TES IE4 intégration S1 2013-2014 1 Exercice 1 : calculs de

TES
IE4 intégration
S1 2013-2014
Exercice 1 : calculs de primitives (5 points)
f est une fonction définie et continue sur un intervalle I.
Déterminer une primitive de f sur I.
a) f(x) = 2x3 – 4x + 5
I=Y
b) f(x) =
2
- 3ex
x
I = ]0 ; + ∞[
c) f(x) =
1
x
3 + 5e
x
I = ]0 ; + ∞[
d) f(x) = - 3e3x – 5
I=Y
x
e) f(x) =
1–e
(ex – x)²
I=Y
Exercice 2 : calculs d’intégrales (5 points)
Calculer les intégrales suivantes :
2
I=⌠
⌡1 xdx
2
J=⌠
⌡1 (x² + x + 1)dx
1
⌠ 2
K =  2x - 1 + dx
x
⌡1 
x
0
L=⌠
⌡-1 (2e - 1)dx
2
2x
⌠3
⌠3
M=
dx + 
dx
⌡1 (x² + 2x)²
⌡1 (x² + 2x)²
1
TES
IE4 intégration
S2 2013-2014
Exercice 1 : calculs de primitives (5 points)
f est une fonction définie et continue sur un intervalle I.
Déterminer une primitive de f sur I.
a) f(x) = -2x4 + 2x² - 7
b) f(x) = c) f(x) =
3 2
+
x² x
1 1
x x²
d) f(x) = -
1
x×(ln(x))²
e) f(x) = 2e-2x + 3
I=Y
I = ]0 ; + ∞[
I = ]0 ; + ∞[
I = ]0 ; + ∞[
I=Y
Exercice 2 : calculs d’intégrales (5 points)
Calculer les intégrales suivantes :
3
I=⌠
⌡2 xdx
2
J=⌠
⌡1 (x² - x - 1)dx
1
⌠ e
K =  2x + 1 - dx
x
⌡1 
x
2
L=⌠
⌡-1 (2 - e )dx
3
2x
⌠2
⌠2
M=
dx + 
dx
⌡1 (x² + 3x)²
⌡1 (x² + 3x)²
2
TES
IE3 fonction logarithme népérien
CORRECTION
S1 2012-2013
Exercice 1 : calculs de primitives (5 points)
f est une fonction définie et continue sur un intervalle I.
Déterminer une primitive de f sur I.
a) f(x) = 2x3 – 4x + 5
I=Y
b) f(x) =
2
- 3ex
x
I = ]0 ; + ∞[
c) f(x) =
1
+ 5ex
x3
I = ]0 ; + ∞[
d) f(x) = - 3e3x – 5
I=Y
e) f(x) =
1 – ex
(ex – x)²
I=Y
a) F(x) =
x4
- 2x² + 5x
2
b) F(x) = 2×ln(x) – 3ex
c) F(x) = -
1
+ 5ex
2x²
d) F(x) = - e3x-5
e) F(x) =
1
e -x
x
Exercice 2 : calculs d’intégrales (5 points)
Calculer les intégrales suivantes :
2
I=⌠
⌡1 xdx
2
J=⌠
⌡1 (x² + x + 1)dx
1
⌠ 2
K =  2x - 1 + dx
x
⌡1 
x
0
L=⌠
⌡-1 (2e - 1)dx
2
2x
⌠3
⌠3
M=
dx + 
dx
⌡1 (x² + 2x)²
⌡1 (x² + 2x)²
I=
2
⌠
⌡1 xdx
x² 2 2² 1²
1 3
=  =
–
=2– =
2
2
2
2 2
 1
3
TES
IE3 fonction logarithme népérien
CORRECTION
S1 2012-2013
2
x3 x²

23 2²
 13 1²

+ x =  +
+ 2 –  +
+ 1
+ x + 1)dx =  +
2
2
3
1
3
 3 2

J=
2
⌠
⌡1 (x²
J=
8
1 1
16 + 18 – 2 – 3 29
+4– - -1=
=
3 2
6
6
3
1
2
⌠ 2
K =  2x - 1 + dx = [x² - x + ln(x)]1 = (2² - 2 + ln(2)) – (1² - 1 + ln(1))
x
⌡1 
K = 4 – 2 + ln(2) = 2 + ln(2)
0
2
0
-1
-1
0(2ex - 1)dx = [2ex - x]
L=⌠
=
(2e
–
0)
–
(2e
–
(-1))
=
2
–
2e
1
=
1
–
⌡-1
-1
e
2
2x
⌠3
⌠3
M=
dx + 
dx
⌡1 (x² + 2x)²
⌡1 (x² + 2x)²
3


1
1
1
1 1 -1 + 5 4
⌠ 3 2 + 2x
 =dx = +
=+ =
=
M=
3² + 2×3 1² + 2×1
15 3
15
15
 x² + 2x1
⌡1 (x² + 2x)²
4
TES
IE3 fonction logarithme népérien
CORRECTION
S2 2012-2013
Exercice 1 : calculs de primitives (5 points)
f est une fonction définie et continue sur un intervalle I.
Déterminer une primitive de f sur I.
a) f(x) = -2x4 + 2x² - 7
3 2
+
x² x
b) f(x) = c) f(x) =
d)
I = ]0 ; + ∞[
1 1
x x²
f(x) = -
I=Y
I = ]0 ; + ∞[
1
x×(ln(x))²
e) f(x) = 2e-2x + 3
I = ]0 ; + ∞[
I=Y
2
2
a) F(x) = - x5 + x3 – 7x
5
3
b) F(x) =
3
+ 2×ln(x)
x
c) F(x) = ln(x) +
d) F(x) =
1
x
1
ln(x)
e) F(x) = - e-2x+3
Exercice 2 : calculs d’intégrales (5 points)
Calculer les intégrales suivantes :
3
I=⌠
⌡2 xdx
2
J=⌠
⌡1 (x² - x - 1)dx
1
⌠ e
K =  2x + 1 - dx
x
⌡1 
x
2
L=⌠
⌡-1 (2 - e )dx
3
2x
⌠2
⌠2
M=
dx + 
dx
⌡1 (x² + 3x)²
⌡1 (x² + 3x)²
x² 3 3² 2² 9
9 4 5
3
⌠
I = ⌡2 xdx =   =
–
= -2= – =
2
2 2
2 2 2
 2 2
5
TES
IE3 fonction logarithme népérien
CORRECTION
S2 2012-2013
 13 1² 
x3 x²
 2 23 2²
2

x


2
– - 1
⌠
J = ⌡1 (x² - x - 1)dx =
=
2
2
3
1
3
 3 2

J=
8
1 1
7 1
14 + 3 – 18
1
-2–2– + +1= + -3=
=3
3 2
3 2
6
6
1
⌠ e
e
K =  2x + 1 - dx = [x² + x – ln(x)]1 = (e² + e – ln(e)) – (1² + 1 – ln(1))
x
⌡1 
K = e² + e – 1 – 2 = e² + e – 3
x
2
x
2
-1
2
L=⌠
⌡-1 (2 - e )dx = [2x - e ]-1 = (2×2 – e ) – (2×(-1) – e )
L = 4 – e² + 2 + e-1 = 6 – e² +
1
e
3
2x
⌠2
⌠2
M=
dx + 
dx
⌡1 (x² + 3x)²
⌡1 (x² + 3x)²

 2
1
1
1
1 1 -2 + 5 3
⌠ 2 2x + 3
 =dx = +
=+ =
=
M=
1
2² + 3×2 1² + 3×1
10 4
20
20
 x² + 3x
⌡1 (x² + 3x)²
6