux nombres entiers
négatifs est un nombre entier négatif.
Ex. : – 8 + –7 = –15
• La somme d’un nombre entier positif et
d’un nombre entier négatif est du signe du
nombre entier le plus éloigné de 0.
Dans une addition le plus gros des nombres
l’emporte sur le signe de la réponse, par la
suite on prend le plus grand nombre moins le
plus petit.
-3 + 5 = + (5-3) = +2
3 – 5 = - (5-3) = -2
• La somme de deux nombres opposés est
toujours 0.
Les règles des signes de la multiplication et
de la division sont les mêmes.
• Le produit ou le quotient de deux
nombres entiers de mêmes signes est positif.
Ex. : 1) 4 x 6 = 24 2) – 35 ÷ – 5 =
7
• Le produit ou le quotient de deux
nombres entiers de signes contraires est
négatif.
Ex. : 1) – 4 x 6 = – 24 2) 35 ÷ – 5 = – 7
En résumé : Loi des signes pour la
multiplication ou la division.
++  +        
+-  -        
-+  -        
--  +       
1- Précise si les relations données sont vraies ou fausses, selon la
droite numérique ci-dessous.
a) f > g ________________b) g > -h ________________
c) h < -f _______________d) -(-g) < 0 ______________
2- À l’aide des informations données, place les lettres aux bons
endroits sur la droite numérique.
E > 2 -F > E -G < -E -E < H < -F
3- Complète les tableaux suivants.

4
Les fractions
L’addition et la soustraction de nombres écrits
sous la forme de fractions nécessitent la
recherche de fractions équivalentes ayant le
même dénominateur.
1. Si les dénominateurs sont les mêmes,
l’addition ou la soustraction se fait directement
en additionnant ou en soustrayant les
numérateurs.
2. Si les dénominateurs ne sont pas les mêmes,
on cherche des fractions équivalentes qui ont le
même dénominateur, puis on additionne ou
soustrait les numérateurs.
Pour multiplier des nombres écrits sous la forme
de fractions, on doit multiplier les numérateurs
ensemble et les dénominateurs ensemble.
Ex. :
Lorsque le produit contient un ou des nombres
fractionnaires, on les écrit d’abord en fractions,
puis on effectue la multiplication.
Pour effectuer la division de fractions, on multiplie
la première fraction (le dividende) par l’inverse
de la seconde (le diviseur).
Ex. :
1-
Effectue les opérations suivantes.
a)
+ =
b)
– 50 % =
c)
5 + 3 =
d)
– =
e)
1 – 1 =
f)
4 + 2 =
g)
+ 40 % =
h)
4 – 3 =
i)
5 + 30 % =
2- Effectue les multiplications ci-dessous. N’oublie pas de simplifier
avant de multiplier, s’il y a lieu.
a) x = b) x = c) 3 x =
c) x = d) x = e)
x =
f) 30 % x 75 %
=
g) 8 x = h)
2 x 12 =
3- Effectue les divisions suivantes.
a) ÷ = b) ÷ = c) ÷ =
d) 5 ÷ = e) ÷ 3 = f) ÷ 20 % =
g) 30 % ÷ = h) ÷ = i) 5 ÷ 3 =

Règle d’une suite
La règle d’une suite est une expression
algébrique qui permet de :
• décrire une suite de façon abrégée;
• calculer un terme d’après son rang.
Pour faciliter l’écriture d’une règle, on utilise
des variables, c’est-à-dire des symboles qui
peuvent prendre différentes valeurs. Les
symboles utilisés sont généralement des
lettres.
Ex. : Pour déterminer le terme occupant le
dixième rang d’une suite dont on connaît la
règle, on remplace la variable du rang dans
la règle par 10 et on complète le calcul.
Pour exprimer le produit d’un nombre par
une lettre, on convient d’écrire le nombre en
premier et d’éliminer le symbole de
multiplication.
Règle d’une suite arithmétique
Dans une suite arithmétique, le nombre qu’il
faut additionner à un terme pour obtenir le
suivant est appelé la raison.
La règle d’une suite arithmétique peut
s’écrire sous la forme suivante :
(Terme) = (raison) x (rang du terme) + (nombre)
1)
Les suites ci-dessous ont toutes la même raison. Complète la règle en te servant du
premier terme de la suite.
a) 10, 13, 16, 19, 22, ... Règle : t = 3n + _____
b) 5, 8, 13, 16, 19, ... Règle : t = 3n + _____
c) 1, 4, 7, 11, 14, ... Règle : t = 3n - _____
d) -1, 2, 5, 8, 11, ... Règle : t = 3n - _____
2) À l’aide du numéro approprié, associe chaque règle à la bonne suite.
3) Complète le tableau en remplaçant successivement n par 1, 2, 3 et 4 dans la règle
donnée.
Règle
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
t = 3n
t = -2n
t = 4n + 1
t = -n + 5
t = 10
4) Donne la règle qui permet de calculer la valeur d’un terme d’après son rang dans la
suite.