sur le développement d`un couple de fonctions arbitraires en séries

-^
M. PLANCHEREL (Zürich - Svizzera)
SUR LE DÉVELOPPEMENT D'UN COUPLE DE FONCTIONS ARBITRAIRES
EN SÉRIES DE FONCTIONS FONDAMENTALES D'UN PROBLÈME AUX
LIMITES DU TYPE HYPERBOLIQUE
§ 1. - Considérons un problème de petits mouvements d'un système continu
à une dimension, non nécessairement dépourvu de frottement, régi par une
équation .2 v
(1)
a(a.)U+0(a.)g_x(«)_-0>
O^^l, iâO
et par des conditions aux Umites
(2) Ui(u)=0, U2(u)=0.
L(u) est une abréviation pour
Nous supposons que les conditions aux Umites sont indépendantes de t, que
a(x)>0, p(x)>0, que a, b, p, q ont des dérivées secondes continues et que le
problème
(3) L(u)=0, Ui(u) = 0, U2(u)=0
est adjoint à lui-même.
On sait qu'une solution du problème (1), (2) est déterminée par les condi-
tions initiales u=u0(x), -r- =uL(x) pour #=0. Nous retrouverons cette proposition
en ramenant par la transformation de Laplace le problème proposé, du type
hyperboUque, à la recherche des valeurs et des solutions fondamentales du
problème aux Umites du type elUptique
(4) L(v)-(aX2 + bX)v=0
(5) Ui(v)=0, U2(v)=0
où X est un paramètre. Nous montrerons de plus comment le couple uQ, Ui peut
se développer en séries de fonctions fondamentales du problème (4), (5). Nous
donnerons ainsi la démonstration de résultats que M. BROMWICH (£) a obtenus
(*) T. J. l'A. BROMWICH. Normal coordinates in dynamical systems. [Proc. London
Math. Soc. 15 (1916)].

250 COMUNICAZIONI
d'une manière heuristique dans un mémoire consacré à étabhr sur des bases
sûres le calcul opérationnel de HEAVISIDE.
§ 2. - La détermination des petits mouvements du type u=euv(x) conduit
immédiatement au problème aux Umites (4), (5). Ce dernier admet pour certaines
valeurs de X dites valeurs fondamentales des solutions v(x) =£ 0 appelées fonctions
fondamentales. Si Xi et X2 sont deux valeurs fondamentales différentes, $i(x),
<I>2(x) deux fonctions fondamentales correspondantes, la relation d'orthogonaUté
généraUsée i i
(6) (Xi + X2) [a<Pi$2dx+ [b&i<P2dx=0
Q 0
montre que toutes les valeurs fondamentales sont situées dans une bande de
largeur finie, paraUèle à l'axe imaginaire du plan du paramètre complexe X.
L'ensemble des valeurs fondamentales est infini dénombrable, sans valeur d'accu-
mulation finie.
Les travaux de BIRKHOFF (*) et de TAMARKIN (2) permettent d'affirmer que
dans le domaine RX __" 0 il existe un système vL ,v2 de 2 solutions Unéairement
indépendantes de l'équation (4), du type
Vi = e
(?)
o
M*) + ^+o(|]
0
v2=e° [VM{X)+*&L + O(±
Il existe un système analogue dans le domaine RX __• 0. Désignons par G(x, f; X)
la fonction de Green du problème aux Umites (4), (5). C'est une fonction méro-
morphe de X, dont les pôles sont précisément les valeurs fondamentales Xjc du
problème aux Umites. L'existence d'un système (7) permet de vérifier les pro-
priétés suivantes de la fonction de Green :
a) Si l'on décrit autour de chaque point Xjc un cercle de rayon fixe ô
arbitrairement petit, et si l'on désigne par E& le plan de la variable complexe X
duquel on a enlevé l'intérieur de tous ces cercles, il existe une constante M=M(ò),
teUe que dans __$
M
\G(x,t, *)|<nn O^z^l, O^f^l;
(*) G. D. BIRKHOFF. On the asymptotic character of the solutions of certain linear diffe-
rential equations containing a parameter [Trans. American Math. Soc. 9 (1908), p. 219-231];
Boundary value and expansions problems of ordinary linear differential equations [ibid.
9 (1908), p. 373-395].
(2) J. TAMARKIN. Some general problems of the theory of ordinary linear differential
equations and expansion of an arbitrary function in series of fundamental functions
[Math. Zeitschrift, 27 (1927), p. 1-54].

M. PLANCHEREL: Développement d'un couple de fonctions 251
b) Si f(x) est une fonction à variation bornée, on a, uniformément
dans Q^x^l i
é) dXJG(x, S; X)f(i)di=o{^j
lorsque les intégrales de contour sont prises le long de certains cercles dont
le rayon tend vers l'infini.
On peut alors conclure que si Gic(x, f ; X) est la partie principale de G au
pôle Xjc, on a ff=^]ßfc, la série étant uniformément convergente en x, f, X
dans O^z^l, 0_^£_:1, et Eô. Les pôles de G sont en général du premier
ordre. Il peut cependant arriver qu'ils soient d'ordre supérieur. S'ils sont simples,
G prend la forme ^^
où l'on peut supposer que les fonctions fondamentales &jc sont normées par la
condition i
(8) f(2aXk+b)<Pldx=l.
§ 3. - Si f(x) possède une dérivée seconde continue et vérifie les conditions
aux Umites Ui(f) = 0, U2(f) = 0, on a
i
f(x) = fa(x, f ; X)[L(f) - (aX* + M)f]d£.
ò
Par suite, si v=v(x, X) désigne la solution du problème non homogène
(9) L(v) — (aX2 + bX)v = — (aX + b)u0 — aUi
(10) Ui(v)=0, U2(v)=0
on peut démontrer que lorsque u0 et uL vérifient les conditions aux Umites
i
v-U-l-^=-\JG(x, i; X)[L(u0)+ )-L(Ui) + bUi\sdÇ
o
Prenant alors a positif et assez grand pour que toutes les valeurs fondamen-
tales X]c aient leur partie réeUe inférieure à a, et définissant
(11) u(x, t) = JL Jfaçf) ektvdX,
I A \=Rn
l'intégrale de contour étant prise le long des cercles dont ü a été question plus
haut, on aura encore
a-+4œ
(12) u{x,t)=^-.je^v{x,k)dki

252 COMUNICAZIONI
a+iiZ
l'intégrale étant à interpréter corame Um / . A l'aide de (1) et des propriétés
R-+CO- ._
a—iR
asymptotiques de la fonction de Green, on vérifie encore que
a+400
(13> 5-55 *$/$> kM= s/-*""»
\l\-Bn "-^
h2U
en supposant encore que u0" est à variation bornée. —« ne peut pas se calculer
a+ÏOO dt
par dérivation sous l'intégrale / . On peut cependant, par quelques considé-
a—ioo
rations simples, vérifier que la fonction (12) est une solution du problème de
petits mouvements (1), (2), répondant aux conditions initiales u=u0, ->- ==Ui
pour £=0. Nous obtenons ainsi le résultat suivant: Les deux problèmes:
PROBLèME I. - Intégrer dans le domaine 0^#^ll, ^_?0 l'équation (1) sous
les conditions aux Umites (2) et les conditions initiales u=uQ(x), -^ =uL(x)
pour £=0.
PROBLèME II. - X désignant un paramètre complexe, intégrer l'équation (9)
dans le domaine 0_^#^1, sous les conditions aux Umites (10)
ont des solutions u(x, f), v(x, X) reUées entre eUes par les formules (transfor-
mation de Laplace)
a+iœ œ
u(x, t)=—- /ektHxi k)dX, v(x,X)= e~uu(x, t)dt.
§ 4. - Du développement en série de G(x, f ; X) et des formules (11) et (13),
le calcul des résidus permet d'obtenir des développements en séries de u(x, t)
et de -TT. Ces développements sont particuUèrement simples dans le cas où tous
les pôles de G sont simples ; ils ont alors la forme
u(x,t) = ^ex*tAJc<Pk(x)
du
Tt
k
du=^Xke^Ap^k(x)
k
et sont uniformément convergents dans 0^#^1, O^t^T, T fini. Les coeffi-
cients Ajc sont donnés par
±
Ak= l[(aXk+b)uo + aUi]<Pkdx
o
lorsque <Pk est norme par (8). Ces développements se réduisent pour t=0 aux
séries uniformément convergentes
u0 = ^Ak$k(x), Ui = ^XkAk@k(x).
k k

M. PLANCHEREL: Développement d'un couple de fonctions 253
Il est donc possible de développer en séries de fonctions fondamentales <Pk un
couple de fonctions arbitraires u0, uL possédant des dérivées secondes continues
et dont la première a de plus sa dérivée seconde à variation bornée et satis-
faisant aux conditions Ui(u0)= Ui(Ui)= U2(u0)=U2(Ui)=0. Il est intéressant
de remarquer que l'unicité du développement est vraie pour le couple, mais non
pas pour chaque fonction de couple. Ce n'est que dans certains cas particuUers
(par ex. b = 0) qu'en groupant les termes correspondant à des valeurs Xk
conjuguées complexes, on obtient des développements possédant la propriété
d'unicité pour chaque fonction du couple. Si la fonction de Green possède des
pôles d'ordre supérieur, les développements en séries de u, TT, UQ et uL sont
encore donnés par le calcul des résidus mais sont plus compUqués.
§ 5. - Si au Ueu des petits mouvements Ubres on a affaire à des petits mou-
vements contraints, le second membre de (1) est une fonction f(x, t) et il faut
ajouter au second membre de (9) la transformée
g(x,X)= \e~uf(x,t)dt.
De même, si les conditions aux Umites, sans contenir t expUcitement, contien-
nent T-,ilya Ueu de remplacer dans les conditions aux Umites du problème II
le symbole — par X en faisant figurer au second membre les données initiales.
On peut encore traiter d'une manière analogue le cas paraboUque a=0, ô>0.
Pour plus de détails, nous renvoyons à un travaü d'un de nos élèves, M.
W. MAECHLER, actueUement en préparation.