Corrigé

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ère
S-SI ©EPo
Devoir Temps Libre 1 – 1
ère
Ssi
Seconde degré – Angle et algorithmique
EXERCICE 1 : lieu géométrique et second degré
Dans un repère, ∆ est la droite d'équation y=8x+2 et P est la parabole d'équation y = x²-3x+1
1) Tracer P et ∆
On utilise un traceur de courbe, ou un tableau de valeurs construit à l’aide de la calculatrice
Avec Géogebra, on peut conjecturer le lieu géométrique recherché en affichant la trace de I (ici en
bleu)
2) A et B sont les points de P d'abscisses respectives a et b (avec a différent de b).
Les coordonnées de A sont
(
)
(
)
(
)
afaA ;
Les coordonnées de B sont
(
)
(
)
(
)
bfbB ;
Puisque a est différent de b, le coefficient directeur de la droite ∆ est donné par :
( )
(
)
(
)
(
)
ab aabb ab aabb ab afbf xx yy
m
AB
AB
AB
−+−−
=
−+−−+−
=
−
−
=
−
−
=331313
2222
Ainsi
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
a
b
abab
a
b
ababab
a
b
abab
m
AB
−−+−
=
−−−+−
=
−−−−
=333
22
On obtient en simplifiant
( )
3−+= bam
AB
3) Les points A et B décrivent le parabole P de façon que la droite (AB) reste parallèle à ∆.
On se propose d'étudier le lieu décrit alors par le milieu I du segment [AB]

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a) La droite ∆ a pour coefficient directeur 8. Or
( )
3++= bam
AB
d’après 2.
Donc 38
−
+
=
ba , soit aab
−
=
+
−
=
1138
b) Calculer l'abscisse x
0
de I.
L’abscisse du point I milieu de [AB] est donné par
2
11
2
11
2
2
0
=
−+
=
+
=
+
=aaba
xx
x
BA
. Cette abscisse ne dépend ni de a, ni de b
Par conséquent le point I se déplace sur la droite parallèle à l’axe des ordonnées
d’équation
2
11
=x
c)
(
)
(
)
2
11131113
2
1313
2
2
222
0+−−−++−
=
+−++−
=
+
=aaaabbaa
yy
yBA
Ainsi 4511
2
90222
2
13332212113 2
222
0+−=
+−
=
++−+−++−
=aa
aaaaaaa
y
Il s’agit d’un trinôme du second degré. Son minimum a pour coordonnées
(
)
βα ; , où
(
)
βα +−=+−
2
2
4511 aaa . Ainsi
4
59
2
11
4511
2
2
+
−=+− aaa
La valeur minimale de
0
y sera donc de
4
59
d) Le lieu géométrique de I est donc la demi droite d’équation
2
11
=x, avec
4
59
≥y.
Il s’agit de l’ensemble E= ( )
≥= 4
59
;
2
11
/; yxyx

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EXERCICE 2 : Algorithmique et mesure principale
1) L’algorithme (partiel) ci-contre, écrit avec Algobox, a pour objectif de fournir la mesure
principale d’un angle x (nombre réel). Ainsi, cet algorithme donne la décomposition de x
sous la forme
π
ka 2
+
avec
]
]
ππ ;−∈a et k un nombre entier naturel.
Math.PI est la notation utilisée par le logiciel pour le nombre
π
.
Compléter ce programme
1 VARIABLES
2 x EST_DU_TYPE NOMBRE
3 k EST_DU_TYPE NOMBRE
4 a EST_DU_TYPE NOMBRE
5 DEBUT_ALGORITHME
6 LIRE x
7 k PREND_LA_VALEUR 0
8 SI (x>=Math.PI) ALORS
9 DEBUT_SI
10 TANT_QUE (x>Math.PI) FAIRE
11 DEBUT_TANT_QUE
12 x PREND_LA_VALEUR x-2*Math.PI
13 k PREND_LA_VALEUR k+1
14 FIN_TANT_QUE
15 a PREND_LA_VALEUR 2*k
16 AFFICHER "x = "
17 AFFICHER x
18 AFFICHER " + "
19 AFFICHER a
20 AFFICHER " * PI"
21 FIN_SI
22 SINON
23 DEBUT_SINON
24 TANT_QUE (x<=-Math.PI) FAIRE
25 DEBUT_TANT_QUE
26 x PREND_LA_VALEUR x+2*Math.PI
27 k PREND_LA_VALEUR k+1
28 FIN_TANT_QUE
29 a PREND_LA_VALEUR 2*k
30 AFFICHER "x = "
31 AFFICHER x
32 AFFICHER " - "
33 AFFICHER a
34 AFFICHER " * PI"
35 FIN_SINON
36 FIN_ALGORITHME
2) Les nouvelles versions d’algobox renvoie effectivement la bonne décomposition pour
x=Math.PI. Par contre, il ne gère pas l’affichage de la valeur exacte. D’où la proposition
suivante qui modifie l’algorithme et affiche PI.
Remarque : il est évident que cet algorithme peut être amélioré. Il s’agit ici d’un exercice visant à
faire travailler la boucle TANT QUE et le test SI… ALORS… SINON…
1 VARIABLES
2 x EST_DU_TYPE NOMBRE
3 k EST_DU_TYPE NOMBRE
4 a EST_DU_TYPE NOMBRE
5 b EST_DU_TYPE NOMBRE
6 DEBUT_ALGORITHME
7 LIRE x
8 k PREND_LA_VALEUR 0
9 b prend la valeur Math.PI
10 SI (x>=Math.PI) ALORS
11 DEBUT_SI
12 TANT_QUE (x>Math.PI) FAIRE
13 DEBUT_TANT_QUE
14 x PREND_LA_VALEUR x-2*Math.PI
15 k PREND_LA_VALEUR k+1
16 FIN_TANT_QUE
17 a PREND_LA_VALEUR 2*k
18 AFFICHER "x = "
19 SI (x==b)
20 DEBUT_SI
21 AFFICHER " PI "
22 FIN_SI
23 SINON
24 DEBUT_SINON
25 AFFICHER x
26 FIN_SINON
27 AFFICHER " + "
28 AFFICHER a
29 AFFICHER " * PI"
30 FIN_SI
31 SINON
32 DEBUT_SINON
33 TANT_QUE (x<=-Math.PI) FAIRE
34 DEBUT_TANT_QUE
35 x PREND_LA_VALEUR x+2*Math.PI
36 k PREND_LA_VALEUR k+1
37 FIN_TANT_QUE
38 a PREND_LA_VALEUR 2*k
39 AFFICHER "x = "
40 SI (x==b)
41 DEBUT_SI
42 AFFICHER " PI "
43 FIN_SI
44 SINON
45 DEBUT_SINON
46 AFFICHER x
47 FIN_SINON
48 AFFICHER " - "
49 AFFICHER a
50 AFFICHER " * PI"
51 FIN_SINON
52 FIN_ALGORITHME