Chapitre 6 Ondes lumineuses

Chapitre6
Ondes lumineuses
Ledernierexemplephysiqued’ondes ´etudi´edansce coursest donn´epar lesondes
lumineuses. Ces derni`erescorrespondent`a des combinaisonsd’ondes ´electromagn´e-
tiques sinuso¨ ıdales, lorsqueleurlongueurd’ondese situedansledomaine visible o`u
l’œil est sensible:
400 nm<λ<700 nm,(6.0.1)
ou un peuau-del`a (procheinfrarouge et procheuv),ce quipermet deles «manip-
uler »avec descomposantsoptiques.Dansle cadrede ce coursnousconsid`ererons
peu lescons´equences delanature vectorielledes ondes´electromagn´etiques (polarisa-
tion)doncnouspourronsr´eutiliserlaplupartdesr´esultats obtenuslorsdel’´etudedes
ondes acoustiques. Les calculs´etantsimilaires, seulsles diff´erences physiques entre les
deuxcontextesserontmises en avant.
6.1 Description physique des ondeslumineuses
Le champ´electromagn´etiqueest d´ecritpardeuxgrandeursvectorielles, le champ
´electriquenot´e~ E(~x, t)etle champmagn´etique~ B(~x, t). Leurdynamique est donn´ee
parles ´equations de Maxwell,quisortentdu programmede ce cours. On peutmontrer
que ces ´equationsimpliquentqueles champs´electriques et magn´etiques danslevide
ob´eissentchacun`a l’´equation ded’Alembert`a troisdimensions:
1
c2
∂2~
E(~x, t)
∂t2−∆~
E(~x, t)=~ 0(6.1.1a)
1
c2
∂2~
B(~x, t)
∂t2−∆~
B(~x, t)=~ 0(6.1.1b)
Nouspouvonsdoncutiliser les techniques d´evelopp´ees dansce courspourles ´etudier.
Lanaturevectorielledes champs´electriques et magn´etiques rendleur´etuded´eli-
cate. On peutmontrer `a l’aidedes ´equationsdeMaxwelldanslevide(div~ E=0
et div~ B=0) queces ondes sonttransverses,c.-`a.-d.quelesvecteurs~ Eet ~ Bsont
orthogonaux`a ladirection depropagation,et orthogonauxentre eux.
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6.1.1 Particularit´es des ondes ´electromagn´etiques
Il est `a noter plusieursdiff´erences fondamentales entreles ondes ´electromagn´e-
tiques et les ondes m´ecaniques :
–les ondes´electromagn´etiques n’ontpas besoin desupport mat´eriel,elles se
propagenten particulierdanslevide;
–les ´equationsd’ondedanslevide (6.1.1) pourle champ´electromagn´etiquesont
exactes,contrairementauxondes m´ecaniques pourlesquelles nousavionsfait
l’approximation depetites perturbationsdu milieu mat´eriel1;
– alorsquelesondes m´ecaniques correspondent`a un comportementcollectif, au
niveaumacroscopique, d’un syst`ememicroscopique complexe (compos´ed’atomes,
demol´ecules...)lesondes ´electromagn´etiques correspondent`a dev´eritables de-
gr´es delibert´e«microscopiques»delaphysique;
–lac´el´erit´edes ondes ´electromagn´etiques danslevideestlamˆemedanstout
r´eferentiel d’inertie, encoh´erence avec l’absence der´eferentiel privil´egi´eli´e`a un
milieu depropagation.
6.1.2 C´el´erit´edes ondes ´electromagn´etiques
Lac´el´erit´edes ondes ´electromagn´etiquesdanslevide, appel´ee commun´ement
vitesse de la lumi`ere,est uneconstantefondamentaledelaNature.Elleest environ
´egale`a
c=2,99792458 ×108m·s−1(6.1.2)
Nousobservonsquel’ordrede grandeurdecette c´el´erit´e est bien sup´erieur`a ceux
correspondantauxondes m´ecaniques commeles ondes surlescordes vibrantes ou les
ondes acoustiques.
6.1.3 Indice optique d’un milieu
Lapropagation desondes ´electromagn´etiquedansun milieumat´erielestun sujet
extrˆemementricheet complexe. En effet les champs´electriques et magn´etiques de
l’ondevontinteragiravec lesnoyauxet ´electronscomposantlamati`ere. Poursimplifier
les chosesnousconsid´eronsseulementlapropagation dansles milieuxditsdielectriques
(pourlesquelsled´eplacementmacroscopiquede charges ´electriques estimpossible).2
Lorsquel’amplitudedes ondes´electromagn´etiques n’est pas trop´elev´ee, les ´equations
d’ondes (6.1.1)sont toujours satisfaites, maisavec une c´el´erit´edifferente.
Lac´el´erit´eˆcdansun milieu mat´eriel est li´ee `a lac´el´erit´edanslevidecpar:
ˆc=c
n,n>1(6.1.3)
1Par contrepourdes ondes ´electromagn´etiques dansun milieumat´eriel une telleapproximation
estn´ecessaire car des ph´enom`enesnon-lin´eaires peuventapparaˆıtre pourdesamplitudes ´elev´ees.
2Noussupposonsque ce milieu est isotrope,de tellesortequelavitessedepropagation soit
ind´ependantede la direction de propagation et delapolarisation de l’onde.
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Laquantit´en,quiest un nombresansdimension,estl’indicedu milieu consid´er´e.
Lac´el´erit´edanslevide´etantlaplusgrandepossible, cette quantit´e est toujours
sup´erieure`a un.Donnonsquelquesexemples :
–pourl’airdansles conditionsnormales detemp´eratureet depression, l’indice
est n=1,0002926
–pourdel’eau,n=1,3
–pourdu verreordinaire, n≃1,5
–verres speciauxaulanthanepourl’optique, n≃1,8
L’indice d’un milieu d´epend en principedelalongueurd’ondeλdel’onde´electro-
magn´etiquesinuso¨ ıdalequi letraverse. Ce ph´enom`ene, appel´edispersion,est plusou
moinsprononc´eselonlesmat´eriaux.Il sert`a expliquer en particulier lem´ecanismede
s´eparation des couleursparun prisme. Cet effet neserapasconsid´er´edansce cours.
Un autreeffet n´eglig´eest l’absorption des ondes lumineuses carlemilieu n’est jamais
parfaitement transparent.
6.2 Ondeslumineuses planes dans levide et polar-
isation
Consid´eronsuneonde´electromagn´etiqueplanedanslevide. Les champs´elec-
triqueset magn´etiques ´etantli´es entreeuxpar les ´equationsdeMaxwell, il suffitde
consid´erer l’un d’entreeuxpouravoirunedescription compl`etedu syst`eme;nous
choisissonsici le champ´electrique.
L’´equation d’onde(6.1.1)pourle champ´electriqueadmetdes solutionsd’ondes
planes vectorielles. En notationcomplexeon obtient:
˜
~
E(~x, t)=˜
~
E0ei(ωt−~
k·~x)(6.2.1)
detellesortequeladirection depropagation est donn´ee par levecteurd’onde~ k.Une
ondelumineuse progressivesinsuso¨ ıdaleest appel´ee onde monochromatique.
Larelation dedispersionqui lielapulsationetlevecteurd’ondeest sans surprise
ω2
||~ k||2=c2(6.2.2)
L’amplitude complexedel’ondeestmaintenantun vecteur˜
~
E0dontles3com-
posantes sontdesnombres complexesconstants. Lacondition detransversalit´edes
ondes ´electromagn´etiques ´evoqu´ee plushauts’´ecritalorscomme3
~
k·˜
~
E(~x, t)=0=⇒~ k·˜
~
E0=0(6.2.3)
Poursimplifier nouspouvonsconsid´erer uneondese propageantselon Ox,c.-`a.-d.telle
que~ k=k~exavec k>0. L’ondeestalorscaract´eris´ee parun vecteur`a deuxdimensions
3Entermes du champ magn´etiquenousavons aussi ~
k·~ B=0.
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dansleplan(Oy,Oz):
˜
~
E0=E00
~p,||~p2|| =1(6.2.4)
Levecteurcomplexebidimensionnel~p,denormeun,d´efinitlapolarisation del’onde
´electromagn´etiqueplane.
6.2.1 Polarisations rectiligneset circulaires
Consid´eronsdes cas particuliersdepolarisation,quiconstituentune«base »de
toutes les polarisationspossibles. Nousavonsd’abord lacat´egoriedepolarisations
dites rectilignes,dontl’orientationest constante dansletemps.
–Polarisation rectiligneselon y:~py=1
0
–Polarisation rectiligneselon z:~pz=0
1
En prenantpar exemplelepremier cas, l’ondeest delaforme
~
E(~x, t)=Re h˜
~
E(~x, t)i=E0~eycos(ωt−kx) (6.2.5)
Un autretypedepolarisation,tr`es int´eressant,correspondauxpolarisationscir-
culaires. Elles correspondent`a un champ´electriquedontladirection«tourne»au
coursdu temps. Les deuxmodes depolarisationcirculairessontles suivants.
–Polarisation circulairegauche:~pg=1
√21
i
–Polarisationcirculairedroite:~pd=1
√21
−i
En prenantpar exemplelepremier cas, l’ondeest delaforme
~
E(~x, t)=Re h˜
~
E(~x, t)i=E0
0
cos(ωt−kx+φ)
−sin(ωt−kx+φ)
(6.2.6)
`
Aun instanttdonn´e, cette configuration d´ecritun vecteur tournantdansleplan
(Oy,Oz), danslesenstrigonom´etrique, lorsquelapositionxselonl’axe Oxvarie.
Onremarquequelasuperposition d’uneondedepolarisationcirculairegaucheet
d’uneondedepolarisationcirculairedroites, demˆemeamplitude etdemˆemephase,
donneunepolarisation rectiligneselon y.
6.2.2 Polarisation enoptique
Lapropri´et´equ’ontles ondes lumineusesmonochromatiques(c.-`a.-d.sinuso¨ ıdales)
deposs´ederunepolarisationest apparentedansdenombreuxph´enom`enes optiques.
Notonstoutd’abordquelamajorit´edes sourceslumineuses produisentdes ondes
lumineusesnon polaris´ees,quisontlasuperpositional´eatoiredediff´erentes ondes
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sinuso¨ ıdales avec despolarisationsdistinctes. Lorsqu’unepolarisation particuli`ere est
plusprobablequelesautres, lalumi`ereest partiellementpolaris´ee.
Donnonsquelques exemples deph´enom`enesli´es `a lapolarisation des ondeslu-
mineuses:
–Certainsmat´eriaux,quiposs`edentunepropri´et´edebir´efringence,sont telsque
lavitesse delalumi`erepourles ondeslumineusesse propageantdanslemat´eriau
(ou demani`ereanalogue, l’indice) d´epend delapolarisation del’onde;
–Un filtrepolariseur absorbes´electivementlesondeslumineuses demani`ere`a ne
laisser passer quelapolarisationrectiligneparall`ele`a l’axedu filtre ;
–certainsmat´eriaux, compos´es chimiquementdecompos´es chiraux,poss`edent
un pouvoir rotatoire.Uneondelumineuse entrantdansce mat´eriauavec une
polarisation rectilignedonn´ee ressort avec unepolarisationrectilignefaisantun
angleavec lapolarisation d’entr´ee4;
–les ´ecrans`a cristauxliquides sontfond´es surlapropri´et´edes cristauxliquides
d’influencerlapolarisation des ondes lumineusesdiff´erementsuivantqu’une
tensionleurest appliqu´ee ou non.
6.2.3 Optique scalaire
Il existecependantun grand nombredesituationspourlesquelles lapolarisation ne
jouepasdirectementderˆoleimportant, et constituedoncune complication inutile. On
peutdansce casmod´eliser les ondes lumineuses parunequantit´escalaireΨ(~x, t)que
nousappeleronsvibration lumineuse.Cettequantit´eob´eitnaturellement`a l’´equation
d’onde`a troisdimensions:
1
c2
∂2Ψ(~x, t)
∂t2−∆Ψ(~x, t)=0(6.2.7)
Nousnousretrouvonsalorsdansunesituation analogue`a celledes ondes acoustiques.
Consid´erantl’´energiecontenuedanscetteondelumineuse scalaire, nouspouvons
introduirel’intensit´equi luiest associ´ee.Cettequantit´e,quicommepourles ondes
acoustiques estunepuissance parunit´edesurface, ou en d’autrestermes un flux
d’´energie,est delaforme
I=αhΨ(~x, t)2it,(6.2.8)
doncproportionnelle`a lavaleurmoyennedansletempsdeΨ(~x, t)2.Nousavons
introduituneconstantedenormalisation αdanslad´efinition.Ce param`etre n’apas
r´eellementd’importance car seulesles variationsd’intensit´enousint´eressent.
4On peutcomprendre ce ph´enom`eneen d´ecomposantlapolarisation rectiligneen polarisations
circulaires, comme indiqu´eplushaut,et en consid´erantlapropagation de cesdeux polarisations avec
des c´el´erit´es diff´erentes.
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