A Primal/Dual Representation for Discrete Morse Complexes on

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A Primal/Dual Representation for Discrete Morse Complexes
on Tetrahedral Meshes
Thomas DIONISI - Rolih MEYNARD
1. Description du problème traité
Cet article propose une nouvelle représentation des complexes de Morse et de
Morse-Smale discrétisés à l’aide d’un maillage tétraédrique non structuré sur un champ
scalaire 3D. Il s’agit, à l’aide d’un maillage dual, d’avoir une meilleure représentation du
champ scalaire, notamment les points critiques, les points-selles et les graphiques
connectant ces différents points, ce qui forme un complexe de Morse ou de Morse-Smale.
Ceci permet d’extraire et de bien visualiser les régions les plus importantes du domaine.
Le complexe de Morse est performant dans l’identification, et notamment dans la
suppression des caractéristiques des données. Cependant, dans le cas où les données sont à
grandes échelles, un certain nombre de données peuvent être non pertinentes (données
bruitées). De plus, il est principalement utilisé pour des champs scalaires à cause de
contraintes de mémoire lors du calcul du gradient discret.
2. Etat de l’art
Les algorithmes basés sur la topologie et les structures de données sont étudiés dans
le cadre de la visualisation scientifique en utilisant la théorie de Morse. De nombreux
algorithmes ont été conçus pour effectuer l’analyse et la visualisation des grilles régulières
ou des maillages triangulaires et tétraédriques de taille limitée. De plus, d’autres algorithmes
ont été développés en vue de calculer les complexes de Morse-Small en 2D et 3D. Il existe
des algorithmes qui apportent des précisions géométriques en se référant au complexe de
Morse. Un certain nombre de méthodes basées sur la hiérarchisation des index spatiaux
utilisent la théorie de Morse pour mieux étudier les points, les cartes polygonales, les
représentations des frontières des objets et les maillages des triangles. Enfin, grâce au
complexe de Morse, une technique appelée le PR-star octree a été mise en place pour
indexer la connectivité topologique du maillage tétraédrique.
3. Contributions de l’article
Les auteurs présentent une relation entre le maillage et son dual et expriment le
complexe de Morse-Smale comme le maillage obtenu en faisant l’intersection entre ces deux
maillages.

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Ils s’intéressent principalement aux champs scalaires mais proposent également un
nouvel encodage pour les champs de vecteurs discrets. Enfin, il y a une nouvelle
implémentation du PR-star octree, une structure de données conçue pour les maillages
tétraédriques.
4. Description de la méthode
Le maillage dual est un maillage polyédrique où les i-simplexes correspondent aux (3-
i) simplexes du maillage primal : c’est-à-dire que les sommets correspondent aux tétraèdres
du maillage primal, les droites correspondent aux triangles du maillage primal, les triangles
aux droites et les tétraèdres aux points. Le complexe de Morse descendant est constitué des
éléments du maillage primal et le complexe de Morse ascendant est constitué des éléments
du maillage dual.
On définit un nouveau maillage défini comme l’intersection du maillage primal et du
maillage dual. Les cellules du complexe de Morse-Smale sont les éléments de ce nouveau
maillage. L’intersection entre un tétraèdre du maillage primal et un point du maillage dual
définit un hexaèdre constitué également de 6 quadrilatères et de 12 arètes. Les volumes (3-
cells) du complexe de Morse sont des ensembles d’hexaèdres, les surfaces (2-cells) de
quadrilatères et les droites (1-cells) d’arêtes.
Dans cet article, les auteurs proposent également un nouvel encodage pour les
champs de vecteurs discrets. Pour ce faire, ils considèrent un maillage tétraédrique et un
tétraèdre dans celui-ci. Le gradient discret associe 2 simplexes qui ont une dimension
d’écart, c’est-à-dire qu’on peut avoir les paires sommets/arêtes, arêtes/triangles et
triangles/tétraèdres. Il y a alors 28 paires de vecteurs discrets possibles dans la restriction du
domaine du vecteur au sein d’un tétraèdre, plus 4 avec un tétraèdre adjacent. Ceci fait donc
232 paires possibles par tétraèdre. Parmi toutes ces paires possibles, seulement 51030 sont
valides ce qui fait que chaque tétraèdre pourra être codé sur 2 octets.
Enfin, les auteurs ont implémenté une nouvelle implémentation du PR-star octree.
Cette structure de données, pour un maillage tétraédrique, encode les sommets et
tétraèdres du maillage et comprend un tableau de sommets, de tétraèdres et d’un arbre
indexant un sous-ensemble de sommets et de tétraèdres. L’algorithme utilisé ici exploite la
localité spatiale obtenue en réindexant les tableaux de sommets et de tétraèdres. Celui-ci
peut alors contenir davantage d’éléments sur le maillage.
5. Expérimentations
Il a été fait différents tests de performance sur les implémentations calculant le
gradient discret de différentes structures de données, pour différents algorithmes :
l’algorithme IA (Indexed data structure with Adjacencies), l’algorithme IAET (un algorithme
issu de IA mais optimisé) et le PR-star octree. Les tests montrent que le PR-star octree
nécessite moins de 3 fois moins de stockage par rapport aux autres algorithmes. En

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revanche, il est beaucoup plus lent pour extraire les différentes cellules du complexe de
Morse-Smale.
6. Analyse critique
Nous avons choisi cet article car on trouve intéressant de savoir comment visualiser
la partie la plus importante d’une image, comme les points critiques, avec le complexe de
Morse. L’intérêt de cet article est de traiter celui-ci d’une nouvelle manière.
On peut reprocher à cet article de ne pas avoir effectué de tests sur l’utilité de la
représentation primal/dual. De plus, l’algorithme du PR-star octree, même s’il nécessite
nettement moins de mémoire que les algorithmes IA et peut donc dans certains cas être
réalisable même si la mémoire restante est faible ou que les données sont très grandes, il est
beaucoup plus lent : il peut être dans certains cas jusqu’à 40 fois plus lent que l’algorithme
IAET pour certaines extractions de données.
Les auteurs comptent améliorer l’algorithme du PR-star octree, notamment l’étendre
à des tétraèdres dans un espace 4D, telles que les isosurfaces variant avec le temps.