Enchaînements d`opérations

Chapitre 04 :
ANGLES ET
PARALLÉLISME
I) Vocabulaire.
1) Définitions : Angles complémentaires – supplémentaires :
Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures vaut 90°.
Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures vaut 180°.
II) Angles de même sommet.
1) Définitions : Angles adjacents :
Deux angles sont adjacents lorsque :
–ils ont le même sommet;
–ils ont un côté commun;
–ils sont situés de part et d'autre de ce côté commun.
Exemples :
Sur la figure ci-dessous, les angles
xOy
et
yOz
sont adjacents :
2) Propriété :
Si deux angles
xOy
et
yOz
sont adjacents, alors
xOz
=
xOz
+
yOz
Exemples :
Les angles
xOy
et
yOz
sont adjacents donc
xOz = xOy  yOz
=105 °55 °
=160 °
x
y
z
105°
55°

3) Définitions : Angles opposés par le sommet :
Deux angles sont opposés par le sommet lorsque :
–ils ont le même sommet;
–leurs côtés sont dans le prolongement l'un de l'autre
–ils sont situés de part et d'autre de ce côté commun.
Exemples :
Sur la figure ci-dessous, les angles
AIB
et
CID
sont opposés par le sommet.
4) Propriété :
Si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils ont la même mesure.
Les angles
AIB
et
CID
sont opposés par le sommet.
On peut donc conclure que
AIB
=
CID
.
III) Angles et parallélisme.
1) Définitions : Angles alternes-internes :
Lorsque deux droites sont coupées par une
sécante, dire que deux angles non adjacents
sont alternes-internes signifie qu'ils sont situés
:
–de part et d'autre de la sécante;
–à l'intérieur de la bande formée par les deux
droites.
Exemples :
Sur la figure ci-dessous, les deux angles colorés
définis par ces trois droites sont des angles
alternes-internes.
2) Définitions : Angles correspondants :
Lorsque deux droites sont coupées par par
une sécante, dire que deux angles non adjacents
sont correspondants signifie que :
–ils sont situés du même côté de la sécante.
–un seul des deux angles est situé dans la
bande formée par les deux droites.
Exemples :
Sur la figure ci-dessous, les deux angles colorés
définis par ces trois droites sont des angles
correspondants .
y

3) Propriété :
Si deux droites parallèles sont coupées par
une sécante, alors les angles alternes-internes
qu'elles déterminent ont la même mesure.
Données : Conclusion :
4) Propriété réciproque :
Si deux droites coupées par une sécante
déterminent deux angles alternes-internes de
même mesure, alors ces deux droites sont
parallèles.
Données : Conclusion :
5) Propriété :
Si deux droites parallèles sont coupées par
une sécante, alors les angles correspondants
qu'elles déterminent ont la même mesure.
Données : Conclusion :
6) Propriété réciproque :
Si deux droites coupées par une sécante
déterminent deux angles alternes-internes de
même mesure, alors ces deux droites sont
parallèles.
Données : Conclusion :
IV) Somme des angles d'un triangle.
1) Propriété :
La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°.
// â
b
a= b
â
b
a= b
//
â
//
//
b
a= b
a
b

Cas particulier :
Triangle rectangle.
Si un triangle est rectangle,
alors ces deux angles aigus
sont complémentaires.
En effet :
90 ° B C=180 °
donc
B C=90 °
Triangle rectangle isocèle.
Si un triangle est rectangle
isocèle, alors chacun de ses
angles aigus mesure 45°.
45°
45°
En effet :
B= C
donc
2 B=90 °
et
B=45 °
Triangle équilatéral.
Si un triangle est équilatéral,
alors chacun de ses angles
mesure 60°.
60°
60° 60°
En effet :
A= B= C
donc
3 A
= 180°
et
A
= 60°