Algorithmique - Calculatrices-hp

Tutoriaux HP Prime
Par Mickaël Nicotera – 2013 – v2 – Photocopies autorisées
Algorithmique
HP Prime
D’après une épreuve sur dossier à l’oral du CAPES de mathématiques
On s’intéresse à l’algorithme suivant :
 Entrer un entier naturel non nul n
 Tant que n≠20 faire :
 Si n<20 faire n prend la valeur 2n sinon n prend la valeur n-4
 Fin si
 Fin tant que
 Afficher n
1/ Tester l’algorithme sur plusieurs entiers.
2/ Emettre une conjecture concernant cet algorithme et la prouver.
3/ Modifier l’algorithme pour qu’il affiche le nombre de boucles effectuées.
Réponses proposées par trois élèves :
Elève 1
J’ai testé avec 4, j’ai obtenu 8, avec 32, j’ai obtenu 28 et avec 10, j’ai obtenu 20.
Elève 2
L’algorithme finit toujours par afficher 20, même si ça prend du temps avec les grands
nombres. En fait, pour les grands nombres, on enlève toujours 4, on finit donc par revenir
vers des nombres qu’on a déjà testé avant. J’ai testé 1,2,3,...jusqu’à 20. Cela suffit pour
montrer que la conjecture est en fait un théorème.
Elève 3
J’ai rajouté après le "fin si" l’instruction k ← k + 1, et j’ai demandé l’affichage de k après
celui de n, mais ça me donne des résultats bizarres. C’est peut-être un bug de la machine.
1. Analysez la production de chaque élève en mettant en évidence ses compétences dans
le domaine de la logique et de l’algorithmique.
2. Proposez une correction de la question 2 telle que vous l’exposeriez devant une classe
de seconde.
3. Présentez deux ou trois exercices faisant intervenir un algorithme.

Tutoriaux HP Prime
Par Mickaël Nicotera – 2013 – v2 – Photocopies autorisées
Solution pas à pas :
1/ On crée le programme suivant sur HP Prime :
EXPORT CAPES()
BEGIN
//On demande à l’utilisateur une valeur pour N
INPUT(N);
//On exécute les opérations définies par l’énoncé du sujet
WHILE N<>20 DO
IF N<20 THEN
2*N▶N;
ELSE
N-4▶N;
END;
END;
//On affiche la valeur de N
PRINT(N);
END;
Pour l’élève 1, d’après ses résultats, il semble que la
boucle n’ait été effectuée qu’une seule fois dans son
algorithme. Il y a donc un problème au niveau de sa
boucle « Tant que ».
L’élève 2 propose une solution correcte.
L’élève 3 a installé un compteur dans son algorithme
qu’il incrémente au bon endroit (entre le fin si et le
fin tant que). Il semble cependant ne pas savoir
interpréter ce compteur.
2/ Quelque soit l’entier saisi au départ, l’algorithme
semble toujours finir par tomber sur l’entier 20.
En partant des nombres entiers plus grands que 20,
la différence avec 4 finit toujours par tomber sur 17,
18, 19 ou 20.
On prouve donc la conjecture en montrant qu’en
appliquant l’algorithme à 17, 18 et 19, on finit
toujours par tomber sur 20.
On peut introduire dans l’algorithme l’affichage des
nombres successifs calculés :
EXPORT CAPES()
BEGIN
INPUT(N);
//On crée une liste avec comme 1er terme la valeur N
{N}▶L1;
WHILE N<>20 DO
IF N<20 THEN
2*N▶N;
ELSE
N-4▶N;
END;
//On ajoute chaque nombre calculé à la liste
CONCAT(L1,{N})▶L1;
END;
Captures d’écran :

Tutoriaux HP Prime
Par Mickaël Nicotera – 2013 – v2 – Photocopies autorisées
//On affiche la liste
PRINT(L1);
END;
En faisant tourner l’algorithme pour 17, 18 et 19, on
prouve que l’on finit toujours par tomber pour ces
nombres sur 20.
3/ Etudions en fonction de n, le nombre d’itérations
nécessaires pour arriver à 20.
On incrémente un compteur dans l’algorithme pour
les compter.
EXPORT CAPES(N)
BEGIN
0▶K;
WHILE N<>20 DO
IF N<20 THEN
2*N▶N;
ELSE
N-4▶N;
END;
K+1▶K;
END;
RETURN(K);
END;
On peut utiliser le tableur de la HP Prime pour
afficher le nombre d’itérations pour tous les entiers
successifs.
Des invariants apparaissent. Le nombre d’itérations
respecte en fait cette règle :
 Si n=4k+17, k itérations amènent à 17 et
k+10 à 20.
 Si n=4k+18, k itérations amènent à 18 et k+5
à 20.
 Si n=4k+19, k itérations amènent à 19 et
k+11 à 20.
 Si n=4k+17, k itérations amènent à 20.