TS2CRSA M4 : Systèmes linéaires Comportement temporel d’un système linéaire mécanique: Démarrage et arrêt d’un moteur 1. Arrêt du moteur fonctionnant à vide a. Amener le moteur à sa vitesse de rotation nominale. b. A un instant t 0 pris comme origine des temps (t 0 = 0), couper l’alimentation du moteur et relever l’évolution de la fréquence de rotation du moteur en fonction du temps. c. Tracer l’évolution de la vitesse de rotation Ω = f(t). (Faire au moins 2 essais pour confirmer les résultats et obtenir suffisamment de points de mesures surtout au début du ralentissement) d. Commenter l’allure de la courbe obtenue en indiquant notamment à quel type de fonction mathématique elle peut correspondre e. Au bout de combien de temps le moteur est-il arrêté ? 2. Arrêt du moteur entraînant une charge a. Amener le moteur au point de fonctionnement correspondant la moitié de sa charge nominale. Noter la valeur de la fréquence de rotation. b. Reprendre les questions du §1 à partir du point b 3. Démarrage du moteur entraînant une charge a. Conserver le réglage de la charge réalisé au §2 b. A un instant t 0 pris comme origine des temps (t 0 = 0), alimenter le moteur et relever l’évolution de sa fréquence de rotation en fonction du temps. c. Tracer l’évolution de la vitesse de rotation Ω = f(t). d. Commenter l’allure de la courbe obtenue en indiquant notamment à quel type de fonction mathématique elle peut correspondre e. Au bout de combien de temps le moteur atteint-il une fréquence de rotation stable ? f. La durée de démarrage et la durée d’arrêt du moteur, pour une même charge entraînée sont-elles identiques ? TS2CRSA M4 : Systèmes linéaires Comportement temporel d’un système linéaire électrique: Charge et décharge d’un condensateur Montage du circuit de charge d’un condensateur : générateur de tension DC + condensateur C + résistance R Montage du circuit de décharge : condensateur C + résistance R 1. Charge du condensateur : R = 10 kΩ ; C = 4700 μF ; E = 20 V a. A l’instant t = 0, fermer l’interrupteur et relever u c = f(t) et I = f(t) b. Quel type de fonction mathématique correspond à la courbe u c = f(t) ? c. Repérer sur la courbe l’instant où le condensateur est entièrement chargé. Quelle est la valeur de la tension aux bornes du condensateur en fin de charge ? d. Justifier la forme d’i = f (t). quelle est la valeur maximale de i ? Au bout de combien de temps la valeur de i est-elle nulle ? e. Le condensateur reste-t-il chargé lorsqu’on le déconnecte du circuit de charge ? 2. Décharge du condensateur : R = 10 kΩ ; C = 4700 μF ; a. A l’instant t = 0, décharger le condensateur à travers la résistance et relever u c = f(t) et i = f(t) b. Commenter la forme des courbes obtenues c. Au bout de combien de temps le condensateur est-il déchargé ? Comparer à la valeur obtenue pour la charge et conclure. d. Comparer les courbes i = f(t) en charge et en décharge. 3. Influence des paramètres du circuit de charge et de décharge a. E = 20 V ; C = 4700 μF. Mesurer la durée de charge à travers les résistances • • suivantes : 1kΩ puis 10 kΩ. Quelle est la tension atteinte en fin de charge ? Conclure sur l’importance de la valeur de la résistance sur la charge et la décharge d’un condensateur. Comment décharger très rapidement un condensateur ? b. E = 20 V ; R = 4,7 kΩ. Mesurer la durée de charge des condensateurs suivants : 22 μF puis 1000 μF. Quelle est la tension atteinte en fin de charge ? Conclure sur une précaution d’emploi des condensateurs c. C = 4700 μF; R = 4,7 kΩ. Mesurer la durée de charge et la tension de fin de charge pour les valeurs suivantes de la tension du générateur : 10 V puis 30 V. Conclure sur une précaution d’usage lors de l’ouverture d’un coffret électrique. TS2CRSA M4 : Systèmes linéaires Comportement temporel d’un système linéaire thermique: Echauffement et refroidissement 1. Echauffement de l’eau dans un bain thermostaté a. Remplir la cuve avec 250 ml d’eau et régler le thermostat à 2 • • • A l’instant t 0 choisi comme origine (t 0 = 0), débuter le chauffage et enregistrer la courbe de température en fonction du temps Commenter l’allure de la courbe obtenue en indiquant notamment à quel type de fonction mathématique elle peut correspondre Au bout de combien de temps l’eau a-t-elle atteint une température stable ? b. Remplir la cuve avec 250 ml d’eau et régler le thermostat à 6 • • • A l’instant t 0 choisi comme origine (t 0 = 0), débuter le chauffage et enregistrer la courbe de température en fonction du temps (dans le même repère que la courbe précédente) Comparer les 2 courbes de température en fonction du temps (forme générale, grandeurs caractéristiques) Au bout de combien de temps l’eau a-t-elle atteint une température stable ? 2. Refroidissement de l’eau chaude a. Récupérer 250 ml d’eau chauffée à une température de 80 °C • • • A l’instant t 0 choisi comme origine (t 0 = 0), ajouter 2 glaçons et enregistrer la courbe de température en fonction du temps Commenter l’allure de la courbe obtenue en indiquant notamment à quel type de fonction mathématique elle peut correspondre Au bout de combien de temps l’eau a-t-elle atteint une température stable ? b. Reprendre le même essai : 250 ml d’eau à 80°C • • • A l’instant t 0 choisi comme origine (t 0 = 0), ajouter 4 glaçons et enregistrer la courbe de température en fonction du temps (dans le même repère que la courbe précédente) Comparer les 2 courbes de température en fonction du temps (forme générale, grandeurs caractéristiques) Au bout de combien de temps l’eau a-t-elle atteint une température stable ? TS2CRSA CAN et CNA TS2CRSA CAN et CNA VS 2. Gabarit d’un filtre. a) Principe. Exemple de filtre passe-bas idéal Fréquences admise Fréquences éliminées Le filtre idéal n’existe pas et il faut admettre des tolérances, précisées par le cahier des charges. Les spécifications sont représentées graphiquement par un gabarit. Gabarit de filtre passe-bas Exemple de filtre passe bas inscrit dans un gabarit t b) Exemple de cahier des charges. Filtre passe-haut ; fréquence de coupure 1000 Hz = fc gain supérieur à -3dB au-delà de fc gain inférieur à -20dB au-dessus de 500 Hz. G (dB) f (Hz) c) Filtre passe-bande. G (dB) Bande passante f (Hz) Exemple de filtre passe-bas idéal Gabarit de filtre passe-bas Exemple de filtre passe bas inscrit dans un gabarit G (dB) f (Hz) G (dB) f (Hz) Document 1 : Document 2 : Document 3 : Document 5 : Document 4 : Document 1 Document 2 Document 3 Doc 1 Doc 2 Doc 3 Doc 4 Doc 5 Doc 6 Doc 7 Doc 8 TS2CRSA Réponses temporelles M4 TS2CRSA Exercice moteur asynchrone Un ventilateur destiné à l’aération d’un parking souterrain est entraîné par un moteur asynchrone triphasé tétra polaire 230/400 V. Il est alimenté par le réseau 400 V ; 50 Hz La résistance entre 2 bornes du stator couplé est : Rs = 0,6 Ω Lors d’un fonctionnement à vide, on a mesuré une puissance absorbée P 0 = 524 W pour un courant en ligne I 0 = 5 A Lors d’un fonctionnement en charge, on a mesuré une puissance absorbée P e = 6200 W pour un courant en ligne I = 11,8 A et un glissement de 5 % 1. Comment faut-il coupler les enroulements du moteur sur le réseau ? Y 2. Quelle est la fréquence de rotation de synchronisme ? 𝑛𝑠 = 𝑓 𝑝 = 50 2 = 25 𝑡𝑟/𝑚𝑖𝑛 3. Quel est le facteur de puissance du moteur à vide ? 𝑃𝑎 = 𝑈𝐼√3 cos 𝜑 𝑃𝑎 524 cos 𝜑 = = = 0,15 𝑈𝐼√3 400 × 5 × √3 Pour le fonctionnement en charge : 4. Calculer la fréquence de rotation en tr/min 𝑛 = 𝑛𝑆 − 5 × 100 𝑛𝑠 = 2.5 − 5 100 × 2.5 = 23,75 𝑡𝑟/𝑠 5. Montrer que les pertes par effet Joule au stator sont d’environ 125 W 3 2 3 2 𝑃𝑗𝑠 = × 𝑅𝑆 × 𝐼² = × 0,6 × 11,8² = 125 𝑊 6. Complétez le bilan des puissances ci-dessous : 274 W 250 W 𝑃𝑎 − 𝑃𝐹𝑆 − 𝑃𝐽𝑆 6200 W 5825 W 5260 W 125 W 291 W 𝑔 × 𝑃𝑇𝑅 7. Calculer le rendement du moteur Ƞ= 𝑃𝑈 𝑃𝐴 = 5260 6200 = 0,85 8. Calculer son facteur de puissance et commenter la valeur obtenue cos 𝜑 = 𝑃𝑎 𝑈𝐼 √3 = 524 400×11,8×√3 = 0,76 9. Calculer la valeur de la capacité de chacun des 3 condensateurs qui permettront de relever le facteur de puissance du moteur à 0,93 �on donne : 𝐶 = 𝐶= 𝑃�tan 𝜑−tan 𝜑′ � 3𝑈 2 𝜔 = 6200(0,85−0,89) 3×400²×2𝜋×50 = 19 × 10−5 𝐹 𝑃�tan 𝜑−tan 𝜑′ � 3𝑈 2 𝜔 � 10. Calculer le moment du couple utile du moteur 𝑇𝑈 = 𝑃𝑈 𝛺 = 5260 2×𝜋×23,75 = 35 𝑁𝑚 11. La caractéristique mécanique T R (n) du ventilateur est représentée ci-dessous. Déterminer les coordonnées du point de fonctionnement du groupe (moteur + ventilateur) TS2CRSA Exercice moteur asynchrone Point de fonctionnement 0 Ventilateur 1435 𝑇𝑈 = 𝑇𝑅 ? Moteur nS à l’équilibre Moteur Ventilateur n TS2CRSA Exercice moteur asynchrone Un moteur asynchrone triphasé est alimenté sous 50 Hz par un réseau dont la tension entre fils de phase vaut 230 V. Les enroulements du stator sont couplés en triangle. Lorsque ce moteur entraîne sa charge nominale, il tourne à une vitesse de 950 tr/min en donnant en bout d’arbre une puissance de 1,3 kW. Son rendement est alors de 90 % et son facteur de puissance vaut 0,83. 1. Quelle est l’intensité du courant dans une ligne qui alimente le moteur ? 𝐼=𝑈 𝑃𝐴 √3 cos 𝜑 = 13,1 𝐴 2. Calculer son glissement 𝑛 −𝑛 𝑔 = 𝑆 = 5% 𝑛𝑆 3. Quel est le moment de son couple utile ? 𝑇𝑈 = 13 𝑁𝑚 = 𝑃𝑈 2𝜋𝑛 Ce moteur entraîne par accouplement direct une pompe dont le moment du couple est proportionnel à la fréquence de rotation. Cette pompe absorbe une puissance de 2 kW à la vitesse de 1000 tr/min 4. On donne ci-dessous la partie utile de la caractéristique du moteur asynchrone. Tracer, dans le même repère, la caractéristique mécanique de la pompe. 5. Déterminer le point de fonctionnement du groupe moteur-pompe. 15 Nm ; 935 tr/min 6. On souhaite régler la fréquence de rotation du groupe à 900 tr/min. Sous quelle fréquence et quelle tension faut-il alimenter le moteur ? f = 47,5 Hz Moteur à f = 47,5 Hz Moteur (50 Hz) Pompe Pf à 50 Hz nS = ? TS2CRSA Circuits conditionneurs des capteurs exercices Exercice 1 : capteur de vitesse Un extracteur alvéolaire est entraîné par un moteur à courant continu à travers un réducteur de vitesse. La fréquence de rotation de l’extracteur est mesurée à l’aide d’un capteur inductif : Capteur inductif 888 tr/min Reducteur de vitesse 1/10 M Réseau EDF Principe de fonctionnement du capteur : Un disque ferromagnétique solidaire de l’axe de l’extracteur comporte N trous régulièrement répartis sur sa circonférence, à la hauteur du capteur. disque uC Commutation Conditionneur Circuit oscillant Passage d'un trou devant le capteur disque Lors d’une rotation, après conditionnement et mise en forme du signal fourni par le circuit oscillant, le capteur délivre un signal binaire u C . Ce signal est à l’état haut et prend la valeur U max lors du passage d’un trou devant le capteur. Sa fréquence est donc proportionnelle à celle du passage des trous devant le capteur. 1. On visualise à l’aide d’un oscilloscope la tension u C fournie par le capteur : a. A partir de cet oscillogramme, déterminer la fréquence f, le rapport cyclique α et les valeurs extrêmes U max et U min de la tension u C . 𝑓= 1 𝑇 = 1 2×5 = 1 10 = 100 𝐻𝑧 TS2CRSA Circuits conditionneurs des capteurs exercices 𝐷𝑢𝑟é𝑒 é𝑡𝑎𝑡 ℎ𝑎𝑢𝑡 4 = = 0,4 𝑃é𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒 10 U max = 20V U min = 0V b. Quelle est la position du commutateur AC-DC de l’oscilloscope? Justifier la réponse. DC parce que le signal à une valeur moyenne non nulle et il apparait >0 2. Lorsque la fréquence de rotation du moteur entraînant l’extracteur alvéolaire est égale à n = 1000 tr.min-1, la fréquence de la tension u C est égale à f = 100 Hz. Déterminer le nombre de trous N que comporte le disque ferromagnétique. α= Vitesse de rotation du disque 1000 100 = 100 𝑡𝑟/𝑚𝑖𝑛 1 𝑡𝑟 𝑁 𝑇𝑟𝑜𝑢𝑠 1 1 𝑡𝑟 min = 0,6𝑠 = 600𝑚𝑠 𝑁𝑝é𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒𝑠 100 𝑓 = 100 𝐻𝑧 T = 10ms Exercice 2 : capteur d’éclairement Un capteur d’éclairement (photodiode) est intégré dans le montage suivant (l’amplificateur n’absorbe aucun courant) : Lorsque la photodiode, polarisée en inverse est éclairée, elle devient passante et l’intensité du courant qui la traverse est donnée par la relation : i = I + a. E 0 E = éclairement de la photodiode (lux) a = sensibilité de la photodiode = 0,17 μA/lx I0 = 4μA 1. Que représente I 0 ? Lorsque E = 0 (capteur à l’obscurité), le courant dans la photodiode vaut : i = I 0 Donc I 0 = valeur du courant lorsque la photodiode n’est pas éclairée. 2. Exprimer v en fonction de i et R puis en fonction de I 0 , E, a et R 𝑣 =𝑅×𝑖 𝑣 = (𝐼0 + 𝑎 × 𝐸) × 𝑅 3. En déduire l’expression de v s en fonction de I 0 , E, a, A et R 𝑣𝑠 = 𝐴 × 𝑉 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑣𝑠 = 𝐴 × 𝑅 × (𝐼0 + 𝑎 × 𝐸) 4. Mettre v s sous la forme v s = v s0 + K. E en précisant les expressions de v s0 et de K. calculer les valeurs de v s0 et K lorsque R = 10 kΩ 𝑣𝑠 = 𝐴 × 𝑅 × 𝐼0 + 𝐴 × 𝑅 × 𝑎 × 𝐸 = 2 + 0,085 × 𝐸 v s0 K TS2CRSA Circuits conditionneurs des capteurs exercices Calcul de 𝑣𝑠0 = 𝐴 × 𝑅 × 𝐼0 = 50 × 10 × 103 × 4 × 10−6 Calcul de 𝐾 = 𝐴 × 𝑎 = 50 × 10 × 103 × 0,17 × 10−6 5. Quel est l’éclairement mesuré si v s = 8 V ? Si v s = 8V 𝐸 = 𝑣𝑠 −2 0,085 = 70,6 𝑙𝑢𝑥 Exercice 3 : capteur d’humidité Un système d’arrosage automatique utilise un capteur d’humidité constitué de 2 électrodes (E 1 et E 2 ) plantées dans le sol et d’une photorésistance (R). L’ensemble du dispositif est représenté ci-dessous : 1. Etablir l’expression littérale de la tension V 2 en fonction de U, R 1 et R 𝑉2 = 𝑅 × 𝐼 𝑈 𝑈 𝑉2 = 𝑅 × 𝐼= 𝑅 + 𝑅1 𝑅 + 𝑅1 𝑉2 = 𝑅 ×𝑈 𝑅 + 𝑅1 Relation du pont diviseur En déduire la valeur de V 2 le jour puis la nuit. (𝑉2 )𝑗𝑜𝑢𝑟 = 2. 3. 𝑅𝑗𝑜𝑢𝑟 𝑅𝑗𝑜𝑢𝑟 +𝑅1 ×𝑈= 10 10+1000 × 12 = 0,12𝑉 𝑅𝑛𝑢𝑖𝑡 1000 ×𝑈 = × 12 = 6𝑉 1000 + 1000 𝑅𝑛𝑢𝑖𝑡 + 𝑅1 Etablir la relation entre V 1 , U, R 2 et I 2 𝑉1 + 𝑅2 × 𝐼2 = 𝑈 Calculer la tension V 1 dans les 2 cas suivants : • Le sol est sec, la résistance du sol est telle que I 2 = 3 mA Sol sec : 𝐼2 = 3𝑚𝐴 : 𝑉1 = 12 − 2000 × 3 × 10−3 = 6𝑉 • Le sol est humide, la résistance du sol est telle que I 2 = 6 mA Sol humide : 𝐼2 = 6𝑚𝐴 : 𝑉1 = 12 − 2000 × 6 × 10−3 = 0𝑉 (𝑉2 )𝑛𝑢𝑖𝑡 = TS2CRSA Circuits conditionneurs des capteurs exercices Exercice 4 : capteur de température La contrôle de température d’échantillons prélevés dans une cuve de stockage est réalisée à l’aide d’une thermistance montée dans un circuit de conditionnement appelé « pont de Wheatstone » selon le schéma suivant (V = 24 V): 1. Exprimer V1 en fonction de V, R1 et R2 𝑉1 = 𝑉 𝑅1 +𝑅2 2. Exprimer VT en fonction de V, RT et R3 𝑉𝑇 = 𝑉 𝑅𝑇 +𝑅3 3. En déduire l’expression de U en fonction de V et des résistances 𝑈 + 𝑉𝑇 − 𝑉1 = 0 𝑈 = 𝑉𝑇 − 𝑉1 En fonction de V et des résistances : 𝑅𝑇 𝑅1 − � 𝑈 = 𝑉� 𝑅1 + 𝑅2 𝑅𝑇 + 𝑅3 4. A quelle condition entre les résistances a-t-on U=0? U = 0 si : 𝑅1 𝑅1 +𝑅2 − 𝑅𝑇 𝑅𝑇 +𝑅3 V1 RT 24V=V =0 𝑅1 (𝑅𝑇 + 𝑅3 ) = 𝑅𝑇 (𝑅1 + 𝑅2) 𝑅1 × 𝑅𝑇 + 𝑅1 × 𝑅3 = 𝑅𝑇 × 𝑅1 + 𝑅𝑇 × 𝑅2 𝑅1 × 𝑅3 = 𝑅𝑇 × 𝑅2 R1 5. On donne : R 1 = R 2 = R 3 = 1,8 kΩ La valeur de la résistance R T dépend de la température selon la loi : R T (kΩ) = 6,47 (1- 19,5.10-3.θ) avec θ en °C Calculer R T à 30 °C, en déduire la valeur de U 𝑅𝑇 = 2,69 𝑘𝛺 1 2,69 𝑈 = 24 � − � = 2,38𝑉 2 2,69 + 1,8 6. Pour quelle température θ 0 a-t-on U = 0 V ? U = 0 si 𝑅𝑇 = 1,8 𝑘Ω 7. Préciser le signe de U si θ > θ 0 puis si θ < θ 0 U R2 R3 VT TS2CRSA Circuits conditionneurs des capteurs exercices Exercice 5 : capteur de couple La mesure de couple mécanique est utilisée dans de nombreuses applications industrielles telles que : le contrôle et la limitation du couple dans le but de préserver le moteur et sa charge, la détermination du couple résistant en fonction de la vitesse en vue de l’optimisation du choix d’un moteur, la mesure du couple de vissage d’une visseuse électrique. Le couplemètre est un capteur de couple à jauges extensométriques inséré sur l’arbre, entre le moteur et la charge à entraîner. Il est constitué d’un barreau cylindrique sur lequel sont collées quatre jauges métalliques identiques. Les paires de jauges J 1 , J 2 et J 3 , J 4 sont diamétralement opposées (figure 1) de telle sorte qu’une torsion du barreau, proportionnelle au couple exercé sur l’arbre, entraîne une variation symétrique de leurs résistances respectives : R 1 = R 4 = R + ∆R et R 2 = R 3 = R - ∆R. R est la résistance au repos ; ∆R est la variation de résistance proportionnelle au couple à mesurer C selon la relation : ∆𝑅 = k.C 𝑅 Les quatre jauges sont interconnectées en pont de Wheatstone, lequel est alimenté en continu sous la tension E = 24 V (figure 2). On étudie le montage à vide. 1. Expression de la tension V A : a. Déterminer l’expression de la tension V A en fonction de E, R 3 et R 4 . 𝐸 𝑉𝐴 = × 𝑅4 𝑅3 +𝑅4 b. En déduire l’expression de V A en fonction de R, ∆R et E. 𝐸 𝑉𝐴 = × (𝑅 + 𝛥𝑅) 𝑉𝐴 = 𝑅−𝛥𝑅+𝑅+𝛥𝑅 𝐸 × (𝑅 + 𝛥𝑅) 2𝑅 2. Expression de la tension V B : a. Déterminer l’expression de la tension V B en fonction de E, R 1 et R 2 . 𝐸 𝑉𝐵 = × 𝑅2 𝑅1 +𝑅2 b. En déduire l’expression de V B en fonction de R, ∆R et E. 𝐸 𝑉𝐵 = × (𝑅 − 𝛥𝑅) 𝑉𝐵 = 𝑅+𝛥𝑅+𝑅−𝛥𝑅 𝐸 × (𝑅 − 𝛥𝑅) 2𝑅 3. Déterminer l’expression de la tension de déséquilibre du pont U AB en fonction de R, ∆R et E. 𝑈𝐴𝐵 − 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 = 0 <=> 𝑈𝐴𝐵 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 𝑈𝐴𝐵 = 𝑈𝐴𝐵 = 𝑈𝐴𝐵 = 𝑈𝐴𝐵 𝐸 2𝑅 𝐸 2𝑅 𝐸 × (𝑅 + 𝛥𝑅) − 𝐸 2𝑅 × (𝑅 − 𝛥𝑅) [(𝑅 + 𝛥𝑅) − (𝑅 − 𝛥𝑅)] × 2𝛥𝑅 2𝑅 𝐸 = × 𝛥𝑅 𝑅 TS2CRSA Circuits conditionneurs des capteurs exercices 4. La tension de déséquilibre s’écrit U AB = α.C ; donner l'expression de α en fonction de k et E. α=𝐸×𝑘 5. Lorsque le couplemètre mesure un couple C de 25 Nm, la variation de résistance des jauges est ∆R = 0,35 Ω. Sachant que R = 350 Ω, calculer les valeurs des tensions V A , V B et U AB puis le coefficient α en précisant son unité. 𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 = 𝐸 2𝑅 𝐸 2𝑅 × (𝑅 + 𝛥𝑅) = × (𝑅 − 𝛥𝑅) = 24 2×350 24 2×350 × (350 + 0,35) = 12,012𝑉 × (350 − 0,35) = 11,988𝑉 𝑈𝐴𝐵 = 12,012 − 11,988 = 0,024𝑉 α 𝑈𝐴𝐵 = α × 𝐶 <=> = 0,00096𝑉. 𝐶 R1 J1 J2 R3 B E J4 J3 UAB A VB R2 VA R4 Figure 1 Figure 2 Exercice 6 : capteur de force et asservissement Une chaîne de production d’enveloppes utilise du papier provenant d’un rouleau. La bande de papier doit être entraînée tout en conservant une tension constante. Cette grandeur est obtenue en mesurant la force exercée par le papier sur un cylindre en rotation. Quatre jauges de contrainte se déforment sous l’action de cette force. Les capteurs (de résistance respective R 1 , R 2 , R 3 , R 4 ) sont placés dans le schéma électrique de la figure 1. 1. Le pont de résistance est équilibré Aucun effort n'est exercé sur les jauges d'extensomètrie : R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = R 0 = 150 Ω. Dans ce cas, calculer : a. Les tensions v R2 et v R4 𝑉𝑅2 = 𝑉𝑅4 = 𝐸 𝑅1 +𝑅2 𝐸 𝑅3 +𝑅4 × 𝑅2 = × 𝑅4 = 5 150+150 5 150+150 × 150 = 2,5𝑉 × 150 = 2,5𝑉 b. En déduire la tension e 𝑒 = 𝑉𝑅2 − 𝑉𝑅4 = 0𝑉 donc régime linéaire 2. Mesure d'une force Lorsqu'un effort est exercé, la résistance des jauges varie proportionnellement avec la force : ∆R = k.F avec k = 30.10-3 Ω.N-1. Les résistances deviennent : R 1 = R 4 = R 0 - ∆R et R 2 = R 3 = R 0 + ∆R. TS2CRSA Circuits conditionneurs des capteurs exercices a. Déterminer l'expression de la tension v R2 en fonction de R 1 , R 2 et E puis en fonction de R 0 , E et ∆R. 0 −𝛥𝑅)+(𝑅0 +𝛥𝑅) = (𝑅0 +𝛥𝑅)×𝐸 𝐸 ) + 𝛥𝑅 +(𝑅0 −𝛥𝑅) 0 = (𝑅0 −𝛥𝑅)×𝐸 𝑉𝑅2 = 𝑅2 × 𝐸 𝑅1 +𝑅2 = (𝑅0 + 𝛥𝑅) × (𝑅 𝑉𝑅4 = 𝑅4 × 𝐸 𝑅3 +𝑅4 = (𝑅0 − 𝛥𝑅) × (𝑅 𝐸 2𝑅0 b. Déterminer l'expression de la tension v R4 en fonction de R 3 , R 4 et E puis en fonction de R 0 , E et ∆R. 2𝑅0 c. Montrer que la tension e est donnée par l'expression : e = 𝑒 = 𝑉𝑅2 − 𝑉𝑅4 = (𝑅0 +𝛥𝑅)×𝐸 2𝑅0 − (𝑅0 −𝛥𝑅)×𝐸 2𝑅0 = 𝐸 𝑅0 × 𝛥𝑅 ∆𝑅 . 𝑅0 E d. Calculer la tension e pour une force F de 20 N. 𝑒 = 0,02𝑉 3. Capteur de force L'amplificateur permet d'adapter la tension pour la rendre utilisable par l'amplificateur linéaire intégré. On obtient un appareil de mesurage dont la fonction de transfert liant la tension de sortie v F à la force (en N) est tracée figure 2. a. Déterminer la sensibilité s, en précisant l'unité, de l'appareil de mesurage sachant que : s= 𝑑𝑣𝐹 𝑑𝐹 A savoir SENSIBILITÉ : 𝑠 = 𝑑𝑣𝐹 𝑑𝐹 =dérivée de la fonction 𝑣𝐹 en fonction de 𝐹 Comme la fonction 𝑣𝐹 en fonction de 𝐹 est une droite (figure 2), sa dérivée est égale au coefficient directeur de la droite. 𝑠 = 0,1𝑉/𝑁 b. Pour une force de 20 N, on a mesuré une tension e de 20 mV. Déterminer l'amplification A de l'amplificateur sachant que A = 𝐴= 𝑣𝐹 𝑒 = 2 20×10−3 = 100 𝑣𝐹 𝑒 4. Asservissement de vitesse de la machine La figure 3 représente de façon simplifiée (en schéma bloc), la structure de l'asservissement de vitesse. a. le schéma bloc • définir la chaîne directe, la chaîne de retour, l’opérateur de différence, la tension d’erreur, le correcteur • Le schéma fait apparaître un opérateur de différence, déterminer la relation liant v C , u R et u e . • Le correcteur de vitesse est de type P.I.D. Indiquer l'action correspondant aux 3 termes P, I et D. P : Action Proportionnelle A savoir I : Action Intégrale D : Action Dérivée TS2CRSA Circuits conditionneurs des capteurs exercices b. Réponse indicielle La tension de consigne augmente brutalement, elle passe de 0 à 5 Volts. La fréquence de rotation initialement nulle atteint 1000 tr/min en évoluant suivant la courbe donnée figure 4. • S’agit-il d’un système du 1er ou du 2ème ordre ? 1er ordre • Déterminer graphiquement le temps de réponse à 5 % (noté t r5 ) du système t r5 = 5s (à 95% de la valeur finale). Figure 1 Figure 2 Chaine direct + - Tension d’erreur Opérateur de différence Figure 3 Chaine de retour TS2CRSA Circuits conditionneurs des capteurs exercices Figure 4 Exercice 7 : contrôle de la tension d’une batterie Le montage ci-dessous représente un système de contrôle de la tension (E) d’une batterie d’automobile. Les AO sont alimentés sous des tensions de +15V et -15 V. Tous les composants sont idéaux. 1. a. b. c. Indiquer les valeurs des tensions V S1 et V S2 dans les 3 cas suivants : Si E > E 1 Si E 2 < E < E 1 Si E < E 2 → reporter ces valeurs dans le tableau réponse 2. Sachant que R 2 = 2R 1 , calculer V 1 dans les cas suivants : a. Pour V S1 = 15 V TS2CRSA Circuits conditionneurs des capteurs exercices 𝑉𝑆1 × 𝑅2 𝑅1 + 𝑅2 15 × 2𝑅1 𝑉1 = 𝑅1 + 2𝑅2 15 × 2𝑅1 = 10𝑉 𝑉1 = 3𝑅1 𝑉1 = b. Pour V S1 = -15 V = 0V c. Reporter ces valeurs dans le tableau réponse et compléter le niveau logique associé à V S dans tous les cas possibles a 0 1 0 1 b 1 0 0 1 S 1 1 1 0 3. Dans quel(s) cas le témoin logique s’allume-t-il ? Le témoin logique s’allume : - Si E < 10,5 V - Si E > 13,5 V 4. La porte logique est alimenté sous 10 V. Calculer la valeur de R pour limiter l’intensité du courant i S à 15 mA Si V S = 10 V Diode passante 𝑉𝑆 = 𝑅 × 𝑖𝑆 E 0V V S1 V S2 V1 V2 VS +15V -15V 10V 0V 1 +15V +15V 10V 10V 0 -15V +15V 0V 10V 1 10,5 V 13,5 V Exercice 8 : mise en forme du signal fourni par une barrière optique On récupère en sortie de phototransistor d’une barrière optique le signal v e représenté sur la figure 1. Ce signal est mis en forme à l’aide du montage comparateur de la figure 2. L’AO est alimenté sous des tensions de 0V et V cc = 8 V 1. Dans le cas où la sortie du comparateur vaut V s = V cc : a. Quel est le signe de la tension différentielle d’entrée ε ? Ɛ>0 b. Donner l’expression de la tension V + (tension appliquée sur l’entrée positive) en fonction de R 0 , R 3 , V cc et E 0 𝑉+ = 𝐸0 + 𝑅0 𝑅3 +𝑅0 × (8 − 𝐸0 ) TS2CRSA Circuits conditionneurs des capteurs exercices c. En déduire l’inégalité que doit satisfaire le signal d’entrée V E du comparateur pour que : V s = V cc VE < V+ 2. Dans le cas où la sortie du comparateur vaut V s = 0 V : a. Quel est le signe de la tension différentielle d’entrée ε ? Ɛ<0 b. Donner l’expression de V + en fonction de R 0 , R 3 et E 0 𝑉+ = 𝐸0 − 𝑅0 𝑅0 +𝑅3 × 𝐸0 c. En déduire l’inégalité que doit satisfaire le signal d’entrée V E VE > V+ 3. Calculer les valeurs numériques des seuils sachant que R 0 = 10 kΩ ; R 3 = 9 kΩ ; E 0 = 4 V puis tracer la caractéristique de transfert (v s = f(v e )) du comparateur (V + ) 1 = 6,1 V (V + )2 = 1,9 V 4. Tracer la forme d’onde de la sortie du comparateur en concordance de temps avec le signal v e représenté sur la figure 1 Figure 1 Figure 2 TS2CRSA Circuits conditionneurs des capteurs exercices Exercice 9 : conditionnement d’un capteur d’éclairement Un capteur d’éclairement est constitué d’une photodiode qui fournit un courant I d proportionnel à l’éclairement E qu’elle reçoit, selon la relation : I d = 7.10-9. E avec : I d en Ampère (A) et E en lux (lx) La photodiode est montée dans le circuit de conditionnement suivant (AO idéal) : (R = 100 kΩ) R 1. Quelle est la sensibilité de la photodiode ? 𝑆= 𝑑𝐼𝐷 𝑑𝐸 = (𝐼𝑑)′ = 7 × 10−9 𝐴/𝑙𝑥 2. Exprimer la tension de sortie Vs en fonction de R et Id AO en régime linéaire 𝑉𝑆 + 𝑅 × 𝑖𝑑 × +Ɛ = 0 = −𝑅 × 𝑖𝑑 3. Exprimer la tension de sortie Vs en fonction de l’éclairement 𝑉𝑆 = −𝑅 × 7,19−9 × 𝐸 𝑉𝑆 = −7,19−9 × 𝐸 Id E Ɛ=0 Vs 4. Quelle est la sensibilité du capteur d’éclairement? 𝑆= 𝑉𝑆 𝑑𝐸 = −7,6 𝑉/𝑙𝑥 Exercice 10 : adaptation d’un capteur de température Un capteur de température est constitué d’un circuit intégré qui donne une réponse proportionnelle à la température T (en Kelvin (K)) : i = a.T = a.(t+273) avec t = température en degré Celsius et a = 1,0.10-6 A/K Le domaine de température contrôlé allant de 50°C à 150°C, on désire obtenir la caractéristique v s1 = f(t) représentée figure 1 Figure 1 Capteur de température Figure 2 TS2CRSA Circuits conditionneurs des capteurs exercices 1. Déterminer la relation v s1 = f(t) représentée figure 1 (v s1 en V et t en °C) 𝑉𝑆1 = 𝑎 × 𝑡 + 𝑏 Ordonnée à l’origine Coefficient directeur 5 = 0,1 𝑉/°𝐶 𝑎= 50 𝑏 = −10𝑉 𝑉𝑆1 = 0,1 × 𝑡 − 10 2. Afin d’obtenir le résultat recherché, on a réalisé le montage de la figure 2 en utilisant le capteur défini précédemment a. Exprimer i 1 en fonction de v 0 et R 1 puis exprimer i 2 en fonction de v s1 et R 2 𝑉0 − 𝑅1 × 𝑖1 + Ɛ = 0 𝑉0 𝑖1 = 𝑅1 𝑉𝑆1 − 𝑅2 × 𝑖2 + Ɛ = 0 𝑉𝑆1 𝑖2 = 𝑅2 b. Par application de la loi des nœuds au point N déduire l’expression littérale de v s1 en fonction de a, t, R 1 , R 2 et v 0 𝑖 = 𝑖1 + 𝑖2 𝑉0 𝑉𝑆1 𝑎(𝑡 + 273) = + 𝑅1 𝑅2 𝑉0 𝑉𝑆1 = 𝑎(𝑡 + 273) − 𝑅1 𝑅2 𝑅2 𝑉0 𝑎 × 𝑅2 (𝑡 + 273) − = 𝑉𝑆1 𝑅1 c. Application numérique : pour obtenir une courbe de réponse correcte, déterminer la valeur de R 2 , cette valeur est supposée réalisée par la suite. Sachant que R 1 = 10,0 kΩ en déduire la valeur de v 0 𝑅 𝑉 𝑎 × 𝑅2 𝑡 + 𝑎𝑅2 273 − 2 0 = 𝑉𝑆1 𝑎 × 𝑅2 = 0,1 𝑅2 = 𝑅1 Exercice 11 : adaptation d’un capteur de pression : correction Figure 1 Figure 2 TS2CRSA Circuits conditionneurs des capteurs exercices Figure 3 Le domaine de mesure de la pression s’étalant de 0 à 4.105 Pa, on désire obtenir la caractéristique v s2 = f(p) représentée à la figure 1 1. Déterminer la relation v s2 = (p) représentée à la figure 1 L’équation du graphe v S2 est du type : V S2 = a.p+b où a est le coefficient directeur de la droite et b est l’ordonnée à l’origine : a = 2,5.10-5 V/Pa b = -5V => V S2 = 2,5.10-5 .p - 5 2. Le capteur de pression est de type piézorésistif. L’effet piézorésistif se traduit par une variation de résistance d’un semi-conducteur sous l’effet d’une contrainte. Dans le vide (p = 0) le schéma équivalent simplifié du capteur correspond à 4 résistances identiques R 0 montées en pont. A une pression p, le schéma équivalent correspond à celui de la figure 2 où l’on voit que 2 résistances ont diminué alors que les 2 autres ont augmenté. L’effet piézorésistif est tel que la variation relative est proportionnelle à la pression : ΔR/R 0 = k.p avec k = 2,50.10-8 Pa-1 (coefficient piézorésistif du capteur) a. Le capteur étant alimenté sous la tension E, exprimer v 1 puis v 2 en fonction de R 0 , ΔR et E. v 1 = (R 0 + ΔR 0 ).E/ (R 0 + ΔR 0 ) + (R 0 - ΔR 0 ) = (R 0 + ΔR 0 ).E/2R 0 v 2 = (R 0 - ΔR 0 ).E/ (R 0 + ΔR 0 ) + (R 0 - ΔR 0 ) = (R 0 - ΔR 0 ).E/2R 0 En déduire l’expression de (v 1 – v 2 ) en fonction de k, p et E v 1 – v 2 = ΔR 0 .E/R 0 = k.p.E Application numérique : sachant que E = 10,0 V calculer la valeur de (v 1 – v 2 ) pour une pression p = 4.105 Pa : v 1 – v 2 = 2,50.10-8 . 4.105 . 10 = 0,1 V b. Montrer que l’on peut écrire : v s2 = -5 + 100. (v 1 – v 2 ) D’après le résultat de la question 1 : v S2 = 2,5.10-5 .p – 5 D’après le résultat de la question 2a : v 1 – v 2 = k.p.E p = v 1 – v 2 /k.E D’où : v S2 = 2,5.10−5 𝐸𝑘 . (v 1 – v 2 ) – 5 = 100. (v 1 – v 2 ) - 5 3. Afin d’obtenir la caractéristique de la figure 3, on propose un montage conforme au schémabloc de la figure 3, constitué d’un amplificateur de différence de coefficient d’amplification A et d’un sommateur inverseur. Exprimer v s2 en fonction de A, v 1 , v 2 et V r . v S2 = -(V r + A. (v 2 – v 1 )) = -V r - A. (v 2 – v 1 ) = -V r + A. (v 1 – v 2 ) Exprimer v s2 en fonction de A, k, p, E et V r v S2 = - V r + A. (Ekp) = AEk. p - V r Application numérique : sachant que E = 10,0 V déterminer les valeurs de A et de V r pour obtenir le résultat souhaité On sait que : v S2 = AEk. p - V r et il faut que : v S2 = 2,5.10-5 .p – 5 par analogie : V r = 5 V et AEk = 2,5.10-5 soit A = 100 TS2CRSA Circuits conditionneurs des capteurs exercices Exercice 12 : Le chauffage d’un local dont la température doit être maintenue entre 18°C et 20°C, est commandé par l’intermédiaire d’un relais. La commande du relais se fait par l’intermédiaire d’un montage comportant 3 étages : • Etage de mesure de la température par une thermistance et son circuit de conditionnement (figure 1) • Etage de mise en forme du signal utilisant un AO en amplificateur de différence (figure 2) • Etage de commande du relais (figure 3) 1. Mise en œuvre de la thermistance (figure 1) a. Que vaut la tension U 1 si le courant dans la diode Zener est de 20 mA ? b. Quelle valeur faut-il donner à R’ pour limiter le courant dans la diode Zener à 20 mA ? c. Pour une température θ 1 = 18°C, calculer U 2 Même question pour θ 2 = 20°C 2. Mise en forme du signal (figure 2) Les tensions U 1 et U 2 sont appliquées sur les entrées d’un AO branché en amplificateur de différence. Le coefficient d’amplification vaut K = R 2 /R 1 . a. Exprimer la tension de sortie U s de l’AO en fonction de K, U 1 et U 2 . b. Calculer U s pour θ 1 = 18°C puis pour θ 2 = 20°C 3. Commande du relais (figure 3) a. Si la température θ = θ 1 = 18°C : calculer le courant sur la base du transistor en déduire la valeur du courant I dans le transistor puis l’action du relais. b. Si la température θ = θ 2 = 20°C : calculer le courant sur la base du transistor en déduire la valeur du courant I dans le transistor puis l’action du relais. Figure 1 TS2CRSA Circuits conditionneurs des capteurs exercices Figure 2 Figure 3 Données : Résistances : R = 3,2kΩ ; R1 = 10kΩ ; R2 = 100kΩ ; RB = 100kΩ Thermistance : à 20°C : Rt20 = 1,6kΩ ; Rt18 = 1,8kΩ Diode Zener : UZ = 6V pour un courant de 20 mA Transistor NPN : coefficient d’amplification β = IC / IB = 100 Relais : résistance RC = 1,5kΩ Tension d’enclenchement : UE = 14,1 V Tension de déclenchement : UD = 8,1 V ; VBE = 0,6 V TS2CRSA Moteur synchrone Exercice 1 : Un moteur synchrone triphasé tétrapolaire est alimenté par un réseau 400 V ; 50 Hz. Il fournit une puissance de 3 kW, son rendement est de 97 % 1. Quelle est la fréquence de rotation du moteur ? 𝑛𝑆 = 𝑓 𝑝 = 50 2 = 25 𝑡𝑟/𝑠 2. Quel est le moment de son couple utile ? 𝑇𝑈 = 𝑃𝑈 𝛺 = 3000 2𝜋×25 = 19,1 𝑁𝑚 3. Quelle est l’intensité efficace du courant en ligne sachant que le facteur de puissance du moteur est de 0,9 ? 𝑃𝑎 = 𝑈𝐼√3 cos 𝜑 <=> 𝐼 = 𝑃𝑎 𝑈√3 cos 𝜑 = 𝑃𝑢 𝑛 𝑈√3 cos 𝜑 = 4,96 𝐴 Exercice 2 Un moteur synchrone hexapolaire est alimenté par le réseau 400 V ; 50 Hz. Il absorbe une puissance de 45 kW, son rendement est de 95% et son facteur de puissance 0,93. 1. Quelle est l’intensité efficace du courant en ligne qu’il absorbe ? 2. Quelle est la fréquence de rotation du moteur ? 3. Quelle est la valeur de ses pertes en puissance ? 4. Quel est le moment du couple utile qu’il développe ? Exercice 3 Un moteur synchrone triphasé comporte 12 pôles. Sa plaque signalétique indique 400V/690V. Le réseau triphasé disponible a pour caractéristiques 230V/400V ; 50 Hz. Le moteur fournit 12 kW avec un rendement de 0,96. Son facteur de puissance est de 0,92 et ses pertes par effet Joule sont négligeables. 1. Comment doit-on coupler le moteur sur le réseau ? 2. Calculer l’intensité du courant en ligne qu’il absorbe. Que vaut l’intensité du courant dans un enroulement du stator du moteur ? 3. Quelle est la fréquence de rotation du moteur ? 4. Quel est le moment de son couple utile ? TS2CRSA Moteur synchrone Exercice 4 : Un groupe électrogène est constitué d’un moteur Diesel entraînant un alternateur par l’intermédiaire d’une transmission. L’ensemble sert d’alimentation de secours à une installation électrique de 14,5 kW 1. Donner un schéma de la chaîne énergétique du dispositif (il faut faire apparaître le type d’énergie absorbée, fournie et perdue par chacun des 3 blocs fonctionnels). E chimique E méca E méca Moteur diesel P chaleur P méca Transmission P chaleur P méca E elec Alternateur P chaleur P méca P magnétique 2. Le rendement du moteur Diesel est de 35%, celui de la transmission est de 60% et celui de l’alternateur est de 92%. calculer le rendement global du groupe électrogène. 3. Calculer la puissance absorbée par le moteur lorsque l’alternateur fournit 14,5 kW à l’installation électrique. 4. Calculer l’énergie que doit fournir le carburant pour 1h de fonctionnement. 5. Sachant que le pouvoir énergétique d’un litre de gasoil est de 50 900 kJ/l, calculer la consommation de carburant par heure de fonctionnement. Exercice 1 : Un moteur synchrone triphasé tétrapolaire est alimenté par un réseau 400 V ; 50 Hz. Il fournit une puissance de 3 kW, son rendement est de 97 % 1. Quelle est la fréquence de rotation du moteur ? 2. Quel est le moment de son couple utile ? 3. Quelle est l’intensité efficace du courant en ligne sachant que le facteur de puissance du moteur est de 0,9 ? Exercice 2 Un moteur synchrone hexapolaire est alimenté par le réseau 400 V ; 50 Hz. Il absorbe une puissance de 45 kW, son rendement est de 95% et son facteur de puissance 0,93. 1. 2. 3. 4. Quelle est l’intensité efficace du courant en ligne qu’il absorbe ? Quelle est la fréquence de rotation du moteur ? Quelle est la valeur de ses pertes en puissance ? Quel est le moment du couple utile qu’il développe ? Exercice 3 TS2CRSA Moteur synchrone Un moteur synchrone triphasé comporte 12 pôles. Sa plaque signalétique indique 400V/690V. Le réseau triphasé disponible a pour caractéristiques 230V/400V ; 50 Hz. Le moteur fournit 12 kW avec un rendement de 0,96. Son facteur de puissance est de 0,92 et ses pertes par effet Joule sont négligeables. 1. Comment doit-on coupler le moteur sur le réseau ? 2. Calculer l’intensité du courant en ligne qu’il absorbe. Que vaut l’intensité du courant dans un enroulement du stator du moteur ? 3. Quelle est la fréquence de rotation du moteur ? 4. Quel est le moment de son couple utile ? Exercice 4 : Un groupe électrogène est constitué d’un moteur Diesel entraînant un alternateur par l’intermédiaire d’une transmission. L’ensemble sert d’alimentation de secours à une installation électrique de 14,5 kW 1. Donner un schéma de la chaîne énergétique du dispositif (il faut faire apparaître le type d’énergie absorbée, fournie et perdue par chacun des 3 blocs fonctionnels) 2. Le rendement du moteur Diesel est de 35%, celui de la transmission est de 60% et celui de l’alternateur est de 92%. calculer le rendement global du groupe électrogène. 3. Calculer la puissance absorbée par le moteur lorsque l’alternateur fournit 14,5 kW à l’installation électrique 4. Calculer l’énergie que doit fournir le carburant pour 1h de fonctionnement 5. Sachant que le pouvoir énergétique d’un litre de gasoil est de 50 900 kJ/l, calculer la consommation de carburant par heure de fonctionnement TS2CRSA Valeurs moyennes et efficaces, décomposition du signal exercices Exercice 1 : Doc 1 : Déterminer les valeurs de la tension max, la tension min, la période et la fréquence � = 1,5𝑉 𝑈𝑚𝑎𝑥 = 𝑈 � = −1𝑉 𝑈𝑚𝑖𝑛 = 𝑈 −3 𝑠 𝑇 = 10 𝑓 = 103 𝐻𝑧 Exercice 2 : Doc 2 : Déterminer les valeurs de la tension max, la tension min, la période, la fréquence, le temps de montée du signal, la valeur moyenne � = 1,5𝑉 𝑈𝑚𝑎𝑥 = 𝑈 � = −1,5𝑉 𝑈𝑚𝑖𝑛 = 𝑈 𝑇 = 0,4 𝑚𝑠 = 4 × 10−4 𝑠 1 𝑓= = 2500 𝐻𝑧 = 2,5 𝑘𝐻𝑧 4 × 10−4 𝑡𝑚𝑜𝑛𝑡é𝑒 = 0,2 𝑚𝑠 < 𝑢 > = 0𝑉 Exercice 3 : Doc 3 et doc 4 : Déterminer la valeur moyenne et la valeur efficace des signaux Valeur moyenne de i : Période : T= 8 carreaux (= 0,8s) Aire : 𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2 = 2 × 3 + (−4 × 5) −14 <𝑖 >= = −1,75 𝐴 8 Valeur efficace de i : Période de 𝑖 2 = 8 carreaux Etape 2 : Valeur moyenne de 𝑖 2 = Etape 3 : �11,5 = 3,4 𝐴 = 𝐼 𝑎𝑖𝑟𝑒 𝐴 𝑝é𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒 = 4×3+16×5 8 Valeur moyenne de u : Période : T= 8 carreaux Aire : 𝐴 = 20 × 𝛼𝑇 20 × 𝛼𝑇 <𝑢 >= = 20𝛼 8 20 × 2 <𝑢 >= = 5𝑉 8 Valeur efficace de u : Période de 𝑖 2 = 8 carreaux Etape 2 : Valeur moyenne de 𝑖 2 = Etape 3 : �11,5 = 3,4 𝐴 = 𝐼 𝑎𝑖𝑟𝑒 𝐴 𝑝é𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒 = 4×3+16×5 8 = 92 8 = 11,5 = 92 8 = 11,5 Valeurs moyennes et efficaces, décomposition du signal TS2CRSA exercices Exercice 4 : Doc 5 : déterminer la valeur moyenne et la valeur efficace Exercice 5 : Le courant généré par une alimentation à découpage est réglé à une valeur moyenne <i> mais peut prendre 2 allures différentes selon le réglage effectué à l’origine. Il parcourt des fils d’alimentation présentant au total une résistance r = 0,5 Ω : i(A) 1er cas : 100 10 𝑃𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒 = 𝑟 × 𝐼 2 = 0,5 × 3,16² 𝑃𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒 = 5𝑊 t (ms) 0 10×1×103 < 𝑖 >= < 𝑖 >= < 𝑖2 > = 10×103 1,11×9 < 𝑖2 > = 9 10 ms = T = 1𝐴 = 0,99𝐴 = 1𝐴 10 100×1 = 10 => 𝐼 = √10 = 3,16𝐴 10 1,112 ×9 10 = 1,11 => 𝐼 = √1,11 = 1,05𝐴 i(A) 2ème cas : 1,11² 1,11 𝑃𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒 = 𝑟 × 𝐼 2 = 0,5 × 1,05² 𝑃𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒 = 0,55𝑊 t (ms) 0 1 10 ms = T a. Vérifier que la valeur moyenne du courant est la même dans chaque cas b. Calculer la valeur efficace du courant dans chaque cas c. Calculer la puissance dissipée par effet Joule dans les fils d’alimentation pour chaque courant. Conclure. Valeurs moyennes et efficaces, décomposition du signal TS2CRSA exercices Rappel : Lorsqu’un signal n’est pas alternatif sinusoïdal, il comporte obligatoirement des harmoniques. Harmonique : Signaux alternatif sinusoïdal, qui se superposent au signal de base appelé "FONDAMENTAL". Les harmoniques ont des fréquences multiples de la fréquence du fondamental. Exercice 6 : On donne la décomposition d’une tension v e (t) dont la fréquence est de 500 Hz : Ondulation=Composante alternative v e (t) = 50 + 100.sin ωt + 11.sin3ωt + 4.sin5ωt + 2.sin7ωtA 1. 2. 3. 4. Situer la composante continue et la composante alternative de cette tension Quelle est la valeur moyenne de v e (t) ? 50V Quelle est la valeur efficace du fondamental de v e (t) ? �1 = 100 𝑉 => 𝑈3 = 𝑈�1 = 100 = 70,7𝑉 100.sin ωt (avant sin = valeur maximal, dans ce cas 100) 𝑈 2 Quelles sont les valeurs efficaces des harmoniques de rang 3, 5 et 7 ? Rang 3 = 11.sin3ωt ; Rang 5 = 4.sin5ωt ; Rang 7 = 2.sin7ωt √2 �3 = 11 𝑉 => 𝑈3 = 𝑈�3 = 11 = 7,8𝑉 𝑈 2 √ �5 = 4 𝑉 => 𝑈5 = 𝑈�5 = 𝑈 2 5. 6. √ �7 = 2 𝑉 => 𝑈7 = 𝑈 √ �7 𝑈 √2 = √2 4 √2 2 √2 = 2,8𝑉 = 1,4𝑉 Calculer la valeur efficace de l’ondulation de la tension v e (t) Valeur efficace de l’ondulation : 𝑈𝑜𝑛𝑑 = �𝑈12 + 𝑈22 + 𝑈32 + ⋯ 𝑈𝑜𝑛𝑑 = �70,72 + 7,772 + ⋯ = 71,2𝑉 Calculer la valeur efficace V e de la tension v e (t) 2 + < 𝑣𝑒 >2 Valeur efficace de la tension (v e (t)) : 𝑣𝑒 = �𝑈𝑜𝑛𝑑 𝑣𝑒 = �71,2² + 50² = 87𝑉 7. Représenter le spectre de fréquences de la tension v e (t) Valeur maximal (ou efficace) 100 50 0 1 2 3 4 5 6 7 Rang (en fréquence) Exercice 7 : On donne la représentation spectrale des premiers harmoniques d’une tension u(t) en créneaux en sortie d’onduleur. La valeur maximale de la tension u(t) est de 15 V et sa période est notée T : Valeurs moyennes et efficaces, décomposition du signal TS2CRSA exercices Amplitude (v) = Valeur maximale 14 => 14 √2 14 14/3 => 3×√2 1 3 14 14/5 => 5×√2 14 14 14/7=> 7×√2 14/9=> 9×√2 5 7 14 14/11=> 11×√2 14/13=> 14 13×√2 9 11 13 f (kHz) Valeur moyenne = 0 1. La tension u(t) est-elle alternative ? Pourquoi ? Oui car < u > = 0 2. Quelle est la valeur de la période de u(t) ? 𝑇= 1 𝑓 = 1 1000 = 103 𝑠 = 1𝑚𝑠 fréquence du fondamental 3. Quelle est la valeur efficace de cette tension ? 14 2 14 2 � 3√2 2 𝑈 = �< 𝑢 >2 + 𝑈𝑜𝑛𝑑 = � 02 + � � + � √2 Exercice 8 : 14 2 14 2 � +� � 5√2 7√2 +� 14 2 � 9√2 +� 14 2 14 2 � +� � 11√2 13√2 +� La décomposition d’une tension peut s’écrire : 4×𝐸 𝑣(𝑡) = . [𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 + 1/3. 𝑠𝑖𝑛3𝜔𝑡 + 1/5. 𝑠𝑖𝑛5𝜔𝑡 + . . . ] avec E = 200 V �1 = 255𝑉 = 𝑈1 = 𝑈 255 √2 𝑣(𝑡) = 𝜋 = 180𝑉 4×𝐸 𝜋 �3 = 85𝑉 = 𝑈3 = 𝑈 × 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 + 4×𝐸 3𝜋 85 √2 = 60𝑉 × 𝑠𝑖𝑛 3𝜔𝑡 + Ondulation �5 = 51𝑉 = 𝑈5 = 𝑈 4×𝐸 5𝜋 51 √2 = 31𝑉 × 𝑠𝑖𝑛 5𝜔𝑡 𝑉 = �1802 + 602 + 36² = 193𝑉 1. Ce signal est-il alternatif ? Pourquoi ? 2. Calculer les amplitudes du fondamental et des harmoniques de rangs 3 et 5 3. Calculer la valeur efficace de cette tension Doc1 : Doc 2 : = 10,83𝑉 TS2CRSA Valeurs moyennes et efficaces, décomposition du signal � 𝑈 � 𝑈 Doc 3 : A1 A2 (-4)² = 16 4 (étape 1) exercices TS2CRSA Valeurs moyennes et efficaces, décomposition du signal exercices Doc 4 : A (20)² = 400 Doc 5 : 20 V -10 V 1 t 20 V 10 V t 500V t TS2CRSA Réponse temporelle du 1er ordre M4 Exercice 1 : courbes normalisées température/temps d’un incendie Comparer les différents types d’incendie à partir de leurs caractéristiques de température : 1. Durée du régime transitoire 2. Constante de temps 3. Température finale atteinte Incendie standard Durée du régime transitoire Constante de temps Température finale atteinte > 120 minutes > 10 minutes > 1100°C Incendie échauffement lent Incendie extérieur Hydrocarbure 25 minutes 28 minutes Réponse temporelle du 1er ordre TS2CRSA M4 Exercice 2 : courbe de démarrage d’un moteur Tangente à l’origine Asymptote horizontale τ τ’ 3,5 τ 5 τ’ 1. Déterminer la constante de temps du moteur pour lequel on a réalisé un démarrage à vide. Lecture graphique de la constante de temps : τ = 1,5s 2. La constante de temps dépend de la constitution du moteur. Elle peut s’exprimer à partir de la relation : τ = R.J/K² avec : R = résistance de l’induit = 1,5 Ω K = constante de couple = 10,7.10-3 V.s/rad 3. 4. 5. En déduire la valeur du moment d’inertie J du moteur 𝐽 = 1,14 × 10−4 kg.m² Quelle est la durée de démarrage du moteur ? Démarrage = « Régime transitoire » Durée = 5 τ = 7,5s Calculer la valeur de l’échelon de tension appliquée à l’induit du moteur pour le démarrer sachant qu’elle est proportionnelle à la vitesse angulaire du moteur en régime permanent : U = K.Ω (K = constante de couple en V.s/rad ; U en Volt et Ω en rad/s) 2𝜋𝑁 −3 𝑈 = 𝐾 × Ω = 10,7 × 10 × 40𝜋 = 1,34 𝑉 Ω= 60 Le moteur démarre en charge. Le moment d’inertie du groupe vaut J = 1,5.10-4 kg.m². Comme la constante de temps dépend du moment d’inertie �τ = différente. Nouvelle valeur de τ : τʹ = 1,5×(1,5×10−4 ) (10,7×)² = 2𝑠 𝑅𝐽 �, 𝐾² sa valeur va être a. Tracer la nouvelle courbe de démarrage du moteur, l’échelon de tension conservant la même valeur. (Courbe bleu) b. Quelle est la durée du démarrage en charge ? 3,5 τ Réponse temporelle du 1er ordre TS2CRSA M4 Exercice 3 : courbe d’échauffement d’un four Les calculs en bureau d’étude d’un prototype de four régulé destiné à la cuisson de pièces en céramique ont permis de modéliser son comportement lors du préchauffage. La température dans le four devrait évoluer selon la relation : Θ = 1155 [1 – exp (-t/690)] où Θ représente la température (en °C) et t le temps (en seconde) En régime permanent : 1100°C < Θ < 1200°C (asymptote horizontale) D’après les calculs, le prototype répond-il au cahier des charges sur les points suivants : • Température du four en régime permanent autour de 1000°C ? • Durée de préchauffage n’excédant pas 1 heure ? Exercice 4 : allumage lampe au néon Une lampe « au néon » ne s’allume que si la tension à ses bornes atteint une valeur V a appelée « potentiel d’allumage ». (La lampe éteinte équivaut à un circuit ouvert) Une telle lampe (de potentiel d’allumage Va = 60V) est placée dans le circuit suivant : (R = 200 kΩ et C = 10 μF) i R E C Néon uc 1. Comment va évoluer la tension appliquée aux bornes de la lampe ? Lampe en || avec le condensateur. U lampe = U condensateur Dès la mise sous tension, le condensateur se charge et la tension à ses bornes évolue exponentiellement : 60V 0 ? Réponse temporelle du 1er ordre TS2CRSA M4 2. L’équation donnant l’évolution de la tension u c en fonction du temps est : u c = E [1 – exp (-t/2)] a. Déterminer l’instant d’allumage du néon si le générateur impose une tension de 50 V Si E=50V La tension U C n’atteint jamais 60V b. Déterminer l’instant d’allumage du néon si le générateur impose une tension de 200 V Si E=200V la tension U C atteint 60V au bout de 0,7s. 3. La constante de temps du circuit d’allumage est fixée par les valeurs de la résistance R et du condensateur C : τ = R.C (R en ohm et C en Farad pour avoir τ en seconde) On souhaite réduire la durée d’allumage de 50% comment procéder ? τ1 τ2 Si τ augment Système + lent Pour réduire la durée d’allumage, il faut réduite τ Réduire R ou C de 50%. Réponse temporelle du 1er ordre TS2CRSA M4 Exercice 5 : Commande d’une bobine de contacteur On désire enclencher le démarrage d’un ventilateur en utilisant une sortie d’un A.P.I. selon le schéma suivant : On utilise un contacteur dont la bobine est commandée par un étage de sortie de l’automate La sortie de l’A.P.I. délivre un courant maximal de 2 A. Le contacteur possède une bobine de résistance RKM = 24 Ω Le contacteur s’enclenche lorsque l’intensité du courant parcourant la bobine atteint 50% de la valeur du régime permanent. L’A.P.I. commande à l’instant t = 0 la saturation du transistor T qui devient équivalent à un interrupteur fermé. La diode D est alors bloquée. L’évolution du courant dans la bobine en fonction du temps a été enregistrée ci-dessous. 0,015 1. Déterminer la constante de temps du circuit τ = 0,015s = 15ms 2. L’intensité du courant atteinte en régime établi est-elle compatible avec l’intensité maximale que peut fournir la sortie de l’A.P.I. ? En régime permanents : l’effet de la bobine est nul, il ne reste que sa résistance. 𝑈 24 𝐼= = = 1𝐴 < 2𝐴 𝑅𝐾𝑀 24 3. Calculer le délai d’enclenchement du contacteur Délai d’enclenchement du contacteur : 0,01s = 10ms Réponse temporelle du 1er ordre TS2CRSA Exercice 6 : Temps de réponse des capteurs 1. Une sonde a une constante de temps de 10 s. a. Quel est son temps de réponse à 5 % ? τ𝑅𝑆 = 3 × τ = 30s b. Au bout de combien de temps la sonde donnera-t-elle une réponse à 1% près ? 5 × τ = 50s 2. Un capteur de pression a une constante de temps de 10 s. au bout de combien de temps donne-t-il une réponse exacte à 0,1% près ? On donne l’équation de la réponse temporelle de ce capteur : p = P 0 [1-exp (-t/τ)] ; dans laquelle P 0 représente la valeur de la pression en régime permanent p = P 0 [1-exp (-t/τ)] P0 99,9% −𝑡 99,9 × 𝑃0 = 𝑃0 �1 − 𝑒 10 � 100 −𝑡 99,9 = 1 − 𝑒 10 100 −𝑡 99,9 − 1 = −𝑒 10 100 ln �1 − 99,9 𝑡 �=− 100 10 M4 TS2CRSA Réponse temporelle du 1er ordre M4 Exercice 8 : Courbe de réponse d’un capteur de température 1. 2. 3. 4. 5. Qu’est ce qu’une sonde « Pt 100 » ? Sur quel principe physique repose son fonctionnement ? Quelle est la constante de temps de cette sonde ? Quel est son temps de réponse à 5 % ? Au bout de combien de temps le régime permanent est-il atteint ? La sonde était initialement dans un milieu à 80 °C, elle a ensuite été placée dans un milieu à 0°C. Quelle est sa transmittance statique ? Réponse temporelle du 2ème ordre TS2CRSA M4 Un circuit RLC série est connecté à l’instant t = 0 à un générateur de tension continue. On a relevé l’évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps T0 1. 2. 3. 4. Quelle est la valeur de la tension délivrée par le générateur ? 10 V Quels sont l’ordre et le type de ce régime transitoire ? 2ème ordre, car il est oscillatoire, régime transitoire indicielle. Que vaut le 1er dépassement ? En déduire la valeur de l’amortissement à partir de l’abaque 1) 3 V, 0,37 Quel est le temps de réponse du système à 5 % ? Retrouver la valeur de l’amortissement sur l’abaque 2 5. Sur quel paramètre du circuit faut-il agir pour atténuer les oscillations ? Augmenté la résistance Abaque 1 : 1er dépassement en fonction de l’amortissement m D 1 (%) 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 m 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Abaque 2 : temps de réponse à 5 % en fonction de l’amortissement m 0.8 0.9 1 tr5 (ms) m TS2CRSA Systèmes asservis M4 Exercice 1 On donne les courbes de réponse de la grandeur de sortie d’un asservissement ainsi que les diagrammes de Bode en gain et phase du gain de boucle pour 2 valeurs de l’amortissement m (2) m1=0,1 (1) Couloir des 5% m2=0,4 1,05 0,95 trs = 1s trs = 4,8s 1. Quel est l’ordre de cet asservissement ? Asservissement 2ème ordre. Réponse temporelle (1) Réponse fréquentielle (2) Présence d’oscillations Présence d’un pic 2. Une série de courbes a été tracée pour un amortissement m 1 = 0,1 et l’autre série pour m 2 =0,4. Retrouver les courbes correspondant à ces 2 valeurs d’amortissement. 𝑚2 > 𝑚1 : lorsque l’amortissement m augmente, les oscillations diminuent, les (1) dépassements diminue. (2) Le pic de gain augmente 3. Déterminer les temps de réponse à 5% de l’asservissement dans chaque cas. Conclure Exercice 2 : On donne la relation entre 3 signaux électrique : b = c – [3. (a-2b)]. Représentez le circuit électrique correspond sous la forme d’un schéma-bloc c + b b 3(a-2b) 3 2 a-2b +a 2b TS2CRSA Systèmes asservis M4 Exercice 3 : On réalise l’asservissement en vitesse de rotation d’un moteur dont la résistance d’induit est négligeable. La chaîne directe comporte : • Un moteur à courant continu alimenté sous tension variable • La tension variable d’alimentation du moteur est obtenue en sortie d’un hacheur de rapport cyclique α. • Le réglage du rapport cyclique est réalisé par la commande du hacheur : elle génère une grandeur α proportionnelle à une tension continue V 0 . La boucle de retour est constituée d’une dynamo tachymétrique La tension de sortie de la dynamo est comparée à la tension de consigne par un soustracteur. L’erreur en sortie de soustracteur est amplifiée avant d’être appliquée à l’entrée de la commande du hacheur. Représenter le schéma-bloc de cette boucle d’asservissement Exercice 4 : Un potentiomètre de commande et un potentiomètre d’affichage solidaire de la charge délivrent des tensions : u e = k.Θ e et u s = k.Θ s proportionnelles à leur position angulaire. Le moteur M entraîne une charge (C). Le moteur, de faible puissance, est alimenté par un amplificateur linéaire dont l’amplification est notée A. 1. Expliquer sommairement le principe de fonctionnement du système. La position angulaire de la charge C est définie par la rotation du potentiomètre de commande (PC). La vérification de la position de ka charge est effectuée par le potentiomètre d’affichage (PA). Si la position est correcte, le moteur reste immobile. Si la position est incorrecte, le moteur est alimenté et rectifie la position de C. TS2CRSA Systèmes asservis M4 2. Représenter le système par un schéma-bloc. A PC ue + - ue - us Ampli C M Ɵs us PA Exercice 5 : régulation de vitesse d’un moteur à courant continu La fréquence de rotation n (tr/min) d’un moteur à courant continu a pour expression : n = 3,42.U m – 0,246.T avec : T = couple de charge (Nm) U m = tension d’alimentation (V) On réalise la régulation de vitesse décrite par la figure 1 ci-dessous : L’amplificateur opérationnel réalise l’opération suivante : U c = A.(U a - U dt ) La dynamo tachymétrique délivre 10 V à 1000 tr/min Montrer que le schéma représenté figure 1 peut se ramener au schéma-bloc représenté figure 2 et préciser les transmittances de chaque bloc fonctionnel 0,246 A 100 1/100 3,42 = (3,42Um)-(0,246T) TS2CRSA Systèmes asservis M4 D’après la fig. 2 : e = U a - U dt D’après l’énoncé : U c = A * (U a - U dt ) = A * e n = 3,42 * U m – 0,246 * T Si T = 0 : moteur à vide de n – n 0 = 3,42 * U m Exercice 6 : On donne le schéma-bloc d’une chaîne d’asservissement de la vitesse d’un moteur à courant continu alimenté par un hacheur. Le hacheur est lui-même commandé par un amplificateur. Une génératrice tachymétrique fournit une tension image de la vitesse de rotation: T H On donne les transmittances des différents blocs fonctionnels : • Moteur : C = 0,45 rad/Vs • Hacheur : K 2 = <u>/u c = 60 • Amplificateur : A = 20 • Génératrice tachymétrique : K = u G /Ω 0 =9,5.10-2 Vs/rad 1. Exprimer la fonction de transfert (ou Transmittance) H de la chaîne directe en fonction de A, C et K 2 puis calculer H 𝑢 𝑈 𝛺 𝐴= 𝑐 𝐾2 = 𝐶= 0 𝐻= 2. 3. 𝑢𝐸 𝛺0 𝑢𝐸 = 𝐶×𝑈 𝑢𝐸 = 𝑢𝑐 𝐶×𝐾2 ×𝑢𝑐 𝑢𝑐 𝐴 𝑈 = 𝐶 × 𝐾2 × 𝐴 = 540 𝑟𝑎𝑑/𝑉. 𝑠 Quelle est la transmittance de la boucle de retour ? 𝐾 = 9,50 × 10−2 𝑉. 𝑠/𝑟𝑎𝑑 Exprimer u E en fonction de u A , Ω 0 et K 𝑢𝐸 = 𝑢𝐴 − 𝑢𝐺 avec 𝑢𝐺 = 𝐾 × 𝛺0 𝑢𝐸 = 𝑢𝐴 − 𝐾 × 𝛺0 CONSEIL : Commencer par cette relation TS2CRSA Systèmes asservis M4 4. Etablir l’expression de la transmittance T du système en boucle fermée en fonction de H et K puis calculer T. 𝛺 𝑇= 0 𝑢𝐴 𝑢𝐸 = 𝑢𝐴 − 𝐾 × 𝛺0 𝛺0 = 𝑢𝐴 − 𝐾 × 𝛺0 𝐻 1 𝑢𝐴 𝛺0 � + 𝐾� = 𝐻 𝑢𝐴 𝛺0 1 � + 𝐾� = 1 𝑢𝐴 𝐻 1 𝑇 � + 𝐾� = 1 𝐻 1 𝐻 1 𝑇= = 𝐾 × 𝐻 1𝐻𝐾 𝐻+ 𝐻 𝑇= 𝐻 1𝐻𝐾 = 540 1+450×9,5×10−2 = 10,3 𝑟𝑎𝑑/𝑠 × 𝑉 TS2CRSA Filtres et convertisseurs exercices Exercice 1 : Un CAN a une tension pleine échelle de 12 V. Il comporte 8 entrées binaires. 1. Que vaut son quantum ? 0,047 V = 4,7 mV 2. Une chaîne de mesure et de régulation de la vitesse d’un moteur associe au CAN un tachymètre qui délivre une tension u = k.n (n représente la vitesse du moteur en tr.s -1 et k = 0,197 V.s.tr-1). La tension u est appliquée à l’entrée du CAN. Quelle est la valeur attribuée à la consigne N, codée en binaire si la vitesse est de 600 tr.min-1 ? 𝑢 = 𝑘 × 𝑛 = 0,197 × 10 = 1,97 𝑉 1ère étape : Calcul du mot de sortie N codé en décimal : 𝑢 1,97 𝑁= = = 41 𝑞 4,7 × 10−3 2ème étape : Codage de N décimal en N binaire : (𝑁)1 = 41 <=> (𝑁)2 = 00101001 Exercice 2 : La courbe de gain d’un filtre est donnée ci-dessous : 1. Quelle est la nature de ce filtre ? Passe-bas 2. Quelle est la bande passante de ce filtre à -3dB ? B.P = [200 Hz ; 4 kHz] 3. On applique à l’entrée de ce filtre un signal sinusoïdal de fréquence 4 kHz et d’amplitude Û = 3,2 V. Calculer l’amplitude du signal à la sortie du filtre. Û 4. Même question si la fréquence du signal est de 40 kHz Hors de la B.P Û S = 0 V 5. Même question si la fréquence du signal est de 500 Hz Û S = 3,2 V 𝐺 = 20 log Û𝑆 = 20 log A 4 kHz : 𝐺 = −3𝑑𝐵 Û −3 = 20 log 3,2𝑆 −3 Û 𝑢𝑆 𝑢 = log 3,2𝑆 −3 𝑜𝑢 = log Û𝑆 − log 3,2 20 2,26 𝑉 = 3,2 × 10−0,15 = Û𝑆 20 TS2CRSA Filtres et convertisseurs exercices Exercice 3 : Un véhicule est équipé d’une chaîne de mesure délivrant une tension v E image de sa vitesse v selon le schéma : Une des roues du véhicule est équipée d’un capteur constitué d’un disque muni de 40 dents. Chaque fois qu’une dent passe devant un capteur de vitesse, un signal alternatif est généré. Après mise en forme, on obtient un signal rectangulaire vE dont la fréquence dépend de la vitesse du véhicule et d’amplitude 8 V: a. Quelle est la fréquence du signal vE ? 80 Hz b. Quelle est la vitesse de rotation des roues du véhicule ? 12,6 rad/s c. Quelle est la vitesse de déplacement du véhicule pour ce relevé ? (le rayon d’une roue est de 0,37 m) 16,7 km/h d. Pour choisir le filtre de la chaîne de mesure, on a tout d’abord réalisé l’analyse harmonique de la tension vE. Son spectre d’amplitude est donné ci-dessous : Valeur moyenne Fondamental (80 Hz) Harmoniques TS2CRSA Filtres et convertisseurs exercices Relever les amplitudes et les fréquences du fondamental est des 2 premiers harmoniques de la tension vE. Fondamental : f 0 = 80 Hz  1 = 3 V Harmoniques :  2 = 2,4 V 2f 0 = 160 Hz  2 = 1,6 V 3f 0 = 240 Hz e. On souhaite ne conserver que la composante continue du signal v E. Quelle est son amplitude ? Donner un exemple de gabarit de filtre qu’il faudrait utiliser. Passe-bas, fréquence de coupure inférieur à 80 Hz Exercice 4 : L’analyse harmonique de la tension u(t) délivrée par un capteur a produit le spectre ci-dessous : 1. Quelle est la fréquence de ce signal ? Fréquence du fondamental = fréquence du signal = 1,5 kHz 2. Que vaut l’amplitude de l’harmonique de rang 4 ? Harmonique de rang 4 = de fréquence 4x = 6kHz  4 = 0 3. Que vaut la valeur moyenne du signal ? Valeur moyenne : (f=0) = 0 4. On échantillonne ce signal à une fréquence fe = 20 kHz. Combien d’échantillons seront prélevés par période du signal ? 6,67 Nb d’échantillons = = 133 échantillions 0,05 TS2CRSA Filtres et convertisseurs exercices Exercice 5 : Un capteur optique est fixé sur le carter en regard d’une roue de diamètre 4 cm équipée de 20 fentes. Il permet de mesurer la vitesse de déplacement d’une porte coulissante. Lors d’un essai, le capteur fournit le signal u(t) dont on donne l’allure du spectre d’amplitude : 1. Quelle est la fréquence de u(t) ? 800 Hz 2. Quelle est la vitesse de translation de la porte coulissante ? 5 m/s 3. Pour amplifier ce signal, on utilise un amplificateur dont la bande passante à -3 dB est [0 ; 50 kHz]. Le choix de cet amplificateur est-il satisfaisant ? Le choix est satisfaisant. Exercice 6 Le calculateur qui gère une jauge d’essence possède en entrée un CAN 10 bits auquel on fournit une tension de référence de précision Vref = 5 V. 1. Quelle est la valeur du quantum q de ce CAN ? 4,9 mV 2. Déterminer le nombre (N)2 délivré par le convertisseur lorsque le réservoir arrive sur la réserve d’essence, la jauge délivrant alors une tension de 4,34 V (N) 2 = 887 (N) 2 = 1101110111 Exercice 7 Le capteur de pression du fluide d’un circuit hydraulique fournit le signal suivant : 1. Sur le relevé apparaissent des « parasites ». quel type de filtre permet de les atténuer ? Passe-bas 2. Les caractéristiques du CAN placé en entrée du calculateur sont : 14 bits, Vref = 5 V. représenter l’évolution du nombre codé (N)2 en fonction du temps de mesure TS2CRSA Filtres et convertisseurs exercices Exercice 8 : Une acquisition informatisée a fourni le graphe représentant la tension de sortie d’un CNA (U S) en fonction de la valeur du nombre (N)10 en entrée du convertisseur. La tension pleine échelle est de 5 V 1. 2. 3. 4. Quel est le nombre de bits de ce convertisseur ? Quel est le pas de ce convertisseur ? Entre quelles valeurs évolue la tension ? La tension Umod est une modélisation de la tension US. que représente la valeur a1 ? comparer cette valeur au pas du CNA. Exercice 9 : Un CNA de 5 bits a une tension pleine échelle de 10 V. 1. Quel est le pas de ce convertisseur ? 0,32 V 2. Quelles est la tension de sortie du CNA si l’information numérique en entrée est 00001 ? 0,322V 1010 ? 3,22 V 3. Ce convertisseur, piloté par un ordinateur permet de réguler la tension fournie à un système d’éclairage afin de garder un éclairement constant. On donne la courbe du pourcentage d’éclairement de la lampe en fonction de la tension d’alimentation : Lorsque N = 00000 : les lampes n’éclairent pas Lorsque N = 11111 : l’éclairage est maximal Quelle est la tension aux bornes d’une lampe lorsqu’elle commence à éclairer ? 80 V 4. En déduire l’information numérique reçue par le convertisseur lorsque le système d’éclairage commence à éclairer puis lorsqu’il fournit 50% de l’éclairement maximal N2 = 00000 N2 50% = 01101 5. Quel paramètre faudrait-il modifier pour obtenir une régulation plus précise ? n TS2CRSA Filtres et convertisseurs exercices Exercice 1 : Un CAN a une tension pleine échelle de 12 V. Il comporte 8 entrées binaires. 1. Que vaut son quantum ? 2. Une chaîne de mesure et de régulation de la vitesse d’un moteur associe au CAN un tachymètre qui délivre une tension u = k.n (n représente la vitesse du moteur en tr.s-1 et k = 0,197 V.s.tr-1). La tension u est appliquée à l’entrée du CAN. Quelle est la valeur attribuée à la consigne N, codée en binaire si la vitesse est de 600 tr.min-1 ? Exercice 2 : La courbe de gain d’un filtre est donnée ci-dessous : 1. Quelle est la nature de ce filtre ? 2. Quelle est la bande passante de ce filtre à -3dB ? 3. On applique à l’entrée de ce filtre un signal sinusoïdal de fréquence 4 kHz et d’amplitude = 3,2 V. Calculer l’amplitude du signal à la sortie du filtre. 4. Même question si la fréquence du signal est de 40 kHz 5. Même question si la fréquence du signal est de 500 Hz Exercice 3 : Un véhicule est équipé d’une chaîne de mesure délivrant une tension v E image de sa vitesse v selon le schéma : Une des roues du véhicule est équipée d’un capteur constitué d’un disque muni de 40 dents. Chaque fois qu’une dent passe devant un capteur de vitesse, un signal alternatif est généré. Après mise en forme, on obtient un signal rectangulaire vE dont la fréquence dépend de la vitesse du véhicule et d’amplitude 8 V: 1. Quelle est la fréquence du signal vE ? 2. Quelle est la vitesse de rotation des roues du véhicule ? TS2CRSA Filtres et convertisseurs exercices 3. Quelle est la vitesse de déplacement du véhicule pour ce relevé ? (le rayon d’une roue est de 0,37 m) 4. Pour choisir le filtre de la chaîne de mesure, on a tout d’abord réalisé l’analyse harmonique de la tension vE. Son spectre d’amplitude est donné ci-dessous : Relever les amplitudes et les fréquences du fondamental est des 2 premiers harmoniques de la tension vE. 5. On souhaite ne conserver que la composante continue du signal v E. Quelle est son amplitude ? Donner un exemple de gabarit de filtre qu’il faudrait utiliser. Exercice 4 : L’analyse harmonique de la tension u(t) délivrée par un capteur a produit le spectre ci-dessous : 1. 2. 3. 4. Quelle est la fréquence de ce signal ? Que vaut l’amplitude de l’harmonique de rang 4 ? Que vaut la valeur moyenne du signal ? On échantillonne ce signal à une fréquence fe = 20 kHz. Combien d’échantillons seront prélevés par période du signal ? Exercice 5 : Un capteur optique est fixé sur le carter en regard d’une roue de diamètre 4 cm équipée de 20 fentes. Il permet de mesurer la vitesse de déplacement d’une porte coulissante. Lors d’un essai, le capteur fournit le signal u(t) dont on donne l’allure du spectre d’amplitude : TS2CRSA Filtres et convertisseurs exercices 1. Quelle est la fréquence de u(t) ? 2. Quelle est la vitesse de translation de la porte coulissante ? 3. Pour amplifier ce signal, on utilise un amplificateur dont la bande passante à -3 dB est [0 ; 50 kHz]. Le choix de cet amplificateur est-il satisfaisant ? Exercice 6 Le calculateur qui gère une jauge d’essence possède en entrée un CAN 10 bits auquel on fournit une tension de référence de précision Vref = 5 V. 1. Quelle est la valeur du quantum q de ce CAN ? 2. Déterminer le nombre (N)2 délivré par le convertisseur lorsque le réservoir arrive sur la réserve d’essence, la jauge délivrant alors une tension de 4,34 V Exercice 7 Le capteur de pression du fluide d’un circuit hydraulique fournit le signal suivant : 1. Sur le relevé apparaissent des « parasites ». quel type de filtre permet de les atténuer ? 2. Les caractéristiques du CAN placé en entrée du calculateur sont : 14 bits, Vref = 5 V. représenter l’évolution du nombre codé (N)2 en fonction du temps de mesure Exercice 8 : Une acquisition informatisée a fourni le graphe représentant la tension de sortie d’un CNA (U S) en fonction de la valeur du nombre (N)10 en entrée du convertisseur. La tension pleine échelle est de 5 V TS2CRSA 1. 2. 3. 4. Filtres et convertisseurs exercices Quel est le nombre de bits de ce convertisseur ? Quel est le pas de ce convertisseur ? Entre quelles valeurs évolue la tension ? La tension Umod est une modélisation de la tension US. que représente la valeur a1 ? comparer cette valeur au pas du CNA. Exercice 9 : Un CNA de 5 bits a une tension pleine échelle de 10 V. 1. Quel est le pas de ce convertisseur ? 2. Quelles est la tension de sortie du CNA si l’information numérique en entrée est 00001 ? 01010 ? 3. Ce convertisseur, piloté par un ordinateur permet de réguler la tension fournie à un système d’éclairage afin de garder un éclairement constant. On donne la courbe du pourcentage d’éclairement de la lampe en fonction de la tension d’alimentation : Lorsque N = 00000 : les lampes n’éclairent pas Lorsque N = 11111 : l’éclairage est maximal Quelle est la tension aux bornes d’une lampe lorsqu’elle commence à éclairer ? 4. En déduire l’information numérique reçue par le convertisseur lorsque le système d’éclairage commence à éclairer puis lorsqu’il fournit 50% de l’éclairement maximal 5. Quel paramètre faudrait-il modifier pour obtenir une régulation plus précise ? Réponse fréquentielle d’un système du 1er ordre TS2CRSA 1ère partie : Définitions Système du 1er ordre Entrée • Sortie (ou du 2ème ordre) La transmittance T d’un système : c’est le rapport entre la grandeur de sortie du système sur sa grandeur d’entrée. Elle est notée généralement T. Dans le cas d’un système électrique, les grandeurs d’entrée et de sortie sont souvent des tensions. Dans ce cas, le calcul de la transmittance s’écrira : T= (Us est la tension de sortie ; Ue est la tension d’entrée ; la transmittance est sans unité) Valeurs possibles de T : Si Us > Ue alors T > 1 : le système amplifie le signal d’entrée Si Us = Ue alors T = 1 : le système restitue le signal d’entrée Si Us < Ue alors T < 1 : le système atténue le signal d’entrée Le comportement d’un système dépend de la fréquence de la tension d’entrée : la valeur de T dépend donc de la fréquence de la tension d’entrée • Le gain G en dB : c’est la représentation de la transmittance sous une autre forme mathématique, utilisée pour simplifier les valeurs numériques et l’exploitation. Le calcul du gain s’effectue à partir de la relation : 𝑮 = 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠 𝑻 (= 20 log L’unité de G est toujours le décibel (dB) 𝑈𝑆 ) 𝑈𝑒 la valeur de G dépend donc de la valeur de la transmittance T la valeur de G dépend donc de la fréquence de la tension d’entrée Valeurs possibles de G: Si Us > Ue alors T > 1 alors G > 0 Si Us = Ue alors T = 1 alors G = 0 Si Us < Ue alors T < 1 alors G < 0 2ème partie : Relevé d’une courbe de gain 1. Schéma du montage d’étude L = 47 mH R = 1 kΩ L Ue R Us TS2CRSA 2. Réponse fréquentielle d’un système du 1er ordre Mesure directe du gain d’un système électrique avec un voltmètre numérique La tension ue (fournie par un GBF) est alternative sinusoïdale Branchez un voltmètre numérique sur ue et régler la valeur efficace Ue de façon à avoir : (Ue)dB = 0 Déplacer le voltmètre branchez-le de façon à mesurer la valeur efficace de u s La mesure de (Us)dB vous donnera directement la mesure du gain G en décibel 3. Mesures et diagramme de gain Pour une fréquence variant de 200 Hz à 40 kHz, relever le gain G du filtre en dB et tracer directement le graphe du gain G(dB) en fonction de la fréquence f(Hz) 3ème partie : Exploitation de la courbe de gain 1. • • • Valeur maximale du gain Relever la valeur maximale du gain : Gmax Pour quelle(s) fréquence(s) le gain est-il maximal ? Que vaut le rapport Us/Ue dans ce cas ? 2. Fréquence de coupure • Relever la valeur de la fréquence pour laquelle le gain vaut : Gmax – 3dB. Cette fréquence est appelée « fréquence de coupure » (fc) • Que vaut Us/Ue à la fréquence de coupure ? 3. • • • Bande passante à -3 dB Comment varie la grandeur de sortie lorsque f < fc ? Comment varie la grandeur de sortie lorsque f > fc ? Quelle est la bande passante du système à -3 dB ? 4ème partie : Modification des caractéristiques du système 1. Remplir le tableau de mesures ci-dessous, à partir des mesures : R (Ω) L (mH) Fréquence de coupure : fc (kHz) 1000 47 2200 47 1000 10 2200 10 (Pour déterminer la fréquence de coupure, rechercher la fréquence pour laquelle le gain du filtre vaut (G max – 3 dB) 2. Comment évolue la valeur de la fréquence de coupure lorsque la valeur de R augmente ? 3. Comment évolue la valeur de la fréquence de coupure lorsque la valeur de L augmente ? TS2CRSA Réponse fréquentielle d’un système du 1er ordre 1ère partie : Définitions Système du 1er ordre Entrée Sortie (ou du 2ème ordre) La transmittance T d’un système : c’est le rapport entre la grandeur de sortie du système sur sa grandeur d’entrée. Elle est notée généralement T. Dans le cas d’un système électrique, les grandeurs d’entrée et de sortie sont souvent des tensions. Dans ce cas, le calcul de la transmittance s’écrira : T= (Us est la tension de sortie ; Ue est la tension d’entrée ; la transmittance est sans unité) Valeurs possibles de T : Si Us > Ue alors T > 1 : le système amplifie le signal d’entrée Si Us = Ue alors T = 1 : le système restitue le signal d’entrée Si Us < Ue alors T < 1 : le système atténue le signal d’entrée Le comportement d’un système dépend de la fréquence de la tension d’entrée : la valeur de T dépend donc de la fréquence de la tension d’entrée Le gain G en dB : c’est la représentation de la transmittance sous une autre forme mathématique, utilisée pour simplifier les valeurs numériques et l’exploitation. Le calcul du gain s’effectue à partir de la relation : G = 20 log T (= 20 log ) L’unité de G est toujours le décibel (dB) la valeur de G dépend donc de la valeur de la transmittance T la valeur de G dépend donc de la fréquence de la tension d’entrée Valeurs possibles de G: Si Us > Ue alors T > 1 alors G > 0 Si Us = Ue alors T = 1 alors G = 0 Si Us < Ue alors T < 1 alors G < 0 2ème partie : Relevé d’une courbe de gain 1. Schéma du montage d’étude L = 47 mH R = 1 kΩ L ue R us TS2CRSA Réponse fréquentielle d’un système du 1er ordre 2. Mesure directe du gain d’un système électrique avec un voltmètre numérique La tension ue (fournie par un GBF) est alternative sinusoïdale Branchez un voltmètre numérique sur ue et régler la valeur efficace Ue de façon à avoir : (Ue)dB = 0 Déplacer le voltmètre branchez-le de façon à mesurer la valeur efficace de us La mesure de (Us)dB vous donnera directement la mesure du gain G en décibel 3. Mesures et diagramme de gain Pour une fréquence variant de 200 Hz à 40 kHz, relever le gain G du filtre en dB et tracer directement le graphe du gain G(dB) en fonction de la fréquence f(Hz) 3ème partie : Exploitation de la courbe de gain 1. Valeur maximale du gain Relever la valeur maximale du gain : Gmax Pour quelle(s) fréquence(s) le gain est-il maximal ? Que vaut le rapport Us/Ue dans ce cas ? 2. Fréquence de coupure Relever la valeur de la fréquence pour laquelle le gain vaut : Gmax – 3dB. Cette fréquence est appelée « fréquence de coupure » (fc) Que vaut Us/Ue à la fréquence de coupure ? 3. Bande passante à -3 dB Comment varie la grandeur de sortie lorsque f < fc ? Comment varie la grandeur de sortie lorsque f > fc ? Quelle est la bande passante du système à -3 dB ? 4ème partie : Modification des caractéristiques du système 1. Remplir le tableau de mesures ci-dessous, à partir des mesures : R (Ω) L (mH) Fréquence de coupure : fc (kHz) 1000 47 2200 47 1000 10 2200 10 (Pour déterminer la fréquence de coupure, rechercher la fréquence pour laquelle le gain du filtre vaut (Gmax – 3 dB) 2. Comment évolue la valeur de la fréquence de coupure lorsque la valeur de R augmente ? 3. Comment évolue la valeur de la fréquence de coupure lorsque la valeur de L augmente ? TS2CRSA M4 Systèmes linéaires Systèmes asservis • Objectif global d’un procédé = maîtrise d’une grandeur • But d’une régulation : garantir un fonctionnement conforme à l’objectif final, en appliquant des ajustements lorsqu’un écart par rapport à l’objectif est détecté • Les 3 étapes de la chaîne de régulation : surveillance des grandeurs à maîtriser (capteurs), détection d’un écart éventuel par rapport à l’objectif fixé (« message d’erreur »), action corrective I. Définitions 1. Système commandé Un système est dit commandé s’il produit une grandeur de sortie dont la valeur dépend d’une grandeur d’entrée appelée « grandeur de commande » La représentation d’un tel système se fait par un « schéma bloc » ou « schéma fonctionnel » : E S (Entrée) (Sortie) 2. Transmittance ou fonction de transfert : La transmittance T d’un système : c’est le rapport entre la grandeur de sortie du système sur sa grandeur d’entrée. Elle est notée généralement T. Dans le cas d’un système électrique, les grandeurs d’entrée et de sortie sont souvent des tensions. Dans ce cas, le calcul de la transmittance s’écrira : T= (Us est la tension de sortie ; Ue est la tension d’entrée ; la transmittance est sans unité) 3. Fonctionnement en boucle ouverte Un système qui associe, les uns à la suite des autres, plusieurs blocs commandés est appelé « chaîne directe » ou « chaîne d’action ». Il fonctionne en « boucle ouverte » lorsque la sortie du dernier bloc répond à la commande imposée par le premier : Exemple de la commande de vitesse d’un moteur à courant continu par un hacheur : V Hacheur TH <u> MCC TM Ω TS2CRSA M4 Systèmes linéaires 4. Système asservi : fonctionnement en boucle fermée a. Les éléments de la boucle fermée Si la charge du moteur de l’exemple précédent varie, sa vitesse ne prendra pas exactement la valeur souhaitée. Il y a donc une erreur entre la valeur de la grandeur de sortie souhaitée (et définie par la consigne) et la valeur réelle = erreur statique : εs Le but d’un asservissement est d’annuler l’écart entre la valeur de sortie souhaitée et la valeur réelle, quelle que soit la perturbation qui intervient On complète la boucle ouverte par 2 éléments qui bouclent la sortie et l’entrée de la chaîne directe: • • Un organe de mesure de la grandeur de sortie à asservir: le capteur et son transmetteur (chaîne de retour) Un organe de comparaison : un soustracteur ou opérateur de différence qui génère un signal d’erreur. Consigne Ɛ = consigne - mesure Comparateur Capteur + circuit de conditionnement La consigne (= entrée) est fixe : elle sert de repère par rapport auquel on compare la grandeur de sortie : • Si la sortie correspond à la consigne : l’erreur est nulle et la commande du modulateur ne varie pas • Si la sortie est différente de la consigne : une erreur est obtenue en sortie de comparateur et le régulateur intervient sur la commande du modulateur II. Critères de performance d’une boucle d’asservissement 1. La précision Elle est caractérisée par l’écart entre la valeur de la consigne et la valeur de la grandeur de sortie. TS2CRSA M4 Systèmes linéaires 2. La rapidité On évalue la rapidité d’un système par le temps mis pour que la sortie atteigne la valeur souhaitée c’est le temps de réponse 3. La stabilité Un système est stable si, pour une consigne constante la sortie est constante, quelles que soient les perturbations. Si la variation de la sortie est continue (oscillations), le système est dit instable III. Correction des systèmes asservis Les systèmes asservis présentent des défauts de précision, des risques d’instabilité ou des comportements hasardeux en régime transitoire. Pour y remédier, la commande de la chaîne directe ne correspond pas directement au message d’erreur mais on le fait passer à travers des dispositifs correcteurs placés en cascade après le comparateur 1. Correcteur proportionnel (P) On intercale un circuit amplificateur entre le message d’erreur et la commande : on amplifie le message d’erreur en le multipliant par une constante (d’où le nom d’action proportionnelle) L’action Proportionnelle corrige de manière quasiment instantanée, donc rapide, tout écart de la grandeur à régler. Elle permet de vaincre les grandes inerties d’un système. Le système devient plus rapide mais il peut perdre en stabilité 2. Correcteur intégral (I) Il complète l’action du correcteur proportionnel. Il permet d’éliminer l’erreur résiduelle en régime permanent TS2CRSA M4 Systèmes linéaires 3. Influence de l’ hystérésis sur un système régulé en TOR Le régulateur de type « tout ou rien » est d’une technologie très simple et on le rencontre couramment dans les systèmes de chauffage, les fours domestiques, les sécurités de surpression ou de niveau Il est particulièrement bien adapté lorsque l’actionneur du système est aussi de type TOR (chauffage commandé par contact ou relais, électrovanne ouverte ou fermée…) Exemple : pièce d’habitation chauffée par un convecteur électrique : Lorsque le convecteur est alimenté : suivant : Lorsque le convecteur est éteint : Le régulateur de type TOR fonctionne selon le réglage Le thermostat s’enclenche à partir d’un seuil de température T 1 et déclenche à partir d’un seuil T2, tel que : T2 > T1 La différence entre les 2 températures T 1 et T 2 est appelée HYSTERESIS du régulateur : ΔH = T2 – T1 La température oscille entre les 2 valeurs T1 et T2 selon l’évolution suivante : Si on réduit l’intervalle entre T1 et T2 (c.à.d. si on réduit l’hystérésis), on augmente la fréquence de sollicitation de l’actionneur : sa durée de vie peut en être affectée. TS2CRSA M4 Systèmes linéaires Systèmes asservis Objectif global d’un procédé = maîtrise d’une grandeur But d’une régulation : garantir un fonctionnement conforme à l’objectif final, en appliquant des ajustements lorsqu’un écart par rapport à l’objectif est détecté Les 3 étapes de la chaîne de régulation : surveillance des grandeurs à maîtriser (capteurs), détection d’un écart éventuel par rapport à l’objectif fixé (« message d’erreur »), action corrective I. Définitions 1. Système commandé Un système est dit commandé s’il produit une grandeur de sortie dont la valeur dépend d’une grandeur d’entrée appelée « grandeur de commande » La représentation d’un tel système se fait par un « schéma bloc » ou « schéma fonctionnel » : E S (Entrée) (Sortie) 2. Transmittance ou fonction de transfert : voir TP 3. Fonctionnement en boucle ouverte Un système qui associe, les uns à la suite des autres, plusieurs blocs commandés est appelé « chaîne directe » ou « chaîne d’action ». Il fonctionne en « boucle ouverte » lorsque la sortie du dernier bloc répond à la commande imposée par le premier : Exemple de la commande de vitesse d’un moteur à courant continu par un hacheur : V Hacheur TH <u> MCC TM Ω TS2CRSA M4 Systèmes linéaires 4. Système asservi : fonctionnement en boucle fermée a. Les éléments de la boucle fermée Si la charge du moteur de l’exemple précédent varie, sa vitesse ne prendra pas exactement la valeur souhaitée. Il y a donc une erreur entre la valeur de la grandeur de sortie souhaitée (et définie par la consigne) et la valeur réelle = erreur statique : εs Le but d’un asservissement est d’annuler l’écart entre la valeur de sortie souhaitée et la valeur réelle, quelle que soit la perturbation qui intervient On complète la boucle ouverte par 2 éléments qui bouclent la sortie et l’entrée de la chaîne directe: Un organe de mesure de la grandeur de sortie à asservir: le capteur et son transmetteur (chaîne de retour) Un organe de comparaison : un soustracteur ou opérateur de différence qui génère un signal d’erreur La consigne (= entrée) est fixe : elle sert de repère par rapport auquel on compare la grandeur de sortie : Si la sortie correspond à la consigne : l’erreur est nulle et la commande du modulateur ne varie pas Si la sortie est différente de la consigne : une erreur est obtenue en sortie de comparateur et le régulateur intervient sur la commande du modulateur II. Critères de performance d’une boucle d’asservissement 1. La précision Elle est caractérisée par l’écart entre la valeur de la consigne et la valeur de la grandeur de sortie. TS2CRSA M4 Systèmes linéaires 2. La rapidité On évalue la rapidité d’un système par le temps mis pour que la sortie atteigne la valeur souhaitée c’est le temps de réponse 3. La stabilité Un système est stable si, pour une consigne constante la sortie est constante, quelles que soient les perturbations. Si la variation de la sortie est continue (oscillations), le système est dit instable III. Correction des systèmes asservis Les systèmes asservis présentent des défauts de précision, des risques d’instabilité ou des comportements hasardeux en régime transitoire. Pour y remédier, la commande de la chaîne directe ne correspond pas directement au message d’erreur mais on le fait passer à travers des dispositifs correcteurs placés en cascade après le comparateur 1. Correcteur proportionnel (P) On intercale un circuit amplificateur entre le message d’erreur et la commande : on amplifie le message d’erreur en le multipliant par une constante (d’où le nom d’action proportionnelle) L’action Proportionnelle corrige de manière quasiment instantanée, donc rapide, tout écart de la grandeur à régler. Elle permet de vaincre les grandes inerties d’un système. Le système devient plus rapide mais il peut perdre en stabilité 2. Correcteur intégral (I) Il complète l’action du correcteur proportionnel. Il permet d’éliminer l’erreur résiduelle en régime permanent 3. Influence de l’hystérésis sur un système régulé en TOR Le régulateur de type « tout ou rien » est d’une technologie très simple et on le rencontre couramment dans les systèmes de chauffage, les fours domestiques, les sécurités de surpression ou de niveau. TS2CRSA M4 Systèmes linéaires Il est particulièrement bien adapté lorsque l’actionneur du système est aussi de type TOR (chauffage commandé par contact ou relais, électrovanne ouverte ou fermée…) Exemple : pièce d’habitation chauffée par un convecteur électrique : Lorsque le convecteur est alimenté : Lorsque le convecteur est éteint : Le régulateur de type TOR fonctionne selon le réglage suivant : Le thermostat s’enclenche à partir d’un seuil de température T1 et déclenche à partir d’un seuil T2, tel que : T2 > T1 La différence ente les 2 températures T 1 et T2 est appelée HYSTERESIS du régulateur : ΔH = T2 – T1 La température oscille entre les 2 valeurs T1 et T2 selon l’évolution suivante : Si on réduit l’intervalle entre T1 et T2 (c.à.d. si on réduit l’hystérésis), on augmente la fréquence de sollicitation de l’actionneur : sa durée de vie peut en être affectée. TS2CRSA M4 Systèmes linéaires TS2CRSA I. Convertisseur continu-alternatif TP Schéma du montage D1 , D2 , D’1 et D’2: diodes de puissances T1 et T2 = transistors de puissance GBF : créneaux symétriques de fréquence f =500 Hz et d’amplitude 10 V Alimentation : 2 batteries II. Essais en charge résistive et inductive : Bobine de 100 mH + rhéostat 11 Ω a. Relever les oscillogrammes suivants (en concordance de temps) u c (t) ; i c (t) ; u c (t) et is 1 (t) ; u c (t) et i S2 (t) b. Donner le spectre harmonique du courant dans la charge (en valeurs efficaces). Mesurer le taux de distorsion harmonique global de ce courant. c. La forme de la tension u c dépend-elle de la nature de la charge (retirer la bobine)? d. Mesurer : • Les valeurs efficaces de la tension et de l’intensité du courant à la sortie de l’onduleur : U c et I c • Les valeurs moyennes des tensions et des intensités des courants débités par les batteries : E 1 ; E 2 ; <i s1 > et <i s2 > e. Calculer : • La puissance totale fournie par les batteries • La puissance de la charge • Le rendement du convertisseur