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République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
THESE
Présentée à
L’université Hadj Lakhdar Batna
En vue de l’obtention du diplôme de
DOCTORAT EN SCIENCES
EN ELECTROTECHNIQUE
Présentée par
BOUALI KHEDIDJA
Maitre Assistant Classe A - Université de Ouargla
Magister en Electrotechnique - Université de Batna, 2006
Ingénieur d’Etat en Electrotechnique –Université de Batna, 1992
CONTRIBUTION A L’ETUDE
ET L’OPTIMISATION DES
CONVERTISSEURS
MAGNETOHYDRODYNAMIQUES
(MHD)
Thèse Soutenue le
Soufiane TAIBI
Fatima Zohra KADID
Rachid ABDESSEMED
Djamel RAHEM
Lakhdar MOKRANI
Leila BENALIA
Prof
Prof
Prof
Prof
Prof
MC
20/ 09/2015
devant le Jury :
Univ- Batna
Univ- Batna
Univ- Batna
Univ- O.E-Bouaghi
Univ- Laghouat
Univ- M’sila
Président
Rapporteur
Co-Rapporteur
Examinateur
Examinateur
Examinateur
REMERCIEMENTS
REMERCIEMENTS
Ce travail a été préparé au sein du Laboratoire d’Electrotechnique de Batna LEB, sous la
direction du Professeur Fatima Zohra KADID de l’université de Batna.
Ainsi, je tiens à exprimer mes plus vifs remerciements à mon encadreur : Dr. Fatima Zohra
KADID Professeur à l’Université de Batna et mon Co-encadreur : Dr Rachid
ABDESSEMED, Professeur à l’Université de Batna, de m’avoir proposé le sujet de cette
thèse et en me faisant profiter de leurs conseils judicieux. Je les remercie infiniment pour
leurs qualités humaines et scientifiques.
J’adresse
mes
plus
vifs
remerciements
à
Monsieur
Soufiane
TAIBI
Professeur à l’Université de Batna pour m’avoir fait l’honneur de présider le jury de ma thèse.
Mes remerciements vont de même aux autres membres de jury examinateurs qui m’ont fait
l’honneur de participer au jury de ma thèse. Il s’agit, en l’occurrence de :
Djamel RAHEM
Prof
Univ- O.E-Bouaghi
Examinateur
Lakhdar MOKRANI
Prof
Univ- Laghouat
Examinateur
Leila BENALIA
MC
Univ- M’sila
Examinateur
Je tiens par ailleurs à remercier vivement tous les enseignants de l’université de Ouargla et en
particulier ceux du département d’électrotechnique pour le respect et l’encouragement.
BOUALI
Sommaire
Sommaire
SOMMAIRE
Introduction générale
1. Introduction
14
2. Problématique
16
3. Objectif de la thèse
17
4. Structure de la thèse
17
Chapitre un
Etat de l’art des convertisseurs MHD
1.1 Introduction
19
1.2 Historique de la magnétohydrodynamique
19
1.3 Apport et limites des machines tournantes
21
1.4 Les convertisseurs MHD linéaires
21
1.4.1 Les convertisseurs MHD linéaires à conduction
22
1.4.1. 1 Pompes MHD à conduction à courant continu
24
I.4.1.2 Pompes MHD à conduction à courant alternatif
26
1.4.2 Les convertisseurs MHD linéaires à induction
27
1.4.2.1 Différentes géométries de pompes à induction
28
1.4.2.1.1 Pompes à induction plates
28
1.4.2.1.2 Pompes à induction annulaires
29
1.4.2.2 Régimes de fonctionnement
30
1.4.3 Choix du fluide conducteur
30
1
Sommaire
1.5 Comparaison entre les pompes à conduction et à induction
31
1.6 Domaines industriels d’application de la MHD
31
1.6.1 Génération de l’électricité par la MHD
31
1.6.1.1 Générateurs à conduction
32
1.6.1.2 Générateurs à induction
33
1.6.2 Propulseurs MHD
34
1.6.2.1 Propulseurs à plasma
34
1.6.2.2 Canon électromagnétique
34
1.6.2.3 La Propulsion navale
34
1.6.3 Les Applications à la métallurgie
35
1.6.3.1 Magnétohydrodynamique des fours à induction
35
1.6.3.2 Brassage
36
1.6.3.3 Lévitation
36
1.6.3.4 Formage
36
1.6.3.5 Pulvérisation
36
1.7 Conclusion
36
Chapitre deux
Modélisation en 2D d’une pompe MHD à conduction
2.1 Introduction
37
2.2 Méthodes numériques
38
2.2.1 Méthodes des différences finies
38
2.2.2 Méthodes des éléments finis
38
2.2.3 Méthodes des volumes finis
39
2.3 Phénomènes électromagnétiques
40
2.4 Equations de Maxwell
40
2.4.1 Conditions aux limites et conditions d’interfaces
42
2.4.1.1 Conditions aux limites
42
2.4.1.2 Conditions d’interfaces
43
2.4.2 Formulation du problème électromagnétique
44
2
Sommaire
2.4.3 Modèle Magnétodynamique
44
2.4.4 Hypothèses simplificatrices
46
2.4.5 Formulation en coordonnées cylindriques axisymétriques
47
2.5 Mise en œuvre de la méthode des volumes finis
48
2.6 Etude du modèle électromagnétique par volume finis
49
2.7 Description du prototype MHD à conduction
51
2.8 Application et résultats de la modélisation numérique (volumes finis)
53
2.8.1 Potentiel vecteur magnétique
54
2.8.2 Présentation de l’induction magnétique
56
2.8.3 Distribution de la densité de courant
57
2.8.4 Distribution de la force électromagnétique
57
2.9 Introduction d’un noyau ferromagnétique à l’intérieur du canal
58
2.9.1 Distribution du potentiel vecteur dans la pompe MHD
58
2.9.2 Présentation de l’induction magnétique dans la pompe MHD
59
2.9.3 Distribution de la densité de courant dans la pompe MHD
60
2.9.4 Distribution de la force électromagnétique
60
2.10. Conclusion
61
Chapitre trois
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
3.1 Introduction
62
3.2 Formulation mathématique d’un problème d’optimisation
63
3.3 Problèmes d’optimisation sans contraintes
63
3.4 Problèmes d’optimisation contraints
64
3. 5 Traitement des contraintes
65
3.5.1 Méthodes de transformation
65
3.5.1.1 Méthodes de pénalités
65
3.6 Optimisation stochastique avec contraintes
67
3.7 Minimum local et minimum global
67
3
Sommaire
3.8 Classification des méthodes d'optimisation
68
3.8.1 Méthodes d’optimisation déterministes
68
3.8.1.1 Méthodes déterministes unidimensionnelles
69
3.8.1.2 Méthodes déterministes multidimensionnelles
70
3.8.2 Méthodes stochastiques
74
3.8.2.1 Principe d'un algorithme stochastique
74
3.8.2.2 Méthode de recuit simulé (simulated annealing SA)
75
3.8.2.3 Algorithme du recuit simulé
76
3.8.2.4 Paramètres de contrôle
77
3.8.3 Recherche Tabou (Tabu Search TS)
80
3.8.4 Les algorithmes génétiques (AG)
81
3.8.4.1 Principe de fonctionnement
81
3.8.4.2 Mise en œuvre de la procédure des Algorithmes génétiques
84
3.8.5 Méthode PSO
88
3.8.6 Méthode de colonie de fourmis
91
3.9 Méthodes hybrides
93
3.10 Conclusion
94
Chapitre quatre
Conception par optimisation de la pompe MHD à conduction
4.1 Introduction
95
4.2 Démarche de conception par optimisation
95
4.3 Description du dispositif à optimiser
96
4.4 Formulation des problèmes d’optimisation
97
4.4.1 Calcul de la masse totale de la pompe
98
4.5 Conception par optimisation de la pompe MHD à conduction
100
4.5.1 Méthodes stochastiques
100
4.5.1.1 Méthode du recuit simulé (SA)
100
4.5.1.2 Recherche tabou (TS)
101
4
Sommaire
4.5.1.3 Méthode des Algorithmes Génétiques
101
4.5.2 Méthodes déterministes
101
4.5.2.1 Méthode de Quasi-Newton
101
4.5.2.2 Méthode Pattern - Search
101
4.5.3 Méthodes hybrides
101
4.6 Résultats de l’optimisation
102
4.6.1 Résultats des méthodes stochastiques
102
4.6.2 Résultats des méthodes déterministes
103
4.6.3 Résultats des méthodes hybrides
105
4.6.3.1 Hybridation (AG-QN) - (AG-PS)
106
4.6.3.2 Hybridation (SA-QN) - (SA-PS)
106
4.6.3.3 Hybridation (TS-QN) - (TS-PS)
107
4.7 Comparaison des méthodes d’optimisation
108
4.7.1 Méthodes non hybrides
108
4.7.2 Méthodes hybrides
109
4.7.2.1 Méthodes hybrides (SA-QN) - (SA-PS)
109
4.7.2.2 Méthodes hybrides (AG-QN) - (AG-PS)
109
4.7.2.3 Méthodes hybrides (TS-QN) - (TS-PS)
110
4.8 Etude des performances de la pompe à conduction par la MVF
110
4.8.1 Distribution du potentiel vecteur magnétique dans la pompe MHD
110
4.8.2 Induction magnétique dans la pompe MHD
111
4.8.3 Distribution de la densité de courant dans la pompe MHD
112
4.8.4 Distribution de la force électromagnétique dans la pompe MHD
113
4.9 Etude des performances de la pompe à conduction par la MEF
113
4.9.1 Présentation du logiciel ANSYS
114
4.9.2 Validation des résultats par ANSYS
114
4.10 Conclusion
119
Conclusion générale
120
Annexes
122
Références bibliographiques
123
5
Notations et Symboles
Notations et symboles
Notations et Symboles
Symbole
Unité
Description

A/m
Potentiel magnétique
Tesla
Induction magnétique
C/m2
Induction électrique (Déplacement électrique)
V/m
Champ électrique
N/m3
Force volumique de Lorenz
A/m
Intensité du champ magnétique
I
A
Courant électrique

m/s
Vitesse d’écoulement
z
m/s
La composante de la vitesse suivant (OZ)
U
V
Potentiel scalaire électrique
Ji
A/m2
Densité des courants induits
Ja
A/m2
Densité des courants injectés dans les électrodes
J ex
A/m2
Densité des courants d’excitation (source)
A

B

D

E

Fele

H
6
Notations et symboles
ɛ0
F/m
Permittivité électrique du vide
ɛ
F/m
Permittivité électrique
ρ
Kg/m3
Densité volumique
µr
-
Perméabilité relative
σ
S/m
Conductivité électrique
7
Nomenclature
Nomenclature
Nomenclature
Abréviation
Description
MHD
Magnétohydrodynamique
DC
Courant continu
MEF
Méthode des éléments finis
MDF
Méthodes des différences finies
MVF
Méthodes des volumes finis
SA
Simulated annealing (recuit simulé)
AG
Algorithmes génétiques
TS
Tabu Search (recherche tabou)
QN
Methode de Quasi-Newton
PS
Pattern search
8
Liste des Figures
Liste des Figures
Liste des Figures
Fig. (1.1) Schéma d'une pompe MHD à conduction
23
Fig. (1.2) Pompe MHD à conduction à courant continu
25
Fig. (1.3) Principe d’un générateur MHD à l’eau de mer type hélicoïdal
25
Fig. (1.4) Schéma d’une pompe MHD AC
26
Fig. (1.5) Lignes de courant dans une pompe MHD à induction
28
Fig. (1.6) Pompe MHD à induction plate
28
Fig. (1.7) Pompe MHD annulaire à induction
29
Fig. (1.8) Générateur MHD à induction (tuyère linéaire)
32
Fig. (1.9) Générateur à induction
33
Fig. (1.10) Le Yamato 1 dans la baie de KOBE
35
Fig. (2.1) Maillage du domaine d’étude
48
Fig. (2.2) Discrétisation dans la méthode des volumes finis
49
Fig. (2.3) Configuration proposée de pompe MHD à conduction
52
9
Liste des Figures
Fig. (2.4) Géométrie de la pompe MHD à conduction
52
Fig. (2.5) Organigramme de la méthode des volumes finis
54
Fig. (2.6a) Lignes équipotentielles dans la pompe MHD
55
Fig. (2.6b) Distribution du potentiel vecteur magnétique dans la pompe en 3D
55
Fig. (2.7a) Induction magnétique dans la pompe MHD en 3D
56
Fig. (2.7b) Induction magnétique dans la pompe MHD
56
Fig. (2.8) Densité de courant induit dans la pompe MHD
57
Fig. (2.9) Force électromagnétique dans la pompe MHD
57
Fig. (2.10) Géométrie de la pompe MHD avec noyau ferromagnétique
58
Fig. (2.11a) Lignes équipotentielles dans la pompe MHD avec noyau
58
ferromagnétique
Fig. (2.11b) Potentiel vecteur magnétique dans la pompe MHD avec noyau
59
ferromagnétique
Fig. (2.12) Induction magnétique dans la pompe avec et sans noyau
59
ferromagnétique
Fig. (2.13) Densité de courant induit dans la pompe MHD à conduction avec et
60
sans noyau ferromagnétique
Fig. (2.14) Force électromagnétique dans la pompe MHD avec et sans noyau
60
ferromagnétique
Fig. (3.1) Représentation du minimum local et global d’une fonction
68
Fig. (3.2) Principales méthodes déterministes multidimensionnelles
71
Fig. (3.3) Principales méthodes stochastiques
75
Fig. (3.4) Processus de recherche de l'optimum global par la méthode (SA)
79
10
Liste des Figures
Fig. (3.5) Principales étapes d’un algorithme génétique
83
Fig. (3.6) Représentation d'un individu; 6a codage réel, 6b codage binaire
84
Fig. (3.7) Processus de croisement
87
Fig. (3.8) Déplacement d’une particule
90
Fig. (4.1) Procédure de conception par optimisation
96
Fig. (4.2) Résultats d’optimisation par les algorithmes génétiques
103
Fig. (4.3) Résultats d’optimisation par la méthode Quasi-Newton
104
Fig. (4.4) Résultats d’optimisation par Pattern Search
104
Fig. (4.5) Résultats d’optimisation par la méthode hybride (AG-QN)
106
Fig. (4.6) Résultats d’optimisation par la méthode hybride (AG-PS)
106
Figure (4.7 Résultats d’optimisation par la méthode hybride (SA-QN)
107
Figure (4.8) Résultats d’optimisation par la méthode hybride (SA-PS)
107
Figure (4.9) Résultats d’optimisation par la méthode hybride (TS-QN)
108
Figure (4.10) Résultats d’optimisation par la méthode hybride (TS-PS)
108
Figure (4.11a) Lignes équipotentielles dans la pompe MHD optimisée
110
Figure (4.11b) Distribution du potentiel vecteur magnétique dans la pompe MHD en
111
2D
Figure (4.11c) Distribution du potentiel vecteur magnétique dans la pompe MHD en
111
3D
Figure (4. 12a) Induction magnétique dans la pompe MHD optimisée en 3D
112
Figure (4. 12b) Induction magnétique dans la pompe MHD avec et sans
112
optimisation
Figure (4.13a) Densité de courant induit dans la pompe MHD à conduction avec
112
optimisation en 3D.
Figure (4.13b) Densité de courant induit dans la pompe MHD à conduction avec
113
optimisation en 2D.
Figure (4.14) Distribution de la force électromagnétique dans la pompe MHD à
conduction avec et sans optimisation
11
113
Liste des Figures
Figure (4.15a) Géométrie de la Pompe MHD
115
Figure (4.15b) Conditions aux limites appliquées
115
Figure (4.15c) Maillage de la pompe MHD
116
Figure (4.15d) Lignes équipotentielles dans la pompe MHD
116
Figure (4.16) Induction magnétique dans la pompe MHD
117
(a)
Par ANSYS
(b)
Par volumes finis
Figure (4,17) Force électromagnétique dans la pompe MHD
(a)
Par ANSYS
(b)
Par volumes finis
12
118
Liste des Tableaux
Liste des tableaux
Liste des Tableaux
Tab. 1.1 Analogie entre un moteur à courant continu et un propulseur MHD à
24
courant continu
Tab. 3.1 Analogie entre un problème d’optimisation et le recuit
76
Tab. 3.2 Algorithme de la recherche Tabou
80
Tab. 3.3 Analogie entre les AG et la théorie d’évolution naturelle
82
Tab. 3.4 Algorithme de l’optimisation par essaim de particules
91
Tab. 3.5 L’algorithme de colonies de fourmis
93
Tab. 4.1 Résultats des méthodes stochastiques
102
Tab. 4.2 Résultats des méthodes déterministes
103
Tab. 4.3 Résultats des méthodes hybrides
105
13
Introduction Générale
Introduction générale
La magnétohydrodynamique (MHD) est l’étude de l’interaction des champs
magnétiques et des écoulements de fluide conducteurs. Cette discipline s’attache à des
phénomènes très variés de l’échelle du laboratoire (pour les métaux liquides et les gaz
ionisés) à l’échelle planétaire (champ magnétique terrestre). La conversion MHD est l’une
des applications de cette discipline. Elle concerne la conversion de l’énergie mécanique du
mouvement d’un fluide en énergie électrique. Ce mécanisme permet de transformer
directement le mouvement d’un fluide en électricité sans passer par des turbines comme
dans les centrales classiques. Ceci est un avantage par rapport aux machines classique
connues. La conversion peut également s’effectuer en sens inverse ; on utilise l’énergie
électrique pour mettre un fluide en mouvement, on obtient ainsi des pompes
électromagnétiques [LEB 92a].
Ces pompes sont conçues dans le but de n’avoir aucune partie mobile et sont ainsi
débarrassées de problèmes d’usure et de fatigue provoqués par la basse pression à travers
les pièces mécaniques. Comparées à d’autres types de pompes non mécaniques, les pompes
magnétohydrodynamiques montrent plusieurs avantages ; à savoir la simplicité de
fabrication et des forces continues de pompage [BER 91], [BER 13].
L’application première des pompes électromagnétiques a été le pompage du sodium
pour le refroidissement des réacteurs nucléaires. Dès les années 1970, ces pompes ont été
utilisées pour le pompage des métaux liquides à haute température comme le zinc et
l’aluminium. Aujourd’hui elles sont utilisées dans d’autres domaines comme le domaine
médical ou la microélectronique (électrolytes, plasmas) (Baker et Tessier 1987). Elles sont
l’une des applications de la magnétohydrodynamique (MHD) qui est à la frontière de deux
sciences, la mécanique des fluides et l’électromagnétisme [TAW 11].
Les applications de la magnétohydrodynamique sont très larges et dans des échelles très
variées, dans l’industrie métallurgique, le transport ou le pompage des métaux liquides en
14
Introduction générale
fusion par des pompes électromagnétiques. Il existe aussi des vannes et des débitmètres
électromagnétiques.
L’élaboration d’un système passe en premier lieu par la connaissance de son
comportement, c’est la phase d’analyse. Celle-ci doit déboucher sur une description
mathématique des phénomènes physiques qui régissent le comportement des éléments du
système, c’est la phase de modélisation. Cette dernière sert de support à la conception car
elle permet de prédire les performances du système en fonction de ses caractéristiques,
[JAN 10].
Généralement les dispositifs électromécaniques sont dimensionnés à partir d’équations
analytiques classiques avec des hypothèses simplificatrices. Ces équations ont été
améliorées dans le temps par retour d’expériences sur les différents dispositifs construits.
Cependant, de par son caractère limité et la diversité de plus grande des applications
projetées, cette connaissance pratique ne permet pas toujours d’optimiser toutes les
caractéristiques géométriques, [TAI 02].
Depuis quelques années, les recherches dans le domaine de conception des dispositifs
électromagnétiques s’orientent vers l’optimisation par le biais de différentes approches.
Ces dernières sont plus ou moins contraignantes et précises. En effet, les paramètres à
optimiser sont souvent interdépendants et il est difficile de trouver la solution optimale
prenant en compte les différentes interactions. En fait, trouver la solution optimale d’un
problème dans un espace complexe implique un compromis entre deux objectifs :
l’exploitation des meilleures solutions et l’exploration robuste de l’espace de recherche.
Les méthodes d’optimisation de type grimpeur procèdent itérativement en tentant, à chaque
pas, de trouver localement une solution intermédiaire meilleure que la solution courante ;
ce genre de méthodes est pénalisé par son incapacité à traiter des problèmes représentant
des reliefs de solutions multimodales (systèmes possédant plusieurs optimums locaux),
[TAI 02].
Etant donnée l’importance de l’optimisation des structures en génie électrique, de
nombreuses méthodes de résolution ont été développées. Ces méthodes peuvent être
classées sommairement en deux grandes catégories : les méthodes déterministes et les
méthodes stochastiques.
15
Introduction générale
Le principe essentiel d’une méthode exacte consiste à converger vers l’optimum le plus
proche du point de départ, qu’il soit local ou global ; ce sont souvent des méthodes locales.
Parmi ces méthodes, on peut citer : la méthode de la plus grande pente, le gradient
Conjugué, la méthode de Powell et la méthode de Quasi-Newton et les méthodes
géométriques, telles que la méthode du Simplex et la méthode de Rosenbrock.
Les méthodes probabilistes constituent une alternative très intéressante pour traiter les
problèmes d’optimisations de grande taille si l’optimalité n’est pas primordiale. En effet,
ces méthodes sont utilisées depuis longtemps par de nombreux praticiens. On peut citer les
méthodes gloutonnes et l’amélioration itérative, [KON 93].
Depuis une dizaine d’années, des progrès importants ont été réalisés avec
l’apparition d’une nouvelle génération de méthodes approchées puissantes et générales,
souvent appelées méta heuristiques. Les heuristiques sont représentées essentiellement par
les méthodes de voisinage comme le recuit simulé, la recherche tabou et les algorithmes
génétiques.
2. Problématique
Nous sommes donc confrontés à un problème de conception d'une nouvelle structure de
pompe magnétohydrodynamique MHD à conduction alimentée par un courant continu. Il
est donc indispensable d'effectuer sa modélisation. Actuellement, il existe deux types de
modélisations :
 la modélisation par calcul de champs, dite numérique, qui repose sur la résolution
des équations de Maxwell;
 La modélisation analytique.
Le problème de conception est un problème ouvert et souvent itératif, plus de variables
que d’équations et donc n’admet pas une solution unique. A cet effet, pour une solution
rationnelle, il est intéressant de formuler le problème de conception comme étant un
problème d’optimisation avec contraintes [KON 93].
Cette démarche implique beaucoup de variables (les dimensions de la machine, les
contraintes du cahier des charges etc. …) et donc beaucoup de calculs et la recherche de la
meilleure solution nécessite plusieurs balayages sur les intervalles de variation de ces
variables. Par conséquent, l’utilisation, d’un modèle de la machine basée sur la méthode
16
Introduction générale
des élément finis, risque d’être très lourd alors, on préfère, surtout quand l’optimum n’est
pas encore localisé, un modèle moins lourd par la méthode des volumes finis.
La modélisation par élément finis, reste la plus précise, cependant plus lourde et
s’apprête mal pour une utilisation durant la conception. Elle est donc réservée pour des
études plus fines des performances des systèmes.
3. Objectif de la thèse
L’objectif de cette thèse est donc d’étudier et de concevoir par optimisation une pompe
à conduction basée sur la mise en mouvement d’un fluide conducteur. Des résultats de
simulation d’un code de calcul développé à base de la méthode des volumes finis en 2D,
simulant la pompe en régime statique seront présentés et validés par ceux obtenus par le
logiciel de calcul ANSYS. Ensuite, le problème de conception par optimisation de la
pompe considérée sera abordé par l’application de plusieurs
méthodes à savoir les
méthodes stochastiques et les méthodes déterministes. Des méthodes hybrides utilisant une
méthode stochastique avec une méthode déterministe sont aussi utilisées. Finalement, une
validation de la structure optimisée par la méthode des éléments finis (ANSYS) sera
effectuée. Les résultats obtenus seront analysés et des recommandations nécessaires seront
faites.
4. Structure de la thèse
Le travail exposé dans ce mémoire s’articule autour de quatre principaux chapitres :
Dans le premier chapitre, nous présentons l’état de l’art de la magnétohydrodynamique.
Le chapitre deux est consacré à la modélisation des phénomènes électromagnétiques. Il
s’agit de développer un modèle en 2D par la méthode des volumes finis.
Le chapitre trois propose un état de l’art des méthodes d’optimisation. Deux grandes
familles de méthodes seront présentées: les méthodes
déterministes et les méthodes
stochastiques. Nous allons montrer les caractéristiques principales de chaque famille, leurs
points forts et faibles.
17
Introduction générale
Dans le dernier chapitre nous appliquerons la procédure de conception proposée pour
dimensionner une pompe magnétohydrodynamique MHD à conduction. Pour cela, nous
avons retenu des méthodes stochastiques (recuit simulé, recherche tabou et les algorithmes
génétiques et des méthodes déterministes Quasi-Newton et Pattern Search PS. Des
méthodes hybrides utilisant une méthode stochastique avec une méthode déterministe sont
aussi utilisées. Finalement, une validation de la structure optimisée par la méthode des
éléments finis est réalisée.
Dans la partie finale de la thèse, nous donnerons les conclusions relatives à notre étude
et les perspectives qui peuvent être envisagées dans le futur.
18
Chapitre un
Etat de l’Art des
Convertisseurs MHD
Etat de l’art des convertisseurs MHD
Chapitre un
1.1 Introduction
La magnétohydrodynamique (MHD) est à la frontière de deux sciences, la mécanique des
fluides et l’électromagnétisme. Elle consiste en l’étude de l’interaction entre un écoulement de
fluide conducteur et des champs magnétiques et électriques. Sa naissance remontre au 19éme
siècle, lorsque Faraday écrivit les lois de l’induction magnétique (1831). Elles montrent
l’existence d’une force électromotrice induite dans un écoulement soumis à un champ
magnétique. Cette force est susceptible de créer des courants qui peuvent agir avec le champ
magnétique pour donner naissance à des forces de Laplace.
Dans ce travail, on s’intéresse particulièrement à la machine MHD à conduction à courant
continu ; mais il nous est apparu plus intéressant d’aborder l’état de l’art des convertisseurs
MHD.
1.2 Historique de la magnétohydrodynamique
Les premières études sur la propulsion MHD en milieu océanique datent de la fin des
années 1950 aux Etats-Unis. En 1958 l'ingénieur Stewart Way, du département R&D de
Westinghouse à Pittsburgh, publie un premier rapport officiel sur le sujet. En 1961, Warren A.
Rice dépose le premier brevet [RIC 61], en parallèle aux travaux des américains James B.
Friauf et O. M. Philips [FRI 60], [PHI 62].
Un second rapport de Stewart Way est publié en 1964 par l'ASME (American Society of
Mechanical Engineers). En 1966, S. Way teste avec succès le premier modèle réduit de sousmarin à propulsion MHD muni de deux électrodes, long de 3 mètres et pesant 400 kilos, dans
la baie de Santa Barbara en Californie. Ces recherches sont stoppées durant la décennie
suivante, à cause de l'impossibilité de fabriquer les bobines produisant de très forts champs
magnétiques nécessaires à un rendement MHD correct. Les Soviétiques continuent cependant
les recherches militaires sur la propulsion MHD des sous-marins afin de rendre ceux-ci
silencieux et donc discrets.
19
Etat de l’art des convertisseurs MHD
Chapitre un
La disponibilité d'électroaimants supraconducteurs, capables de produire les champs
magnétiques nécessaires (plusieurs teslas), relance ensuite ces études. Aux USA, celles-ci sont
destinées en priorité aux submersibles de l'US Navy. Dans les années 1990, l'Université de
Pennsylvanie mène des expériences au FBNML (Francis Bitter National Magnet Laboratory)
du MIT (Massachusetts Institute of Technology) en circuit fermé sur une configuration
hélicoïdale et obtient des vitesses d'écoulement de 3,7 mètres par seconde et un rendement de
10 % avec un champ magnétique de 8 teslas. En parallèle à ces recherches universitaires, l'US
Navy publie à la même époque plusieurs brevets décrivant des sous-marins à propulsion MHD
[BEN 10].
Les Japonais mènent des recherches civiles sur la propulsion MHD depuis les années 1970.
L'université de la marine marchande de Kobé réalise en 1976, sous la direction du physicien
Yoshiro Saji, une première maquette suivie d'une seconde de 3,6 mètres de long pesant 700
kilos en 1979, et envisage à cette époque la future construction d’une brise glace sans hélices
propulsé par MHD, [TAD 84]. Le premier véritable navire à propulsion MHD, le Yamato 1
(utilisant 12 accélérateurs linéaires de Faraday) navigue pour la première fois en 1992, [TAD
84], [BEN 10].
La Chine teste également à la fin des années 1990 un prototype de bateau à propulseur
MHD hélicoïdal muni d'un électroaimant de 5 teslas, le HEMS-1 et entreprend un partenariat
avec le Japon pour tester la propulsion MHD en laboratoire avec des champs magnétiques de
grande intensité (15 teslas), [BEN 10].
En France, la MHD est restée longtemps associée à la production de l’énergie électrique en
utilisant le mouvement des gaz ionisés soumis à un champ magnétique. A partir de 1969, date
à laquelle cette activité a été mise en sommeil et définitivement arrêter car la rentabilité à
l’échelle industrielle fut estimée trop faible vu les problèmes plutôt technologiques rencontrés
(tenue et qualité des matériaux) que dans les principes mis en jeu [BER 91], [KAD04], [BEN
10].
20
Etat de l’art des convertisseurs MHD
Chapitre un
1.3 Apport et limites des machines tournantes
Les machines électriques rotatives ont occupé une grande place dans l’industrie depuis bien
longtemps, mais ces dernières ne peuvent pas régler tous les problèmes, comme le transport
des métaux liquides, le pompage, etc… Beaucoup de progrès et développements ont été
réalisés dans le domaine des machines linéaires dont les applications sont relativement
nouvelles. Plusieurs revues et documents techniques se sont penchés sur ce sujet durant ces
deux dernières décennies. Ainsi la technologie a évolué et les pompes MHD ont pris places
dans différents domaines comme la métallurgie et dans les centrales nucléaires.
Le pompage des métaux liquides par des convertisseurs MHD qui sont entrain de
concurrencer les pompes hydrauliques conventionnelles à cause des problèmes tels que [BOL
85], [KAD 06] :
 L’usure à haute température ;
 L’étanchéité contre les fuites du métal liquide.
I.4 Les convertisseurs MHD linéaires
La Magnétohydrodynamique est la manière d'agir sur un fluide, liquide ou gaz, en faisant
agir sur lui des forces électromagnétiques, à condition qu'il soit suffisamment conducteur de
l'électricité. On parlera alors d'accélérateur MHD. C'est également l'art de transformer
l'énergie cinétique d'un fluide en énergie électrique. On parlera alors de générateur MHD. Plus
généralement, dans la mesure où s'opère une conversion directe d'une forme d'énergie en une
autre forme d'énergie (cinétique, électromagnétique) on parlera de convertisseur MHD, [KAD
04], [BER 13].
Le système le plus simple est celui du convertisseur à induction. Il est constitué d’un canal
dans lequel s’écoule un fluide électriquement conducteur à la vitesse V. Le fluide traverse un
champ magnétique B qui induit un courant J collecté par des électrodes en contact avec le
fluide, [LEB 92b].
La première expérience de la conversion MHD avec un liquide comme fluide a été réalisée
par Arago qui eut l’idée d’utiliser les propriétés conductrices d’un fluide en mouvement dans
21
Etat de l’art des convertisseurs MHD
Chapitre un
un champ d’induction magnétique, après le découverte par faraday des lois de l’induction. Ce
n’est qu’en 1955 qu’une application industrielle a été envisagée mais dans laquelle le liquide
fut remplacé par un gaz conducteur. L’étude fut alors qualifiée de magnétohydrodynamique ce
qui parut de prime abord surprenant. Mais le paradoxe n’est qu’apparent, cette appellation
était légitime puisque les recherches menées au début sur ces milieux (plasma) faisant
intervenir des équations semblables à celles de l’hydrodynamique [BER 91], [LEB 92b],
[BOR 97].
La magnétohydrodynamique des plasmas a fait l’objet de travaux conséquents, mais cela
n’empêche pas d’évoquer la MHD des métaux liquides dont les avantages ne sont pas
négligeables. En effet, à cause des problèmes associés à la température élevée des plasmas,
plusieurs approches sont apparues utilisant le métal liquide comme fluide conducteur. Les
systèmes à métaux liquides semblent être particulièrement très demandés et beaucoup de
travaux ont été élaborés aux USA et en URSS et un grand programme est établi en France
[LEB 92], [KAD 01].
Les convertisseurs MHD sont principalement utilisés dans l’industrie sous forme de
pompes électromagnétiques, dans les aspects propulsifs de véhicules de haute technologie
ainsi que pour certains types d’armes militaires.
En général, il existe deux catégories de machines MHD linéaires :
 convertisseurs MHD linéaires à conduction ;
 convertisseurs MHD linéaires à induction.
1.4.1 Les convertisseurs MHD linéaires à conduction
Les machines MHD linéaires à conduction peuvent fonctionnent principalement comme
moteur pompe. Dans ce type de pompe, le courant électrique est fourni par une source
extérieure et le champ magnétique est imposé. Une limitation essentielle est le manque
d’adhérence du métal sur les parois, ce qui augmente les pertes.
Il existe plusieurs formes de pompes à conduction, parmi lesquelles on peut citer [BER 91],
[BOL85] :
22
Etat de l’art des convertisseurs MHD
Chapitre un
 Les pompes à conduction à alimentation continue ;
 Les pompes à conduction à courant alternatif.
La différence entre ces deux types de pompes se situe au niveau de l’alimentation bobinage
qui peut être soit en courant continu soit en courant alternatif.
Les pompes magnétohydrodynamiques à conduction sont constituées d’un canal dans
lequel s’écoule un fluide électriquement conducteur à la vitesse . La figure (1.1) représente le

schéma d’une telle pompe. L’interaction entre l’induction magnétique B et le courant I injecté

par les électrodes donne naissance à une force de Laplace FL .
Les différentes parties qui constituent la pompe magnétohydrodynamique à conduction sont :
 le circuit magnétique : il est destiné à créer et canaliser les lignes de champ
magnétique dans le canal ;
 le canal dans lequel s’écoule le fluide électriquement conducteur ;
 les deux électrodes en contact avec le fluide conducteur : elles servent à injecter le
courant I à l’intérieur du canal. Elles sont réalisées avec un matériau bon conducteur
d’électricité ;
 l’alimentation électrique généralement avec un fort courant et une basse tension
Circuit Magnétique
Circuit
Magnétique
Électrodes
Électrodes
B
B
II
FFL L
Canal
Canal
Alimentation courant DC
Fig.
(1.1)Schéma
Schémad'une
d'unepompe
pompeMHD
MHDààconduction
conduction
Fig.1.1
23
Etat de l’art des convertisseurs MHD
Chapitre un
L’analogie entre un moteur à courant continu et un propulseur MHD à courant continu
peut se résumer comme suit :
Tab. 1.1 Analogie entre un moteur à courant continu et un propulseur
MHD à courant continu
Moteur CC
Balais – collecteur
Propulseur MHD
Electrodes
Loi d’Ohm
U  E '  RI
E  Eind 
1

j
F.C.E.M
Eind  v.B
E '  k '
Puissance
P  E'I
P  Eind Jv 0
Couple mécanique
C  k I
Force MHD
F  JBv 0
Couple résistant
Force résistante
'
Cr  a
Fr  K t v 2
2
où
U : tension d’alimentation de l’induit
E : champ électrique
E’ : F.C.E.M. du rotor
E ind : champ électrique induit
R : résistance totale de l’induit
σ : Conductivité électrique
I : courant traversant l’induit
J : densité de courant électrique
ω : vitesse de rotation rd/s
v : vitesse du fluide en m/s
k ' ; a constantes
K t ; v constante et vitesse du fluide
 : flux d’excitation
B : induction magnétique
1.4.1. 1 Pompes MHD à conduction à courant continu
La pompe magnétohydrodynamique à conduction à courant continu (MHD DC) est le
modèle le plus simple de pompe MHD. Les courants dans le canal et dans le bobinage
inducteur (cas d’un électroaimant) sont continus. Pour créer le champ magnétique, nous
pouvons aussi utiliser un aimant permanent. Le circuit magnétique peut être refermé par un
24
Etat de l’art des convertisseurs MHD
Chapitre un
barreau de fer pour éviter les fuites magnétiques vers l’extérieur et obtenir une induction
élevée. La figure 1.2 représente le schéma d’une pompe MHD à courant continu avec un canal
rectangulaire et dont l’induction magnétique est créée par des électroaimants.
Circuit magnétique
Electrodes
Bobinage
Ecoulement du
fluide
Fig. (1.2) : Pompe MHD à conduction à courant continu [TAW11]
La figure (1.3) montre le schéma d’une nouvelle génératrice magnétohydrodynamique à l’eau
de mer avec un aimant supraconducteur de 7 T, [TAK 05].
Ecoulement de
l’eau de mer
Aimant supraconducteur
Cathode
Cathode
Mur hélicoïdal
Anode
Anode
B
I
Résistance externe
Fig. (1.3) Principe d’un générateur MHD à l’eau de mer type
hélicoïdal [TAK 05]
Un des principaux avantages des pompes DC MHD est la simplicité de leur géométrie.
Leur coût de fabrication est relativement faible devant les autres types de pompes MHD. En
25
Etat de l’art des convertisseurs MHD
Chapitre un
revanche ce type de pompe présente plusieurs défauts. En effet, les électrodes peuvent subir
une érosion à cause du frottement avec le fluide, et les pertes ohmiques peuvent provoquer un
échauffement, il peut également exister une résistance de contact non négligeable entre le
fluide et les électrodes. Ceci provoque donc des pertes thermiques supplémentaires. Par le
passé, de nombreuses pompes MHD à conduction DC ont étés fabriquées avec différents types
de fluides conducteurs (plasmas, électrolytes, sels fondus et métaux liquides).
I.4.1.2 Pompes MHD à conduction à courant alternatif
Dans le cas des pompes magnétohydrodynamiques à courant alternatif (MHD AC), les
courants dans le fluide et dans le bobinage sont sinusoïdaux. Le courant I traversant le canal
de pompage peut donc être fourni en sortie d’un transformateur, et le champ magnétique par
un électro-aimant (figure (1.4)).
Circuit magnétique
Transformateur
Canal
Electrodes
Ecoulement du fluide
Transformateu
r
Fig. (1.4) Schéma d’une pompe MHD AC [TAW11]
L’utilisation d’un transformateur permet d’avoir une alimentation des électrodes très simple
car il est assez complexe d’obtenir des alimentations DC à fort courant et faible tension ayant
un bon rendement. Par contre, pour des courants élevés, un refroidissement des
transformateurs est nécessaire. Le champ magnétique et le courant dans le fluide doivent avoir
26
Etat de l’art des convertisseurs MHD
Chapitre un
la même fréquence. La force de pompage est maximale si le champ magnétique et le courant
sont en phase d’où l’idée d’avoir la même alimentation pour le courant I et l’induction
magnétique, [LAB 92a], [BER 91] et [TAW 11].
La circulation du fluide est toujours basée sur la force de Laplace où nous avons une
variation temporelle du courant et du champ.
Un des principaux avantages des pompes MHD DC est la simplicité de leur géométrie.
Leur coût de fabrication est relativement faible devant les autres types MHD. En revanche ce
type de pompe présente plusieurs défauts. En effet, les électrodes peuvent subir une érosion à
cause du frottement avec le fluide, et les pertes ohmiques peuvent provoquer un
échauffement ; il peut également exister une résistance de contact non négligeable entre le
fluide et les électrodes. Ceci provoque donc des pertes thermiques supplémentaires, [TAW11].
L’étude qui sera faite dans les chapitres suivants portera sur les pompes à conduction à
courant continu à métal liquide destinées à la propulsion ou au transport des métaux liquides.
1.4.2 Les convertisseurs MHD linéaires à induction
Le principe général d’une pompe à induction consiste à créer un champ magnétique glissant
avec des enroulements polyphasés (en général triphasés). Ce dernier induit des courants dans
le fluide conducteur qui crée à leur tour une force de Laplace tendant à le mettre en
mouvement. Ce fonctionnement est très proche de celui de la machine asynchrone, mais ici le
champ créé est glissant, et l’induit est constitué par le fluide conducteur. La figure (1.5)
montre les courants induits dans les pompes à induction [TAW 11].
Les différentes parties d’une pompe à induction sont :
 l’inducteur : constitué d’un circuit magnétique créant un champ glissant grâce à un
bobinage polyphasé ;
 l’induit : constitué par un fluide conducteur ;
 l’entrefer
27
Etat de l’art des convertisseurs MHD
Chapitre un
Induction magnétique crée
par des inducteurs
Fig. (1.5) Lignes de courant dans une pompe MHD à induction [TAW11]
Il existe plusieurs types de pompes à induction. Les plus utilisées dans l’industrie sont les
pompes plates et les pompes annulaires. La différence entre ces deux types apparait au niveau
de leurs géométries.
1.4.2.1 Différentes géométries de pompes à induction
1.4.2.1.1 Pompes à induction plates
L’idée de base du fonctionnement des pompes plates est la même que précédemment. Elles
ressemblent beaucoup au moteur linéaire ; le rail est remplacé par le fluide. Le canal a une
section rectangulaire. Des enroulements inducteurs alimentés par des courants alternatifs
triphasés génèrent une induction magnétique sinusoïdale glissante. La figure (1.6) montre le
schéma d’une pompe MHD à induction plate. Le liquide circule dans un canal rectangulaire.
Sortie du fluide
Circuit magnétique
Bobinage polyphasé
Entrée du fluide
Fig. (1.6) Pompe MHD à induction plate [BER 91]
28
Etat de l’art des convertisseurs MHD
Chapitre un
Le refroidissement se fait par circulation forcée d’air dans les inducteurs. Les problèmes
technologiques portent surtout sur la réalisation de conduits en tôle d’acier inox mince (pour
diminuer les pertes) résistant longtemps à la corrosion et d’une étanchéité absolue [BER 91].
1.4.2.1.2 Pompes à induction annulaires
Le principe de fonctionnement de ces pompes ne diffère pas des moteurs classiques. Le
courant des enroulements primaires produit un champ magnétique de déplacement qui produit
à son tour un courant induit dans le métal liquide. L’interaction entre le champ principal et le
courant induit donne naissance à des forces appliquées au niveau du liquide. Les pompes à
induction présentées dans la littérature ont en général une taille assez conséquente. En effet,
leurs circuits magnétiques et leurs bobinages assez complexes ne permettent une
miniaturisation que dans le cas des pompes à conduction, [TAW 11].
La figure (1.7) montre le schéma d’une pompe MHD à induction annulaire. Le type
annulaire est plus performant que le type rectangulaire car les courants induits sont toujours
perpendiculaires à la direction de l’écoulement. Ainsi, la force de Laplace a partout la même
direction que celle de l’écoulement. Par contre, dans le cas d’une machine de section
rectangulaire, les courants induits se referment d’une façon moins favorable aux échanges
d’énergie mécanique en énergie électrique et provoquent d’avantage des pertes par effet Joule,
[DUD 68].
Fig. (1.7) : Pompe MHD annulaire à induction [BER06]
29
Etat de l’art des convertisseurs MHD
Chapitre un
Les avantages de ces pompes sont les suivants, [BEN 99]:
 Les courants électriques se referment dans la masse du fluide, ce qui rend inutile
l’adhérence de celui- ci sur la paroi ;
 La forme est simple et l’encombrement est économique ;
 Le démontage est facile.
1.4.2.2 Régimes de fonctionnement
La machine MHD fonctionne en pompe si le champ magnétique se déplace plus vite que le
fluide. Le fluide est entrainé par le champ qui crée une force de Laplace dans le sens
l’écoulement. L’énergie électrique des sources de courant est transformée en énergie
mécanique dans le fluide. Si au contraire le champ se déplace moins vite que le fluide, la
MHD fonctionne en générateur. Le fluide est freiné par le champ magnétique et le travail des
forces électromagnétiques est transformé en énergie électrique dans les bobinages et en pertes
joules dans le fluide. Dans ce cas, le générateur peut être connecté à un réseau électrique
auquel il fournira une certaine puissance, [LEB 92].
1.4.3 Choix du fluide conducteur
Les métaux liquides fonctionnement à des températures plus basses que celles des plasmas
et par conséquent n’entrainent pas d’usure des électrodes. C’est pour cette raison qu’on choisit
les métaux liquides à point de fusion bas tels que (Hg, K, Ca, Sn, Zn, NaK), [LEB92b], [CON
95] et [BER 13].
Dans le cas des convertisseurs linéaires à induction, on choisit généralement le mercure ;
c’est un métal liquide à température ordinaire. C’était le milieu le plus pratique pour effectuer
les premières expériences de MHD (Hartmann et Lazarus 1937), [BER 91]. Cependant un
autre métal a suscité de grandes recherches, le sodium fondu, pur ou allié au potassium. En
effet, ce liquide est utilisé pour le refroidissement et l’exploitation de certains réacteurs
nucléaires. Le mélange sodium potassium rend le composé liquide à la température ambiante,
[KAD 04].
30
Etat de l’art des convertisseurs MHD
Chapitre un
1.5 Comparaison entre les pompes à conduction et à induction
La description des pompes de façon générale, montre que chaque type de pompes présente
ses propres avantages et inconvénients [BOR 98].
 La fabrication des pompes MHD DC a un coût relativement faible par rapport aux autres
types. De plus, elles fonctionnent avec des aimants permanents ce qui simplifie leur
réalisation. Les principaux inconvénients sont l’alimentation électrique qui est
complexe et la présence d’électrodes.
 La pompe MHD à conduction à courant alternatif peut être plus facilement alimentée
mais demande la présence d’un électro-aimant. De plus, le courant alternatif entraine la
présence de courant de Foucault.
 L’avantage principal des pompes à induction réside dans l’absence d’électrodes
contrairement aux pompes MHD à conduction.
1.6 Domaines industriels d’application de la MHD
1.6.1 Génération de l’électricité par la MHD
Les recherches approfondies de génération d'électricité par MHD ont débuté au XXe siècle,
tout d'abord avec le physicien Bela Karlovitz pour le compte de la société Westinghouse de
1938 à 1944. Ce générateur MHD était de type "Hall annulaire" et utilisait un plasma issu de
la combustion du gaz naturel ionisé par faisceaux d'électrons. Cette expérience ne fut pas
convaincante car la conductivité électrique du gaz était aussi limitée que les connaissances de
l'époque en physique des plasmas. Une seconde expérience menée en 1961 au même
laboratoire, utilisant un liquide composé d'un combustible fossile enrichi en potassium, fut elle
un succès avec une puissance générée excédent 10 kW. La même année, une puissance
identique fut générée aux laboratoires Avco Everett par le docteur Richard Rosa, en utilisant
de l'argon enrichi par pulvérisation d'une poudre de carbonate de potassium (substance
donnant facilement des électrons libres, ce qui augmente la conductivité électrique du plasma)
et ionisé par arcs électriques à 3000°K, [BER 06]. Les années 1960 virent un effort
international très important en vue de créer les premières centrales MHD électriques
industrielles, avec un gaz ionisé à très haute vitesse comme fluide conducteur.
31
Etat de l’art des convertisseurs MHD
Chapitre un
En 2007, un ensemble d'expériences concluantes réalisées aux États-Unis pour le compte de
l'armée américaine, avec un fluide simulant une sortie de tuyère d'un avion hypersonique a
permis d'obtenir une puissance générée supérieure à 1 MW. Ce type d'expérience est
susceptible de relancer l'intérêt (notamment militaire) de la MHD, après une "mise en
sommeil" de cette technique pendant de nombreuses années. Cette expérience est susceptible
d'avoir également un impact sur la fusion contrôlée.
1.6.1.1 Générateurs à conduction
Un générateur MHD (magnétohydrodynamique) est un convertisseur MHD qui transforme
l'énergie cinétique d'un fluide conducteur directement en électricité. Le principe de base est
fondamentalement le même que pour n'importe quel générateur électrique. Les deux types de
générateurs utilisent un inducteur (électroaimant ou aimant permanent) générant un champ
magnétique dans un induit ou canal.
 Dans le cas d'un générateur conventionnel, cet induit est solide : c'est une pièce
métallique portant des bobines en cuivre.
 Dans le cas d'un générateur MHD, cet induit est fluide : liquide conducteur (eau salée,
métal liquide) ou gaz ionisé (plasma).
Les générateurs MHD n'utilisent donc pas de pièce mécanique mobile, contrairement aux
générateurs électriques traditionnels. Le fluide est mis en mouvement dans le champ
magnétique, ce qui génère un courant électrique, recueilli aux bornes d'électrodes immergées
et connectées à une charge, [BER 13], [GOF 65].
Electrodes
segmentées
Solénoïdes
Entrée
Sortie
Fig. (1.8) Générateur MHD à Conduction (tuyère linéaire)
32
Etat de l’art des convertisseurs MHD
Chapitre un
1.6.1.2 Générateurs à induction
Le générateur à induction ne comporte pas d’électrodes car le courant est produit par un
champ magnétique induit par le couplage champ- vitesse. C’est un premier avantage. De plus,
le courant produit est alternatif, ce qui élimine le besoin d’un convertisseur comme dans le cas
des générateurs à conduction [KAD 04].
Ce générateur MHD fonctionne sans électrodes avec des champs magnétiques variables.
Classiquement, une "onde magnétique" se déplace dans le fluide, émise par des courants
électriques alternatifs circulant dans plusieurs électroaimants successifs, avec la même
amplitude mais en déphasage. La variation du champ magnétique génère des courants induits
dans le gaz, qui eux-mêmes génèrent des champs magnétiques induits dont les lignes de
champ coupent les enroulements en spires des bobines. Si la vitesse du gaz est supérieure à la
vitesse de déplacement de l'onde magnétique, les courants induits seront tels que les forces de
Lorentz générées auront tendance à ralentir l'écoulement et à générer par induction un courant
dans les bobinages triphasés analogue à celui des moteurs asynchrones ou linéaires. (Figure
(1.9) [ALE 10], [GOF 65], [BER 13].
Fig. (1.9) Générateurs à induction [ALE 10]
33
Etat de l’art des convertisseurs MHD
Chapitre un
1.6.2 Propulseurs MHD
1.6.2.1 Propulseurs à plasma
Ces dispositifs également appelés MPD (Magneto Plasma Dynamic) utilisent des gaz tels
que Argon Comme propergol. Pour des puissances développées de 4 à 10 MW, les rendements
de ces appareils sont de l’ordre de 30% à 40%. Ce type de propulseur, bien adapté aux
changements d’orbites, offre l’avantage chimique de consommer 3 à 10 fois moins de
propergol qu’un propulseur chimique habituel [BER 91]. L’inconvénient majeur est du à
l’érosion des surfaces isolantes par le fluide chaud, comme pour le générateur MHD. Il en
résulte une perte de masse qui limite la durée de vie du matériel.
Leur principe de fonctionnement est le suivant : le propergol est injecté entre les électrodes et
traversé par un courant électrique. Celui-ci induit dans le plasma un champ magnétique qui par
couplage avec le courant électrique produit une force de Laplace qui accélère le plasma.
1.6.2.2 Canon électromagnétique
Le canon électromagnétique est tout à fait analogue à un moteur linéaire à courant continu,
le plasma joue le rôle de l’armature et les rails celui d’enroulement. Il a comme caractéristique
principale de garder une pression à peu près constante pendant l’accélération du projectile.
Ce dispositif inventé par le géophysicien K. Birkeland a des applications variées, [BER 91].
 Lancement de charges spatiales ; déchets nucléaires ;
 Armes militaires ; destruction de missiles en vol ;
 Fusion nucléaire ; initiation des réactions par impact (150 Km/s).
1.6.2.3 La Propulsion navale
Ces dernières années la MHD a connu un regain d’intérêt dans le domaine de la propulsion
des bateaux dont le fluide conducteur (eau de mer) utilisé est de conductivité électrique basse.
Ceci est du à l’avènement des supraconducteurs qui a engendré le renouveau des recherches
sur cette technique. Et avec l’augmentation des inductions magnétiques au environ de 10
Teslas, les rendements ont nettement augmenté en passant de 8% à 60%. Des systèmes à
induction et à conduction sont à envisager, [BER 91].
Le principe de base de la propulsion MHD navale est simple. Il consiste à utiliser des forces
électromagnétiques pour propulser des navires. Ces forces de Laplace sont issues de
34
Etat de l’art des convertisseurs MHD
Chapitre un
l’interaction entre un champ magnétique, crée par des bobines supraconductrices et des
courants électriques circulant dans l’eau de mer. Ainsi, l’énergie électrique, fournie par des
groupes électrogènes embarqués à bord, est directement transformée en énergie mécanique,
[TRO 95].
La magnétohydrodynamique (MHD) permet une propulsion directe des navires par réaction
en supprimant l’hélice et toute pièce mécanique mobile d’entraînement. L’action combinée
dans l’eau de mer, d’un champ magnétique et d’un champ électrique développe un champ de
forces électromagnétiques volumiques que l’on appellera force MHD.
Le Yamato 1 est un démonstrateur technologique civil japonais de navire à propulsion
électromagnétique (utilisant les principes de la magnétohydrodynamique) conçu à partir de
1985 et réalisé au début des années 1990. Il se déplace silencieusement jusqu'à une vitesse de
8 nœuds (15 Km/h) par réaction et sans hélice, grâce à un accélérateur MHD aspirant à l'avant
l'eau de mer, naturellement conductrice de l'électricité, et la rejetant à l'arrière, [MOT 91],
[BEN 11] (fig. 1.10).
Fig. (1.10) Le yamato1 dans la baie de KÖBE [MOT 91]
1.6.3 Les Applications à la métallurgie
1.6.3.1 Magnétohydrodynamique des fours à induction
Les fours à induction se composent essentiellement d’une bobine inductrice refroidie par
circulation d’eau, entourant un creuset dans lequel se trouve la masse métallique à fondre et a
traiter [SAA 06]. L’utilisation des champs magnétiques alternatifs dans les fours à induction
35
Etat de l’art des convertisseurs MHD
Chapitre un
s’est considérablement développée ces dernières années dans les domaines de l’élaboration et
le traitement des métaux. En effet, ce type de champ magnétique offre la possibilité d’agir à
distance et de façon contrôlée sur un fluide électroconducteur, [KAD 04].
1.6.3.2 Brassage électromagnétique
Les brasseurs électromagnétiques, tout comme les pompes électromagnétiques, ont la
particularité de ne pas posséder de parties mobiles. Par brassage, ils entraînent l’élimination
de bulles, de saletés et aussi l’accélération du mélange (par turbulence) lors de réactions
métallurgiques (fabrication d’alliages).
1.6.3.3 Lévitation
Parmi les procédés de lévitation utilisés en physique ; le procède MHD permet de résoudre
trois problèmes à la fois :
 L’absence de contact entre la charge et le creuset évite la contamination du métal par la
paroi ;
 L’échauffement de la charge par effet Joule peut en causer la fusion ;
 Le brassage interne du fluide formé produit un mélange efficace des constituants, [BER13].
1.6.3.4 Formage
Le formage électromagnétique consiste à façonner des masses métalliques en lévitation
magnétique par l’action de champs magnétiques qui modèlent la surface libre désirée. Cette
technique a l’avantage d’éviter le chauffage et le reformage après solidification, [BEN10].
1.6.3.5 Pulvérisation
La technique électromagnétique permet la fabrication de poudres et grenailles de tailles
moyennes (environ 100µm) avec un débit massique élevé, [BEN 10].
1.7 Conclusion
Une description générale des convertisseurs MHD ainsi que leurs principes de
fonctionnement ont été donnés dans ce chapitre. Les phénomènes magnétiques sont régis par
les équations de Maxwell.
Dans ce cas, la mise en équations de ces phénomènes et la modélisation numérique de la
machine MHD à conduction retenue est l’objet du chapitre suivant.
36
Chapitre deux
Modélisation en 2D de la
MHD à Conduction
Modélisation en 2D d’une pompe MHD à conduction
Chapitre deux
2.1 Introduction
La modélisation de la MHD repose respectivement sur les équations de Maxwell et les
équations de Navier Stokes. En utilisant les équations de Maxwell et les lois constitutives
du milieu, on détermine les paramètres électromagnétiques relatifs à chaque problème.
Ce chapitre s'intéresse à la modélisation de la pompe MHD à conduction. Cette dernière
est effectuée dans l'objectif de l'utiliser dans une procédure de conception par optimisation.
Il existe à l’heure actuelle trois niveaux de modélisations :
 La modélisation par calcul de champs qui repose sur la résolution des équations de


Maxwell. C’est une modélisation qui fait intervenir les grandeurs locales B et H .
 La modélisation par circuit magnétique équivalent. Cette modélisation est dite
intégrale puisque elle fait intervenir des grandeurs obtenues par intégration des


variables B et H et la différence de potentiel magnétique scalaire.
 La modélisation par circuit électrique équivalent. Dans ce type de modélisation, on
ne fait intervenir que des grandeurs électriques globales (tension et courant).
La modélisation par circuit électrique équivalent est la moins précise du fait qu’elle ne
peut prendre en considération la saturation que d’une manière globale. Cependant, elle
reste le modèle le moins lourd et par conséquent le plus intéressant lorsqu’il est question de
la conception ou de la commande des systèmes électromagnétiques.
La modélisation par calcul de champs reste la plus précise, cependant la plus lourde.
Elle est donc réservée pour des études plus fines des performances des systèmes
électromagnétiques.
Ce dernier type de modélisation dit aussi numérique et avec le développement des
ordinateurs, a trouvé un large champ d’utilisation. Les méthodes les plus couramment
37
Chapitre deux
Modélisation en 2D d’une pompe MHD à conduction
utilisées, sont les méthodes des éléments finis, des volumes finis ainsi que celles des
différences finis.
Ce chapitre est consacré à la modélisation basée sur le calcul des champs par la méthode
des volumes finis et son application à l'étude des performances d’une pompe à conduction
avec et sans noyau ferromagnétique dans le canal de la pompe à concevoir.
2.2 Méthodes numériques
Les méthodes numériques sont utilisées avec succès dans la plupart des problèmes de la
physique. Néanmoins chacune d’elles a son domaine d’application privilégié.
Une description rapide de ces méthodes numériques va nous permettre de déterminer les
liens qui existent entre les caractéristiques de ces dernières. C’est sur cette base que s’est
effectué notre choix des méthodes numériques pour la modélisation des phénomènes
MHD.
2.2.1 Méthodes des différences finies
La MDF est basée sur la discrétisation du domaine d’étude. Elle consiste à décomposer
ce dernier en série de Taylor et à ne conserver qu’un nombre restreint de termes.
Ces méthodes sont très utilisées car elles allient une grande simplicité à la possibilité
d’obtenir plusieurs schémas de discrétisation selon la précision ou la stabilité désirée.
2.2.2 Méthodes des éléments finis
La méthode des éléments finis est un outil très puissant pour résoudre beaucoup de
problèmes en électromagnétisme. Elle a été proposée en 1940. Sa première application en
électromagnétisme a été effectuée par Sylvester.
La méthode des éléments finis repose sur la recherche d’une fonction globale
représentant les phénomènes étudiés en tout point du domaine analysé. Elle repose sur une
approximation nodale du domaine de calcul décomposé en un ensemble d’éléments de
38
Chapitre deux
Modélisation en 2D d’une pompe MHD à conduction
géométrie variée (triangle, tétraèdres, hexaèdres). La discrétisation des équations aux
dérivées partielles est réalisée à partir de la méthode des résidus pondérés dite de Galerkine
qui est la plus utilisée.
La structure de la matrice obtenue après discrétisation est creuse c'est-à-dire qu’elle
contient beaucoup de termes nuls [SAD 92], [DHA 84].
Parmi les avantages de cette méthode, on peut citer le traitement possible des
géométries complexes ; cependant elle présente une complexité de mise en œuvre et un
grand coût en temps de calcul et en mémoire.
2.2.3 Méthodes des volumes finis
La méthode des volumes finis (MVF) est très appliquée pour les problèmes de la
mécanique des fluides. La discrétisation des équations aux dérivées partielles s’opère à
partir d’une forme conservative pour chaque volume de contrôle par une technique qui
ressemble à la méthode des différences finies. Donc le principe de conservation est imposé
au niveau de chaque volume de contrôle contrairement à la méthode des éléments finis où
les principes de conservation sont vérifiés uniquement de manière globale. Cette méthode
est simple à développer et moins coûteuse que la méthode des éléments finis, [PAN 80],
[TRI 08].
Le domaine d’étude dans cette méthode est subdivisé en volumes élémentaires de telle
manière que chaque volume entoure un nœud du maillage. L’équation est intégrée sur
chacun des volumes élémentaires. Pour calculer l’intégrale dans ce volume élémentaire, la
fonction inconnue est représentée à l’aide d’une fonction d’approximation entre deux
nœuds consécutifs. Ensuite, la forme intégrale est discrétisée dans le domaine d’étude.
Cela conduit à une solution plus précise que la méthode des différences finis (MDF). Ces
méthodes sont particulièrement bien adaptées à la discrétisation spatiale des lois de
conservation [PAN 80], [SHA 11].
39
Modélisation en 2D d’une pompe MHD à conduction
Chapitre deux
2.3 Phénomènes électromagnétiques
L’effet du champ électrique ou magnétique (ou de leur combinaison) détermine le
fonctionnement des machines tournantes, des pompes et des transformateurs. La
connaissance de ces champs permet, dans tout système électromagnétique, d’avoir accès au
calcul de ses performances globales et au détail des conditions de son fonctionnement, soit
en régime permanent, soit en régime transitoire. En effet, on peut déduire du champ
magnétique les valeurs des flux, des forces électromotrices (dans les générateurs), des
couples d’entrainement (dans les moteurs) et des forces d’évacuation du fluide dans les
pompes [BLO 00], [FLE 06], [KUN 02].
Dans ce qui va suivre, nous présentons les formulations mathématiques modélisant la
pompe MHD à conduction et qui expriment les phénomènes électromagnétiques dans la
pompe (équations de Maxwell) ainsi que certaines hypothèses permettant de simplifier ces
équations.
2.4 Equations de Maxwell
L’ensemble des phénomènes électromagnétiques est régi par les équations de Maxwell.
Celles-ci constituent un système d’´equations aux dérivées partielles qui lient les
phénomènes magnétiques aux phénomènes électriques unifiant ainsi tous les principes de
l´électromagnétisme, [RAP10], [FAR 98].
Les équations de Maxwell représentent la base de l'électromagnétisme; c'est-à-dire que
ces équations permettent de décrire les évolutions spatio-temporelles du champ électrique
et du champ magnétique. Ces équations locales relient le champ électrique E et le champ
magnétique H à leurs sources : densité de charge ρ et densité de courant électrique J ,
[GIE 82], [ABD98] et [SAB 85]:
div D  
(équation de Maxwell-Gauss)
(2.1)
Une charge électrique est source d’un champ électrique ; autrement dit, les lignes de
champs électriques commencent et se terminent autour des charges électriques.
40
Modélisation en 2D d’une pompe MHD à conduction
Chapitre deux

div B  0
(équation de conservation du flux magnétique)
(2.2)
Cette relation traduit mathématiquement le fait que les seules sources de champ
magnétique sont les courants électriques et il n’existe pas de charge magnétique ; c’est
pourquoi les lignes du champ sont toujours fermées sur elles-mêmes. Elles forment des
boucles. Ces boucles n’ont ni point de départ, ni point d’arrivée, ni point de convergence,
d’où la nomination d’induction conservative (champ conservatif).

B
(équation de Maxwell-Faraday)
(2.3)
rot E  
t
Cette équation exprime le couplage électrique- magnétique en régime dynamique et la

variation temporelle de B .
rot H  J 
D
t
(équation de Maxwell-Ampère)
(2.4)




En tenant compte des relations constitutives de milieu B   H et D   E dans ces
équations, nous pouvons leur ajouter la loi d’Ohm:



J  J in  J ex
(2.5)
avec :




J in   E   (V  B)
(2.6)
Dans cette dernière équation, le premier terme représente la densité de courant induit
par conduction tandis que le second terme représente la densité de courant induit par les
vitesses dans la décharge.
avec :


J in : la densité de courant induit et J ex la densité de courant source [A/m2] ;

B : l’induction magnétique [T] ;
ρ : la densité volumique de la charge électrique [C/m3] ;

D : le déplacement électrique ou l’induction électrique [A.s/m2] ;
μ : la perméabilité magnétique (dans le vide µ=µ0=4π.10-7[H/m]) ;
41
Modélisation en 2D d’une pompe MHD à conduction
Chapitre deux
ε: la permittivité électrique (dans le vide ε=ε0= 8.8544*10-12 [F/m]);

V : le vecteur vitesse aux points considérés [m/s];

 E : la densité des courants induits par variation du champ électrique [A/m2];


 (V  B) : la densité des courants induits par mouvement [A/m2].
Dans l’équation (2.4), le terme
D
t
est appelé terme des courants de déplacement.
L’équation (2.4) peut ainsi se simplifier pour donner le théorème d’Ampère :
 
rot H  J
(2.7)
L’équation (2.7) exprime que la circulation du champ magnétique sur un contour fermé sur
lequel s’appuie une surface est égale à la somme des courants qui traversent cette même
surface.

On déduit de l’équation (2.7) que la densité de courant J est à flux conservatif :

div J  0
(2.8)
2.4.1 Conditions aux limites et conditions d’interfaces
Pour que le problème soit complètement défini, il faut déterminer les conditions aux
limites sur les frontières du domaine, ainsi que les conditions de passage entre les
différents milieux constituant ce domaine.
2.4.1.1 Conditions aux limites
On distingue essentiellement deux types de conditions aux limités, dans les problèmes
de champs électromagnétiques formulés en termes de vecteur potentiel:
 Conditions aux limites de Dirichlet (A=A0) : dans ce cas, le vecteur potentiel

magnétique A est constant sur la frontière, ce qui veut dire que l’induction
magnétique est parallèle à ce contour qui présente alors une équipotentielle. Cette
condition aux limites peut se présenter aussi sur les plans ou les axes polaires (dans
ce cas on se limite à mailler une partie du domaine).
42
Chapitre deux
Modélisation en 2D d’une pompe MHD à conduction
 Elle est utilisée dans le cas où le système à étudier présente des plans de symétrie.
La Condition de Neumann homogène (∂A/∂n=0) : on la trouve sur les plans où les
axes de symétrie magnétique (axes inter polaires par exemple). Sur cette frontière,
les lignes de l’induction magnétique sont normales. De même, lorsque ce type de
conditions aux limites apparait sur des axes d’antisymétrie, le maillage est limité à
une portion du domaine, [MOK 05].
2.4.1.2 Conditions d’interfaces
Dans le cas général, un dispositif électrotechnique comporte des milieux différents (fer,
air, cuivre, …etc.). Alors, avant d’aborder la résolution du problème, il est nécessaire de
connaitre le comportement des champs électromagnétiques à travers l’interface entre les
différents milieux. Les conditions de passage aux frontières de l’interface 12 entre deux
milieux de propriétés physiques différentes d’indices 1 et 2 portent sur les continuités et
discontinuités des différentes composantes normales et tangentielles des grandeurs
électromagnétiques :
Conservation de la composante tangentielle du champ électrique :



( E2  E1 )  n  0
(2.9)
Conservation de la composante normale de l’induction magnétique :



( B2  B1 ).n  0
(2.10)
Discontinuité de la composante tangentielle du champ magnétique due aux courants
surfaciques s’ils existent :




( H 2  H1 )  n  J ex
(2.11)
Discontinuité de la composante normale de l’induction électrique due aux charges
surfaciques si elles existent :



( D2  D1 ). n   s
avec

n : normale à la surface;
43
(2.12)
Modélisation en 2D d’une pompe MHD à conduction
Chapitre deux

J ex : densité surfacique éventuelle de courant;
 s : densité de charge surfacique à l’interface.
2.4.2 Formulation du problème électromagnétique
La résolution du problème électromagnétique quasi stationnaire, dans le domaine Ω,
nécessite le choix d'une formulation basée sur une grandeur caractéristique et en
association avec les relations constitutives, les relations de passage, les conditions aux
limites et les conditions de jauge, [LEF 06].
Ainsi, de nombreuses formulations ont déjà été développées en deux ou en trois
dimensions. En trois dimensions, il n’existe pas de formulation idéale. Les formulations

associent le potentiel vecteur A et le potentiel scalaire U. En deux dimensions, la

formulation adéquate est donnée en potentiel vecteur A à cause de réduction de nombre
d’inconnues.
2.4.3 Modèle Magnétodynamique
Ce modèle s’applique aux dispositifs électrotechniques dans lesquels les sources de

B
courant ou de tension varient en fonction du temps. Le terme
n’est plus nul, les
t
champs électriques et magnétiques sont alors couplés par la présence des courants induits
[BOU 07], [BER13].
Pour représenter l’état électromagnétique en un point, on doit alors faire recourt au


potentiel vecteur A car div B  0 ; les avantages présentés par ce type de formulation sont
nombreux :
 c’est la plus utilisée et elle réduit le nombre d’inconnues ;
 elle permet d’imposer des sources électriques par les bobines ;
 la connaissance de toute autre grandeur physique peut être déduite.
44
Modélisation en 2D d’une pompe MHD à conduction
Chapitre deux
Ecrivons les deux équations de Maxwell qui se présentent sans terme source :

div B  0
(2.13)

B
rot E  
t


(2.14)

La première équation indique que l’induction magnétique B est un champ rotationnel. Ceci

implique qu’il existe un potentiel vecteur magnétique A , tel que :

 
B  rot A
(2.15)
La substitution de (2.14) dans (2.15) donne :



  A
(rot A)
rot E  
  rot (
)
t
t
 
Ce qui implique que :

A
rot ( E 
)0
t


Le champ ( E 

(2.16)

A
t
) de l’équation (2.16) est conservatif, donc il dérive d’un potentiel
scalaire U donné par :


A
E
  grad U
t

(2.17)
Par conséquent, le champ magnétique et le champ électrique peuvent s’écrire en termes de

ces deux potentiels A et U en utilisant la relation du milieu comme suit :




 E   A  grad U

t



1  
 H  rot A






(2.18)

A partir de l’équation rot H  J et B   H , nous avons :


J  rot (
1



B)  rot (
1

 
rot A)
En remplaçant (2.18) et (2,19) dans (2,5) et (2,6), on obtient:
45
(2.19)
Modélisation en 2D d’une pompe MHD à conduction
Chapitre deux

J  J ex   E   (V  B)
(2.20)
1
A
rot ( rot A)   (
 gradU )   (V  B)  J ex

t
Les termes  (
(2.21)
A
) et  (V  B) représentent les densités des courants induits. Ils
t
traduisent le caractère dynamique dans le temps et dans l’espace des phénomènes
électromagnétiques ; pour la pompe MHD à conduction proposée, le champ magnétique
imposé est constant ; donc le premier terme s’annule.
Le terme  ( gradU ) décrit la densité du courant imposée à travers les électrodes. U
représente le potentiel scalaire électrique en Volts.
Pour pouvoir résoudre l’équation (2.21), on ajoute une autre équation pour que la
solution soit unique. On fixe la divergence de A (jauge de Coulomb) :
div A  0
(2.22)
Dans notre configuration bidimensionnelle (2D), la condition de jauge de Coulomb est
naturellement vérifiée. Le modèle électromagnétique de la pompe sera comme suit :
1

rot (  Rot A)   gradU   (V  B)  J ex

div A  0

(2.23)
2.4.4 Hypothèses simplificatrices
Pour déterminer le modèle mathématique qui régit les phénomènes électromagnétiques
dans la pompe MHD à conduction, certaines hypothèses simplificatrices sont à proposer :
 Pour la perméabilité magnétique, si l’induit ne possède pas des propriétés
magnétiques, sa perméabilité magnétique est assimilée à celle du vide;


 
D
 Les courants de déplacement
sont négligés devant J et rot H
t
de l’approximation quasi-statique ;
46
dans le cadre
Modélisation en 2D d’une pompe MHD à conduction
Chapitre deux
2.4.5 Formulation en coordonnées cylindriques axisymétriques
Une grande partie des problèmes magnétiques peut être traitée en bidimensionnel, ce
qui est le cas pour notre problème ; l’existence des deux types de systèmes
bidimensionnels : ceux infiniment longs alimentés suivant une direction (oz), ceux à
symétrie de révolution alimentés selon la direction (oφ). C’est le deuxième cas qui nous

intéresse, suivant notre dispositif, les courants J ex sont dirigés suivant l’angle φ du
système de coordonnées cylindriques (r, φ, z). Le champ magnétique possède alors deux
composantes, l’une suivant la direction (or) et l’autre suivant la direction (oz), imposant
ainsi pour le potentiel une seule composante Aφ. Les différentes grandeurs ont les
composantes suivantes :
0 
0 
0 
 Br 
H r 
 
 
 
J  J  ; E  E ; A A ; B 0 ; H 0 
0 
0 
0 
 B z 
 H z 

Rappelons l’équation magnétodynamique (2.23) dans le cas où le terme  ( grad U ) est

remplacé par la densité de courants injectée à travers les électrodes J a .
1

rot (  rot A)   (V  B)  J a  j ex

div A  0

(2.24)
Sachant qu’en coordonnées cylindriques, les coordonnées de rot A sont :
 A 


 z

0

  (rA ) 
 
1
 r r 
Après développements en coordonnées cylindriques, l’équation (2.24) devient :

1   A  1 (rA )   (rA )
 (
)  z
 J ex  J a
  z z r r r  r
z
En introduisant la transformation A  rA , l’équation (2.25) devient :
47
(2.25)
Modélisation en 2D d’une pompe MHD à conduction
Chapitre deux
1   1 A
 1 A   ( A)
(
)

(
)  
  J ex  J a
  z r z r r r  r z z
(2.26)
C’est une équation aux dérivées partielles, décrivant le comportement d’un dispositif
cylindrique axisymétrique. Sous l’hypothèse que les matériaux sont linéaires et que les
sources d’alimentation sont constantes.
2.5 Mise en œuvre de la méthode des volumes finis
La méthode des volumes finis a été choisie pour la résolution des équations
électromagnétiques. Le domaine d’étude est divisé en un nombre d’éléments (fig. (2.1)) .
Chaque élément contient quatre nœuds du maillage. Un volume fini entoure chaque nœud
du maillage. Dans cette méthode, chaque nœud principal ‘P’( le centre du volume de
contrôle) est entouré par quatre nœuds N,S,E, et W qui sont les centres des volumes de
contrôles adjacents situés respectivement au Nord, Sud, East et Ouest de celui contenant
‘P’, [PAN 80].
Elément Fini
Volume de Contrôle
Nœud
P

Fig. (2.1) Maillage du domaine d’étude
L’équation différentielle est intégrée sur chaque volume. Un profil choisi exprimant la

variante A entre les nœuds est utilisé pour évaluer l’intégrale. Le résultat de discrétisation

est une équation qui lie les valeurs de A d’un ensemble de nœuds.

L’équation discrétisée de cette façon exprime le principe de conservation pour A dans
l’élément de volume. La solution obtenue est constituée uniquement par les valeurs
nodales, figure (2.2).
48
Modélisation en 2D d’une pompe MHD à conduction
Chapitre deux
Fig. (2. 2) Discrétisation dans la méthode des
volumes finis
La méthode des volumes finis consiste donc à :
Décomposer la géométrie en mailles élémentaires (élaborer un maillage) ;

Initialiser la grandeur A sur le domaine de calcul ;
Lancer le processus d’intégration temporelle jusqu’à convergence avec :
1) Application des conditions aux limites ;
2) Calcul du bilan de flux par maille par un schéma numérique ;
3) Calcul du terme source
4) Calcul de l’incrément temporel par une méthode numérique d’intégration .
2.6
Etude du modèle électromagnétique par volume finis
Pour discrétiser l’équation (2.26), le domaine d’étude est subdivisé en un nombre fini de
nœuds. Ce domaine est ensuite divisé en mailles rectangulaires dont chacune contient un
nœud, comme il est indiqué sur la figure (2.2).
La projection de l’équation (2.26) sur une base de fonction de projection  i et son
intégration sur le volume fini, correspondant au nœud P, donne :
1  1 A
 1 A
 z A

[
(
)

(
)]
rdrdz


[

(
)]rdrdz    i ( J ex  J a )rdrdz
i
i
z r  z r z r r r
z r
r z
z r
(2.27)
49
Modélisation en 2D d’une pompe MHD à conduction
Chapitre deux
1
r
l’équation (2.27) se présente sous la forme suivante :
 i est la fonction de projection choisie égale à . Après substitution de l’expression de  i ,
1  1 A
 z A
 1 A
   [ z ( r z )  r ( r r )]drdz    [ ( r
z r
z r
z
)]drdz    ( J ex  J a )drdz
(2.28)
z r
L’intégrale de l’équation (2.27) sur le volume fini, délimité par les frontières (e, w, n et s)
est
n e
n e
1  1 A
 1 A

 z A
[(
)

(
)]
drdz

[

(
)]
drdz


s w  z r z r r r
s w r r z
s w ( J ex  J a )drdz
n e
(2.29)
Après intégration, et on prenant un profil linéaire, l’équation algébrique finale est de la
forme :
(2.30)
aP AP  aE AE  aW AW  aN AN  as AS  (aN' AN  aS' AS )  d0
avec

a E


 aW


a
 N

a
 S

z
 rE ( r ) E

z
 rW ( r ) W
(2.31)
r

 z N ( z ) N

r
 z S ( z ) S
aP  aE  aW  aN  aS
(2.32)
d0  ( J ex  J a )rz
(2.33)
L’équation obtenue est une équation algébrique reliant l’inconnue au nœud principal ‘P’
aux inconnues aux nœuds voisins «W», «E», «S», «N». Si le problème est linéaire, le
système d’équations peut être résolu par une méthode itérative. La forme matricielle de ce
système d’équation s’écrit sous la forme :
M   LA  F
(2.34)
où :
50
Modélisation en 2D d’une pompe MHD à conduction
Chapitre deux
M   L : Matrice coefficients,
A : Vecteur inconnu,
F  : Vecteur source.
L’écoulement d’un fluide est influencé par les phénomènes électromagnétiques via les
forces de Laplace. Ces dernières expriment l’interaction entre les champs magnétiques et
des courants électriques; [BLO 00]:
  
 F  J in  B




 J in  J a   (V  B)
(2.35)
En tenant compte des conditions aux limites dont les plus courantes sont les conditions
de Dirichlet et de Neumann données sur les frontières du domaine à étudier. Pour le
problème traité, l’équation électromagnétique est résolue en posant A = 0 sur les frontières
du domaine de résolution et celle de Neumann.
Après avoir exposé les formulations mathématiques des problèmes électromagnétiques
dans les pompes MHD, on présente dans ce qui va suivre les résultats de simulation du
modèle électromagnétique à partir d’un code de calcul bidimensionnel (2D). Le code en
question permet d’étudier les phénomènes électromagnétiques dans la pompe
magnétohydrodynamique(MHD) par l’application de la méthode des volumes finis dans le
but d’utiliser les résultats issus dans une procédure de conception par optimisation.
2.7 Description du prototype MHD à conduction
Afin
d’expliquer
le
principe
opérationnel
de
base
des
pompes
magnétohydrodynamiques, la structure schématique de la pompe proposée est montrée
dans les figures (2.3) et (2.4).
Elle est constituée d’un circuit magnétique sous forme de tore, deux bobines, deux
électrodes et un canal où circule un fluide supposé incompressible. Dans la pompe les
forces de pompage sont les forces de Lorentz induites par l’intermédiaire d’un champ
magnétique appliqué et des courants électriques. En raison de la symétrie géométrique,
seulement le quart du domaine a été pris en compte pour le calcul numérique.
51
Modélisation en 2D d’une pompe MHD à conduction
Chapitre deux
Le principe de fonctionnement est basé sur l’application d’un champ magnétique
permanent et constant, (produit par un enroulement inducteur), et croisé par un courant
continu qui est amené dans le fluide par des électrodes pour créer une force de Lorentz qui
assure le pompage et le déplacement du fluide.
Inducteur
Bobines
Canal
Electrodes
Fig. (2.3) Configuration proposée de pompe MHD à conduction
0.18
Electrode
0.16
A=0
0.14
z[m]
0.12
0.1
A=0
Inducteur
0.08
0.06
A
n
0.04
0
Ecoulement
A=0
Bobines
0.02
Canal
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
r[m]
Fig. (2.4) Géométrie de la pompe MHD à conduction
52
0.18
Chapitre deux
Modélisation en 2D d’une pompe MHD à conduction
Les dimensions préliminaires sont : [POT 01], [CHE 83].
 la longueur du canal 0.18 m ;
 le rayon du canal 0.03m ;
 la largeur de l’électrode 0.01m ;
 la longueur du l’inducteur 0.1m ;
 la largeur du l’inducteur 0.07m ;
 la longueur de la bobine 0.02m;
 la largeur de la bobine 0.03m;
 le nombre d’électrodes : 2;
 le nombre de bobines : 2;
 la densité du courant d’excitation Jex = 0,2.107 A/m2 ;
 la densité du courant injectée par les électrodes Ja = 0,25.107 A/m2.
Les paramètres caractéristiques du mercure sont :
1- Densité; ρ = 13,6.103 (Kg /m3)
2- Conductivité; σ =1,03.106 (Ω.m) -1
3- Perméabilité relative;
 r  1.
2.8 Application et résultats de la modélisation numérique (volumes finis)
Un code de calcul à base des volumes finis 2D est établi pour simuler le comportement
d’une pompe magnétohydrodynamique à conduction.
La figure (2.5) donne l’organigramme de la méthode des volumes finis.
53
Chapitre deux
Modélisation en 2D d’une pompe MHD à conduction
Données physiques
Données numériques
 Pas de discrétisation
 Nombres de noeuds
Résolution de l’équation
électromagnétique par la
méthode des volumes finis
Test de
convergence
non
oui
Calcul de :
 Potentiel vecteur magnétique
 Induction magnétique
 Densité de courant
 Force électromagnétique
Fin
Fig. (2.5) Algorithme du modèle électromagnétique par la
méthode des volumes finis
2.8.1 Potentiel vecteur magnétique
L’étude électromagnétique est consacrée à des simulations qui nous permettent de
donner une appréciation sur les grandeurs électromagnétiques précédemment décrites à
partir du modèle en potentiel vecteur magnétique développé au cours de ce chapitre.
54
Modélisation en 2D d’une pompe MHD à conduction
Chapitre deux
Les figures (2.6a), (2.6b) représentent respectivement les lignes équipotentielles (la
distribution des lignes de champ) et le potentiel vecteur dans la pompe MHD. Sur chacune
de ces figures, on voit clairement que les valeurs maximales se trouvent aux voisinages des
deux bobines (sources d’excitations) ; le potentiel vecteur est moins significatif à l’entrée
de l’électrode qu’à la sortie et il est trop faible le long de l’électrode. Cela s’explique par
les équipotentielles qui se concentrent à la sortie de l’électrode ; c’est à dire pour la bobine
d’entrée, les lignes de champs créées par l’électrode et cette dernière se retranchent par
contre les lignes de champs créées par l’électrode et la bobine de sortie s’additionnent.
x 10
z[m]
0.18
0.16
8
0.14
7
0.12
6
0.1
5
0.08
4
0.06
3
0.04
2
0.02
1
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
-3
0.18
r[m]
Fig. (2.6a) Lignes équipotentielles dans la pompe MHD
-3
Vecteur potentiel magnétique A [A.m]
x 10
8
0.01
7
0.008
6
0.006
5
0.004
4
0.002
3
0
0.2
2
0.15
0.2
z[m]
0.15
0.1
0.05
0.05
0
0
0.1
r[m]
1
0
Fig. (2.6b) Distribution du potentiel vecteur magnétique dans la pompe en 3D
MHD
55
Modélisation en 2D d’une pompe MHD à conduction
Chapitre deux
2.8.2 Présentation de l’induction magnétique
Les figures (2.7a) et (2.7b) représentent respectivement l’induction magnétique dans la
pompe en 3D et 2D. Elle présente des pics aux lieux de disposition des bobines.
Induction magnétique B [T]
2
1.5
1
0.5
0
0.2
0.15
0.2
0.15
0.1
0.1
0.05
0.05
0
0
z[m]
r[m]
Fig. (2.7a) Induction magnétique dans la pompe MHD en 3D
1.4
Induction magnétique B[T]
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
z[m]
Fig. (2.7b) Induction magnétique dans la pompe MHD
56
0.18
Modélisation en 2D d’une pompe MHD à conduction
Chapitre deux
2.8.3 Distribution de la densité de courant induit
La figure (2.8) représente la variation de la densité de courant induit dans le canal de la
pompe MHD. On constate que la valeur maximale de la densité de courant est située dans
la zone des bobines.
7000
Densité de courant [A/m 2]
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
z[m]
Fig. (2.8) Densité de courant induit dans le canal de la pompe MHD
2.8.4 Distribution de la force électromagnétique
La figure (2.9) montre la distribution de la force électromagnétique dans la pompe
MHD. Celle-ci suit les distributions de l’induction et de la densité du courant.
Force electromagnétique [N/m 3]
6
2
x 10
1.5
1
0.5
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
z[m]
Fig. (2.9) Force électromagnétique dans le canal de la pompe MHD
57
Modélisation en 2D d’une pompe MHD à conduction
Chapitre deux
2.9 Introduction d’un noyau ferromagnétique à l’intérieur du canal
Dans le but d’améliorer les performances de la pompe MHD, on a introduit un noyau
ferromagnétique à l’intérieur du canal. Une étude électromagnétique a été effectuée et les
résultats des simulations obtenus sont présentés :
La figure (2.10) représente la géométrie avec un noyau ferromagnétique.
0.18
Canal
0.16
A=0
0.14
0.12
0.1
Circuit
magnétique
Electrode
0.08
A=0
0.06
A
n
0.04
0
Bobines
A=0
0.02
Noyau férromagnétique
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
Fig. (2.10) Géométrie de la pompe MHD avec noyau ferromagnétique
2.9.1 Distribution du potentiel vecteur
Les figures (2.11a) et (2.11b) représentent les lignes équipotentielles et la répartition du
potentiel vecteur dans la pompe en présence d’un noyau ferromagnétique. On constate que
ce dernier canalise mieux les lignes de champ magnétique.
x 10
0.18
10
z[m]
0.16
9
0.14
8
0.12
7
0.1
6
0.08
5
4
0.06
3
0.04
2
0.02
0
0
1
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
r[m]
Fig. (2.11a) Lignes équipotentielles dans la pompe MHD avec noyau
ferromagnétique
58
-3
Modélisation en 2D d’une pompe MHD à conduction
Chapitre deux
Potentiel vecteur magnétique A [A.m]
0.01
0.012
0.009
0.01
0.008
0.008
0.007
0.006
0.006
0.004
0.005
0.002
0.004
0
0.2
0.003
0.15
0.2
z[m]
0.15
0.1
0.001
0.1
0.05
0.05
0
0.002
r[m]
0
0
Fig. (2.11b) Potentiel vecteur magnétique dans la pompe MHD avec noyau
ferromagnétique
2.9.2 Présentation de l’induction magnétique
La figure (2.12) représente l’induction magnétique dans la pompe MHD avec et sans
noyau ferromagnétique. On constate une augmentation de l’induction électromagnétique
dans la pompe à cause de la concentration des lignes de champ.
Induction magnétique B[T]
1.8
1.6
avec noyau ferromagnétique
1.4
sans noyau ferromagnétique
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
z[m]
Fig. (2.12) Induction magnétique dans la pompe avec et sans noyau
ferromagnétique
59
0.18
Modélisation en 2D d’une pompe MHD à conduction
Chapitre deux
2.9.3 Distribution de la densité de courant induit
La figure (2.13) représente la variation de la densité du courant. On constate une
augmentation de la densité du courant à cause de la présence du noyau.
Densité de courant induit Jin [A/m 2]
12000
10000
avec noyau
ferromagnétique
8000
sans noyau
ferromagnétique
6000
4000
2000
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
z[m]
Fig. (2.13) Densité de courant induit dans le canal de la pompe MHD à
conduction avec et sans noyau ferromagnétique
2.9.4 Distribution de la force électromagnétique
La figure (2.14) représente la force électromagnétique avec une introduction du noyau
ferromagnétique. On constate que la valeur de la force est plus grande par rapport au
premier cas (absence du noyau); ce qui permet de propulser le fluide dans le canal avec une
force plus grande.
6
3.5
x 10
Force electromagnétique [N/m3]
3
Avec noyau ferromagnétique
2.5
Sans noyau ferromagnétique
2
1.5
1
0.5
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
z[m]
Fig. (2.14) Force électromagnétique dans le canal de la pompe MHD avec et
sans noyau ferromagnétique
60
Chapitre deux
Modélisation en 2D d’une pompe MHD à conduction
2.10. Conclusion
Dans ce chapitre, partant des lois de base caractérisant les phénomènes
électromagnétiques présents dans la pompe MHD à conduction, des modèles
mathématiques ont été établis dans leurs formes générales.
En liaison avec le type d’application à traiter, le cas cylindrique axisymétrique
considéré comme un cas particulier, a été détaillé. Une fois ces modèles mathématiques
établies, nous proposons ainsi de décrire le modèle numérique adapté pour la résolution
des équations mathématiques finales décrivant l’évolution des phénomènes physiques
présent dans le dispositif proposé.
Une étude des performances de la pompe, a été étudiée en introduisant un noyau
ferromagnétique à l’intérieur du canal. Les résultats obtenus montrent une amélioration des
performances de la pompe.
61
Chapitre trois
Etat de l’Art des Méthodes
d’Optimisation
Chapitre trois
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
3.1 Introduction
Depuis quelques années, les recherches dans le domaine de la conception de dispositifs
électromagnétiques s’orientent vers l’optimisation par le biais de différentes méthodes.
La diversité des domaines d’application et la multitude de technologies envisageables
actuellement rendent de plus en plus complexes la définition et le dimensionnement d’un
actionneur électrique. Pour un cahier de charges donné, la phase de conception est fractionnée
en un certain nombre d’étapes successives et plus souvent itératives. Dans un premier temps le
concepteur doit choisir la structure la mieux adaptée à ses besoins. La deuxième phase consiste
à optimiser les dimensions et les caractéristiques de la solution choisie en intégrant des
contraintes de diverses natures (électrique, thermique, mécanique, etc..), [KON 93].
Pour trouver la solution optimale, il est nécessaire de réaliser un compromis entre deux
objectifs : l’exploration robuste de l’espace de recherche et l’exploitation des meilleures
solutions. Pour arriver à concrétiser ce but, il faut suivre une démarche systématique qui
comporte quatre phases fondamentales résumées comme suit :
1. Définition précise du cahier de charges ;
2. Etablissement d'un modèle mathématique;
3. Résolution du problème ;
4. Exploitation de la solution.
Selon la nature de la solution recherchée, on peut distinguer deux types de problèmes :
l'optimisation locale et l'optimisation globale. L'optimisation locale consiste à rechercher la
meilleure solution localement, c'est-à-dire dans une région restreinte de l'espace de recherche,
par contre l'optimisation globale recherche la meilleure solution sur tout l'espace de recherche.
Dans ce présent chapitre, nous aborderons l’état de l’art des méthodes utilisées dans la
résolution d’un problème d’optimisation. Nous allons commencer par la présentation de
quelques définitions nécessaires à l’application de ces méthodes ainsi que la présentation de
concepts de base pour la formulation mathématique d’un problème d’optimisation. Les
62
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
Chapitre trois
méthodes d’optimisation les plus connues et les plus utilisées seront présentées pour un
problème d'optimisation.
3.2 Formulation mathématique d’un problème d’optimisation
Un problème d’optimisation (P) de type " minimisation " de dimension n peut être écrit de
façon générale sous la forme :
Min f ( X ) X  R n

 g i ( X )  0 i  1,......,p
( P) 
h j ( X )  0 j  1,......,q
X
 k min  X k  X k max k  1,....,n
(3.1)
f (X ) est le critère à minimiser appelé fonction objectif ;
X est un vecteur à n variables X k qui représentent les paramètres du problème à optimiser ;
g i (X ) et h j (X ) représentent respectivement les contraintes d’égalités et d’inégalités ;
X k min et X k max désignent les contraintes du domaine ;
R n est l’espace de recherche borné par les contraintes du domaine.
La solution d’un problème d’optimisation est alors donnée par un ensemble de paramètres
X * pour lesquels la fonction objectif présente une valeur minimale en respectant les
contraintes d’égalités, d’inégalités et du domaine.
3.3 Problèmes d’optimisation sans contraintes
Un problème d’optimisation est dit non contraint s’il ne contient pas de fonction contrainte,
c’est-à-dire, si les fonctions g i (X ) et hj (X ) du problème (P) ne sont pas définies, comme dans
le cas du problème ( P ' ) , [HAD 03], [HOA 02], [COS 01] :
Min f ( X ) X  R n
( P )
 X k min  X k  X k max k  1,....,n
'
(3.2)
Une condition suffisante pour que X * soit minimum local d’un problème non contraint est
donnée par (3.3) :
*

f ( X )  0

*

 H ( X ) non négative
63
(3.3)
Chapitre trois
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
où
 : L'opérateur nabla;
f est le gradient de la fonction objectif;
H  2 f est la matrice des dérivées secondes partielles de f , appelée matrice Hessienne.
3.4 Problèmes d’optimisation contraints
Un problème d’optimisation (P) est dit problème contraint s’il contient au moins une
fonction contrainte g i (X ) où h j (X ) , [HAO 02], [COS 01].
Min f ( X ) X  R n

 g i ( X )  0 i  1,......,p
( P) 
h j ( X )  0 j  1,......,q
X
 k min  X k  X k max k  1,....,n
(3.4)
Si nous considérons qu’une contrainte d’égalité h j ( X )  0 peut être décrite par deux
contraintes d’inégalité h j ( X ) 0 et  h j ( X ) 0 , le problème (3.4) devient alors égal à celui
donné par (3.5).
Min f ( X ) X  R n

 g i ( X )  0 i  1,......,m  p  2q
( P)
 X k min  X k  X k max k  1,....,n
 X  R n
(3.5)
L’existence de fonctions contraintes dans un problème d’optimisation demande une
attention spéciale à la résolution du problème, car une solution qui minimise la fonction
objectif ne sera valable que dans le cas où elle respecte aussi les contraintes existantes.
L’ensemble de régions de l’espace de recherche où les contraintes sont vérifiées est
dénommé espace réalisable ou domaine admissible. Inversement, l’espace irréalisable ou
domaine interdit désigne l’ensemble de régions de l’espace où les contraintes sont violées,
[COS 01].
64
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
Chapitre trois
3. 5 Traitement des contraintes
Les contraintes imposées par le cahier des charges comme les contraintes ajoutées par le
concepteur doivent être prises en compte dans le problème. Il y a plusieurs choix pour le
traitement des problèmes avec contraintes. On peut, pour des raisons de robustesse et de facilité
de mise en œuvre transformer un problème contraint en une suite de problème sans contraintes.
Cette transformation s’effectue en ajoutant des pénalités à la fonction objectif [HAD 03].
3.5.1 Méthodes de transformation
Les méthodes de transformation ou indirectes [Saldanha 1992], [Vasconcelos 1994]
représentent une famille de méthodes qui transforment le problème original avec contraintes en
un sous-problème équivalent sans contraintes, en introduisant les contraintes de conception
dans la fonction objectif que nous cherchons à optimiser.
Parmi les méthodes de transformation les plus utilisées, nous avons les méthodes de
pénalités, la méthode du Lagrangien augmenté, la méthode de variables mixtes et la méthode
des asymptotes mobiles, [COS 01].
3.5.1.1 Méthodes de pénalités
Les méthodes de pénalités sont souvent utilisées dans l’optimisation de problèmes
contraints, car elles sont assez simples d’un point de vue théorique et d’une grande efficacité
d’un point de vue pratique.
L’idée de ces méthodes est de remplacer la résolution du problème avec contraintes (3. 5) par
une suite de résolutions de problèmes sans contraintes, en introduisant dans la fonction objectif
une pénalisation concernant chacune des fonctions contraintes violées, comme nous le montre
l’équation (3.6), [SAR 99], [COS 01].
m
Min  ( X , r )  f ( X )  r k W ( g i ( X ))
(3.6)
i 1
où
r k  0 est un coefficient de pénalité.
W est une fonction de pénalisation définie en R  R telle que selon la nature de la fonction de
pénalité W utilisée.
65
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
Chapitre trois
Les méthodes de pénalités peuvent être divisées en deux classes : les méthodes de pénalités
intérieures et les méthodes de pénalités extérieures.
a) Méthodes de pénalités intérieures
Les méthodes de pénalités intérieures développées par Caroll en 1961 sont aussi appelées
méthodes à barrière, car la fonction de pénalité forme une barrière infinie tout au long de la
frontière du domaine réalisable Ψ. Les fonctions de pénalités les plus utilisées par ces méthodes
sont la fonction inverse (3.7) et la fonction logarithmique (3.8), [COS 01], [SAR 99].
La fonction inverse :
W ( g i ( X ))  
1
gi ( X )
(3.7)
La fonction logarithmique :
W ( g i ( X ))   log(  g i ( X ))
(3.8)
Ces méthodes présentent l’inconvénient d’avoir besoin d’un point initial à l’intérieur du
domaine réalisable, ce qui n’est pas toujours facile à obtenir, [COS O1].
En utilisant ces fonctions, lorsque X appartient à  , W (X ) > 0 et lorsque X tend vers sa
frontière, W (X )   . Par conséquent, nous ne pouvons jamais franchir la frontière de Ψ et
les solutions générées par l’algorithme seront donc admissibles pendant tout le processus
d’optimisation.
b) Méthodes de pénalités extérieures
Les méthodes de pénalités extérieures développées par Fiacco en 1968 ne présentent pas le
même inconvénient que les méthodes de pénalités intérieures, car l’approximation de la
solution est faite par l’extérieur du domaine réalisable Ψ, ce qui nous permet d’avoir un point
initial dans cette région de l’espace, [COS 01].
La fonction de pénalité utilisée par ces méthodes est donnée par (3.9). Cette fonction nous
donne une augmentation de la pénalisation à mesure que nous nous éloignons de Ψ, [COS 01],
[SAR 99].
W ( g i ( X ))  max 0, g i ( X )
2
66
(3.9)
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
Chapitre trois
Contrairement aux méthodes de pénalités intérieures, les solutions générées par ces
méthodes ne sont pas toujours admissibles pendant tout le processus d’optimisation. Ceci peut
représenter un inconvénient, surtout lorsque l’algorithme ne converge pas et nous nous
retrouvons alors avec une solution irréalisable.
3.6 Optimisation stochastique avec contraintes
La prise en compte des contraintes dans une méthode d’optimisation stochastique est
souvent obtenue en utilisant une fonction de pénalité associée à la fonction objectif.
Généralement, on utilise une fonction de pénalité extérieure, selon laquelle la fonction à
minimiser devient égale à : [COS 01], [HAD 03].
m
 ( X )  f ( X )  r k [ max[0, g i ( X )]]2
(3.10)
i 1
où
f (X ) : fonction objectif sans contraintes;
g i (X ) : fonctions contraintes;
r : le coefficient de pénalité.
Contrairement aux méthodes de transformation déterministes, la valeur du coefficient de
pénalité r reste constante pendant le processus d'optimisation stochastique.
3.7 Minimum local et minimum global
Un point X * de l’espace de recherche R n représente un minimum local ou optimum local,
s’il existe un voisinage de X * noté V ( X * ) , tel que:
 X  V (X *)
f (X )  f (X *)
(3.11)
Cette relation signifie que dans le voisinage de X * , il n’existe aucun point pour lequel f (X )
est inférieure à f ( X * ) .
Un point X * de l’espace de recherche R n est un minimum global ou optimum global si:
 X R n
f (X )  f (X *)
(3.12)
Nous pouvons dire aussi que le minimum global est le plus petit minimum local de l’espace
de recherche, comme le montre la figure (3.1).
67
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
Chapitre trois
F(X)
Minimum Local
Minimum Local
Minimum Global
X
Fig. (3.1) Représentation du minimum local et global d’une fonction
Lorsqu’une fonction ne contient qu’un minimum local, elle est dite unimodale. Dans le cas
contraire, elle est dénommée multimodale.
3.8 Classification des méthodes d'optimisation
Les méthodes d'optimisation sont subdivisées en deux types : les méthodes déterministes et
les méthodes stochastiques.
3.8.1 Méthodes d’optimisation déterministes
Une méthode d’optimisation est dite déterministe lorsque son évolution vers la solution du
problème est toujours la même pour un même point initial donné, ne laissant aucune place au
hasard. Ces méthodes nécessitent des hypothèses sur la fonction à optimiser, telles que la
continuité et la dérivabilité en tout point du domaine admissible. Ce sont en général des
méthodes efficaces, peu coûteuses, mais qui nécessitent une configuration initiale (point de
départ) pour résoudre le problème. Ce sont souvent des méthodes locales, c’est-à-dire qu’elles
convergent vers l’optimum le plus proche du point de départ, qu’il soit local ou global [NTS
11], [COS 01].
68
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
Chapitre trois
3.8.1.1 Méthodes déterministes unidimensionnelles
Les méthodes déterministes unidimensionnelles sont utilisées dans l’optimisation de
fonctions à un seul paramètre. Ces méthodes, aussi appelées méthodes de recherche linéaire
(line search methods), sont normalement basées sur des techniques qui permettent de localiser
le point minimal de la fonction à partir de réductions successives de l’intervalle de recherche.
Dans la littérature, nous trouvons différentes méthodes unidimensionnelles, parmi lesquelles
nous allons présenter la méthode de Dichotomie, la méthode de la Section Dorée et la méthode
de Brent. La plupart de ces méthodes ne supposent pas que la fonction à minimiser soit
différentiable, [COS 01].
a) Méthode de Dichotomie
La méthode de Dichotomie classique est une méthode unidimensionnelle de subdivision
d’intervalles. La méthode de dichotomie ou méthode de la bissection est, en mathématiques, un
algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction qui consiste à répéter des partages d’un
intervalle en deux parties puis à sélectionner le sous-intervalle dans lequel existe un zéro de la
fonction, [SAR 99].
b) Méthode de la section dorée
La méthode de la Section Dorée développé par Culioli en 1994, est une méthode
déterministe unidimensionnelle de subdivision d’intervalles. Le principe de cette méthode
consiste à découper l'intervalle de recherche [a0, b0].
Le point de découpage utilisé à chaque itération est donné par une distance égale à ((5)1/ 2
−1) / 2 ≈ 0.6180 du point initial de l’intervalle de recherche. Cette valeur est égale à l’inverse
du nombre d’or ((5)1/
2
+1) / 2 ≈ 1.6180 et son utilisation permet d’obtenir une série de
solutions qui accélère la convergence de la méthode, [COS 01], [SAR 99].
c) Méthode de Brent
La méthode de Brent effectue la réduction de l’intervalle de recherche en utilisant une
interpolation polynomiale de la fonction, calculée aussi à partir d’un triplet (x 1, x2, x3). Dans
cette méthode, le point de découpage est donné par l’abscisse de la parabole définie par le
triplet.
69
Chapitre trois
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
Dans le cas de fonctions différentiables, nous pouvons utiliser une variante de cette méthode
qui s’appuie sur le gradient de la fonction pour accélérer la convergence du processus de
recherche, [COS 01].
3.8.1.2 Méthodes déterministes multidimensionnelles
Les méthodes déterministes multidimensionnelles sont consacrées à l’optimisation de
fonctions à un paramètre ou plus. Elles peuvent être classées selon l’utilisation de l’information
des dérivées de la fonction objectif par rapport aux paramètres X k . Elles sont dites directes ou
d’ordre 0 si elles n’utilisent que l’information de la valeur de la fonction elle-même. Dans le
cas où elles nécessitent aussi le calcul du gradient de la fonction, elles sont dites indirectes ou
d’ordre 1, [HOA 02].
Les méthodes d’ordre 0 sont en général peu précises et convergent très lentement vers
l’optimum. En revanche, elles offrent l’avantage de se passer du calcul du gradient, ce qui peut
être intéressant lorsque la fonction n’est pas différentiable ou lorsque le calcul de son gradient
représente un coût important.
Les méthodes d’ordre 1 permettent d’accélérer la localisation du point d’optimisation, une
fois que le gradient donne l’information sur la direction de recherche de la solution. Par contre,
elles sont applicables uniquement aux problèmes où la fonction est continûment différentiable.
Nous pouvons diviser les méthodes multidimensionnelles, qu’elles soient directes ou indirectes,
en deux différents groupes: les méthodes analytiques ou de descente et les méthodes
heuristiques ou géométriques.
Les méthodes analytiques se basent sur la connaissance d’une direction de recherche
souvent donnée par le gradient de la fonction. La plupart de ces méthodes sont d’ordre 1 et
exécutent des minimisations linéaires successives en faisant appel à des méthodes
unidimensionnelles. Les exemples les plus significatifs de méthodes analytiques sont la
méthode de la Plus Grande Pente, le Gradient Conjugué, la méthode de Powell et les méthodes
Quasi- Newton [CUL 94], [FLE 87].
Les méthodes heuristiques explorent l’espace par essais successifs en recherchant les
directions les plus favorables. À l’opposé des méthodes analytiques, la plupart de ces méthodes
sont d’ordre 0. Les implémentations de méthodes géométriques les plus souvent utilisées sont
celles de la méthode du Simplex, la méthode de Rosenbrock et la méthode de variations locales
de Hooke et Jeeves, [COS 01].
70
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
Chapitre trois
La figure (3.2) montre les méthodes multidimensionnelles les plus importantes avec leur
ordre respectif de résolution.
Méthodes de
Powell
Plus Grande Pente
(ordre1)
Méthodes
Analytiques
Gradient Conjugué
(ordre1)
Méthodes Déterministes
Multidimensionnelles
Méthode de Quasi
Newton (ordre1)
Rosenbrock
(ordre 0)
Simplex
(ordre 0)
Méthodes
Heuristiques
Hooke et Jeeves
(ordre 0)
Fig. (3.2) Principales méthodes déterministes multidimensionnelles [COS 01]
a) Méthode de la plus grande pente
La méthode de la plus grande pente (Steepest Descent) ou méthode du gradient à Pas
Optimal est une des méthodes les plus classiques utilisées pour minimiser une fonction à
plusieurs variables. Cette méthode d’ordre 1 est basée sur la constatation que la direction
opposée à celle du gradient de la fonction représente une direction de descente, [COS01].
Nous pouvons donc, à partir d’un point initial X 0 , calculer la valeur du gradient et utiliser
une méthode de recherche linéaire pour minimiser la fonction dans la direction de descente
opposée. Cette minimisation permet de calculer la valeur du pas optimal αk qui nous emmène à
un nouveau point de recherche à chaque itération du processus, en utilisant l’équation (3.13).
X k 1  X k   k f ( X k )
où
71
(3.13)
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
Chapitre trois
X k : est le point de recherche à l’itération k ;
X k 1 : est le nouveau point de recherche calculé à partir de la minimisation de f dans la
direction opposée à son gradient. Le processus s’arrête lorsque X k 1  X k   ,  étant une
tolérance prédéterminée.
b) Gradient conjugué
Le gradient conjugué [COS 01], [CUL 94], [FLE 87] utilise le même principe que la
méthode précédente, à la différence que la direction de descente n’est plus donnée par le
gradient de la fonction, mais par des directions conjuguées successives.
Les directions conjuguées peuvent être obtenues directement à partir du Hessien de la fonction
objectif. Cependant, ce calcul peut représenter un coût important pour la méthode
d’optimisation. Pour éviter ce problème, la méthode du Gradient Conjugué effectue le calcul
des directions conjuguées à partir des équations (3.14) et (3.15) [COS 01].
hk 1  gk 1  k .hk
(3.14)
g k 1 . g k 1
gk . gk
(3.15)
k 
où
hk et hk+1 sont des directions conjuguées ;
gk et gk+1 sont les directions opposées aux gradients calculés sur les points X k et X k 1
respectivement.
Ce calcul est uniquement valable si le point X k 1 est obtenu à partir d’une minimisation
linéaire où hk représente la direction de recherche [COS 01], comme nous montre l’équation
(3.16)
X k 1  X k   k .hk
(3.16)
où
 k : est le pas optimal donné par une minimisation linéaire.
c) Méthodes Quasi-Newton
Les méthodes Quasi-Newton [COS 01], [CUL 94] et [FLE 87] consistent à imiter la
méthode de Newton où l’optimisation d’une fonction est obtenue à partir de minimisations
successives de son approximation au second ordre.
À la différence de l’algorithme de Newton, les méthodes Quasi-Newton ne calculent pas le
Hessien H de la fonction pour atteindre la solution du problème. Au lieu d’utiliser le Hessien,
72
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
Chapitre trois
elles utilisent une approximation définie positive de H qui peut être obtenue soit à partir de
l’expression proposée par Davidon-Fletcher-Powell, (équation (3.17)), soit par celle proposée
par Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (équation (3.18)), [COS 01], [HAD 03].
S k 1  S k 
S k 1
 k ( k ) T S k  k ( k ) T S k

( k ) k  k
( k ) k S k  k
( k ) T  k  k  k ( k ) T S k ( k ) T S k  S k  k ( k ) T
 S k  (1 
)

( k ) k  k
( ) T  k
( k ) k  k
(3.17)
(3.18)
où
 k  X k 1  X k
 k  f ( X k 1 )  f ( X k )
(3.19)
(3.20)
Sk est l’approximation du Hessien qui, à l’itération k = 0, est égale à une matrice identité. À
chaque itération, le point X k 1 est obtenu à partir d’une recherche linéaire qui se fait dans la
direction donnée par S k f ( X k ) , ce qui nous emmène à l’équation (3.21) [COS 01].
X k 1  X k   k S k f ( X k )
(3.21)
où
αk est le pas optimal donné par une minimisation linéaire.
d) Méthode du simplex
La méthode du Simplex est une méthode directe développée par Nelder et Mead, dont l’idée
est de modifier un simplex de façon à ce qu’il atteigne le point d’optimisation. Le simplex est
une figure géométrique de dimension n, créée à partir de n+1 points, où chaque dimension
correspond à un paramètre du problème à optimiser. Un simplex de deux dimensions est donc
représenté par un triangle, un simplex de trois dimensions par un tétraèdre, etc.
Pour déplacer le simplex vers la région optimale, la méthode vérifie la valeur de la fonction
sur chacun des sommets du simplex original et déplace le point où la fonction présente sa plus
grande valeur vers la direction opposée. Cette transformation s’appelle réflexion et elle est
appliquée de façon à conserver le volume original du simplex.
Le processus s’arrête au moment où le déplacement donné par une des transformations
devient plus petit qu’une tolérance ε prédéterminée. Ainsi comme d’autres méthodes
géométriques, la méthode du Simplex n’est pas assez performante, car elle utilise un nombre
73
Chapitre trois
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
important d’évaluations de la fonction avant d’atteindre le point minimal. Par contre, elle
présente l’avantage de ne pas utiliser la valeur du gradient de la fonction, [COS 01].
Les méthodes déterministes (gradient) présentent toutefois deux avantages très intéressants.
Le premier est qu’elles convergent rapidement surtout quand on dispose d’une expression
symbolique exacte des dérivées partielles. Le second est qu’elles possèdent des critères de
convergences exactes. Il est donc possible de dire avec quelle précision un optimum est atteint.
Ceci permet d’obtenir de bonnes solutions en ajustant la précision de convergence.
Comme leur nom l’indique, pour un problème donné et pour un point de départ donné, ces
méthodes convergent toujours vers le même optimum en parcourant de la même manière
l’espace des solutions. Ces méthodes présentent principalement deux inconvénients :
 Elles nécessitent le calcul des dérivées partielles qui ne sont pas toujours évidentes à
obtenir notamment dans les cas de modèles numériques où leur évaluation par
différences finie n’est pas aisée.
 Elles ne garantissent réellement qu’une convergence « locale » et se laissent aisément «
piégées » par des optimas locaux dans le cas de problèmes multinodaux. Cette
caractéristique oblige généralement le concepteur à réaliser plusieurs optimisations avec
des configurations initiales distinctes pour s’assurer de la convergence, [COS 01], [SAR
99].
3.8.2 Méthodes stochastiques
3.8.2.1 Principe d'un algorithme stochastique
Se sont des méthodes où l'approche de l'optimum est entièrement guidée par un processus
probabiliste et aléatoire (stochastique). Ces méthodes ont une grande capacité de trouver
l’optimum global du problème. Contrairement à la plupart des méthodes déterministes, elles ne
nécessitent ni de point de départ, ni la connaissance du gradient de la fonction objectif pour
atteindre la solution optimale. Cependant, elles demandent un nombre important d’évaluations
de la fonction objectif avant d’arriver à la solution du problème, [HOL 75], [DEJ 75].
Parmi les méthodes stochastiques les plus employées, nous distinguons le recuit simulé
développé par Kirkpatrick en 1983, la recherche tabou développée par Glover en 1989 et 1990
et par Hu en 1992 et les méthodes évolutionnistes comme les Algorithmes Génétiques
développés par Holland en 1975.
La figure (3.3) présente les méthodes stochastiques les plus utilisées.
74
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
Chapitre trois
Recuit Simulé
Algorithmes
Génétiques
Méthodes
Stochastiques
Méthodes
Evolutionnistes
Stratégies
d’Evolution
Programmation
Génétique
Programmation
Evolutionniste
Recherche Tabou
Fig. (3.3) Principales méthodes stochastiques [COS 01]
La plupart des algorithmes stochastiques sont itératifs et leurs processus comportent trois
éléments principaux : un mécanisme de perturbation, un critère d'acceptation et un critère
d'arrêt.
3.8.2.2 Méthode de recuit simulé (simulated annealing )
La méthode du recuit simulé a été proposée en 1983 par Kirkpatrick, Gelatt et Vecchi, elle
trouve ses origines dans la thermodynamique. Cette méthode est issue d'un phénomène
physique de refroidissement lent d'un corps en fusion, qui le conduit à un état solide, de basse
énergie. Il faut abaisser lentement la température, en marquant des paliers suffisamment lents
pour que le corps atteigne l'équilibre thermodynamique à chaque palier.
Pour les matériaux, cette énergie basse se manifeste par l'obtention d'une structure cristalline,
comme dans l'acier, [BER 01], [KIR 83].
L’optimisation par la méthode du recuit simulé consiste à trouver le minimum d’une
fonction objectif qui jouera le rôle de l’énergie. En partant d’un point aléatoire appartenant au
domaine admissible et pour une température initiale, on évalue la fonction au point initial puis
on effectue des déplacements aléatoires au voisinage de ce point. Si un déplacement mène à
une valeur plus faible de la fonction f, il est accepté. Sinon, il est accepté avec une probabilité P
75
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
Chapitre trois
donnée par (3.22), ce qui provoque un changement de l’énergie d’une quantité ΔE, [SIA 97],
[COS01].
pe
 E
T
(3.22)
où
T est la température du système.
Donc, le fait d'accepter une augmentation de la fonction objectif, va permettre à l'algorithme de
sortir d'un creux contenant un optimum local; ce qui qualifie cette méthode comme étant une
méthode d'exploration globale.
Si la température est abaissée de façon suffisamment lente et bien contrôlée (recuit simulé), la
fonction objectif va évoluer vers une solution globalement optimale. Cette dernière va évoluer
vers un minimum local si elle est abaissée brutalement (la trempe).
Le processus se poursuit tant que l’énergie du système diminue. Lorsque la valeur de la
fonction objectif ne change plus (l’énergie reste stationnaire), le processus passe à un autre
palier de température (diminution de T suivant une loi de décroissance) jusqu’à l’arrivée à la
température finale ou le système devient figé, [GHI 02].
3.8.2.3 Algorithme du recuit simulé
L’analogie entre un système physique constitué de plusieurs particules et un problème
d’optimisation est basée sur les équivalences suivantes :
 Les configurations d’un problème d’optimisation sont équivalentes aux états d’un
système physique.
 La fonction objectif est équivalente à l’énergie interne du système physique.
Ces équivalences sont résumées dans le tableau (3.1)
Tab. 3.1 Analogie entre un problème d’optimisation et le recuit [COS 01]
Système Physique
Problème D’optimisation
Energie libre
Fonction objective
Coordonnées des particules
Paramètres du problème
Trouver les états de basse énergie
Trouver la configuration optimale
Température (T)
Paramètre de Contrôle
76
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
Chapitre trois
L’algorithme du recuit simulé peut être considéré, comme une évaluation itérative de
l’algorithme de Métropolis [COS01] (Annexe 1), à différents paliers de température.
Nous présentons, ci-dessus, les différentes étapes de l’algorithme du recuit simulé :
1. Prendre aléatoirement, une configuration initiale X du système à optimiser et évaluer la
valeur de la fonction objectif en ce point: f  f (X ) ;
2. Choisir une température initiale T0 "élevée".
3. Perturber cette solution pour obtenir une nouvelle solution X  X  rand .X
'
avec rand : est un nombre aléatoire généré. et
X 
(butée sup X  butée inf X )
n
n  10,100,......
4. Calculer f  f ( X )  f ( X ) ;
'
5. Accepter ou refuser la solution X ', en appliquant une certaine "règle
d'acceptation"(généralement, la règle de métropolis), [SIA 01];
6. Enregistrer le meilleur point rencontré;
7. Si l'équilibre thermodynamique du système à la température T est atteint, Alors :
Abaisser légèrement la température T;
Sinon: Aller à l'étape3;
8. Si le "système est figé" (la température T est égale à la température finale) ;
Alors: Aller à l'étape 9;
Sinon: Aller à l'étape 3);
9. Solution = meilleur point trouvé; Fin du programme.
3.8.2.4 Paramètres de contrôle
L'efficacité de la méthode dépend fortement du choix de ses paramètres de contrôle, dont le
réglage reste empirique. Les principaux paramètres de contrôle sont les suivants:
 valeur initiale du paramètre de contrôle T0 (température initiale);
 facteur de réduction de la température (fonction de décroissance de la température) ;
 le critère de changement de palier de température (nombre d'itérations sur chaque
valeur de température) ;
 les critères d'arrêt.
77
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
Chapitre trois
a) Paramètre de contrôle initial (température)
Dans le processus physique, le solide doit être chauffé jusqu'à ce qu'il fonde pour que, dans
la phase liquide, les atomes ou particules puissent se déplacer et atteindre l'équilibre thermique.
Dans l'algorithme SA, le paramètre de contrôle initial doit être suffisamment élevé pour
permettre à toutes les transitions d'être acceptées, c'est-à-dire pour permettre la localisation de
la région où se trouve le minimum global.
La température initiale T0 est déterminée pour que le critère de Métropolis donne des
probabilités élevées au début du processus dans le but d'accepter le maximum de
configurations, d’où une meilleure exploration du domaine de recherche. La méthode proposée
dans la littérature consiste à générer un certain nombre de configurations X aléatoires pour
lesquelles on évalue la fonction objectif. Soit M la valeur moyenne, c'est à dire la valeur qui
partage la distribution en deux parties égales [SIA01], d’où une probabilité égale à 0.5.
Finalement, on déduit la température initiale à partir du critère de Métropolis par:
pe
M
T0
 0.5
M
Log p  
T0
M
T0  
Log p
(3.23)
T0  1.44.M
(3.26)
(3.24)
(3.25)
donc:
b) Facteur de réduction de la température
La valeur du facteur responsable de la réduction du paramètre de contrôle entre deux
itérations successives. Le refroidissement doit être conduit comme dans le processus physique
pour éviter des minimas locaux.
Pour ce faire, on peut prendre une décroissance linéaire de la forme (3.27) :
Tk 1  Tk
(3.27)
avec
0 < λ < 1 [SIA 01].
Pour le changement de palier de température, on peut simplement spécifier un nombre de
transformations, acceptées ou non, au bout duquel la température est abaissée.
78
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
Chapitre trois
c) Critère d'arrêt
Finalement, on arrête le processus de recherche du minimum quand des améliorations
sensibles ne sont plus réalisées, ou quand le paramètre de contrôle est inférieur à une certaine
limite.
La méthode de recuit simulé présente des avantages tels que :
 Solution de bonne qualité;
 Méthode générale et facile à programmer;
 Souplesse d’emploi : les contraintes peuvent être facilement introduites.
La figure (3.4) illustre le processus de recherche de l'optimum global d'une fonction par la
méthode du recuit simulé.
Générer une configuration aléatoire X0
et une température initiale T0
Choisir Xk+1 dans le voisinage de Xk
Calculer ΔE = f(Xk+1) - f(Xk)
Générer un nombre aléatoire p
Non
e

E
T
p
Oui
X =X
k
k+1
Non
Equilibre
Oui
Abaisser Tk
Non
T  T final
Oui
Meilleure configuration obtenue
Fig. (3.4) Processus de recherche de l'optimum global par la
méthode de recuit simulé
79
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
Chapitre trois
3.8.3 Recherche Tabou (Tabu Search )
La recherche tabou est une méthode de recherche originalement développée par Glover et
Hansen en 1986. Elle ermet d’atteindre le minimum global d’un problème d’optimisation à
partir d’une analogie avec la mémoire du cerveau humain, [GLO 93], [COS 01], [BRI 07].
À partir d’une solution initiale s dans un ensemble de solutions local S, des sous-ensembles
de solution N(s) appartenant au voisinage S sont générés. Par l’intermédiaire de la fonction
d’évaluation nous retenons la solution qui améliore la valeur de f, choisie parmi l’ensemble de
solutions voisines N(s). L’algorithme accepte parfois des solutions qui n’améliorent pas
toujours la solution courante. Nous mettons en œuvre une liste tabou (tabu list) L de longueur k
contenant les k dernières solutions visitées, ce qui ne donne pas la possibilité à une solution
déjà trouvée d’être acceptée et stockée dans la liste tabou. Alors le choix de la prochaine
solution est effectué sur un ensemble des solutions voisines en dehors des éléments de cette
liste tabou. Quand le nombre k est atteint, chaque nouvelle solution sélectionnée remplace la
plus ancienne dans la liste. La nouveauté ici est que, pour éviter le risque de retour à une
configuration déjà visitée, on tient à jour une liste de mouvements interdits (ou de solutions
interdites). Le rôle de cette dernière évolue au cours de la résolution pour passer de
l’exploration (aussi appelée « diversification ») à l’exploitation également appelée
«
intensification », [ELD 12].
La procédure peut être stoppée dès que l’on a effectué un nombre donné d’itérations, sans
améliorer la meilleure solution atteinte, [BER 01].
L’algorithme de la méthode tabou est décrit ci-dessous, [GHE13].
Tab. 3.2 Algorithme de la recherche tabou
Début
Construire une solution initiale s;
Calculer la fitness f(s) de s;
Initialiser une liste tabou vide;
sbest=s ;
Tant que le critère d’arrêt n’est pas vérifié faire;
Trouver la meilleure solution s’ dans le voisinage de s qui
ne soit pas tabou;
80
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
Chapitre trois
Calculer f(s) ;
Si fitness de (s) est meilleure que fitness de (sbest) alors
sbest = s;
Fin Si
Mettre à jour la liste tabou;
s= s;
Fin Tant que
Retourner sbest ;
Fin
3.8.4 Les algorithmes génétiques (AG)
Les Algorithmes Génétiques font partie d’une famille de méthodes stochastiques appelée
méthodes évolutionnistes qui reposent sur une analogie avec la théorie de l’évolution naturelle
de Darwin, selon laquelle les individus d’une population les mieux adaptés à leur
environnement ont une plus grande probabilité de survivre et de se reproduire de génération en
génération, en donnant des descendants encore mieux adaptés.
Les Algorithmes Génétiques ont été proposés par Holland en 1975, puis développés par
d’autres chercheurs. Ils sont actuellement une des méthodes les plus diffusées et les plus
utilisées dans la résolution de problèmes d’optimisation dans de nombreux domaines
d’application, [COS 01], [TAI 02], [SAL 97], [ZAO 99], [TAI 01].
3.8.4.1 Principe de fonctionnement
Dans les AG, l’ensemble des paramètres du problème à optimiser est défini comme étant un
individu. Un individu représente une solution particulière au problème à optimiser. Un
ensemble d’individus donne naissance à la population. La population représente donc un
ensemble de solutions du problème à optimiser. Elle représente aussi un ensemble de
différentes configurations de paramètres, donc un sous espace de recherche.
L’adaptation à l’environnement est donnée par la valeur retournée de la fonction objectif.
Les générations sont représentées par les itérations du processus d’optimisation.
Chaque nouvelle génération ou nouvelle itération comprend une nouvelle population donc une
nouvelle configuration d’individus alors un nouveau sous espace de recherche.
81
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
Chapitre trois
Le tableau 3.3 présente l’analogie entre les AG et la théorie d’évolution naturelle, [COS 01].
Tab. 3.3 Analogie entre les AG et la théorie d’évolution naturelle
Théorie d’Évolution Naturelle
Algorithmes Génétiques
Individu
Ensemble de paramètres
Population
Ensemble d’individus
Environnement
Espace de recherche
Adaptation de l’individu
Évaluation de la fonction objectif
Générations
Itérations de la méthode
Les algorithmes génétiques se basent sur quatre éléments principaux qui sont : l’évaluation,
la sélection, le croisement et la mutation.
Après l’initialisation aléatoire de la première population d’individus qui définit la première
génération, on répète successivement les quatre étapes suivantes :
1. L’évaluation des individus par le calcul de leurs fonctions objectifs (mesure de
l’adaptation).
2. La sélection des individus reproducteurs : théoriquement les individus qui s’adaptent le
mieux à l’environnement défini par la fonction objectif.
3. Application de l’opérateur de croisement. Cet opérateur permet l’exploration de l’espace
de recherche.
4. Application de l’opérateur de mutation. Cet opérateur joue un double rôle : explorer
l’espace de recherche qui n’a pas pu être atteint par l’opérateur de croisement et réaliser
une recherche locale, très proche de la solution en cours.
A la fin de l’étape quatre nous obtiendrons une nouvelle population. Cette population
constitue l’ensemble d’individus de la génération (itération) qui suit.
Quelques individus se reproduisent, d’autres disparaissent et seuls les individus les mieux
adaptés sont supposés survivre. On recommence ce cycle jusqu’à ce qu’on trouve une solution
satisfaisante. En effet, l’héritage génétique à travers les générations permet à la population
d’être adaptée et donc répondre au critère d’optimisation, [DOU 13].
82
Chapitre trois
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
Ces quatre étapes sont répétées autant de fois qu’il y a besoin de générations pour satisfaire
un critère d’arrêt. Celui-ci est défini avant que le processus commence. La solution est alors
représentée par le meilleur individu de la dernière génération.
La figure (3.5) illustre les principales étapes des algorithmes génétiques.
Génération aléatoire de la
première population notée P (t)
de N individu
Mesure de l'adaptation de
chaque individu de la population
Sélection des individus appelés
à se reproduire (nouvelle
population intermédiaire de N
individus)
Application de l'opérateur de
Croisement
Application de l'opérateur de
Mutation
Obtention d'une nouvelle
population
P(t+1)
Mesure de l'adaptation des
individus de la nouvelle
population
Nombre
maximum de
générations
attendues
Non
Oui
Meilleure configuration obtenue
Fig. (3.5) Processus d’optimisation par les algorithmes génétiques
83
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
Chapitre trois
L’algorithme de résolution commence par :
a) la création d’une population P de taille N >0 constituée par des individus générés
aléatoirement ;
b) la mesure de l’adaptation de chacun des individus de P à partir de la valeur de la
fonction objectif évaluée sur eux ;
c) la prochaine étape du processus consiste à faire évoluer cette population vers une
population plus adaptée à chaque génération, en utilisant trois différents opérateurs: la
sélection, le croisement et la mutation. Lorsque nous n’avons plus d’amélioration dans
l’adaptation des individus de la population, l’algorithme s’arrête.
3.8.4.2 Mise en œuvre de la procédure des Algorithmes Génétiques
La mise en œuvre de la procédure des algorithmes génétiques nécessite en premier lieu la
modélisation de l’ensemble des étapes qui la constituent. C'est-à-dire les étapes qui sont
illustrées par l’organigramme de la figure (3.5). Cette modélisation consiste en la traduction
mathématique des différents passages de la procédure. Dans ce qui suit nous développons les
différents outils permettant la modélisation et la mise en œuvre de la procédure des AG.
a) Codage des individus
Dans l’algorithme génétique de base, tel qu’il a été fondé par Holland, les gènes (paramètres
à optimiser) sont formés de 1 et 0. Dans ce cas, chaque paramètre réel est codée par son
équivalent en binaire et l’individu obtenu est représenté par une chaîne codée de plusieurs
gènes (paramètres) représentant une solution particulière pour la fonction objectif, figure (3.6b)
[COS 01].
De nouvelles versions d’AG sont apparues [COS 01]. Elles ne se basent plus sur le codage
binaire mais elles travaillent directement sur les paramètres réels. Ces versions sont appelées
algorithmes génétiques codés réels figure (3.6a).
Un gène=paramètre
X1
1001
Individu
X2
X3
0011
1011
X4
…………………….
1101
………………………
Fig. (3.6) Représentation d'un individu;
6a codage réel,
6b codage binaire [TAI 02]
84
Xn
(3.7a)
0001
(3.7b)
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
Chapitre trois
b) Génération de la population initiale
Le choix de la population initiale d’individus conditionne fortement la rapidité de
l’algorithme. Néanmoins, une initialisation aléatoire est plus simple à réaliser : les valeurs des
gènes sont tirées au hasard selon une distribution uniforme. Toutefois, il peut être utile de
guider la génération initiale vers des sous domaines intéressants de l’espace de recherche. Par
exemple lors d’une recherche d’optima dans un problème d’optimisation sous contraintes, il est
préférable de produire des éléments satisfaisant les contraintes. La population initiale doit être
suffisamment diversifiée et de taille assez importante pour que la recherche puisse parcourir
l’espace d’état dans un temps limité, [DOU 13].
c) L’évaluation
La fonction d’adaptation, évaluation, ou fitness, associe une valeur pour chaque individu.
Cette valeur a pour but d´évaluer si un individu est mieux adapté qu’un autre à son
environnement. Aucune règle n’existe pour définir cette fonction la manière la plus simple est
de poser la fonction d’adaptation comme la formalisation du critère d’optimisation.
d) La Sélection
L’opérateur de sélection est appliqué sur la population courante de façon à sélectionner les
individus qui iront former la population de la prochaine génération. La sélection de ces
individus est basée sur leur valeur d’adaptation. Ainsi, les individus les plus adaptés sont
généralement sélectionnés pour constituer la génération suivante, alors que les plus faibles sont
exclus sans avoir la possibilité d’avoir des descendants. Il existe différentes façons
d’implémenter un opérateur de sélection, parmi lesquelles nous trouvons : la sélection
uniforme, la sélection par tournoi, proportionnelle et la sélection par rang, [COS 01].
 Sélection uniforme
On ne s’intéresse pas à la valeur d’adaptation fitness et la sélection s’effectue d’une manière
aléatoire et uniforme tel que chaque individu i a la même probabilité comme tous les autres
individus donnée par :
Prob (i ) 
1
T pop
T pop est la taille de la population.
85
(3.28)
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
Chapitre trois
 Sélection par tournoi
On sélectionne aléatoirement deux individus, on compare leurs fonctions d’évaluation et le mieux
adapté est sélectionné.
 Sélection par rang
Dans la sélection par rang [TAI02], [HOA02], on calcule la valeur de Pi en fonction du
rang R j que l’individu occupe dans la population. Cette valeur de R j est obtenue à partir d’une
liste où les meilleurs individus sont dans les premières positions ( R proche de 1), tandis que
les moins performants y occupent les dernières ( R proche de N).
La valeur de Pi est attribuée à chaque individu selon son rang par la relation :
Pj 
psel ( N  1)  ( R j  1).(2 psel  2)
N ( N  1)
(3.29)
La quantité R j représente le rang de l’individu j, N le nombre d’individus et psel la pression de
sélection. psel appartient à l’intervalle [1 2]. La quantité N.pj donne le nombre moyen
d’enfants pour chaque individu du rang j.
La deuxième étape du processus de sélection consiste à convertir la valeur du pj de chaque
individu en un nombre de descendants que chacun d'entre eux aura effectivement dans
prochaine génération. Cette conversion est obtenue à l’aide d’un algorithme d’échantillonnage
qui transforme les valeurs réelles des pj en valeurs entières [COS 01].
 Élitisme
Cette méthode de sélection permet de favoriser les meilleurs individus de la population. Ce
sont donc les individus les plus prometteurs qui vont participer à l’amélioration de notre
population. On peut constater que cette méthode induisait une convergence prématurée de
l’algorithme, [DOU 13].
e) Reproduction
Une fois
l’étape de sélection est achevée, l’algorithme poursuit sa recherche par
l’application des opérateurs de croisement et de mutation. L’opérateur de croisement joue le
86
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
Chapitre trois
rôle de recombinaison et d’échange entre certains individus. Quand a l’opérateur de mutation,
il modifie localement un individu, en échangeant sa composition, [TAI02].
 Croisement
L’opérateur de croisement est utilisé pour échanger les caractéristiques “génétiques” entre
les différents individus d’une génération quelconque. Cet échange s’effectue en choisissant
deux individus au hasard (parents) qui seront “croisés” avec une certaine probabilité de
croisement pc, de façon à générer deux nouveaux individus (enfants). Les enfants remplaceront
leurs parents et formeront la nouvelle population intermédiaire.
Dans le cas d’un codage réel des individus, le “croisement” peut être obtenu à partir d’un
simple échange de paramètres entre les deux parents, comme le montre la figure (3.7). La zone
de croisement, au niveau de la paire d’individus (parents), est choisie aléatoirement, [TAI 02].
Un site de coupe
I1
X11
X12
I2
X21
X22
X13
X23
X14
X15
X24
X25
I'1
X16
X26
I’2
X11
X21
X12
X23
X24
X25
X26
X22
X13
X14
X15
X16
Fig. (3.7) Processus de croisement
Le croisement représenté sur la figure (3.7) est du type 1-point. Nous avons encore d’autres
implémentations de croisement, tels que le type 2-points, le croisement uniforme, le croisement
non uniforme et le croisement arithmétique [HOA 02]. Malgré ces différentes façons de
“croiser” les individus, le but de ces opérateurs reste toujours la conquête de nouvelles régions
de l’espace de recherche à partir de l’échange de caractéristiques entre les individus de la même
population.
 Mutation
L’opérateur de mutation est appliqué sur les individus d’une population de façon à obtenir
d’autres individus avec des nouvelles caractéristiques “génétiques”. Dans le cas d’un codage
réel, le mécanisme de mutation peut être implémenté en choisissant un individu de la
génération courante au hasard et en modifiant un de ses paramètres aléatoirement avec une
probabilité de mutation pm. Ce mécanisme est dénommé mutation uniforme, [TAI02].
87
Chapitre trois
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
En utilisant les trois opérateurs que nous venons de décrire, les meilleurs individus se
propagent de génération en génération, en se combinant ou en échangeant leurs meilleures
caractéristiques. En favorisant les meilleurs individus, les régions les plus prometteuses de
l’espace de recherche sont explorées, ce qui permet d’atteindre la niche de l’optimum global.
L’efficacité des algorithmes génétiques dépend fortement du réglage des différents paramètres
caractérisant ces algorithmes et qui sont parfois difficiles à déterminer. Des paramètres comme
la taille de la population, le nombre maximal des générations, la probabilité de mutation pm, et
la probabilité de croisement pc [DOU 13].
Les deux premiers paramètres dépendent directement de la nature du problème et de sa
complexité et leurs choix doit représenter un compromis entre la qualité des solutions et le
temps d’exécution.
La probabilité de croisement pc est liée à la forme de la fonction dévaluation. Son choix est
en général heuristique. Plus sa valeur est élevée, plus la population subit des changements
importants. La probabilité de mutation pm est généralement faible puisqu’un taux élevé risque
de conduire vers un optimum local. En revanche, une probabilité faible permet d’assurer une
bonne exploration de l’espace de recherche sans perturber la convergence. Le succès des
algorithmes génétiques dépend aussi de la manière du codage des individus.
3.8.5 Méthode PSO
La méthode Particle swarm optimization (PSO) ou optimisation par essaim de particules est
une méthode d’optimisation fondée sur une population stochastique de points initialement
répartis sur un domaine de recherche. Cette méthode a été publiée la première fois par Kennedy
et Eberhart en 1995. L’algorithme PSO est inspiré du comportement social d’animaux évoluant
en essaim, tels que les poissons qui se déplacent ou les oiseaux migrateurs. En effet, on peut
observer chez ces animaux des dynamiques de déplacement relativement complexes, alors
qu'individuellement chaque individu a une intelligence limitée et une connaissance seulement
locale de sa situation dans l'essaim. L'intelligence globale de l'essaim est donc la conséquence
directe des interactions locales entre les différentes particules de l'essaim. La performance du
système entier est supérieure de la somme des performances de ses parties. Kennedy et
Eberhart se sont inspirés de ces comportements sociaux pour créer l’algorithme PSO.
Contrairement aux autres algorithmes évolutionnaires tels que les algorithmes génétiques où la
recherche de la solution optimale évolue par compétition entre les individus en utilisant des
88
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
Chapitre trois
opérateurs de croisements et de mutations, le PSO utilise plutôt la coopération entre les
individus, [GHE13].
La méthode d’optimisation par essaim particulaire met en jeu un ensemble d’agents pour la
résolution d’un problème donné. Cet ensemble est appelé essaim. L’essaim est composé d’un
ensemble de membres, ces derniers sont appelés particules. Les particules de l’essaim
représentent des solutions potentielles au problème traité. Cet essaim vole dans l’espace de
recherche (à D dimensions) et chaque membre de celui-ci est attiré par sa meilleure solution et
celle de ses voisins.
Chaque particule i de l’essaim est définie par sa position X id  ( X i1 , X i 2 ,........,X id ) et sa
vitesse de déplacement Vid  (Vi1 ,Vi 2 ,........,Vid ) dans un espace de recherche de dimension
D. Cette particule garde en mémoire la meilleure position par laquelle elle est déjà passée et la
meilleure position atteinte par toutes les particules de l'essaim, notées respectivement:
pbestid  ( pbesti1 , pbesti2 ,........,pbestid )
et
gbestid  ( gbesti1 , gbesti2 ,........,gbestid )
Le processus de recherche est basé sur deux règles :
 Chaque particule est dotée d’une mémoire qui lui permet de mémoriser la
meilleure position par laquelle elle est déjà passée et elle a tendance à retourner
vers cette position.
 Chaque particule est informée de la meilleure position connue au sein de son
voisinage et elle a toujours tendance de se déplacer vers cette position, [BRI 07],
[SAL 12], [GHE13].
La particule i va se déplacer entre les itérations t et t+1, en fonction de sa vitesse et des deux
meilleures positions qu’elle connaît (la sienne et celle de l’essaim) suivant les deux équations
suivantes [Kennedy et Eberhart, 1995], [GHE13]:
V (t )  .V (t  1)  b .rand.( g
(t  1)  X (t  1))  b .rand.( p
(t  1)  X (t  1))
id
id
1
bestid
id
2
bestid
id
X id (t )  X id (t  1)  Vid (t )
(3.30)
(3.31)
Avec :
 b1 et b2 sont des constantes d’apprentissage, rand le résultat d’un générateur de nombres
aléatoires, et ω l’inertie.

X id (t ) , X id (t  1) : la position de la particule i dans la dimension d aux temps t et t-1.
 V (t ) , V (t  1) : la vitesse de la particule i dans la dimension d aux temps t et t-1.
id
id

pbestid (t 1) : la meilleure position obtenue par la particule i dans la dimension d au temps t-1.
89
Chapitre trois
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
 g bestid (t  1) : la meilleure position obtenue par l’essaim dans la dimension d au temps t-1.
La valeur de g best sera réévaluée à chaque itération afin de prendre en compte l’évolution
possible du minimum global trouvé au cours de l’optimisation.
Les essaims de particules ont pour particularité d’être l’un des algorithmes méta heuristiques
les plus simples en termes de complexité d’équations. Ainsi seule la mémorisation du g best et
du pbest sont nécessaires pour le calcul de l’itération suivante avec les deux équations
précédentes. Cette particularité est intéressante dans le cadre d’une implantation dans un
système à faible ressources informatiques ou encore soumis à des contraintes de type temps
réel. Cependant cet algorithme possède un inconvénient majeur : le nombre d’itérations
nécessaire pour trouver un minimum potentiellement global. De nombreuses modifications ont
déjà été réalisées pour cet algorithme, [SAL 12].
La figure (3.8) montre le déplacement d’une particule [GHE 13], [TOU 13].
Fig. (3.8) Déplacement d’une particule
90
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
Chapitre trois
Le tableau 3.4 représente l’algorithme PSO.
Tab. 3.4 Algorithme de l’optimisation par essaim de particules
Début
Initialiser les paramètres et la taille S de l’essaim;
Initialiser les vitesses et les positions aléatoires des particules dans chaque dimension de
l’espace de recherche;
Pour chaque particule, pbestid  X id ;
Calculer f ( X id ) de chaque particule;
Calculer gbestid ; la meilleure pbestid
Tant que (la condition d’arrêt n’est pas vérifiée) faire
Pour (i allant de 1 à S) faire
Calculer la nouvelle vitesse à l’aide de l’équation (3.30) ;
Trouver la nouvelle position à l’aide de l’équation (3.31) ;
Calculer f ( X id ) de chaque particule;
Si f ( X id ) est meilleur que f ( pbestid ) alors
pbestid  X id ;
Si ( f ( pbestid ) ) est meilleur que f ( g bestid ) alors
g bestid  pbestid ;
Fin pour
Fin tant que
Afficher la meilleure solution trouvée gbestid ;
Fin
3.8.6 Méthode de colonie de fourmis
La méthode d’optimisation par colonie de fourmis est proposée par Dorigo dans les années
90 en s’inspirant du comportement collectif des fourmis (Dorigo, 1992).
L’objectif du comportement collectif des fourmis est de collecter la nourriture sans perdre le
chemin menant à leur nid. Les fourmis sont des insectes qui œuvrent pour le bien du groupe.
Leurs capacités physiques limitées n’ont jamais construit un obstacle pour elles. En effet, elles
peuvent défier leurs capacités individuelles limitées et réaliser des taches très complexes
91
Chapitre trois
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
(construire des nids, rechercher la nourriture, …) par coopération en regroupant leurs capacités
disponibles et leurs expériences collectives.
Dans l’objectif de rechercher la nourriture en parcourant le plus court chemin, les fourmis se
communiquent indirectement entre elles en provoquant des changements dans leur
environnement. Au début de la recherche, les fourmis se propagent aléatoirement en prenant
des chemins de différentes tailles (court, long,..) dont elles déposent sur le sol une matière
odorante appelée « phéromone » d’intensités égales. Afin d’attirer l’attention de leurs
congénères en retournant au nid, les fourmis déposent des phéromones un peu différents
contenant un message concernant la qualité du site visité. Les fourmis ont tendance de suivre le
chemin de plus forte intensité de phéromones. Plus le chemin est court, plus la quantité de
phéromones y est déposée est élevée. Plus l’intensité de phéromones est grande, plus le nombre
de fourmis utilisant ce passage augmente. Par conséquent, le chemin le plus long sera
abandonné car l’intensité de phéromones y compris est petite et s’évapore rapidement), [BRI
07], [GHE13].
L’algorithme de colonies de fourmis a été proposé pour la première fois pour résoudre le
problème du voyageur de commerce [Colorni et al, 1992], il se base sur trois phases
essentielles:
 La construction du trajet de chaque fourmi;
 La distribution de phéromones sur le trajet de chaque fourmi;
 L’évaporation des pistes de phéromones.
L’application de cette méthode pour l’optimisation des dispositifs électrotechniques est très
récente (Lo et al. 2005), [BRI 07].
Le tableau 3.5 représente l’algorithme de colonies de fourmis [GHE13].
92
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
Chapitre trois
Tab. 3.5 L’algorithme de colonies de fourmis
Début
Initialiser une population de m fourmis ;
Evaluer les m fourmis ;
Tant que la condition d’arrêt n’est pas satisfaite faire
Pour i=1 à m faire
Construire le trajet de la fourmi i;
Déposer des phéromones sur le trajet de la fourmi i;
Fin pour
Evaluer les m fourmis;
Evaporer les pistes de phéromones;
Fin Tant que
Retourner la ou les meilleures solutions ;
Fin
3.9 Méthodes hybrides
La solution d'un problème d'optimisation obtenue par les méthodes déterministes dépend
d'une façon générale du point de départ, car ces méthodes font la recherche du minimum à
partir de l'information donnée par le calcul du gradient, lequel est évalué au point courant.
Ainsi, si la direction donnée par le gradient conduit vers un minimum local, l'algorithme ne
s'arrêtera pas sur le minimum global. Obtenir le minimum global ne peut être que le fruit d'une
heureuse coïncidence, [COS 01].
Néanmoins, certaines méthodes déterministes, d'ordre un ou deux, présentent de bonnes
caractéristiques pour l'optimisation de problèmes réels: en particulier, l'effort de calcul est
faible par rapport aux méthodes stochastiques.
Les méthodes stochastiques ont deux grands avantages: la capacité à localiser le minimum
global et l'absence des calculs de dérivées. L'inconvénient majeur est l'effort de calcul qu'il faut
fournir dans la plupart des cas pour arriver à des solutions précises.
On peut alors envisager le couplage entre méthodes stochastiques et déterministes pour tirer
parti des avantages:
 un algorithme globalement convergent (capacité de trouver le minimum global);
93
Chapitre trois
Etat de l’art des méthodes d’optimisation
 moins coûteux en termes d'effort de calcul que les algorithmes uniquement stochastiques.
Dans le cas où la méthode déterministe est d'ordre zéro, un avantage supplémentaire
très important est assuré: pas de calcul de dérivées.
Dans la suite de notre travail, nous allons présenter les méthodes hybrides que nous avons
proposé:
 l'algorithme génétique couplé avec la méthode Quasi-Newton et Pattern search;
 l'algorithme de recuit simulé couplé avec la méthode Quasi-Newton et Pattern search;
 l'algorithme de recherche tabou couplé avec la méthode Quasi-Newton et Pattern search;
Dans les trois cas, l'idée est de lancer la procédure de recherche de la région de minimum
global par une méthode stochastique (GA, SA où TS). Après localisation de cette région,
l'algorithme QN où PS est lancé avec pour but une convergence rapide au point de minimum
global.
3.10 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons présenté les méthodes les plus utilisées dans la résolution d’un
problème d’optimisation. Nous avons remarqué que selon leurs caractéristiques, ces méthodes
peuvent être subdivisées en deux différents groupes : les méthodes déterministes et les
méthodes stochastiques.
Les méthodes déterministes sont presque toujours des méthodes locales, c'est-à-dire qu’elles
convergent vers un optimums dépendant uniquement du point de départ, qu’il soit local ou
global. A l’opposée, les techniques stochastiques ou stochasto-deterministes sont plutôt des
méthodes globales qui permettent de localiser l’optimum global des fonctions.
Enfin, les méthodes de résolution sont qualifiées de multimodales si elles sont capables de
trouver l’ensemble des optimas d’une fonction.
Malgré le nombre important d’évaluations de la fonction objectif demandée par les
méthodes stochastiques, ces méthodes (métaheuristiques) constituent une classe de méthodes
approchées adaptables à un très grand nombre de problèmes d'optimisation avec contraintes.
Elles ont montré leur grande efficacité pour fournir des solutions approchées de bonne qualité
pour un grand nombre de problèmes d'optimisation classiques et d'applications réelles de
grande taille. C'est pourquoi l'étude de ces méthodes est actuellement en plein développement.
94
Chapitre quatre
Conception par
optimisation de la pompe
MHD à conduction
Chapitre Quatre
Conception par optimisation de la pompe MHD à conduction
4.1 Introduction
La conception des systèmes en génie électrique devient de plus en plus complexe, en
raison de la présence de plusieurs éléments de nature et de fonctionnalités différentes en
interaction au sein du système à concevoir [ABD 07].
Dans le cadre d’une conception performante, nous sommes souvent intéressés à
retrouver une configuration optimale de façon à satisfaire les besoins des utilisateurs et
d’avoir, en même temps, un produit viable d’un point de vue économique, [COS 02].
D’une manière générale, la conception correspond à la détermination de toutes les
caractéristiques d’un objet ou d’un système répondant à un besoin défini par rapport un
cahier des charges. L’aboutissement du processus de conception dépend donc de la
faisabilité du cahier des charges qui doit être clairement élaboré.
Dans ce présent chapitre, on propose une méthodologie de dimensionnement des
dispositifs électromagnétiques. Après avoir interprété le problème de dimensionnement
comme étant un problème d'optimisation avec contraintes, nous utilisons, en première
étape quelques méthodes d'optimisations développées dans le chapitre précédant, pour
dimensionner une pompe électromagnétique. Les performances de la pompe sont données
par un modèle par volumes finis. En seconde étape, une modélisation par éléments finis du
prototype obtenu sera effectuée dans le but de valider la procédure de conception par
optimisation.
4.2 Démarche de conception par optimisation
La procédure générale adoptée est schématisée sur la figure (4.1). Elle utilise le modèle
électromagnétique présenté au chapitre deux, définissant le fonctionnement du dispositif à
concevoir. Des méthodes d'optimisation non linéaire avec contraintes sont utilisées pour
atteindre la solution optimale (minimisant la masse et satisfaisant les contraintes du cahier
de charges).
95
Chapitre Quatre
Conception par optimisation de la pompe MHD à conduction
Modèle
électromagnétique de
la pompe
Non
Calcul des
performances
Méthodes
d’optimisation
Détermination
d'une nouvelle
pompe
Optimum atteint
contraintes satisfaites
Oui
Fin
Fig. (4.1) Procédure de conception par optimisation
4.3 Description du dispositif à optimiser
Le dimensionnement d’une machine électrique repose sur deux considérations. La
première est relative au dimensionnement géométrique, autrement dit, le circuit
magnétique. La seconde est le dimensionnement du circuit électrique, donc la
détermination des bobinages et leurs alimentations. Ces deux parties sont imbriquées.
D’une manière générale, les dimensions du circuit électrique dépendent des ampères tours
nécessaires à la production du champ magnétique. Les dimensions du circuit magnétique
devront tenir compte de sa capacité à canaliser le champ magnétique en limitant les chutes
d.d.p magnétiques. Ce dimensionnement dépendra donc directement de l’amplitude du
champ qui devra être canalisé [TAI02].
D'une manière générale, la conception d'un dispositif quelconque est guidée par un
cahier de charges.
L’objectif du dimensionnement est de trouver les valeurs des paramètres de
construction géométriques, électriques et magnétiques qui satisfont les contraintes et qui
minimisent la masse de la pompe.
Sur les figures (2.3) et (2.4), nous avons présenté la structure de la pompe à traiter.
Elle est constituée:
 d’un circuit magnétique sous forme de tore d’un matériau ferromagnétique ;
96
Chapitre Quatre
Conception par optimisation de la pompe MHD à conduction
 de deux bobines en cuivre ;
 de deux électrodes en platine ;
 d’un canal où circule un fluide supposé incompressible. Dans le prototype considéré,
le fluide utilisé est le mercure.
4.4 Formulation du problème d’optimisation
L’objectif est de minimiser la masse totale de la pompe à conduction qui inclut les
masses des matériaux de chaque partie active de la pompe.
Les contraintes techniques imposées sont les suivantes : l’induction magnétique dans la
pompe ne doit pas excéder 1.5 Tesla, la densité de courant induite doit être inférieure à
5.106A/m2 et les contraintes des domaines donnés par la valeur minimale et maximale de
chaque paramètre de la géométrie.
Le problème de conception est transformé en un problème d’optimisation (4.1) :
min M pompe

 B  1.5 Tesla

6
2
 J  5.10 A / m
 X k min  X k  X k max
(4.1)
où M pompe , B , J et X k sont des résultats du programme de dimensionnement obtenus
par la modélisation par volumes finis.
avec :
X k : un vecteur dont ses coordonnées représentent les dimensions géométriques de la
pompe : X k  [ x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 , x9 , x10 , x11 ] ;
( x2
 x1 ) : la largeur de l’électrode ;
x 3 : le rayon du canal ;
x3 : le rayon intérieur de l’inducteur ;
x3 : le rayon intérieur de la bobine ;
x4 : le rayon extérieur de la bobine ;
x5 : le rayon extérieur de l’inducteur ;
( x7  x6 ) : la longueur de la bobine ;
( x9  x7 ) : la longueur de l’inducteur ;
97
Chapitre Quatre
Conception par optimisation de la pompe MHD à conduction
( x10  x8 ) : la hauteur de l’électrode ;
x11 : la longueur du canal.
Pour traiter les contraintes, le problème d’optimisation avec contraintes, l’équation (4.1)
est transformée en un problème sans contraintes en utilisant la méthode de pénalités
extérieures [ABD 07], [HAD 03], [HAJ 03].
Le problème d’optimisation (4.1) devient :
B
J


min M pompe  f ( x)  r k max 2 (0,
 1)  max 2 (0,
 1)
6
1
.
5
5
.
10


(4.2)
où
f (x) : La masse de la pompe sans contraintes ;
r=1, et k=0. 1.
4.4 .1 Calcul de la masse totale de la pompe
Chaque masse est calculée par le produit de la masse volumique de chaque matériau par
le volume de chaque partie active constituant la pompe.
M total  M fluide  M cuivre  M inducteur  M electrodes
(4.3)
- Masse du fluide
Le canal est un cylindre creux de rayon x3 et de longueur x11
contenant deux
électrodes. Le volume du canal est donné par :
Vcanal   x32 x11  2Velectrode
(4.4)
L’électrode a la forme d’un parallélépipède, son volume est donné par :
Velec  ( x2  x1 )( x10  x8 )l ele
(4.5)
avec :
Velec : volume de l’électrode ;
( x2  x1 ) : largeur de l’électrode;
( x10  x8 ) : hauteur de l’électrode;
lele : longueur de l’électrode.
Le mercure est utilisé comme fluide circulant dans le canal de densité volumique  mer .
La masse du fluide est donnée par :
98
Chapitre Quatre
Conception par optimisation de la pompe MHD à conduction
M flui  Vmer  mer
(4.6)
où :
M flui : masse du fluide (mercure) ;
Vmer : volume du mercure ;
 mer : densité volumique du mercure ;
- Masse du cuivre
La pompe est constituée de deux bobines en cuivre de densité volumique  cui . La
bobine a une forme cylindrique de rayon extérieur
x4 et de rayon intérieur x3 et de
longueur ( x7  x6 ) .
Par suite le volume d’une bobine est donnée par :
Vcui   ( x42  x32 )( x7  x6 )
(4 .7)
La masse des bobines est donnée par :
M cui  2K rcVcui cui
(4.8)
où :
K rc : coefficient de remplissage ;
M cui : masse du cuivre ;
Vcui : volume du cuivre ;
 cui : masse volumique du cuivre.
- Masse de l’inducteur
L’inducteur
est constitué d’un empilement de tôles ferromagnétiques de densité
volumique  fer . Sa forme est assimilée à un cylindre de rayon extérieur
x5 et de rayon
intérieur x3 et de longueur ( x9  x7 ) .
Par suite le volume de l’inducteur est donné par :
Vind   ( x52  x33 )( x9  x7 )
(4.9)
La masse de l’inducteur est donnée par :
M ind  V fer  fer K rf
(4.10)
où :
M ind : masse de l’inducteur ;
99
Chapitre Quatre
Conception par optimisation de la pompe MHD à conduction
 fer : masse volumique du matériau ferromagnétique ;
V fer : volume de l’inducteur;
K rf : coefficient de remplissage des tôles.
- Masse des électrodes
Les deux
électrodes sont en
de densité volumique  platine . La masse de
platine
l’électrode est donnée par :
M elec  2Velec  plat
(4.11)
où :
M elec : masse des deux électrodes ;
Velec : volume de l’électrode donné par (4.5) ;
 pla : masse volumique du platine.
Donc la masse totale de la pompe est la somme des différentes masses décrites
précédemment (4.3).
4.5 Conception par optimisation de la pompe MHD à conduction
Dans cette section, on va appliquer la procédure de conception par optimisation d'une
pompe à conduction, en utilisant des méthodes d'optimisation stochastiques, déterministes
et hybrides développées dans le chapitre 3. Ces méthodes sont : la méthode du recuit
simulé, des algorithmes génétiques, de recherche tabou, de quasi-Newton et pattern search,
ainsi que des méthodes hybrides (AG- QN), (AG-PS), (RS-QN), (RS- PS), (TS-QN) et
(TS-PS).
4.5.1 Méthodes stochastiques
4.5.1.1 Méthode du recuit simulé
En se basant sur l'algorithme du recuit simulé, on a développé un programme sous
environnement MATLAB qui simule cette méthode.
Les critères de contrôle choisis pour cette méthode sont :
 La température initiale (T0) égal à 100;
 La loi de décroissance linéaire de la température est T=0.9.T;
 Le nombre de changements acceptés à une température constante est égal à 80.
100
Chapitre Quatre
Conception par optimisation de la pompe MHD à conduction
4.5.1.2 Recherche tabou
En se basant sur l'algorithme de la méthode tabou, on a développé un programme
sous environnement MATLAB qui simule cette méthode.
4.5.1.3 Méthode des algorithmes génétiques
La méthode des Algorithmes Génétiques utilisée dans notre optimisation est issue de
MATLAB version 2013, (Toolboxes Genetic Algorithm).
Les critères de contrôle choisis sont :
 Population initiale P0 égale à 50 individus;
 Probabilité de croisement Pc=0.8;
 Probabilité de mutation Pm=0.2;
 Nombre de générations 100.
4.5.2 Méthodes déterministes
4.5.2.1 Méthode de Quasi-Newton
L'optimisation par la méthode QN est effectuée en utilisant la fonction "Fmincon" de
Matlab version 2013, (Optimisation toolbox).
4.5.2.2 Méthode Pattern Search
L'optimisation par la méthode pattern search est effectuée en utilisant la fonction
"pattern search" de MATLAB version 2013, (Optimization toolbox).
4.5.3 Méthodes hybrides
Afin d’améliorer les performances d’un algorithme, on essaye de le combiner avec une
autre méthode. Ce principe général appelé hybridation, peut s’appliquer à plusieurs
méthodes. Un cas particulier de l’hybridation entre deux méthodes consiste à combiner un
algorithme stochastique avec une méthode de recherche locale.
101
Chapitre Quatre
Conception par optimisation de la pompe MHD à conduction
4.6 Résultats de l’optimisation
4.6.1 Résultats des méthodes stochastiques
Les résultats de l'optimisation des différentes méthodes stochastiques sont présentés et
récapitulés dans le tableau 4.1 et la figure (4.2).
On constate que la méthode des algorithmes génétiques prouve toujours ses capacités
et sa fiabilité d’exploration du domaine de recherche et donne le meilleur optimum.
Tab. 4.1 Résultats des méthodes stochastiques
Paramètres
d’optimisation
Recherche Tabou
(TS)
Recuit simulé
(SA)
Algorithmes
génétiques (AG)
X1(m)
0.0140
0.0140
0.0140
X2(m)
0.0240
0.0240
0.0240
X3(m)
0.0299
0.0290
0.0300
X4(m)
0.0594
0.0596
0.0596
X5(m)
0.0988
0.0990
0.0989
X6(m)
0.0201
0.0201
0.0201
X7(m)
0.0401
0.0401
0.0403
X8(m)
0.0601
0.0601
0.0600
X9(m)
0.1390
0.1390
0.1392
X10(m)
0.1591
0.1591
0.1593
X11(m)
0.1801
0.1792
0.1792
Masse fer (Kg)
20.9799
21.2000
21.0503
Masse bobines (Kg)
0.7383
0.7583
0.7424
Masse électrodes (Kg)
0.4242
0.4263
0.2579
Masse mercure (Kg)
4.2829
4.0107
4.2738
Masse Pompe (Kg)
26.4253
26.3953
26.3244
102
Chapitre Quatre
Conception par optimisation de la pompe MHD à conduction
Best: 26.3224 Mean: 26.3244 Kg
Fitness value
27
Best fitness
Mean fitness
26.5
26
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Current best individual
Generation
Current Best Individual
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Number of variables
Fig. (4.2) Résultats d’optimisation par la méthode des algorithmes génétiques
 L’individu représente le vecteur X qui constitue les paramètres géométriques optimisés.
 Valeur fitness : fonction objectif (masse optimale de la pompe).
4.6.2 Résultats des méthodes déterministes
Les résultats de l'optimisation des différentes méthodes déterministes sont présentés et
récapitulés dans les tableaux 4.2 et les figures (4.3) et (4.4). On remarque les grandes
potentialités des méthodes déterministes.
Tab. 4.2 Résultats des méthodes déterministes
Quasi-Newton
Pattern Search
(QN)
(PS)
X1 (m)
0.0140
0.0140
X2 (m)
0.0239
0.0240
X3 (m)
0.0299
0.0299
X4 (m)
0.0594
0.0594
X5 (m)
0.0988
0.0988
X6 (m)
0.0201
0.0200
X7 (m)
0.0401
0.0400
X8 (m)
0.0601
0.0600
Paramètres
géométriques
103
Chapitre Quatre
Conception par optimisation de la pompe MHD à conduction
X9 (m)
0.1390
0.1390
X10 (m)
0.1590
0.1590
X11 (m)
0.1790
0.1790
Masse fer (Kg)
20.9812
21.0015
Masse bobines (Kg)
0.7382
0.7383
Masse électrodes (Kg)
0.4236
0.4243
Masse mercure (Kg)
4.2509
4.2507
Masse Pompe (Kg)
26.3939
26.4148
Current Point
Current point
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Number of variables
Current Function Value: 26.3939 Kg
Function value
27.2
27
26.8
26.6
26.4
26.2
0
1
2
3
4
Iteration
5
6
7
8
9
Fig. (4.3) Résultats d’optimisation par la méthode Quasi-Newton
Best Function Value: 26.4148 Kg
Function value
26.55
26.5
26.45
26.4
0
5
10
15
20
25
30
35
Current best point
Iteration
Current Best Point
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Number of variables
Fig. (4.4) Résultats d’optimisation par la méthode Pattern Search
104
Chapitre Quatre
Conception par optimisation de la pompe MHD à conduction
4.6.3 Résultats des méthodes hybrides
Les résultats de l'optimisation des différentes méthodes hybrides sont présentés et
récapitulés dans le tableau 4.3 et les figures ((4.5), (4.6). (4.7), (4.8)).
Pour les différentes méthodes hybrides utilisées, les résultats obtenus montrent leurs
grandes capacités d’aller vers l’optimum global, mais, comme toujours, on remarque la
particularité des méthodes stochastiques (algorithmes génétiques et recuit simulé) avec la
méthode Quasi-Newton donnent le meilleur optimum.
Tab. 4.3 Résultats des méthodes Hybrides
Paramètres
TS-PS
TS-QN
SA-PS
X1(m)
0.0140
0.0140
0.0140
0.0143
0.0140
0.0140
X2(m)
0.0240
0.0240
0.0240
0.0230
0.0240
0.0230
X3(m)
0.0299
0.0299
0.0299
0.0290
0.0301
0.0290
X4(m)
0.0594
0.0594
0.0594
0.0598
0.0600
0.0590
X5(m)
0.0988
0.0988
0.0988
0.0992
0.1000
0.0980
X6(m)
0.0200
0.0201
0.0201
0.0201
0.0201
0.0201
X7(m)
0.0400
0.0401
0.0401
0.0400
0.0400
0.0399
X8(m)
0.0600
0.0601
0.0601
0.060
0.0599
0.0599
X9(m)
0.1390
0.1390
0.1390
0.1400
0.1390
0.1399
X10(m)
0.1590
0.1590
0.1590
0.1599
0.1601
0.1599
X11(m)
0.1790
0.1790
0.1790
0.1799
0.1800
0.1799
Masse fer (Kg)
21.0004
20.9812
20.9819
21.2003
21.2004
21.2001
Masse bobines (Kg)
0.7383
0.7382
0.7382
0.7398
0.7398
0.714
Masse électrodes (Kg)
0.4243
0.4235
0.4236
0.4198
0.4199
0.4195
Masse mercure (Kg)
4.2507
4.2509
4.2509
3.9900
3.9503
4.2488
Masse Pompe (Kg)
26.4136
26.3938
26.3946
26.3439
26.3104
26.2596
105
SA- QN
AG-PS
AG-QN
Chapitre Quatre
Conception par optimisation de la pompe MHD à conduction
4.6.3.1 Hybridation (AG-QN) - (AG-PS)
Les figures (4.5) et (4.6) présentent le résultat de la méthode hybride algorithme
génétique avec la méthode déterministe Quasi-Newton et Pattern Search.
Best: 26.2596 Mean: 26.2596 Kg
Fitness value
27
Best fitness
Mean fitness
26.5
26
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Current best individual
Generation
Current Best Individual
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Number of variables
Fig. (4.5) Résultats d’optimisation par la méthode hybride (AG-QN)
Best: 26.31 Mean: 26.3104 Kg
Fitness value
27
Best fitness
Mean fitness
26.5
26
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Current best individual
Generation
Current Best Individual
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Number of variables
Fig. (4.6) Résultats d’optimisation par la méthode hybride (AG-PS)
4.6.3.2 Hybridation (SA-QN) - (SA-PS)
Les figures (4.7) et (4.8) présentent le résultat de la méthode hybride recuit simulé
avec la méthode déterministe Quasi-Newton et Pattern Search.
106
Chapitre Quatre
Conception par optimisation de la pompe MHD à conduction
Current Point
Current point
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Number of variables
Current Function Value: 26.3439 Kg
Function value
27.5
27
26.5
26
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Iteration
Fig. (4.7) Résultats d’optimisation par la méthode hybride (SA-QN)
Best Function Value: 26.3946 Kg
Function value
26.5
26.45
26.4
26.35
0
5
10
15
20
25
30
Current best point
Iteration
0.2
Current Best Point
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Number of variables
Fig. (4.8) Résultats d’optimisation par la méthode hybride (SA-PS)
4.6.3.3 Hybridation (TS-QN) – (TS-PS)
Les figures (4.9) et (4.10) présentent le résultat de la méthode hybride recherche tabou
avec les méthodes déterministes Quasi-Newton et Pattern Search.
107
Chapitre Quatre
Conception par optimisation de la pompe MHD à conduction
Current Point
Current point
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Number of variables
Current Function Value: 26.3938 Kg
Function value
27.5
27
26.5
26
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Iteration
Fig. (4.9) Résultats d’optimisation par la méthode hybride (TS-QN)
Best Function Value: 26.4136 Kg
Function value
26.8
26.7
26.6
26.5
26.4
0
10
20
30
40
50
60
Iteration
Current best point
Current Best Point
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Number of variables
Fig. (4. 10) Résultats d’optimisation par la méthode hybride (TS-PS)
4.7 Comparaison des méthodes d'optimisation
En comparant les résultats obtenus, on peut conclure que :
4.7.1 Méthodes non hybrides
Les résultats obtenus par les méthodes stochastiques: recuit simulé, algorithmes
génétiques et recherche tabou pour l'optimisation globale sont acceptables. Comme on s'y
attendait, on constate d'excellentes propriétés d'exploration de l'espace de recherche. En
faisant une comparaison entre les trois méthodes stochastiques utilisées, on voit clairement
que les algorithmes génétiques et le recuit simulé offrent une meilleur précision que la
108
Chapitre Quatre
Conception par optimisation de la pompe MHD à conduction
méthode tabou et une fiabilité comparable aux méthodes déterministes Quasi-Newton et
Pattern Search.
Il est connu que les méthodes déterministes montrent d'excellentes propriétés
d'exploitation du domaine de recherche et offrent l'avantage d'être très précises à condition
qu'elles ne restent pas piégées dans un minimum local.
4.7.2 Méthodes hybrides
En tenant compte des résultats obtenus, on constate que les méthodes stochastiques
explorent bien l'espace de recherche pour converger vers la niche de l'optimum, par contre
les méthodes déterministes exploitent bien l'espace de recherche mais la convergence est
locale.
Afin d'aboutir à un meilleur résultat, l'idée est de combiner deux types de méthodes :
une stochastique, pour une recherche globale et la localisation de la niche de l'optimum
global et une déterministe pour bien exploiter cette niche pour trouver exactement
l'optimum global.
4.7.2.1 Méthode hybride " SA-QN"-" SA-PS"
La comparaison de ces méthodes avec les méthodes constituantes recuit simulé, QuasiNewton et Pattern Search permet de mettre en évidence sa puissance. Elle présente un taux
de réussite toujours supérieur à celui des méthodes déterministes. En ce qui concerne le
temps de calcul, elle est comme toute méthode hybride, plus lente par rapport aux
méthodes constituantes (recuit simulé, Quasi-Newton et Pattern Search), mais offre une
grande sécurité pour trouver le minimum absolu.
4.7.2.2 Méthode hybride "AG-QN"-" AG-PS"
Pour compléter la comparaison, nous avons aussi étudié la combinaison des AG avec la
méthode QN et la méthode PS. Dans une première phase, les AG explorent l'espace de
recherche dans le but de découvrir des sous-espaces susceptibles de contenir un minimum
global et de fournir une meilleure solution, à savoir une solution située à l'intérieur du
creux d'attraction du minimum global; dans une seconde phase, les méthodes QN et PS
utilisent la meilleure solution fournie par les AG comme estimée initiale et poursuit la
recherche suivant son propre mode d'exploitation.
109
Chapitre Quatre
Conception par optimisation de la pompe MHD à conduction
4.7.2.3 Méthode hybride "TS-QN"- TS-PS"
Comme toute méthode hybride, ("TS-QN"- "TS-PS") qui combine la méthode tabou
avec Quasi- Newton et Pattern Searth prouve aussi ses performances.
La comparaison des performances des méthodes hybrides montre que la méthode qui
combine les AG et RS avec la méthode QN sont les mieux adaptées. Les méthodes
hybrides donnent des résultats proches des méthodes déterministes. La seule différence
étant le temps de calcul plus important. Cependant, ces méthodes donnent une garantie de
convergence plus sûre vers l'optimum global.
4.8 Etude des performances de la pompe à conduction par la MVF
Dans le but de valider la procédure adoptée pour la conception, nous allons effectuer
une étude des performances de la pompe optimisée par la méthode hybride (AG-QN) en
effectuant une modélisation par la méthode des volumes finis.
4.8.1 Distribution du potentiel vecteur magnétique
Les figures (4.11a), (4.11b) et (4.11C) représentent respectivement les lignes
équipotentielles dans la pompe MHD et la distribution du potentiel vecteur magnétique
dans la pompe MHD en 2D et 3D.
x 10
z[m]
0.18
0.16
8
0.14
7
0.12
6
0.1
5
0.08
4
0.06
3
0.04
2
0.02
1
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
r[m]
Fig. (4.11a) Lignes équipotentielles dans la pompe MHD
optimisée
110
0.18
-3
Chapitre Quatre
Conception par optimisation de la pompe MHD à conduction
-3
8
x 10
Vecteur potentiel magnétiqueA [A.m]
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
z[m]
Fig. (4.11b) Distribution du potentiel vecteur magnétique dans la pompe MHD
optimisée en 2D
Potentiel vecteur magnétique A[A.m]
x 10
-3
8
0.01
7
0.008
6
0.006
5
0.004
4
0.002
3
0
0.2
2
0.15
0.2
0.15
y[m] 0.1
1
0.1
0.05
0.05
0
0
r[m]
0
Fig. (4.11c) Distribution du potentiel vecteur magnétique dans la pompe
MHD optimisée en 3D
4.8.2 Induction magnétique dans la pompe MHD
Les figures (4.12a) et (4.12b) représentent la variation de l’induction magnétique dans
la pompe MHD avec et sans optimisation en 2D et 3D.
111
Chapitre Quatre
Conception par optimisation de la pompe MHD à conduction
60
Induction magnétique [T]
2
50
1.5
40
1
30
0.5
20
0
0.2
0.15
z[m]
0.2 10
0.15
0.1
0.1
0.05
0.05
0
r[m]
0
Fig. (4.12a) Induction magnétique dans la pompe MHD optimisée en 3D
1.4
avec optimisation
Induction magnétique B[T]
1.2
sans optimisation
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
z[m]
Fig. (4.12b) Induction magnétique dans la pompe MHD avec et sans
optimisation
4.8.3 Distribution de la densité de courant induit
Les figures (4.13a et (4.13b) représentent la variation de la densité de courant induit
dans le canal de la pompe MHD avec et sans optimisation en 3D et 2D.
2
Densité de courant [A/m ]
8000
6000
4000
2000
0
200
150
200
100
z[m]
150
50
50
0
100
r[m]
0
Fig. (4.13a) Densité de courant induit dans le canal de la pompe MHD à
conduction avec optimisation en 3D
112
Chapitre Quatre
Conception par optimisation de la pompe MHD à conduction
8000
7000
avec optimisation
Densité de courant [A/m 2]
6000
sans optimisation
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
z[m]
Fig. (4.13b) Densité de courant induit dans le canal de la pompe MHD à
conduction avec et sans optimisation
4.8.4 Distribution de la force électromagnétique
La figures (4.14) représentent les variations de la force électromagnétique dans la
pompe MHD avec et sans optimisation. Les mêmes constatations sont à noter, on remarque
une amélioration dans la valeur de la force.
Force electromagnétique [N/m 3]
6
2.5
x 10
avec optimisation
2
Sans optimisation
1.5
1
0.5
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
z[m]
Fig. (4.14) Distribution de la force électromagnétique dans le canal de la
pompe MHD à conduction avec et sans optimisation
4.9 Etude des performances de la pompe à conduction par la MEF
Dans le but de valider la procédure adoptée pour la conception, nous allons effectuer
une étude des performances de la pompe MHD à conduction obtenue par la méthode
hybride (AG-QN) en effectuant une modélisation en magnétostatique avec le logiciel
ANSYS.
113
Chapitre Quatre
Conception par optimisation de la pompe MHD à conduction
4.9.1 Présentation du logiciel ANSYS
Le logiciel ANSYS est un des outils de simulation par calcul de champs des systèmes
physiques. C'est un logiciel multi-physique, il permet l’analyse thermique, fluidique,
acoustique et électromagnétique.
Pour réaliser des simulations par ce logiciel, nous devons suivre les étapes suivantes :
Définition du type d'analyse (thermique, mécanique, électrique, électromagnétique
ou mécanique des fluides).
Entrée des valeurs numériques des paramètres (caractéristiques physiques des
matériaux et paramètres géométriques).
Définition des éléments utilisés.
Création de la géométrie du modèle, et entrée des différents types de matériaux.
Association des matériaux et des surfaces/volumes correspondants.
Création du maillage.
Entrée des conditions aux limites et excitations (sources de courant, de chaleur, de
fluide).
Résolution.
Affichage des résultats.
En électromagnétisme, c'est un logiciel quasi-complet, il permet d'effectuer les analyses
suivantes :
Magnétostatique 2D ou 3D avec prise en compte de la courbe B (H) ;
Magnétodynamique complexe pour l'étude des régimes permanents ;
Magnétodynamique pas à pas dans le temps pour l'étude des régimes transitoires.
Dans les paragraphes qui suivent nous allons effectuer une modélisation en utilisant
ANSYS.
4.9.2 Validation des résultats par ANSYS
Les simulations ont été réalisées en 2D axisymétrique par le logiciel de calcul par
élément finis ANSYS version 14. Dans toutes les simulations réalisées, on a modélisé,
pour des raisons de symétrie, le quart de la pompe MHD.
Les figure (4.15a), (4.15b) et (4.15c) montrent respectivement la géométrie, les
conditions aux limites de type Dirichlet et Newman et le maillage adopté.
114
Chapitre Quatre
Conception par optimisation de la pompe MHD à conduction
Les résultats issus de l’ANSYS sont exploités pour représenter les lignes
équipotentielles, l’induction magnétique et la force électromagnétique dans la pompe
MHD à conduction.
Fig. (4.15a) Géométrie de la pompe MHD
Fig. (4.15b)
Conditions aux limites appliquées
115
Chapitre Quatre
Conception par optimisation de la pompe MHD à conduction
Fig. (4.15c)
Maillage de la pompe MHD
La figure (4.15d) illustre les lignes équipotentielles dans la pompe MHD.
Fig. (4.15d) Lignes équipotentielles dans la pompe MHD
116
Chapitre Quatre
Conception par optimisation de la pompe MHD à conduction
Les figures (4.16) et (4.17) illustrent respectivement: l’induction magnétique et la force
électromagnétique dans la pompe MHD obtenues par la méthode des éléments finis et la
méthode des volumes finis avec et sans optimisation.
(a)
1.4
Induction magnétique B[T]
1.2
avec optimisation
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
z[m]
(b)
Fig. (4,16) Induction magnétique dans la pompe MHD :
(a) par ANSYS
(b) par volume finis
117
0.18
Chapitre Quatre
Conception par optimisation de la pompe MHD à conduction
(a)
6
2.5
x 10
Force electromagnétique [N/m 3]
2
Avec optimisation
1.5
1
0.5
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
z[m]
(b)
Fig. (4,17) Force électromagnétique dans le canal de la pompe MHD :
(a) par ANSYS
(b) par volume finis
La comparaison entre les deux résultats obtenus par MATLAB et ANSYS (potentiel
vecteur magnétique, induction magnétique et force électromagnétique), pour la même
géométrie et différents maillages montre une certaine similitude, bien que les deux pics
caractéristiques
ne
sont
pas
tout
118
à
fait
en
concordance.
Chapitre quatre
Conception par Optimisation d’une DC MHD Pompe
4.10 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons présenté une méthodologie de dimensionnement des
systèmes électromagnétiques. Le problème de conception a été formulé comme étant un
problème d'optimisation avec contraintes utilisant un modèle magnétique obtenu par la
méthode des volumes finis. Des méthodes stochastiques ont été appliquées pour explorer
l'espace de recherche et localiser la niche de l'optimum global. Pour trouver, exactement la
solution optimale, des méthodes déterministes ont été appliquées, ces dernières ont montré,
dans notre application des avantages remarquables.
Cependant, d'une manière générale, il est connu que, comme toute méthode
déterministe, elle ne permet qu'une recherche locale et peut être par conséquent, piégée
dans un optimum local. En revanche, les méthodes qui s'avèrent efficaces et permettent
d'aboutir à des meilleures solutions sont celles qui combinent une méthode stochastique et
une méthode déterministe. Ces méthodes sont connues sous l’appellation de « méthodes
hybrides ».
Le choix de la méthode la plus performante pour telle ou telle application revient au
concepteur. S’il a le savoir faire qu'il le qualifie à faire des dimensionnements personnel et
qu’il sait formuler sa fonction objectif et s'il est sûre de sa continuité et de sa dérivabilité, il
peut utiliser directement les méthodes déterministes. Dans le cas contraire, on doit utiliser
les méthodes stochastiques, dans un premier temps pour localiser la niche de l'optimum
global.
En pratique, un grand nombre de fonctions à optimiser ne sont pas dérivables et souvent
même discontinues. Il est difficile de savoir si la fonction à optimiser satisfait ou non à de
telles conditions ; ce qui rend l'application des méthodes stochastiques impératif.
Dans le but de valider la procédure de conception adoptée, une modélisation par
élément finis, en utilisant le logiciel ANSYS, a été effectuée. Les résultats obtenus sont
satisfaisants.
119
Fig. 9 Current density
Conclusion Générale
Conclusion générale
Conclusion générale
Dans les années 70, l’industrie électromécanique a connu une grande révolution concernant
l’analyse et la conception de nouveaux produits. L’utilisation de méthodes numériques
implémentées par des programmes informatiques dans le but de modéliser un dispositif avant
sa production a permis l’apparition d’une nouvelle famille d’outils industriels dénommés
outils de conception assistée par ordinateur (CAO), [COS 02].
Le présent travail traite une démarche de dimensionnement d’une pompe MHD. Le
problème de conception est formulé comme étant un problème d'optimisation non linéaire
avec contraintes. Cette démarche est devenue, aujourd'hui, possible, grâce à l’accroissement
de la puissance de calcul des ordinateurs et aux développements réalisés dans le domaine de
l'optimisation.
Dans la première partie, un état de l’art des pompes magnétohydrodynamiques (MHD) et
ses différentes applications a été présenté.
Pour concevoir un dispositif, il est nécessaire d'effectuer sa modélisation. Actuellement,
c'est la modélisation par calcul de champs utilisant la méthode des éléments finis, qui est la
plus précise. Cependant, elle reste très lourde pour être utilisée dans une procédure de
conception par optimisation. Pour notre étude, la modélisation par la méthode de volumes
finis (électromagnétique), offrant un meilleur rapport précision/temps de calcul a été retenue.
La modélisation par calcul de champs est utilisée en dernière étape pour valider le modèle
obtenu par la méthode des volumes finis. Un code de calcul sous environnement Matlab a été
élaboré pour modéliser la pompe MHD. L’exploitation du code de calcul a permis la
détermination de principales performances telles que le potentiel vecteur magnétique,
l’induction magnétique, les courants induits et la force électromagnétique en absence et en
présence d’un noyau ferromagnétique.
120
Conclusion générale
Dans le chapitre trois, la formulation mathématique d’un problème d’optimisation avec et
sans contraintes et les différentes méthodes d’optimisation stochastiques et déterministes ont
été présentées.
Dans le chapitre quatre, le problème de conception a été transformé en un problème
d’optimisation avec contraintes où la méthode de pénalité extérieure a été retenue. Cette
dernière transforme le problème contraint en problème non contraint dont la fonction objectif
est modifiée par l’ajout d’une fonction de pénalité.
Les trois méthodes stochastiques les plus prometteuses : algorithmes génétiques, recuit
simulé et recherche tabou ont été utilisées, ainsi que deux méthodes déterministes : QuasiNewton et Pattern-Search qui ont été aussi implantées dans la conception par optimisation
d’une pompe magnétohydrodynamique (MHD).
Une comparaison entre les différentes
méthodes stochastiques développées et les
méthodes déterministes a été réalisée sur le problème de conception effectué. Nous avons
constaté que la méthode hybride (AG-QN) est la plus performante pour le problème
considéré.
Afin de valider la procédure développée pour la conception, un calcul par éléments finis
est effectué. Les résultats obtenus sont meilleurs que ceux obtenus par la méthode des
volumes finis. Nous avons constaté que les contraintes sont respectées.
Suggestions et perspectives :
Comme perspectives, on propose l’approche de certains points tels que :

Le couplage électromagnétique-hydrodynamique;

Le couplage électromagnétique-thermique;

La validation du calcul thermique et hydrodynamique par modélisation numérique
(ANSYS);

Le remplacement, dans la procédure de conception par optimisation, du modèle
volume finis par le modèle numérique (MEF);

La conception d’un prototype réel de la pompe à induction.
121
Annexe
Annexe 1
Algorithme de Métropolis
L’algorithme de Métropolis est le critère d’acceptation d’une configuration (ou
solution) X du système obtenu en perturbant la configuration courante X  X  X .
'
'
'
'
Après avoir évalué l’énergie du système aux points X et X ( f ( X ) et f ( X ) ). Si
l’énergie du système s’améliore par rapport à la solution précédente, on conserve cette
nouvelle solution, si non il sera rejeté, [COS01].
Les étapes de l’algorithme de Métropolis sont :
1. Choisir une configuration initiale X ;
2. Perturber la configuration courante, on obtient X  X  X ;
'
'
3. Evaluation de la fonction objectif aux points X et X c. à. d calculer :
f ( X ' ) et f ( X ) ;
4. Si f  f ( X  X ) < 0
'
Alors : conserver cette solution X ; faire X  X ;
'
'
Sinon : calculer : p  exp(f / T ) ; T : température du système ;
5. Générer un nombre aléatoire R compris entre 0 et 1 ;
6. Si : R ≤ p,
Alors : accepter la nouvelle solution X ; faire X  X
'
'
Sinon : refuser la solution X .
Fig. 1 Algorithme de Métropolis
122
'
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130
Résumé
Contribution à l’étude et l’optimisation des convertisseurs
magnétohydrodynamiques (MHD)
RESUMÉ
Dans cette thèse une conception par optimisation utilisant des méthodes stochastiques,
déterministes et hybrides d’une pompe magnétohydrodynamique à conduction a été
réalisée. Le problème de conception est formulé comme étant un problème d'optimisation
non linéaire avec contraintes. Cette démarche est devenue, aujourd'hui, possible, grâce à
l’accroissement de la puissance de calcul des ordinateurs et aux développements réalisés
dans le domaine de l'optimisation.
Plusieurs techniques d'optimisation ont été utilisées. Nous avons constaté que la
méthode Hybride (AG-QN) est la plus performante pour notre problème.
Afin de valider la procédure développée pour la conception, un calcul par éléments finis
est effectué. Les résultats obtenus confirment ceux de la modélisation par la méthode des
volumes finis.
ABSTRACT
In this thesis an optimal design by using stochastic, deterministic and hybrid methods
of conduction magnetohydrodynamic pump was performed. The design problem is
formulated as a nonlinear optimization problem with constraints. This approach is now
possible, due to the increase of computers power and the developments in the optimization
field.
To validate the developed procedure for the design, the finite element method is used.
The obtained results confirm those of the modeling using the finite volume method.
‫الملخص‬
‫ القطعية واألساليب الهجينة لمضخة‬،‫في هذه األطروحة تم إجراء التصميم باستخدام الطريقة األمثل العشوائية‬
‫ وقد أصبح هذا النهج الممكن‬.‫( وقد صيغت مشكلة التصميم كمشكلة التحسين غير خطية مع القيود‬MHD). ‫مغناطيسية‬
.‫ وذلك بفضل زيادة القدرة الحاسوبية ألجهزة الكمبيوتر والتطورات في مجال التحسين‬،‫اآلن‬
‫للتحقق من صحة النتائج قمنا بعملية النمذجة بطريقة حساب العنصر المحدود النتائج ألمتحصله تؤكد صحة الطريقة‬
.‫المتبعة‬