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Copyright S. El Mouats – Copyright Acuité 2013
BTS OPTICIEN LUNETIER
Mathématiques
SESSION 2013
Note : ce corrigé n’a pas de valeur officielle et n’est donné qu’à titre informatif sous la
responsabilité de son auteur par Acuité.
Proposition de corrigé par S. El Mouats,
Professeur de Mathématiques à l’Institut Supérieur d’Optique (ISO Paris 15)
Exercice 1 :
Partie A : Statistiques à deux variables :
1. L’allure de la courbe obtenue en reliant les points de ce nuage, ne semble pas être
celle d’une droite ; un ajustement affine n’est donc pas approprié.
2. a.
3. b.
car la fonction exp est strictement croissante
Partie B : Résolution d’une équation différentielle :
Soit !""#"
$
1. Soit
"!""#"
$
Les solutions de
sont de la forme : %"
&
&''
, avec %()
2. *" alors *
$
*"est solution de si et seulement si : #"*
$
*
Or """"""""""""""#"*
$
*
""""
Donc g est bien solution de (E).
1. %"
&
&''
""avec %()
2. + solution de (E) alors ,-"."/
&
&''0
"
Donc, ,."/
"
Or 1 , donc, 1."
D’où : .1" = 351
632351)(
22,1 1
+=
−
etf
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Partie C : Etude d’une fonction :
+#
(on retrouve la solution précédente, en remarquant que
"
2
2
"3#13
1. a/ f est dérivable sur 4"5"64"et
+
$
"7"#/
0
"; de la forme
8
9:
$
8
=;"/
0
b/ Signe de +
$
(Attention ; on vous demande le signe de la dérivée et non pas de résoudre +
$
"!!!)
• - 287,82 < 0
•
> 0 sur 4"5"64
Par produit f^' (t)<0 sur [0 ; +∞┤[
c/ +
$
""étant négative, f est donc strictement décroissante sur 4"5"64.
2. a/ car
0lim
82,0
=
−
+∞→
t
t
e
b/ asymptote horizontale à (C).
c/ <!+
$
+
Or, +
$
; et +#1
Donc :
Remarque : Les calculatrices graphiques type TI N’spire CAS ou TI89 donnent
directement cette réponse.
◊ 9 9 9 9"""""""""""""""""""""9""""""""9 x = 0
Exercice n° 2 :
Partie A : Probabilités conditionnelles :
A
0,02 D
0,60
0,98
=
>
0,40
B
0,01 D
0 ,99
=
>
<
!
"
;
1
632)(lim
=
+∞→
tf
t
y Graphe F5 A tangent
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1. ?@A=?@?
B
=CD#C
2. ?=?=AE"?=A@
"?E?
F
=?@?
B
=
DC
#. CQFD
3. ?
G
@
HBAG
HG
I
2
I
2
2
I
Partie B : Loi binomiale, loi de Poisson et loi normale :
1. La variable aléatoire X suit une loi binomiale car :
On a un prélèvement à deux issues complémentaires
• Succès (verre défectueux) de probabilité J#
• Echec (verre non défectueux) de probabilité q=1-p=0.984
Ce prélèvement est répété n fois, de façons indépendantes car ces prélèvements sont
assimilés à des tirages avec remise de n verres, donc probabilité constante.
X désigne le nombre de verres défectueux donc KLB"M"5#.
2. M.
a/ KMJD#C.
Parmi les 250 verres prélevés, en moyenne, C seront défectueux.
b/ ?KN
"#
1C
#.
c/ ?KO##?K##1.
d/ B"M"5J3P""P alors ""PMJD#C.
Donc B"""5#3 P""C.
e/ QL P C
?QO##?Q##1.
(Par lecture de la table.).
3. L N #51;
a. B"M"5J3 N R5S5 avec
TRMDJ#D##
SUMDJDVW#D#D1C1;
D’où : B"#"5#3 N #51;
b. On pose <
X2
YZ
alors <L N 5#
?O#;?[<O#;#
1; \
?<O
#]
#C
3
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Partie C : Intervalle de confiance :
^ L N J5_
`"2`
a
";
1. +
Z
2
; ; donc J3;
2. bc+_
d"2d
a2
"5"+_
d"2d
a2
e";
t est à déterminer tel que: ?f+_
d"2d
a2
"g^ g"+_
d"2d
a2
h1
On pose <i
jd
_k"&lk
ml&
alors <iL N 5#
On a alors : ?"g<ig1
C’est-à-dire ]-#1
Donc ]-1;n#1
D’où : -#1 et bc;#1_
Z2Z
YY
"5;#1_
Z2Z
YY
e"
b4#"5;1o"
3. Non, on ne peut pas affirmer que p soit compris dans cet intervalle.
Si on prélevait un très grand nombre de tels échantillons, environ 95pd’entre eux
contiendraient le pourcentage inconnu p de la population.
Donc on ne peut pas être sure !!!
1
/
4
100%
