Ch IX RACINES CARREES 1. Définition. Symbole. Nombre irrationnel A) Carré et racine carrée ( )2 1 2 3 4 5 6 1 4 9 16 25 36 Le nombre noté Le symbole est le nombre positif dont le carré redonne a. a s’appelle le radical. L'opération "carré" et l'opération "racine carrée" sont des opérations contraires. B) 0 =0 1 =1 ; 4 1,44 = 1,2 ; 9 = ; 2 3 ; 9 =3 4 9 = ; 2 (−8) n’existe pas ; 9 2 7 3 La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas. C) Je retiens 2 2 ⎛ 2⎞ = 2 ⎝ ⎠ 32 = 3 2 2 ⎛ 7⎞ = 7 ⎝ ⎠ ⎛ 1, 8 ⎞ = 1,8 ⎝ ⎠ ⎛ a⎞ = a ⎝ ⎠ 102 = 10 4, 62 = 4,6 a2 = a D) L'escargot de Pythagore Théorème de Pythagore dans chacun des triangles : • OA1 = 1 • • • 3 4 A5 1 1 A1 (OA4)2 = 12 + ( 3 )2 = 1 + 3 = 4 donc : OA4 = 1 A6 2 (OA3) = 1 + ( 2 ) = 1 + 2 = 3 donc : OA3 = • 2 A4 A2 2 2 1 1 (OA2)2 = 12 + 12 = 1 + 1 = 2 donc : OA2 = A3 (a étant positif) 1 1 A7 O ( ou 2 ) 1 (OA5)2 = 12 + ( 4 )2 = 1 + 4 = 5 donc : OA5 = 5 En mesurant , on trouve : A8 2 ≈ 1,4 / 3 ≈ 1,7 / 4 =2/ 5 ≈ 2,2 1 A9 2. Equation x2 = a x2 = −14 pas de solution x2 = 0 x=0 x2 = 9 x = 3 ou x = - 3 S= 0 S = −3 ; 3 {} { } {} S ={ 0 } si a < 0 alors S = x2 = a Je retiens si a = 0 alors ⎧ ⎫ si a > 0 alors S = ⎨− a ; a ⎬ ⎩ ⎭ 3. Multiplier des racines carrées A) Avec la calculatrice 2× 3 = 1 6 donc B) Démontrons que — Soit N = 2× 3 = 2× 3 = 6 6 ( pour ceux qui sont intéressés ) 2 × 3 . N est un nombre positif. 2 — Calculons N N2 = ⎛ 2 × 3 ⎞ ⎝ 2 ⎠ N2 = ⎛ 2 × 3 ⎞ × ⎛ 2 × 3 ⎞ ⎝ ⎠ N2 = 2× 2 N2 = 2 N2 = 6 N = Finalement Je retiens ⎝ x ⎠ 3× 3 x 3 N est positif donc : 6 2× 3 = 2x3 si a et b sont positifs alors a× b = ab x2 = 7 7 ou x = - 7 ⎧ ⎫ S = ⎨− 7 ; 7 ⎬ ⎩ ⎭ x= C) Calculs • 2 × 18 = 36 • 5× 2 = • 3 2 ×5 7 = 3 x 5 x 10 = 6 = 15 x = 15 ⎛ ⎞2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ • ⎜3 6 ⎟ = ⎜3 6 ⎟ × ⎜3 6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =3x3x 6 x 2x 7 14 14 ⎛ ⎞2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ • ⎜−4 6 ⎟ = ⎜−4 6 ⎟ × ⎜−4 6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) 6 = −4 × −4 × 6 × 6 =9x6 = 16 x 6 = 54 = 96 4. Diviser deux racines carrées A) Avec la calculatrice 6 – 2 3 =0 6 = 2 donc B) Démontrons que 6 = 2 3 3 ( pour ceux qui sont intéressés ) D' après précédemment, on a : donc Je retiens 6 = 2× 3 6 = 2 3 a si a et b sont positifs (b≠0) alors C) Exemples 18 2 = = 18 2 100 ! 5 9 b = = = a b 100 5 20 =3 5. Simplifier une racine carrée A) Exemple 18 = ! = On a simplifié 18 = 9×2 9× 2 3 2 (sous le radical, le nombre est plus petit qu'au départ) B) Je retiens le procédé 50 = ! =5 25 × 2 ! 50 = 2! 10 × 5 = ?! A gauche, on peut simplifier grâce à ! ! 25 = 5. Il faut utiliser les carrés des nombres entiers : 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64 ; 81 ; 100 ; 121 ; 144 ; 169 ; 196 ; 225 . . . C) Remarque : on peut aussi faire 50 = 10 × 5 ! = 2× 5× 5 ! = 2 ×5 ! = 5 2 mais c’est plus long ! 6. Additionner ou soustraire des racines carrées A) Contre -exemple 9 + 16 ≠ 25 3 + 4 ≠ ATTENTION : a + b ≠ a+b et a − b ≠ a −b 5 B) Réduire des sommes où il y a des nombres irrationnels A = 3 2 +5 2 −2 2 =(3+5–2)x =6x 2 2 B = 7 3 +2 5 B ne se réduit pas comme : 7x + 2y C = 7 3 + 2 75 = 7 3 + 2 × 25 × 3 = 7 3 + 2 × 5× 3 = 6 2 = 7 3 + 10 3 = 17 3 On réduit comme pour : 3x + 5x – 2x 7. Quotients avec dénominateur irrationnel A= = = = 3 B= 5 3× 5 = 5× 5 3 5 = 5 3 5 5 = 15 2 3 15 × 3 2 3× 3 15 3 6 5 3 2 Quand il y a une racine carrée au dénominateur d'un quotient, on peut la faire disparaître de ce dénominateur.