ONDES SONORES

Ondes sonores page 1/3
ONDES SONORES
VRAI FAUX
Les ondes sonores peuvent se propager dans le vide
Les ondes sonores peuvent se propager dans les solides
L’approximation acoustique est un modèle au premier ordre.
Dans les ondes sonores, les transformations subies par le fluide sont isotherme.
Les ondes sonores sont longitudinales
La célérité des ondes sonores est plus grande dans les gaz que dans les liquides.
Dans le modèle du gaz parfait, la célérité des ondes sonores est
RT
c
M
= .
La célérité d’une onde sonore est la vitesse de déplacement des particules de fluides mises
en mouvement par l’onde.
Le vecteur de Poynting acoustique est par définition
p n v
Π = ∧
L’intensité sonore est une valeur quadratique moyenne.
L’unité de l’intensité sonore est le Watt.
Le seuil de douleur est autour de 120 dB.
L’amplitude d’une onde sphérique est constante
La phase d’une onde plane ne dépend toujours que d’un seul paramètre d’espace.
La direction de propagation d’une onde sonore plane est parallèle aux plans de phase.
La pression acoustique et la vitesse des particules de fluides correspondant à une onde
sonore vérifient toujours la relation p = µ
0
cv
L’impédance acoustique d’un gaz est plus faible que celle d’un solide.
L’effet Doppler dépend de la distance entre l’émetteur et le récepteur.
La fréquence mesurée par le récepteur est plus petite que celle émise par la source si la
distance source-observateur augmente .
Dans un tuyau sonore ouvert à son extrémité, l’onde sonore est intégralement transmise à
l’atmosphère.
Dans un tuyau sonore de longueur L avec même condition aux limites aux extrémités, la
fréquence du fondamental est
2
c
f
L
=.
La fréquence du fondamental est la même dans un tuyau ouvert-ouvert ou ouvert-fermé.
Dans un phénomène de réflexion-transmission, l’amplitude de pression de l’onde
incidente est égale à la somme des amplitudes réfléchie et transmise.
Lorsqu’une onde sonore passe d’un solide à un gaz, l’intensité transmise est plus grande
que l’intensité réfléchie.
La condition d’adaptation d’impédance entre deux milieux d’ipédances Z
1
et Z
2
et
Z
1
/Z
2
= 0.
I-Sur le chemin d’une onde sonore plane sinusoïdale et progressive, se propageant dans l’air,
se trouve un cercle de contrôle de rayon a = 50 cm dont le plan est perpendiculaire à la direction de
propagation. La longueur d’onde sonore est λ = 5,0 cm, la fréquence ν = 6,8 kHz. L’amplitude de la
surpression est p
0
= 3,5 Pa. Déterminer la valeur moyenne du flux d’énergie traversant la surface du
disque intérieur au cercle.

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II-Un tuyau d’orgue est assimilable à un tuyau de longueur ℓ = 1,00 m fermé à l’une de ses
extrémités et ouvert à l’autre.
Les pression, température et masse volumique moyennes de l’air contenu dans ce tuyau
sont:
p
0
= 1,013×10
5
Pa; T
0
= 290 K et ρ
0
= 1,22 kg.m
–3
1) Déterminer les fréquences f
0
du fondamental et f
1
de la première harmonique. L’air est
assimilé à un gaz parfait de coefficient
γ =
C
C
P
V
= 1,40.
2) A la fréquence f
1
, on a mesuré une amplitude maximale des élongations de l’air égale à
a
0
= 1 mm. En déduire l’amplitude maximale correspondante:
p
0
pour la surpression;
τ
0
pour la température.
III-Dans un tube de section uniforme, deux fluides de caractéristiques respectives ρ
1
(masse
volumique), c
1
(célérité de propagation) et ρ
2
, c
2
sont séparés par une membrane solide coulissant
sans frottement, d’épaisseur très faible et de masse surfacique σ , placée en x = 0 . On envoie sur
cette membrane une onde acoustique progressive p x t f t x
c
I
( , ) = −
F
H
G
I
K
J
1
supposée connue. Elle crée
une onde réfléchie p x t g t x
c
R
( , ) = +
F
H
G
I
K
J
1
et une onde transmise p x t h t x
c
T
( , ) = −
F
H
G
I
K
J
2
1) Écrire les deux équations vérifiées par les fonctions
(
)
g t
et
(
)
h t
en x = 0.
2) On suppose
(
)
(
)
I 0 1
, cos
p x t p t k x
= ω − . Exprimer les coefficients de réflexion r et
transmission t comme des fonctions complexes de ω .
3) Étudier les diagrammes de Bode en amplitude et phase de r et t . Conclure.
IV-Une sphère fixe de centre O a son rayon R qui varie selon la loi R = R
0
+ a. cos( ωt ) avec
a << R
0
. Elle est plongée dans un milieu fluide de masse volumique ρ
0
et de coefficient de
compressibilité isentropique χ
0
. Les vibrations de la sphère produisent, dans le milieu, une onde
acoustique divergente. La surpression p ( r , t ) prend la forme, en notation complexe : p
A
r
e
j t kr
=
−ω
b g
.
où r désigne la distance du point O au point M considéré dans le milieu.
1) Déterminer les expressions des grandeurs k et A en fonction de ω , c (célérité des ondes),
ρ
0
, R
0
et a .
2) Calculer la puissance acoustique moyenne < P > rayonnée par la sphère. Commenter le
résultat obtenu: on se placera dans le cas où l’on a R
0
<< λ ( λ est la longueur d’onde).
Application numérique : Donner la valeur de a , ainsi que celle de l’amplitude de la
surpression à une distance r = 1 m du point O si < P > = 0,15 W, c = 340 m.s
–1
, f = 100 Hz;
ρ
0
= 1,2 kg.m
–3
et R
0
= 5 cm.
On donne ∆f ( r ) =
1
2
2
r r rf r r
∂
∂
∂
∂
( )
F
H
G
I
K
J
.
V-Une onde plane ultrasonore se propage dans un échantillon d'aluminium suivant l'axe
(Ox). On désire étudier cette onde à l'aide d'un détecteur (céramique piézoélectrique reliée à un
amplificateur) placé contre l'échantillon. Malgré un bon contact, une couche d'air subsiste.
1) En supposant les milieux non absorbants, déterminer l'intensité sonore I
D
reçue par le
détecteur en fonction de résistivités acoustiques respectives r
AL
, r
AIR
, r
D
de l'échantillon
d'aluminium, de l'air, du détecteur et l'intensité incidente I
0
. On tiendra compte des réflexions
multiples et on ajoutera les intensités des ondes émergentes.

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On rappelle que les coefficients de réflexion et de transmission énergétiques entre deux
milieux de résistivités acoustiques respectives r
1
et r
2
valent :
R =
r r
r r
1 2
1 2
2
−
+
F
H
G
I
K
J
et T = 1 – R =
4
1 2
1 2
2
r
r
r r+
b
g
.
2) Calculer le rapport
I
I
D
0
.
Données : r
AL
= 16,9×10
6
kg.m
–2
.s
–1
; r
D
= 31×10
6
kg.m
–2
.s
–1
; r
AIR
= 428 kg.m
–2
.s
–1
;
3) Pour limiter la perte d’intensité, on place entre l’aluminium et le détecteur une couche de
glycérine assurant un bon contact. Déterminer la nouvelle valeur I
D
' de l’intensité sonore dans le
détecteur en fonction de r
AL
, r
GL
, r
D
et de I
0
.
4) Calculer la nouvelle valeur du rapport I
I
D
'
0
. Commenter.
Données : r
GL
= 24,2×10
5
kg.m
–2
.s
–1
;
VI- On considère une conduite d’axe de symétrie xx’ dont le rayon à l’abscisse x est R(x) et
la section S(x) (ces fonctions sont données). Le tuyau contient un
fluide dont les caractéristiques au repos sont P
0
(pression), ρ
0
(masse
volumique) et T
0
(température). Cet équilibre est perturbé par le
passage d’une onde acoustique. Pour le fluide qui est à l’abscisse x
au repos, on note u(x, t) la vitesse des particules à l’instant t, ρ(x, t) la
masse volumique du fluide et P(x, t) sa pression.
On se limitera aux mouvements de faible amplitude. Dans ces
conditions, on considèrera que la vitesse u(x, t), la surpression p
S
(x, t)
= P(x, t) – P
0
, la variation de masse volumique ρ(x, t) – ρ
0
ainsi que leurs dérivées sont des
infiniment petits du premier ordre.
On étudie la propagation d’ondes acoustiques planes dans la direction Ox
1) On considère la surface Σ située entre les plans d’abscisses x et x + dx et fermée
latéralement par la paroi de la conduite. À partir d’un bilan de quantité de mouvement sur un
système fermé à préciser, établir à l’ordre le plus bas, l’équation différentielle
ρ
∂
∂
∂
∂
0
u x t
t
p x t
x
( , ) ( , )
F
H
G
I
K
J
= −
F
H
G
I
K
J
S.
2) On suppose que la transformation subie par le fluide est isentropique. On suppose que
compressibilité isentropique du fluide χ
S
est une constante pour le fluide contenu dans le tuyau.
Établir l’équation différentielle
∂
∂χ∂ ∂
S x u x t
xS x p x t t
S
x
( ) ( , ) ( ) ( , )
b
g
= −
F
H
G
I
K
J
S
3) En déduire l’équation différentielle vérifiée par p
S
(x, t) d’une part et le produit S(x)u(x)
d’autre part.
R(x) x