Factorisation

Exercices
1. Factoriser les expressions suivantes:
(a) 2x2 − 8y 2
3
(b) 3x − 3xy
= 2 (x − 2y) (x + 2y)
2
= 3x (x − y) (x + y)
2
(c) 15x − 15
= 15 (x − 1) (x + 1)
2
(d) 162 − 2x
4
= 2 (9 − x) (9 + x)
¢
¡
= 4 a4 − 2b4
4
(e) 4a − 8b
2
(f) (4x − y) − (4x + 8y)
2
(g) 64a − (x − 2a)
2
= −9y (8x + 7y)
2
= (6a + x) (10a − x)
2
(h) 75x − 48
8
(i) x −
(j)
3
25
−
1
64
3a2
16
2
2
(k) 9 (x − 2y) − 16 (y − 3x)
2
(l) (4x − 7y) − 4x2
8
8
(m) a − b
(n) 3y 5 + 6ay 3 + 3y 4
(o) 4x2 y + 32xy 2 + 8x2 y 2
(p) (xy + z) (x + y) − (2y − x) (xy + z)
¡
¡
¢
¢
(q) 3x x2 + y 2 − (x2 + y 2 )6y + 3 y 2 + x2
= 3 (5x − 4) (5x + 4)
¡
¢¡
¢
= x4 − 18 x4 + 18
¡
¢¡
¢
= 3 15 − a4 15 + a4
= 5 (2y + 9x) (2y − 3x)
= (2x − 7y) (6x − 7y)
¡ 4
¢ 2
4
= a + b (a + b2 )(a + b)(a − b)
¢
¡
= 3y 3 y 2 + 2a + y
= 4xy (x + 2yx + 8y)
= (xy + z) (2x − y)
¡
¢
= 3 (x − 2y + 1) x2 + y 2
2. Résoudre les équations suivantes :
(a) 6(x + 5) − 5x = 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S = {−5}
(b) 4(4 + 2x) = 60 − 3x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .S = {4}
© ª
(c) 60x + 1 = 3(3 + 4x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S = 16
© ª
(d) 3x − 12 (4 − x) = x − 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S = 23
¢
¡
(e) 3x − 12 x5 + 6 = 25 + 3x
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S = {20}
¢
¡
2x
1 5x
27
(f) 5 − 3 4 − 4 = x + 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .S = {−4}
(g) x2 − 9 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S = {−3, 3}
©
ª
(h) 4x2 − 1 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S = − 12 , 12
(i) x2 − 3x = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S = {0, 3}
(j) (x − 1)2 + 2 (x + 1) (x − 1) − 3x (x − 2) = 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S = {2}
(k) (2x − 1)2 + (2x + 3)2 = 2x (4x − 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .S = {−1}
©
ª
(l) (4x + 7)2 = (x + 3)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S = −2; − 43
( fact.tex )
A) Mettre en évidence tous les facteurs communs:
1. ab + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = b(a + 1)
2. ma + ap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = a(m + p)
3. a3 x2 − a2 x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = a2 x2 (a − x)
4. 4ac − 2ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 2a(2c − b)
5. 6a2 b + 4ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 2ab(3a + 2)
6. 24b3 c5 − 36bc2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 12bc2 (2b2 c3 − 3)
7. 3a3 b4 − 12a2 b3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 3a2 b3 (ab − 4)
8. 15a7 b2 − 10a5 b3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 5a5 b2 (3a2 − 2b)
9. 3a2 bc2 − abc3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = abc2 (3a − c)
10. 10ac2 + 15a2 c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 5ac(2c + 3a)
11. 12x2 y 2 − 18xy 3 + 24x3 y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 6xy(2xy − 3y 2 + 4x2 )
12. 12a2 x3 − 30a3 x2 + 18ax4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 6ax2 (2ax − 5a2 + 3x2 )
13. y(b − a) − x(b − a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = (b − a)(y − x)
14. a(x2 + y 2 ) − b(x2 + y 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = (x2 + y 2 )(a − b)
15. a(x + y) + b(x + y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = (x + y)(a + b)
16. (a − b) + x(a − b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = (a − b)(1 + x)
17. 3ab(bc)3 − ab(bc)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = ab3 c2 (3bc − 1)
18. 2a3 b2 + 8a3 b3 − 6a4 b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 2a3 b(b + 4b2 − 3a)
19. 3x3 y 2 z − 9x2 y 3 z 2 + 18x4 y 2 z 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 3x2 y 2 z(x − 3yz + 6x2 z)
20. a(b − c) − b(b − c) + c(b − c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = (b − c)(a − b + c)
B) Factoriser en utilisant les identités remarquables:
1. a2 − 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = (a + 3)(a − 3)
2. a2 − 16b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = (a + 4b)(a − 4b)
3. a4 − 9b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = (a2 + 3b)(a2 − 3b)
4. a2 − 25x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = (a + 5x)(a − 5x)
5. a2 x2 − b2 x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = (ax + bx)(ax − bx)
6. 4x2 − 16a2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = (2x + 4a)(2x − 4a)
7. x3 y − xy 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = xy(x + y)(x − y)
8. 32a2 − 2b4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 2(4a + b2 )(4a − b2 )
( fact.tex )
9. 50x4 − 2y 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 2(5x2 + y)(5x2 − y)
10. 256x2 − 64a4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 64(2x + a2 )(2x − a2 )
11. a2 x2 − 81x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = x2 (a + 9)(a − 9)
12. 16x2 y 2 − 121y 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = y 2 (4x + 11y)(4x − 11y)
13. x4 y 2 − x2 y 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = x2 y 2 (x + y)(x − y)
14. 3a3 x − 3ax3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 3ax(a + x)(a − x)
15. 150a6 b2 − 24a2 b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 6a2 b2 (5a2 + 2)(5a2 − 2)
16. x4 − 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = (x2 + 9)(x + 3)(x − 3)
17. 81x4 − 625a4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = (9x2 + 25a2 )(3x + 5a)(3x − 5a)
18. 32x4 − 2a4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 2(4x2 + a2 )(2x + a)(2x − a)
19. 3ax4 − 3ay 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 3a(x2 + y 2 )(x + y)(x − y)
20. 3x5 − 48xy 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 3x(x2 + 4y 4 )(x + 2y 2 )(x − 2y 2 )
21. (a − b)2 − c2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = (a − b + c)(a − b − c)
22. (a + b)2 − (x − y)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = (a + b + x − y)(a + b − x + y)
23. (5a + 2b)2 − (2b − 5a)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 40ab
24. (x + a)2 − (3x − 2a)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = (4x − a)(3a − 2x)
25. (a + b + c)2 − (a − 2b − c)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = (2a − b)(3b + 2c)
26. (x + 1)2 − (x − 1)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 4x
C) Factoriser en utilisant les identités remarquables:
1. a2 + 4ab + 4b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = (a + 2b)2
2. 9a2 − 12ab + 4b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = (3a − 2b)2
3. 4a2 − 4a + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = (2a − 1)2
4. a2 − a + 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = (a − 12 )2
5. x4 + 2x2 + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = (x2 + 1)2
6. x6 + 6x3 + 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = (x3 + 3)2
7. ab2 − 2abc + ac2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = a(b − c)2
8.
x2
16
−
3xy
2
+ 9y 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = ( x4 − 3y)2
9. 4x4 + x2 y +
y2
16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = (2x2 + y4 )2
10. 9a4 b2 − 6a2 bc + c2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = (3a2 b − c)2
11.
9a2
4
− ab +
b2
9
b 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = ( 3a
2 − 3)
( fact.tex )