d - les conditions de fonctionnement - Univ

D - LES CONDITIONS DE FONCTIONNEMENT
Un circuit comprend une source de tension (le générateur) et un ensemble de
composants montés pour satisfaire un besoin : permettre le fonctionnement d'un
moteur ou d'un éclairage, réguler une température, commander à distance un
appareillage, adapter un amplificateur à une chaîne audio, …
Réaliser ces circuits consiste en fait à connaître la tension qui existera entre deux
points de ce circuit et le courant qui y passera, et ceci avant de le réaliser.
Pour faire cette prévision, on s'appuie sur deux éléments :
-
la connaissances des caractéristiques des composants et de ce qui
découlera de leur association,
-
la connaissance des conditions optimales ou des conditions limites d'usage
de ces composants.
D - I – CARACTERISTIQUE D’UNE ASSOCIATION EN SERIE
I - A - Association en série de conducteurs ohmiques
Connaissant les résistances R1 et R2 de deux composants montés en série et la
tension U aux bornes de cette association, que peut-on prévoir du courant I qui les
traversera ou des tensions U1 et U2 à leurs bornes ?
U
I
R1
R2
U2
U1
U = U1 + U2
La loi des mailles permet d'écrire :
La loi d'Ohm permet d'écrire :
U1 = R1 I
et
(1)
U2 = R2 I
(2)
En utilisant les relations (2), la relation (1) peut s'écrire sous la nouvelle forme :
U = ( R1 + R2 ) I
(3)
Ce qui permet ensuite de calculer :
I=
U
R1 + R 2
U1 =
R1
U
R1 + R 2
U2 =
R2
U
R1 + R 2
1
La relation (3) montre que la loi d'Ohm est vérifiée aux bornes de
l'association série, comme si cette association avait une résistance Req
équivalente à la somme des deux résistances :
Req = R1 + R2
Si ce circuit avait comporté une troisième résistance, un raisonnement similaire
montre que, dans ce cas, l'association serait équivalente à une résistance unique Req
égale à la somme des trois résistances, etc.
Il peut donc en être déduit une loi d'association.
Loi d'association série de conducteurs ohmiques :
Si plusieurs conducteurs ohmiques sont montés en série, l'association est
équivalente à un conducteur ohmique unique dont la résistance serait égale à
la somme de toutes les résistances :
Req = R1 + R2+ R3 + …
Observation graphique
Si sur un même graphique on porte les caractéristiques des deux conducteurs
ohmiques, le même raisonnement que précédemment permet de construire la
caractéristique de l'association.
Exemple : Ci-dessous sont représentées les caractéristiques de deux composants de
résistance connue R1 = 36 Ω et R2 = 22 Ω .
U (V)
Req = 58 Ω
3,5
R1 = 36 Ω
3
2,5
R2 = 22 Ω
2
1,5
1
0,5
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90 I (mA)
Puisque les composants sont en série, le même courant I les traverse et la tension totale U
aux bornes de l'association est égale à la somme des tensions partielles U1 et U2 .
Sur le graphique on peut lire que si I = 50 mA :
U1 = 1,8 V
2
et
U2 = 1,1 V .
On en conclut que la tension totale U aux bornes de l'association serait dans ce cas de
2,9 V.
Le couple de valeurs (I = 50 mA ; U = 2,9 V) représente donc un des points de la
caractéristique de l'association.
En construisant ainsi plusieurs points de cette caractéristique, on construit une droite
passant par l'origine et d'équation U = 58 I qui vérifie que l'association est équivalente à un
composant de résistance 58 Ω.
I - B - Association en série de composants quelconques
Lorsqu’il n’est pas possible d’associer une équation à une caractéristique ; on ne
peut pas déterminer par le calcul le comportement de l’association.
Par contre, il est toujours possible de le faire graphiquement.
Exemple : Une ampoule à incandescence dont on connaît la caractéristique et une
résistance de 22 Ω sont montées en série.
Sur le même graphique on reporte les deux caractéristiques et en additionnant les tensions
pour plusieurs valeurs d’intensité de courant, on obtient des points de la caractéristique de
l’association série.
On peut alors savoir que pour une tension de 4,5 V maintenue aux bornes de cet ensemble,
un courant de 132 mA circulera dans ces composants.
U (V)
Association série
4
R = 22 Ω
Ampoule
3
2
1
0
0
50
100
150
200
I (mA)
3
D - II – CARACTERISTIQUE D’UNE ASSOCIATION EN PARALLÈLE
II - A - Association en parallèle de conducteurs ohmiques
Les deux composants de résistance R1 et R2 étant montés en parallèle, ils ont même
tension U à leurs bornes
U
I
I1
I2
R1
R2
La loi des nœuds et la loi d’Ohm permettent d’écrire cette fois-ci :
I = I1 + I2
U = R1 I1 = R2 I2
D’où on peut tirer :
I=
U U
+
R1 R 2
I=(
1
1
+
)U
R1 R 2
Cette dernière relation montre qu’il est possible de considérer l’association parallèle
comme un composant unique de conductance :
G=
1
1
1
=
+
= G1 + G2
R R1 R2
Il est évidemment possible d’étendre la démonstration à plusieurs composants en
parallèle.
Loi d'association parallèle de conducteurs ohmiques :
Si plusieurs conducteurs ohmiques sont montés en parallèle, l'association est
équivalente à un conducteur ohmique unique dont la conductance Geq serait
égale à la somme de toutes les conductances :
Geq = G1 + G2 + G3 + …
Observation graphique
Là encore le même raisonnement permet de vérifier graphiquement cette loi
d’association.
Exemple : En reprenant les caractéristiques des deux composants de résistance connue
R1 = 36 Ω et R2 = 22 Ω , et en faisant cette fois-ci une somme d’intensités pour plusieurs
tensions considérées, on obtient une droite caractéristique de l’association parallèle.
4
On peut alors vérifier que :
si G1 = 0,028 S et G2 = 0,045 S
Geq = 0,073 S et Req = 13,65 Ω
alors
U (V)
3,5
R1 = 36 Ω
3
2,5
R2 = 22 Ω
2
1,5
Req = 13,65 Ω
1
0,5
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90 I (mA)
II - B - Association en parallèle de composants quelconques
La méthode graphique de construction d’une caractéristique d’association parallèle
est encore la seule possible dans certains cas.
Elle consiste donc à déterminer plusieurs points correspondant à des sommes
d’intensités pour différentes valeurs de tension.
Exemple : L’ampoule précédente étant branchée maintenant en parallèle de la résistance de
22 Ω, on trace quelques points correspondant à cette association.
U (V)
R = 22 Ω
4
Ampoule
3
2
Association parallèle
1
0
0
50
100
150
200
I (mA)
5
Ce qui vient d’être vu pour des associations de deux composants peut évidemment
s’élargir à plusieurs composants associés en série, parallèle ou mixte.
Le raisonnement se mène toujours de la même façon, en considérant les
composants qui sont tous :
- soit en série, dans ce cas à une intensité donnée correspond une
somme de tensions,
- soit en parallèle et pour eux, à une tension donnée correspond
une somme d’intensités.
Exercice d'application D - 1
Pour constituer un accumulateur on branche en série quatre piles identiques dont on
connaît la f.e.m. E et la résistance interne r.
Quelles sont les caractéristiques de cet accumulateur ?
Pour répondre, il est nécessaire de connaître également comment ces piles sont
branchées les unes par rapport aux autres car les piles ne sont pas des dipôles
symétriques.
a) Aucune pile n’est en opposition avec les autres, toutes sont des générateurs, ce qui
correspond effectivement à un accumulateur et au schéma ci-dessous.
U1
I
U
On peut ici traiter le problème par calcul car pour chaque pile on connaît l’équation
caractéristique : U1 = U2 = U3 = U4 = E – r I
Les quatre piles sont en série, traversées par le même courant I.
La tension totale à leurs bornes est la somme des tensions partielles, toutes de même
sens.
U = U1 + U2 + U3 + U4 = 4 (E – r I)= 4E – 4r I
L’accumulateur possède donc une f.e.m. de 4E et une résistance interne de 4r.
b) Si la pile n°1 a été branchée en opposition aux autres, elle n’est plus un générateur
mais un récepteur qui correspond à l’équation caractéristique : U1 = E + rI.
La tension positive (qui correspond à l’équation) est cette fois ci dirigée en sens inverse
U1
des trois autres.
I
U
La somme des tensions s’écrit maintenant :
U = - U1 + U2 + U3 + U4 = -E - rI + 3 (E – r I)= 2E – 4r I
Cette association est toujours un générateur mais de f.e.m. 2E et de résistance interne 4r.
Mais cela a peu d’intérêt pour constituer un accumulateur !
6
Exercice d'application D - 2
Pour augmenter l’intensité dans un circuit ont branche quatre piles identiques en
parallèle et orientées de même façon.
I1
I
U
A quel générateur correspond ce montage ?
Chaque générateur ayant la même tension à ses bornes, chacun est parcouru par le
même courant I1.
E−U
U = U1 = U2 = U3 = U4 = E – r I1
I1 =
r
Le courant total I qui alimente le circuit correspond à la somme des quatre courants
partiels tous de même sens.
E−U
I = I1 + I2 + I3 + I4 = 4 (
)
r
Relation que l’on peut mettre sous la forme :
r
U=E– I
4
Cette relation montre que cette association correspond à un générateur de f.e.m. E et de
r
résistance interne , capable de débiter le courant I = 4I1.
4
D - III – POINT DE FONCTIONNEMENT
Lorsqu’un circuit est envisagé, les caractéristiques, définies par des relations
mathématiques ou des graphiques, permettent de déterminer le comportement
général du circuit. C’est la recherche du point de fonctionnement.
Exemple : Si on reprend la situation de deux conducteurs en série de résistance 22 Ω et
36 Ω alimentés par une pile de f.e.m. 1,5 V et de résistance interne 3 Ω, comment
déterminer l’intensité du courant qui va circuler dans ce circuit et les valeurs des tensions ?
Le traitement mathématique est ici possible puisque tous les composants ont des
caractéristiques linéaires.
U1 = R1 I
U2 = R2 I
U=E–rI
U
R1
U1
I
R2
U2
7
E – r I = (R1 + R2) I
La loi des mailles donne U = U1 + U2
D’où la relation donnant la valeur de I :
I=
E
r + R1 + R 2
soit
I = 24,6 mA
et celle des tensions :
U = 1,5 – 3x0,0246 = 1,43 V
U1 = 22 x 0,0246 = 0,54 V
Le couple de valeurs U = 1,43 V
fonctionnement de ce circuit.
et
U2 = 36 x 0,0246 = 0,89 V
I = 0,0246 A
représente le point de
Ces valeurs se retrouvent graphiquement au point d’intersection entre la caractéristique de la
pile (U = E-r I) et celle de l’association série (U = (R1 + R2) I).
En effet ce point d’intersection correspond bien à l’égalité de ces tensions (U = U1 + U2).
U (V)
3,5
R1 = 36 Ω
3
2,5
En série
R2 = 22 Ω
2
1,5
1
En parallèle
0,5
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90 I (mA)
De façon identique, l’intersection de la caractéristique de la pile avec celle de l’association en
parallèle donne les valeurs du point de fonctionnement dans le cas où cette pile alimente ce
montage en parallèle.
La tension U aux bornes de la pile est aussi la même que celle aux bornes de l’association,
et il n’y a qu’une solution possible que l’on peut lire :
U = 1,23 V et I = 0,09 A
Bien évidemment ces résultats peuvent aussi se retrouver par le calcul.
U
I
8
I1
I2
R1
R2
D - IV – LES CONDITIONS LIMITES D’USAGE
Une fois déterminé le point de fonctionnement d’un circuit il reste à vérifier si ce
fonctionnement sera supporté par l’ensemble des composants et si ceux-ci seront
utilisés au mieux.
Les fabricants de composants fournissent les informations qui permettent cette
vérification et ces informations peuvent apparaître sous diverses formes.
Exemple : Pour une ampoule on donne sa tension d’utilisation optimale (nominale) et la
valeur de sa puissance.
Ainsi on pourra lire sur un culot 220V – 230V et 60 W.
On sait alors déterminer soit par calcul (P = U I) soit sur la caractéristique l’intensité
maximale qui limite la courbe. Si on veut utiliser cette lampe dans un circuit, il faudra donc
travailler aux alentours de cette valeur d’intensité.
Pour une diode on dispose de sa tension seuil, de l’intensité maximale qu’elle supporte et de
la tension maximale qu’elle accepte en sens inverse.
Dans le cas d’une diode au silicium on aura une tension seuil de 0,6 V, une intensité
maximale de 1 A en sens direct et une tension maximale de 400V en sens inverse.
Pour cette diode, si on ne dispose pas de l’équation de sa partie linéarisée, on ne peut
déterminer que graphiquement la tension maximale qu’elle supporte en sens direct. On sait
alors qu ‘elle ne sera passante que pour une tension comprise entre sa tension seuil et cette
tension maximale.
Exercice d'application D - 3
Pour une DEL on sait que sa tension seuil est de 1,8 V, son intensité nominale est de
20 mA et sa tension limite en sens inverse est de 5 V.
Peut-on alimenter cette DEL avec des piles de 1,5 V, de 4,5 V ou de 9 V dont les
résistances internes sont toutes négligeables ?
La pile de 1,5 V est sans intérêt puisque inférieure à la tension seuil !
Pour la pile de 4,5 V en sens inverse il n’y a aucun risque. Par contre, on sait que la
résistance d’une diode passante est faible, il est donc nécessaire au départ d’être sûr que
le courant ne sera pas supérieur à 20 mA.
Pour limiter l’intensité, on peut mettre une résistance en série. Si la résistance était seule
à être aux bornes de la pile, pour limiter le courant à 20 mA il faudrait une résistance au
4,5
U
minimum de :
R≥
R ≥ 225 Ω
0,02
Si on ne dispose que de résistances de puissance maximale
vérifier le non-dépassement de cette autre limite.
C’est effectivement le cas puisque au maximum :
1
de watt, encore faut-il
4
P = 4,5 x 0,02 = 0,09 W
9
9
= 450 Ω qui serait nécessaire
0,02
en sens directe. Ce qui donnerait une puissance de maximale de 0,18 W encore
acceptable.
Dans le cas de la pile de 9 V, c’est une résistance R ≥
Par contre, en sens inverse, comme c’est la tension limite qui est connue, il est nécessaire
de mettre la diode en parallèle d’une résistance limitant la tension à 5 V.
Il faut donc nécessairement utiliser deux résistances en série telle que l’une, R1, n’est pas
plus de 5 V à ses bornes et l’autre, R2, en conséquence au moins 4 V.
U
R1
R2
Elles sont parcourues par la même intensité de courant I (pas de courant dans la diode
en sens inverse). On doit donc vérifier :
R1 I ≤ 5 V
R2 I ≥ 4V
R1 ≤
5
R2
4
(1)
De plus les puissances étant limitées à 0,25 W :
U12
P1 = U1 I =
≤ 0,25 W
R
Ce qui impose :
U22
P2 = U2 I =
≤ 0,25 W
R
R1 ≥ 100 Ω
et
R2 ≥ 64 Ω
(2)
La résolution du système d’équations (1) et (2) donne comme solutions possibles :
R1 = 100 Ω
et
R2 = 80 Ω
100 Ω ≤ R1 ≤ 112,5 Ω
et
R2 = 90 Ω
100 Ω ≤ R1 ≤ 125 Ω
et
R2 = 100 Ω
Etc.
Vous pouvez faire les applications directes n° 10 à 21 que
vous trouverez dans le document « II - Les exercices et les
corrigés » à la rubrique : Ex-E-II-D
10