Mon cahier en OR

Mon cahier en OR
Date du bulletin 2012-2013
Édition 1, Numéro 1
Ma révision en début d’année par Guylaine Faubert
Raisonnement proportionnel
Les proportions
Deux rapports équivalents forment une proportion.
1- Trouve la valeur de x dans les équations
suivantes :
Les propriétés des proportions
Si
a.
Les rapports équivalents

est
représente un rapport, alors
un rapport équivalent (n≠0)
Le produit croisé
Dans une proportion, le produit des extrêmes est
toujours égal au produit des moyens. Si une
, alors
proportion est représentée par
.
Exemple :

La procédure additive

, alors
Si une proportion est représentée par
est un rapport équivalent aux deux autres
rapports.
Exemple :
3 est le coefficient de proportionnalité qui
permet d’obtenir une quantité B à partir de la
quantité A qui lui est associée ;
⁄
est le coefficient de proportionnalité
qui permet d’obtenir une quantité a à partir de
la quantité B qui lui est associée ;
Comme il existe un coefficient de
proportionnalité, la table de valeurs illustre une
situation de proportionnalité.
A
B
0
0
2
6
5
15
10
30
25
75
X3
÷3

3
9
c.
𝑥
3
Deux cassettes vierges coûtent 3,40$ ; trois
cassettes coûtent 5,10$. Combien débourserastu si tu en achètes sept ?
3-
Le prix d’un abonnement à une revue scientifique
est de 10,55$ pour trois mois. Quelle est la durée
de l’abonnement d’une personne qui a déboursé
42,20$ ?
4- Une corde de 10 cm est divisée en deux parties :
l’une mesure 3,5 cm et l’autre, 6.5 cm. Quelle
sera la longueur de chacune des parties d’une
corde de trois fois plus longue, divisée selon le
même rapport ?
Durée
(mois)
Prix
($)
Le coefficient de proportionnalité.

𝑥
5- Le tableau suivant met en relation le prix de
l’abonnement à une revue selon la durée de
l’abonnement.
, alors
Ces différentes propriétés nous permettent de
trouver la valeur d’un élément inconnu dans un
rapport.

𝑥
9
2-
Exemple :

b.
3
6
9
12
15
18
21
24
10,5
21
31,5
42
52,5
63
73,5
84
Le prix est-il proportionnel à la durée de
l’abonnement ? Si oui, quel est le coefficient de
proportionnalité ? À quoi correspond-il ?
6- A) Construis une table de valeurs qui met en
relation le périmètre (en centimètres) d’un
hexagone régulier et la mesure (en centimètres)
d’un de ses côtés. Trouve au moins 10 valeurs.
B) Cette situation est-elle une situation de
proportionnalité ? Si oui, quel est le coefficient de
proportionnalité qui permet d’obtenir la mesure
d’un côté à partir d’un périmètre ? Dans la
réalité, que signifie ce coefficient de
proportionnalité ?
2
Le pourcentage
Calculer <<le tant pour cent>> d’un nombre

Pour calculer <le tant pour cent> d’un
nombre, on peut utiliser une proportion
dont le deuxième terme de l’un des
rapports est 100.
1-
Josette donne 6% de son salaire à une œuvre de
bienfaisance. Combien donne-t-elle si elle gagne 250$ par
semaine ?
2-
Rémi participe à une collecte de fonds. Il a récolté 240$. Si
25% de cette somme va à Jeunesse au soleil, combien cet
organisme recevra-t-il ?
3-
Un magasin offre une réduction de
Exemple : Calculer 16% de 25.
𝑥

x = 16 ÷ 4 = 4
X=4

Pourcentages utiles et faciles à retenir…
1% d’un tout 
d’un tout
10% d’un tout 
d’un tout
25% d’un tout 
d’un tout
3
% sur toute la
marchandise. Quelle somme Marc économisera-t-il s’il
achète un chandail dont le prix courant est de 48$ ?
4-
Dans une école de 2000 élèves, les inscriptions aux
activités se répartissent ainsi : 12,5% des élèves sont
inscrits en musique, 10% en arts visuels, 45% en
informatique, 20% dans les sports d’équipe et 8% dans
les sports individuels. Les autres ne participent à
aucune activité. Combien d’élèves sont inscrits dans
chacune des activités ? Quel pourcentage des élèves
n’est pas inscrit à une activité?
5-
Quel pourcentage du nombre 240 les nombres suivants
représentent-ils ?
a. 24
b. 80
c. 120
6-
À l’élection du conseil de classe, Jeannine a obtenu 18 voix
sur 30. Quel pourcentage des voix a-t-elle obtenu ?
Rechercher le cent pour cent d’un nombre
7-
Pour trouver le 100% d’un nombre à partir
d’un pourcentage de ce nombre, on peut
utiliser l’un des deux raisonnements suivants :
La mesure de la longueur d’un rectangle est de 45 cm.
Celle d’un rectangle semblable est de 60 cm. Exprime le
rapport de similitude en pourcentage.
8-
Ton copain a obtenu une augmentation de 13,50$. Si son
salaire était de 270$, calcule le pourcentage
d’augmentation.
9-
Trouve le nombre qui, diminué de 25% de sa valeur, vaut 12.
20% d’un tout 
d’un tout
3
% d’un tout
 3 d’un tout
50% d’un tout 
d’un tout
Exprimer un pourcentage en pourcentage
Pour exprimer un rapport en pourcentage, on
peut utiliser une proportion dont le deuxième
terme de l’un des rapports est 100.
Exemple : On veut savoir quel pourcentage
de 90 représente le nombre 36.
6
90
𝑥
→𝑥
00
6
00
90
0
Alors 36 représente 40% de 90.
Premier raisonnement :

Trouver le 1% du nombre.

Prendre 100 fois la valeur du 1% de
ce nombre.
Deuxième raisonnement :

Établir une proportion et trouver le
terme inconnu correspondant au
100% du nombre.
Il est souvent très utile de représenter la
situation à l’aide d’une illustration ou d’un
tableau.
10- Trouve le nombre qui, augmenté de 15% de sa valeur, vaut
483.
11- Après une augmentation de prix de 25%, un CD vaut 24$.
Combien valait-il avant l’augmentation ?
Les nombres négatifs
• La somme de deux nombres entiers
positifs est un nombre entier positif.
Ex. : 18 + 20 = 38
• La somme de deux nombres entiers
négatifs est un nombre entier négatif.
1-
Ex. : – 8 + –7 = –15
• La somme d’un nombre entier positif et
d’un nombre entier négatif est du signe du
nombre entier le plus éloigné de 0.
Dans une addition le plus gros des nombres
l’emporte sur le signe de la réponse, par la
suite on prend le plus grand nombre moins le
plus petit.
-3 + 5 = + (5-3) = +2
3 – 5 = - (5-3) = -2
• La somme de deux nombres opposés est
toujours 0.
Les règles des signes de la multiplication et
de la division sont les mêmes.
• Le produit ou le quotient de deux
nombres entiers de mêmes signes est positif.
Ex. : 1) 4 x 6 = 24
2) – 35 ÷ – 5 =
7
• Le produit ou le quotient de deux
nombres entiers de signes contraires est
négatif.
Ex. : 1) – 4 x 6 = – 24
2) 35 ÷ – 5 = – 7
En résumé : Loi des signes pour la
multiplication ou la division.
++  + 
+-  - 
-+  -  −
--
+ −
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Précise si les relations données sont vraies ou fausses, selon la
droite numérique ci-dessous.
a) f > g ________________b) g > -h ________________
c) h < -f _______________d) -(-g) < 0 ______________
2-
À l’aide des informations données, place les lettres aux bons
endroits sur la droite numérique.
E>2
-F > E
-G < -E
-E < H < -F
3-
Complète les tableaux suivants.
4
Les fractions
1-
Effectue les opérations suivantes.
a)
+
d)
–
=
=
+ 40 % =
g)
b)
– 50 % =
c) 5
e) 1
–1
f)
4+2
h) 4
–3
i)
5
=
=
+3
=
=
+ 30 % =
L’addition et la soustraction de nombres écrits
sous la forme de fractions nécessitent la
recherche de fractions équivalentes ayant le
même dénominateur.
1. Si les dénominateurs sont les mêmes,
l’addition ou la soustraction se fait directement
en additionnant ou en soustrayant les
numérateurs.
2-
Effectue les multiplications ci-dessous. N’oublie pas de simplifier
avant de multiplier, s’il y a lieu.
x
a)
x
c)
2. Si les dénominateurs ne sont pas les mêmes,
on cherche des fractions équivalentes qui ont le
même dénominateur, puis on additionne ou
soustrait les numérateurs.
f)
3-
Ex. :
3
3
3
Lorsque le produit contient un ou des nombres
fractionnaires, on les écrit d’abord en fractions,
puis on effectue la multiplication.
Pour effectuer la division de fractions, on multiplie
la première fraction (le dividende) par l’inverse
de la seconde (le diviseur).
Ex.
:
3
3
3
x
b)
=
d)
30 % x 75 %
=
=
x
g) 8 x
c) 3
e)
=
=
x
=
x
h) 2
=
x 12 =
Effectue les divisions suivantes.
÷
=
b)
d) 5 ÷
=
e)
a)
Pour multiplier des nombres écrits sous la forme
de fractions, on doit multiplier les numérateurs
ensemble et les dénominateurs ensemble.
=
g) 30 % ÷
=
h)
÷
=
c)
÷3=
f)
÷
=
i)
÷
=
÷ 20 % =
5
÷3
=
Règle d’une suite
La règle d’une suite est une expression
algébrique qui permet de :
•
décrire une suite de façon abrégée;
•
calculer un terme d’après son rang.
Pour faciliter l’écriture d’une règle, on utilise
des variables, c’est-à-dire des symboles qui
peuvent prendre différentes valeurs. Les
symboles utilisés sont généralement des
lettres.
1)
Les suites ci-dessous ont toutes la même raison. Complète la règle en te servant du
premier terme de la suite.
a)
10, 13, 16, 19, 22, ...
Règle : t = 3n + _____
b)
5, 8, 13, 16, 19, ...
Règle : t = 3n + _____
c)
1, 4, 7, 11, 14, ...
Règle : t = 3n - _____
d)
-1, 2, 5, 8, 11, ...
Règle : t = 3n - _____
2)
À l’aide du numéro approprié, associe chaque règle à la bonne suite.
3)
Complète le tableau en remplaçant successivement n par 1, 2, 3 et 4 dans la règle
donnée.
Ex. : Pour déterminer le terme occupant le
dixième rang d’une suite dont on connaît la
règle, on remplace la variable du rang dans
la règle par 10 et on complète le calcul.
Pour exprimer le produit d’un nombre par
une lettre, on convient d’écrire le nombre en
premier et d’éliminer le symbole de
multiplication.
Règle
n=1
n=2
n=3
n=4
t = 3n
Règle d’une suite arithmétique
t = -2n
t = 4n + 1
t = -n + 5
t = 10
4)
Dans une suite arithmétique, le nombre qu’il
faut additionner à un terme pour obtenir le
suivant est appelé la raison.
La règle d’une suite arithmétique peut
s’écrire sous la forme suivante :
(Terme) = (raison) x (rang du terme) + (nombre)
Donne la règle qui permet de calculer la valeur d’un terme d’après son rang dans la
suite.
6
Algèbre
Variable: une lettre qui peut prendre plusieurs
valeurs.
Constante : un nombre qui ne varie pas.
Terme : une ou plusieurs variables (leur
exposant et un coefficient. Ex. : 3x, 4xy, 6w³
Dans une expression algébrique ceux-ci sont
séparés par un signe d’addition ou de
soustraction.
Terme constant : un terme ne contenant
qu’un coefficient.
Termes semblables : plusieurs termes
contenant les mêmes variables avec les
mêmes exposants (coefficients différents).
Ex. : 3x et 22x, 21xy² et -¼ xy²
6x³y² et -5x²y³ ne sont pas semblables.
Somme et différence de termes semblables :
il suffit d’additionner ou de soustraire les
coefficients.
Ex. : 3x² + 5 x² = 8 x²
Réduire une expression algébrique :
regrouper les termes semblables.
Produit d’une somme de termes par une
constante : On applique le principe de la
distributivité.
Ex. : 5 ( 3x + 5y - ¼ xy²)
5
𝑥 + 5 5𝑦 − 5 ¼𝑥𝑦
5𝑥 + 5𝑦 − 𝑥𝑦²
Quotient d’une somme de termes par une
constante. On doit diviser chacun des termes
par la constante.
Ex. : 5𝑥 + 5𝑦 − 5𝑥𝑦𝑧
5
𝑥
𝑦
3 𝑥𝑦𝑧
+
−
𝑥 + 𝑦 − 7𝑥𝑦𝑧
Priorités des opérations : même chose que
pour les chaînes d’opérations arithmétiques.
Ex. :
𝑎+ 6
+
𝑎+ 6
𝑎
+
6
𝑎 − 5𝑎 − 7
+
− 𝑎−7
+
− 𝑎 +
𝑎+ − 𝑎−
𝑎− 𝑎+ −
− 𝑎− 0
1-
Dans
5𝑥³ − 𝑥 3 + 7𝑥 − 𝑥 − 9 :
a. Combien y a-t-il de termes ?
b. Quel est le terme constant ?
c. Le nombre -1 est le coefficient d’un seul terme.
Lequel ?
d. Quel est le coefficient du premier terme ?
e. Il y a deux termes semblables. Quels sont-ils ?
f. Peut-on additionner 5 x³ avec 7 x² ? Pourquoi ?
g. Peux-tu donner une expression équivalente qui
serait plus simple ? Si oui, laquelle ?
2- Traduis chaque énoncé par une expression algébrique
en utilisant la variable de ton choix.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
Un certain nombre augmenté de 3.
Le double d’un certain nombre.
Le quotient d’un certain nombre et de 5.
La différence de 8 et d’un certain nombre.
Le triple d’un certain nombre diminué de 3.
20 de plus que le double d’un certain nombre.
Le carré d’un certain nombre.
10 de moins que le tiers d’un certain nombre.
La moitié d’un certain nombre augmenté du
double de ce nombre.
Les deux tiers d’un certain nombre.
3- Effectue les opérations en écrivant la démarche.
a. 5 6𝑦 − 7 + 0𝑦 − 0
−7
b.
6𝑎 + 𝑎 − 7 + 𝑎 +
c.
𝑏 + 5𝑏 +
d.
𝑥+ 𝑦−9
e.
𝑚− 𝑝−
− 𝑏−
+
−
𝑚
−9
5
+ 0
𝑦−
La résolution d’équation
Une équation est formée de deux
membres et d’une relation d’égalité.
On appelle <membre de gauche>
l’expression algébrique située à gauche
du symbole <=> et< membre de droite >
l’expression algébrique située à droite
du symbole <=>.
Pour résoudre une équation :

On peut additionner ou
soustraire une même valeur à
chacun des membres de
l’équation.

On peut multiplier ou diviser par
une même valeur (sauf 0)
chacun des membres de
l’équation.
Pour résoudre une équation, il faut isoler
l’inconnue. Isoler l’inconnue signifie
former une équation composée
uniquement de l’inconnue et de sa
valeur.
Pour vérifier si la résolution de l’équation
est bonne, il faut examiner la valeur de
l’inconnue trouvée dans l’équation de
départ. Si on obtient une égalité vraie
en remplaçant l’inconnue par sa valeur,
alors la valeur trouvée pour l’inconnue
est juste. Sinon, il y a une erreur dans la
résolution de l’équation.
Ex. :
5𝑥 −
5𝑥 −
+
5𝑥
5𝑥 − 𝑥
𝑥+
𝑥+
+
𝑥+5 5
𝑥− 𝑥+5 5
𝑥 5 5
𝑥 5 5
𝑥
75
Vérification
5𝑥 −
𝑥+
5 75 −
75 +
75−
5+
56
56
Une égalité vraie.
1- Résous chacune des équations suivantes :
a. 5𝑥 − 7
𝑥−
b. 00 − 9𝑥 − 𝑥 − 5
c. 6𝑥 + 0 5
𝑥−95
2- Résous chacune des équations suivantes :
a. 6
𝑥+
b. 50
6𝑥 +
c. 5 5𝑥 −
d. 6 − 5𝑥 − 0
3- Résous chacune des équations suivantes :
𝑥
𝑥
a. 𝑥 +
6+
b.
c.
𝑥
𝑥
3𝑥−
4- Résous chacune des équations suivantes :
a. 𝑥 − 9 7𝑥 − 6
b. 6 𝑥 − 5
9𝑥 +
𝑥
𝑥−
c.
5- Résous chacune des équations suivantes :
a.
𝑥+7 + 𝑥
5+𝑥 +
b.
− 𝑥+
−
𝑥+
c. 𝑥 + 𝑥 + 0
6
d.
𝑥 + ½ − 0 9𝑥 + 𝑥 − ½
e.
f.
g.
3𝑥
𝑥−
𝑥
3
3𝑥
−𝑥
−3𝑥
8
Le plan cartésien





Le plan cartésien est composé de
deux axes perpendiculaires et
gradués.
L’axe horizontal est l’axe des
abscisses (axe des x) et l’axe
vertical est l’axe des ordonnées
(axe des y).
Le point d’intersection de ces deux
axes s’appelle l’ordonné à l’origine
du plan cartésien et ses
coordonnées son (0,0).
Ces deux axes partagent le plan en
quatre régions appelées quadrants.
Pour situer un point P dans le plan
cartésien, on utilise la notation
suivante : P(x,y).
L’abscisse du point est représentée par
x et l’ordonnée du point est représentée
par y. Les coordonnées du point P sont
représentées par x et y.
1-
Dans quel quadrant ou sur quel axe chacun des points
suivants est-il situé ?
a) A(-3,5)
b) B(-4,0)
c) C(7,-1)
d) D(5,6)
e) E(-2,-8)
f) F(0,0)
2-
Sachant que x ≠ 0 et que y ≠ 0, dans quel(s) quadrant(s)
le point P(x,y) est-il situé si :
a)
b)
c)
d)
X>0
Y<0
X<0
X>0 et y>0
3-
e) X>0 et y<0
f) x<0 et y>0
g) x = y
h) X et y sont opposés
Trace un dessin dans un plan cartésien en respectant les
consignes suivantes :
a. Trace deux cercles de trois unités de rayon dont les
centres sont les points A(-4,0) et B(5,0) ;
b. Relie les points C(-4,-3) et D(-4,-5) ;
c. Trace un segment qui a pour extrémités les points E(5,-4) et F(-3,-4) ;
d. Trace un segment dont l’une des extrémités est un
point du cercle de centre B et l’autre extrémité est
G(8,4) (les extrémités du segment et le centre du
cercle doivent être alignés) ;
e. Relie les points H(7,4) et G(8,4) ;
f. Relie les points I(8,3) et G(8,4).
Que représente ce dessin ?
4-
Dans un plan cartésien, trace l’heptagone ABCDEFG
dont les coordonnées des sommets sont :
A(-1,5), B(-3,4), C(-4,0), D(0,-3), E(7,-2), F(7,3) et G(4,5)
Figures isométriques et figures
semblables

Des figures sont isométriques si
les angles homologues sont
congrus et si les mesures des
côtés homologues sont égales.
Le symbole ≅ signifie « est isométrique
à». Par exemple, pour indiquer que le
triangle ABC est isométrique au triangle
A’B’C’, on écrit ∆ABC≅∆A'B'C'.
1-
Trouve le rapport de similitude entre les paires de figures
données.
a. Le carré ABCD dont la mesure du côté AB est de
2,5 cm et le carré A’B’C’D’ dont la mesure du
côté A’B’ est de 3,5 cm.
b. Deux cercles ayant des circonférences
respectives de 21π et de 24 π.
c. Deux octogones réguliers dont les côtés mesurent
respectivement 3,5 cm et 1,4 cm.
d. Deux triangles équilatéraux dont les mesures des
côtés sont respectivement de 0,625 cm et de 1 m.
2-
Trouve les mesures demandées
a. A) le rapport de similitude obtenu en comparant
le carré B au carré A est de 3/2. Quel est le
périmètre du carré B si un des côtés du carré A
mesure 1,5 cm.
b. Les mesures des côtés d’un triangle rectangle
sont respectivement de 3 cm, 4 cm et 5 cm.
Quelle est la mesure du plus grand côté
(hypoténuse) d’un triangle semblable si les
mesures des côtés de l’angle droit sont de 4,5 cm
et de 6 cm.
3-
Construis un triangle semblable à chacun des triangles suivants
et dont le rapport de similitude est 2/1.
4-
Construis un quadrilatère semblable au quadrilatère suivant et
dont le rapport de similitude est ½.
Le signe <prime> qui est ajouté à la
lettre identifie généralement un sommet
de la figure image.

Des figures sont semblables si les
angles homologues sont
congrus et si les rapports des
mesures des côtés homologues
sont égaux.
Le symbole représentant la similitude
entre deux figures est ~.
On appelle rapport de similitude (k) la
comparaison entre les mesures des côtés
homologues de figures semblables. Dans
l’exemple, le rapport de similitude
permettant de comparer le ∆𝐷𝐸𝐹 𝑎𝑢 ∆𝐴𝐵𝐶 est
3.
Le rapport de similitude (k) permet
d’établir des proportions pour trouver les
mesures manquantes de l’une ou l’autre
des figures semblables.
En général,
𝑚𝑒𝑠𝑢𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒
𝐾
𝑚𝑒𝑠𝑢𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙𝑒
10
Angles
Deux angles sont adjacents s’ils :
•
ont le même sommet;
•
ont un côté commun;
• sont situés de part et d’autre du côté
commun.
Deux angles sont complémentaires si la
somme de leurs mesures est 90°.
Ex : Les angles ADB et BDC sont
complémentaires, car
𝑚∠𝐴𝐷𝐵 + 𝑚∠𝐵𝐷𝐶
° + 59°
90°
Les angles E et F sont
complémentaires, car
𝑚∠𝐸 + 𝑚∠𝐹
6 °+
°
90°
Deux angles sont supplémentaires si la
somme de leurs mesures est 180°.
Ex : Les angles ADB et BDC sont
supplémentaires, car
𝑚∠𝐴𝐷𝐵 + 𝑚∠𝐵𝐷𝐶
°+
°
0°
Les angles E et F sont supplémentaires,
car
𝑚∠𝐸 + 𝑚∠𝐹
0° + 60°
0°
Angles créés par une droite sécante à deux autres
droites
Certaines paires d’angles créés par une droite sécante à
deux autres droites portent des noms particuliers.
Angles alternes-internes : deux angles n’ayant pas le
même sommet, situés de part et d’autre de la sécante et
à ’intérieur des deux autres droites.
Les angles 3 et 5 ainsi que 4 et 6 sont des angles
alternes-internes.
Angles alternes-externes : deux angles
n’ayant pas le même sommet, situés de part et d’autre
de la sécante et à l’extérieur des deux autres droites.
Les angles 1 et 7 ainsi que 2 et 8 sont
des angles alternes-externes.
Angles correspondants : deux angles
n’ayant pas le même sommet, situés
du même côté de la sécante, l’un à l’intérieur et l’autre
à l’extérieur des deux autres droites.
Les angles 1 et 5, 2 et 6, 3 et 7 ainsi que 4 et 8 sont des
angles correspondants.
Lorsque deux droites parallèles sont coupées par une
sécante :
1)
2)
Dans l’illustration ci-contre, quelles sont les paires d’angles :
a)
opposés par le
sommet ?
b)
alternes-internes ?
c)
alternes-externes ?
d)
correspondants ?
Dans chaque cas, déduis la mesure manquante. Justifie tes calculs.
12
Le cercle
Cercle : ligne courbe fermée dont tous
les points sont équidistants du point
intérieur appelé centre.
(O est le centre du cercle)
Rayon : segment de droite reliant le
centre du cercle à un point du cercle.
(𝑂𝐴 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑟𝑎𝑦𝑜𝑛 𝑑𝑢 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑙𝑒
Diamètre : segment de droite reliant
deux points du cercle et passant par le
centre.
(𝐵𝐷 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑑𝑖𝑎𝑚è𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑢 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑙𝑒
Corde : segment de droite reliant deux
points quelconques d’un cercle.
𝐵𝐷 𝐵𝐶 sont des cordes du cercle)
Arc de cercle : partie du cercle (le
segment de courbe AE est un arc de
cercle noté 𝐴𝐷.
Angle au centre : angle formé par deux
rayons (l’angle AOB est un angle au
centre).
1-
Dans le cercle ci-contre, identifie :
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Les rayons ;
Les arcs de cercle ;
Les cordes ;
Les diamètres ;
Les angles au centre ;
Les secteurs circulaires ;
2- Qui suis-je ?
a) Une partie du disque comprise entre deux rayons.
b) Un segment de droite reliant deux points du cercle et
passant par le centre.
c) Une partie du cercle.
d) Un ensemble de points du plan dont la distance au
centre est égale ou inférieure à la mesure du rayon.
e) Un segment de droite reliant deux points quelconques
du cercle.
Le disque
Disque : ensemble des points du plan
dont la distance au centre est inférieure
ou égale à la mesure du rayon.
Secteur d’un disque : partie du disque
comprise entre deux rayons (le secteur
AOB est un secteur du disque de centre
O).
3-
Complète (les mesures sont en cm ou cm²) :
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
𝑚∠𝐴𝑂𝐷
La mesure du rayon est ________
La mesure du diamètre est ______
La mesure de l’arc AD est _____
La mesure de la corde BC _____
La circonférence mesure _____
L’aire du secteur AOB est _____
L’aire du disque de centre O est _____
14
Circonférence
La circonférence est la longueur ou le
périmètre d’un cercle.
Le rapport entre la circonférence et son
diamètre est toujours le même soit :
𝐶
𝜋
𝑑
Aire du disque
Un disque est la région du plan
délimitée par un cercle.
1-
Calcule l’aire du triangle, du parallélogramme et du
rectangle dont la mesure de la base est la même
(2,6cm) et dont les hauteurs ont des mesures respectives
de 3,5cm, 4,3cm et 5,2cm.
2-
Calcule le périmètre P et l’aire A des polygones cidessous.
3-
Une porte a la forme d’un rectangle surmonté d’un
demi-cercle. Une fenêtre en forme de losange se trouve
au centre de celle-ci. Calcule l’aire de la face extérieure
excluant la fenêtre, au dixième près, si la largeur de la
porte est 100cm, que la mesure totale de sa hauteur est
220cm et que les diagonales de la fenêtre sont de 20 cm
10cm.
4-
Calcule l’aire exacte d’un disque ayant un diamètre : a)
de 13 dm ; b) de 0,8 m.
5-
Calcule l’aire des polygones suivants.
Nom
Mesure d’un
Mesure de
côté (cm)
l’apothème
(cm)
Carré
5
2,5
Pentagone
3,6
2,5
Octogone
2,3
2,8
6-
Calcule la mesure de l’arc APB et l’aire du secteur
ombré.
Aire d’un trapèze
L’aire de solides
L’aire totale égale la somme des aires
de toutes les faces du solide.
Exemples :
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑐𝑎𝑛
7
6
𝑏
𝐴𝑙𝑎𝑡é𝑟𝑎𝑙𝑒
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒
𝐴𝑙𝑎𝑡é𝑟𝑎𝑙𝑒
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒
𝐴𝑙𝑎𝑡é𝑟𝑎𝑙𝑒
6
ℎ
5
𝑏
ℎ
6
Un classeur géant qui a la forme d’un prisme droit mesure
3,2 m de hauteur, 2,83 m de longueur et 0,84 m de largeur.
Quelle est son aire totale ?
2-
Calcule l’aire totale d’une pyramide régulière à base
pentagonale dont l’apothème mesure 18 cm ; la mesure
des arêtes de la base est de 5 cm et celle de l’apothème
de la base, de 3,44cm.
3-
Un réservoir de métal a la forme d’un cylindre. Il a un
diamètre de 3 m et une hauteur de 1,2 m. Calcule son aire
latérale au dixième près.
4-
Calcule l’aire totale de ce solide complexe.
05 𝑐𝑚
6
7
5 𝑐𝑚
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝐴𝑙𝑎𝑡é𝑟𝑎𝑙𝑒
05 + 5
6 𝑐𝑚²
𝑐𝑎𝑛
6
5
1-
6
0 𝑐𝑚
6
𝑐𝑚
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝐴𝑙𝑎𝑡é𝑟𝑎𝑙𝑒
0+
0 𝑐𝑚²
𝜋𝑟² 𝜋 5² ≈ 6 6 𝑐𝑚
𝐶 ℎ
5 𝜋
9
≈ 57 𝑐𝑚
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝐴𝑙𝑎𝑡é𝑟𝑎𝑙𝑒
≈
6 6 + 57
≈
5 𝑐𝑚²
16
La probabilité
Le diagramme en arbre sert à
dénombrer et à énumérer tous les cas
possibles d’une expérience.
Un diagramme en arbre se compose de
nœuds, de branches et de chemins. Le
total des chemins correspond au
nombre de cas possibles.
Pour connaître seulement le nombre de
cas possibles, on peut utiliser le principe
de la multiplication au lieu du
diagramme en arbre.
1-
Par exemple, si tu as 2 pantalons
différents et 3 chandails de couleur
différente, tu as
donc 6
agencements possibles.
Pour une expérience aléatoire, on met dans un sac le
nom de sept élèves (Alexia (A), Cynthia (C), Sandrine (S),
Benoit (B), Julie (J), Zoé (Z) et Gregory (G), puis on en tire
deux.
a. Réponds aux questions suivantes sachant que le
nom tiré est remis dans le sac avant de tirer le
suivant.
i. Énumère 10 résultats possibles de cette
expérience aléatoire.
ii. À l’aide d’un diagramme en arbre, énumère
tous les cas possibles. Combien y en a-t-il ?
iii. Combien y a-t-il de possibilités de tirer deux
noms de filles ?
Le calcul de la probabilité et l’arbre de
probabilités
On détermine la probabilité d’un
résultat d’une expérience aléatoire à
l’aide du rapport suivant :
𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙′𝑒𝑥𝑝é𝑟𝑖𝑒𝑛𝑐𝑒
𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙′𝑒𝑥𝑝é𝑟𝑖𝑒𝑛𝑐𝑒
b.
Exemple :
Une expérience aléatoire consiste à tirer
une 1re lettre d’un sac contenant les
lettres Q, E, R et T inscrites sur des bouts
de papier identiques puis, sans la
remettre dans le sac, à en tirer une
seconde.
i. Énumère 10 résultats possibles de cette
expérience aléatoire.
ii. À l’aide d’un diagramme en arbre, énumère
tous les cas possibles. Combien y en a-t-il ?
iii. Combien y a-t-il de possibilités de tirer deux
noms de filles ?
2-
Voici une série d’expériences aléatoires. Calcule pour
chacune la probabilité demandée :
a.
b.
c.
La probabilité d’un résultat est un
rapport dont la valeur est plus grande
ou égale à 0 et plus petite ou égale à 1.
Réponds aux questions suivantes sachant que le
nom tiré n’est pas remis dans le sac avant de
tirer le suivant.
On lance un dé à six faces numérotées de 1 à 6.
Quelle est la probabilité d’obtenir 3 ?
On lance une pièce de monnaie. Quelle est la
probabilité d’obtenir face ?
En tirant une bille dans un sac contenant trois
billes noires et quatre rouges, quelle est la
probabilité d’obtenir une bille noire ?
La statistique
Fréquence : nombre de fois qu’une
donnée apparaît.
Fréquence relative : elle est obtenue par
𝑓𝑟é𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑒
le rapport suivant :
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑠 𝑓𝑟é𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑒𝑠
Tableau de distribution : tableau
comprenant généralement la
fréquence et la fréquence relative des
données obtenues dans une enquête
ou un sondage.
Exemple :
Voici les notes de mathématiques (sur
100) d’un groupe d’élèves.
65
60
52
60
72
80
81
91
73
85
62
73
70
82
79
82
55
80
92
91
87
75
76
66
70
73
68
1-
Calcule l’étendue des distributions suivantes.
a) 10, 11, 13, 13, 14, 14, 15, 18, 20, 20
b) 101, 104, 120, 121, 140, 150, 175, 175
c) 8, 3, 12, 1, 43, 32, 54, 76, 15, 18, 67
2-
Pierre lance deux dés, puis il note la somme de chacune
des faces. Les résultats ci-dessous représentent les
sommes de 30 lancers. Construis un tableau de
distribution représentant l’effectif des sommes obtenues.
3-
Complète le tableau de distribution ci-dessous.
65
95
58
Le tableau de distribution
Notes de mathématiques d’un groupe
d’élèves
Classe
Fréquence Fréquence
relative
De 50% à 60%
3
10%
exclusivement
De 60% à 70%
23 ⁄ %
7
exclusivement
De 70% à 80%
9
30%
exclusivement
De 80% à 90%
23 ⁄ %
7
exclusivement
De 90% à
13 ⁄ %
100%
4
exclusivement
Type de lecture préféré
Type de
document
Magazine
12
Bande dessinée
14
Roman
Étendue des données : différence entre
la plus grande et la plus petite de toutes
les données recueillies.
Dans l’exemple précédent, l’étendue
est de 43 (95 – 52).
Fréquence
11
Total
50
Dépense
Total
26
Journal
4-
Fréquence
relative (%)
Michaël a tracé un diagramme circulaire représentant la
répartition moyenne des dépenses faites avec son
argent de poche. Complète le tableau à l’aide des
informations fournies dans le diagramme ci-dessous.
Montant ($)
40,00
Répartition des
dépenses en %
18
Illustre chacun des énoncés suivants.
(Pour ce faire, tu peux utiliser le logiciel Geogebra.)
ANGLES – PARALLÈLES – PERPENDICULAIRES
Des angles adjacents qui ont
leurs côtés extérieurs formant un
angle droit sont
complémentaires.
Des angles adjacents qui ont
leurs côtés extérieurs en ligne
droite sont supplémentaires.
Les angles opposés par le
sommet sont isométriques.
Si deux droites sont parallèles à
une troisième, alors elles sont
aussi parallèles entre elles.
Si deux droites sont
perpendiculaires à une
troisième, alors elles sont
parallèles.
Si deux droites sont parallèles,
toute perpendiculaire à l’une
d’elle est perpendiculaire à
l’autre.
Si une droite coupe deux droites
parallèles, alors les angles
alternes-internes, alternesexternes et correspondants sont
respectivement isométriques.
Dans le cas d’une droite
coupant deux droites, si deux
angles correspondants (ou
alternes-internes ou encore
alternes-externes) sont
isométriques, alors ils sont formés
par des droites parallèles
coupées par une sécante.
Si une droite coupe deux droites
parallèles, alors les paires
d’angles internes situées du
même côté de la sécante sont
supplémentaires.
POLYGONES
Polygone : ligne brisée fermée,
formée d’au moins trois segments
de droite appelés côtés du
polygone.
Diagonale : segment reliant deux
sommets non consécutifs d’un
polygone.
Médiane : segment joignant un
sommet d’un triangle au milieu du
côté opposé.
Médiatrice : droite perpendiculaire
à un segment passant par son
milieu.
Polygone régulier : Un polygone
est régulier si tous les angles et tous
les côtés sont congrus.
Apothème d’un polygone régulier :
segment abaissé
perpendiculairement du centre du
polygone régulier sur l’un de ses
côtés.
Polygone convexe : Un polygone
est convexe si toutes les
diagonales sont à l’intérieur de la
surface déterminée par ce
polygone ou si tous les angles
mesurent moins de 180 degrés.
Dans le cas contraire, le polygone
est dit concave.
Dans un polygone convexe, les
diagonales issues d’un sommet
divisent ce polygone en autant
de triangles qu’il y a de côtés
moins 2.
La somme des mesures des
angles intérieurs d’un polygone
convexe est égale à autant de
fois 180 degrés qu’il y a de
côtés moins 2.
Chaque angle intérieur d’un
polygone convexe est le
supplément de l’angle extérieur
adjacent.
La somme des mesures des
angles extérieurs d’un polygone
convexe est 360°.
Un angle extérieur d’un
polygone convexe est formé
par un côté du polygone et le
prolongement d’un côté
adjacent.
20
TRIANGLE
Triangle acutangle : triangle qui a
trois angles aigus.
Triangle rectangle : triangle qui a
un angle droit.
Triangle obtusangle : triangle qui a
un angle obtus.
La somme des mesures des
angles intérieurs d’un triangle
est 180°.
La somme des mesures de deux
côtés d’un triangle est toujours
supérieure à la mesure du
troisième côté.
Dans tout triangle, la mesure
d’un côté quelconque est plus
grande que la différence des
mesures des deux autres côtés.
Dans tout triangle, au plus
grand angle est opposé le plus
grand côté.
Dans un triangle, au plus petit
angle est opposé le plus petit
côté.
Dans tout triangle isocèle : deux
côtés sont congrus; deux angles
sont congrus; les angles
opposés aux côtés congrus sont
congrus; l’axe de symétrie
supporte une hauteur, une
bissectrice, une médiane et une
médiatrice.
Dans tout triangle équilatéral :
les trois côtés sont congrus; les
trois angles sont congrus
(équiangle); les angles intérieurs
mesurent 60°; les axes de
symétrie supportent les
hauteurs, les bissectrices, les
médianes et les médiatrices du
triangle.
Dans tout triangle rectangle :
les angles aigus sont
complémentaires.
Dans tout triangle rectangleisocèle, chacun des angles
aigus mesure 45°.
La mesure d’un angle extérieur
à un triangle est égale à la
somme des mesures des angles
intérieurs non adjacents.
La médiane d’un triangle le
partage en deux triangles de
même aire.
QUADRILATÈRE
Dans tout carré : les quatre
côtés son congrus; les deux
paires de côtés opposés sont
parallèles; les quatre angles
sont droits; les deux diagonales
sont congrues, perpendiculaires
l’une à l’autre et elles se
coupent en leur milieu.
Dans tout rectangle : les deux
paires de côtés sont parallèles
et congrues; les quatre angles
sont droits; les deux diagonales
sont congrues et elles se
coupent en leur milieu.
Dans tout losange : les quatre
côtés sont congrus; les deux
paires de côtés opposés sont
parallèles; les angles opposés
sont congrus; les deux
diagonales sont
perpendiculaires l’une à l’autre
et se coupent en leur milieu.
Dans tout parallélogramme : les
côtés opposés sont congrus; les
deux paires de côtés opposés
sont parallèles; les angles
opposés sont congrus; les deux
diagonales se coupent en leur
milieu.
Dans tout trapèze : il y a une
paire de côtés opposés
parallèles
Un trapèze peut être rectangle
s’il a deux angles droits.
22
Un trapèze peut être isocèle s’il
a deux côtés congrus.
Les angles consécutifs d’un
parallélogramme (d’un
rectangle, d’un losange et d’un
carré) sont supplémentaires.
Les milieux des côtés de tout
quadrilatère sont les sommets
d’un parallélogramme.
La somme des mesures des
angles intérieurs d’un
quadrilatère est 360°.
CERCLE
Dans un cercle : tous les rayons
d’un cercle sont congrus; tous
les diamètres d’un cercle sont
congrus; la corde la plus longue
d’un cercle est le diamètre; les
axes de symétrie passent par le
centre; la mesure du diamètre
est le double de la mesure du
rayon.
Dans un cercle, le rapport de la
Trois points non alignés
Toutes les médiatrices des
déterminent un cercle et un
cordes d’un cercle se
seul.
rencontrent au centre de ce
circonférence au diamètre est
une constante notée .
cercle.
L’angle au centre a pour
Le rapport des mesures des
mesure la mesure en degrés de
deux angles au centre est égal
l’arc compris entre ses côtés.
au rapport des mesures des arcs
et au rapport de l’aire des
secteurs interceptés entre leurs
côtés.
60
0
9 76
76
→
 Notations et symboles
{ }
Ensemble des nombres naturels
Pi ≈
Ensemble des nombres entiers
Ensemble des nombres rationnels
Le segment AB
Ensemble des nombres réels
L’arc de A à B
Union
Intersection
La mesure de l’arc AB
Un ensemble vide
… est égal à …
… n’est pas égal à …
… est à peu près égal à …
… est inférieur (plus petit) à …
≈
<
>
… est supérieur (plus grand) à
… est plus petit ou égal à …
… est plus grand ou égal à …
Infini
L’opposé de a
-a
−
a²
a³
√
√
%
L’inverse de a
La deuxième puissance de a ou a
au carré.
La troisième puissance de a ou a
au cube.
Racine carrée de a
Racine cubique de a
Pourcentage
6
La mesure du segment AB
∠
∠
∆
≅
°
Angle
La mesure d’un angle
… est parallèle à …
… est perpendiculaire à …
Triangle
… est isométrique à …
Degré
24
Maintenant, tu peux
ajouter les notions de
l’année en cours.
Tes ajouts :