- La Houille Blanche

LA HOUILLE BLANCHE
106
Canaux découverts
—
Application de la loi de Reech
par E . M O N T A G N E , Ingénieur, ancien élève, de l'Institut Polytechnique
de Grenoble
R.I
L'application de la loi d e R e e c h o u d e la relation Y = K // II ('),
d a n s laquelle À désignait le rapport -jjjel a et £ d e u x constantes,
relation d a n s laquelle V est la résultante des c o m p o s a n t e s de la
vitesse, d o n n e d a n s le cas des parois rugueuses et des grands o n peut remplacer ( ), pour plus d e facilité, A par \/ A et 11 par
rayons m o y e n s , des résultats qui s'éloignent b e a u c o u p d e c e u x // R .
q u e l'on calcule par la formule d e Bazin.
Si l'on a d m e t q u e a reste constant, les valeurs d e A , pour les
Ainsi, la courbe A de la figure 1 d o n n e les valeurs d u coefficient C
divers étals d e la paroi convergent toutes vers la limite a.
de la formule U = C / / R I . C a été calculé à l'aide des valeurs
Si n o u s prenons pour ordonnées y ('), les valeurs d e // A et.
d e U d o n n é e s elles-mêmes par le d i a g r a m m e relatif a u x parois rugueuses et à la pente 1 = 0,0045 et ce d i a g r a m m e a été établi pour abeisses x celles de
o n peut écrire
à l'aide d'une c o m p o s a n t e transversale V , = 0,14 m./s. en prenant
1
11,01 If» + 3 .v
C
ou e n laissant
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60
60
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i
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2
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4
fit
i
i
i
\
i
S
1
i
S
0 , 1 1 1 0 ( 1 + -;-v)
y
L e s formules relatives a u x différentes rugosités sont, figurées
par des droites (fig. 2 ) é m a n a n t toutes d'un point (x — o; y
= 0,0115) situé sur l'axe des o r d o n n é e s ; l'inclinaison d e ces
droites étant m e s u r é e p a r le coefficient angulaire 0,0115 •;,
ira a u croissant avec la rugosité d e la paroi.
C'est d a n s la convergence d e toutes les droites vers u n point
1
Fi§\ i
déterminé, pour
p o u r base U = 0,37 m./s. et R = 0,11 m . P o u r des rayons plus
grands q u e 1 m., la pente étant constante, l'influence des c o m p o santes transversales n'entraîne p a s d e différence sensible entre
= o qu'il faut voir la cause d e la diffé-
rence entre, la formule
d e Bazin
et l'application d e la loi
de R e e c h , m ê m ? m o M i é . ' , a u x parois rugueuses.
L a formule indique e n effet, q u e , p o u r u n r a y o n m o y e n très
l'application des relations V = K ( / R et U = K J / R c'est-à-dire grand, l'écoulement se produit c o m m e si la paroi était lisse.
entre l'application d e la loi d e R e e c h à la résultante el son Disons tout d e suite q u e cette hypothèse n'a p a s été faite p a r
application à la c o m p o s a n t e horizontale U .
Ganguillet et Kutter dont la formule n'élimine pas l'effet d e
I
P o u r la d e u x i è m e relation, C = /, est u n e droite parallèle à la rugosité p o u r
;-==• = o (fig. 2 ) .
l'axe des R et p o u r la première ( R > 1 m . ) , C = /, p e u t être
V R
considérée c o m m e telle avec u n e approximation suffisante.
O n a p u toujours r e m a r q u e r q u e l'influence d e la rugosité
L a courbe B d o n n e les valeurs d e C calculées p a r la formule était bien visible d a n s les très grands cours d'eau o ù les m o u v e d e B a z i n avec y = 1,40.
m e n t s tourbillonnaires et les pertes dues à la turbulence sont.
1res sensibles. T o u t e la m a s s e est affectée p a r des r e m o u s qui
L a formule d e Bazin, sous sa f o r m e la plus c o n n u e :
viennent m ê m e , p a r endroits, s'épanouir à la surface. Q u a n d
ils n e parviennent pas jusqu'à cette dernière, ils sont la cause
IT _ * 1 /
directe d e l'agitation bien visible d e la surface d u cours d'eau,
agitation qui se. traduit par u n m o u v e m e n t ondulatoire d o n t
I +
l'amplitude croît avec la rugosité, le r a y o n m o y e n et la vitesse.
O n sait q u e l'agitation près d e la surface, o ù elle est favorisée p a r
est tirée d e celle qui avait été tout d'abord proposée
la charge, b e a u c o u p m o i n s g r a n d e q u e celle qui s'exerce sur les
filets inférieurs, est la cause d u ralentissement bien m a r q u é
observé d a n s les couches superficielles. L e s pertes de. charge
V R
dues u n i q u e m e n t a u x aspérités des parois, sont d o n c loin d e
devenir très faibles d a n s les grands cours d'eau ; elles conservent
D a n s l'ancienne formule d e D a r c y :
u n e influence capitale.
R)
K)
7
^=0,0115
('
(!) La Houille Blanche, mai-juin 1927.
0 ) BAZIN. — • Annales
tre.
Article published by SHF and available at http://www.shf-lhb.org or http://dx.doi.org/10.1051/lhb/1928019
des Pouls
el Chaussées,
1897, 4
e
trimes-
LA HOUILLE BLANCHE
107
C o m m e Bazin a établi sa formule d'après certains résultats
d'expériences, e x a m i n o n s ces derniers. T o u s les résultats o n t
été groupés, à la suite d'un travail considérable, e n u n grand
O
i.oo
pour les grands rayons m o y e n s , d'inclinaison semblable, m a i s
qui coupent nettement les courbes C =-- / données par la formule.
(R)
3.0
Z,o
R$
s
4,o
4-.S
z
Pour /a formu/e de Gangui//et et JCt/ffer, /es feisciaisx
rtlatifs aux parois très unies et aux
6ont
parois de gravier
seu/s indiqués
n o m b r e d e points se répartissant d e part et d'autre des droites
issues d u point P (fig. 2), M a i s ces points, pris d a n s des données se rapportant à des cours d'eau d e rayons m o y e n s et d e
pentes très diverses, donc, d e vitesses et, par conséquent, d e
degrés d e turbulence bien éloignés les uns des autres, n e sont
pas comparables entre e u x bien q u e les rugosités puissent paraître
semblables. N o u s préférons considérer plusieurs séries d'expériences citées par Bazin, m a i s choisies avec soin pour q u e les
conditions de pente et de rugosité les rendent comparables. N o u s
serons d a n s ce cas, d a n s des séries d e mesures exécutées sur
le m ê m e cours d'eau o ù la vitesse ne deviendra pas suffisante
pour augmenter la rugosité (*), o ù la pente sera sensiblement
constante, et qui permettront d e tracer u n e partie d e la courbe
<• /,-
Telles sont, fig. 3 :
C
, Canal du &anpr J J<a/r?/?<
/, de A oaa/SS. é O, oooîOS
i Urith. Canal
ïjel'O, oooîS J 0, oooi?
v Seine d
Earis
L t 0,ooof4
N o u s obtenons ainsi u n e série d e courbes qui sont toutes,
Fi
g :
3
(') C o m m e l'a remarqué. M . Strickler ( M . Haegelen, Houille
Blanche, janv.-février 1925), dès q u e la vitesse atteint u n e certaine
1° L a courbe obtenue d'après les mesures très remarquables,
valeur, les graviers sont entraînés. L e m o u v e m e n t c o m m e n ç a n t
à
divers
points d e v u e de M . Àllan C u n n i n g h a m , sur le canal d u
par les plus petits, la rugosité est notablement augmentée.
108
LA HOUILLE
G a n g e à Solaui o ù la pente se maintient, autour de. 0,000195
pour R variant d e l , 0 4 2 à 2 , 4 2 0 et U de 0,74 m / s à 1,23 m./s.
m
m
2° L a courbe d o n n é e par le Linth-Canal p o u r u n e pente passant d e 0,00029 p o u r R = l , 5 6 7 et U = 1,041 m./s. à 0,00037
pour R = 2 , 7 9 9 et U — 1 , 6 8 6 m./s.
m
m
BLANCHE
permettent d e prévoir u n e correct ion à la loi de R e e c h qui,
appliquée à la résultante V d a n s le cas des parois lisses d o n n e
sensiblement, les m ê m e s valeurs q u e la formule d e Bazin.
M. L. E s c a n d e a calculé les débits d u barrage projeté en partant
de quatre modèles : a u
J
_L
I
J
3° L a courbe d o n n é e par la Seine à Paris pour u n e pente
m o y e n n e d e 0,00014 avec des valeurs comprises entre 0,000127
3tïir
f . x r iiiô'
io,r>
pour R = 1.725 m . et U = 0,638 m./s., d e 0,000172 p o u r R =
L e s trois premiers modèles étaient; coulés e n bronze, puis
4,855 m . et U = 1,427 m./s., d e 0,000103 p o u r R = 5,604 m . et usinés soigneusement, à la fraiseuse, le quatrième était consfruil
U = 1,429 m./s.
en béton a r m é .
S u r les grands cours d'eau toutes les m e s u r e s et surtout les
mesures d e pente, sont très délicates. L a dernière (fig. 3 ) sur la
Seine doit être erronée, c o m m e d'ailleurs celle qui se rapporte
à la pente I = 0,000172 et R = 4,855 m . C e s d e u x mesures
d o n n e n t d e u x points extrêmes q u e l'on peut situer approximativ e m e n t sur la m ê m e courbe e n faisant d a n s les d e u x cas, I =
0,00014.
P o u r déterminer le débit écoulé par le barrage réel, les charges,
mesurées soigneusement, étaient multipliées par le rapport d e
similitude X et les débits par À - , en considérant, dans c h a q u e
cas, le débit par unité d e longueur d u barrage. Or, les courbes
d o n n a n t les débits sur le barrage réel, et calculées à l'aide de
c h a c u n des modèles par la loi d e R e e c h n e coïncident pas.
1
L e m o d è l e le plus grand ( '/.
O n peut extrapoler les courbes d e la figure 3, e n particulier
celle d u canal d u G a n g e et voir q u e , p o u r des rayons m o y e n s d e
0 , 5 et l , le coefficient. C qu'elles d o n n e n t s'écarte b e a u c o u p
de celui qui est calculé par la formule d e Bazin. O n n e peut,
cependant, aller trop loin d a n s cette voie, car o n risque, pour
les petits R et à d'aussi faibles pentes, d'obtenir u n régime intermédiaire, déjà signalé p a r M . Camichel, situé entre le régime
laminaire et le régime f r a n c h e m e n t turbulent. C e c h a n g e m e n t
de régime, modifiant la perte d e charge, qui n'est plus sensiblem e n t proportionnelle à u n e puissance d e la vitesse voisine d e
2 entraîne l'impossibilité d'appliquer à l'écoulement l'équation
du mouvement :
R.I — b
m
base
5
3
|i| .-,) d o n n e 35,2 m / s . par mètre
de longueur pour u n e charge d e 6
m
el le m o d è l e le plus petit
m
A
3
( " ~ ^ Q Q | d o n n e 33,2 m / s . pour la m ê m e charge. M. L. E s c a n d e
a noté q u e la divergence des courbes était systématique. N o u s
a v o n s établi q u e les divers modèles donneraient les m ê m e s
résultats si, pour obtenir les débits o n écrivait > . a u lieu
d e a'' . C e s mesures peuvent d o n c montrer qu'un résultat correct
serait obtenu si o n appliquait la relation, dans le cas général d e
la loi d e Reech.
, M
5
V,
1,3 L
- \
L étant le rapport d e similitude.
d e formule
U = Cj/ÏO
Sous cette réserve, la courbe d u canal d u G a n g e d o n n e l'indication que, p o u r des coefficients C é g a u x , d a n s le cas de rayons
m o y e n s d e 0 , 5 , la formule d e B a z i n d o n n e p o u r R = 2 , 5 u n e
erreur d e 1 6 % . E n effet, u n e courbe parallèle à celle d u canal
d u G a n g e d o n n e p o u r C, 4 8 a u lieu d e 56. L'erreur serait bien
plus grande e n partant d'un r a y o n m o y e n inférieur à 0 5 o u
e n faisant le calcul p o u r R = 5 .
m
Ces résultats m o n t r e n t q u e la loi d e R e e c h des fluides parfaits
n'est pas rigoureusement applicable, à des ouvrages courts, d a n s
lesquels la viscosité joue u n rôle important.
m
APPLICATION
V
l
_
1.93/
I>K
LA
L
RELATION
y
1,83
H
m
m
L a courbe A d e la figure 1, reproduite sur la figure 3, m o n t r e
q u e l'application d e la relation V = K [/ R d o n n e u n e courbe
C=/
qui n'est p a s parallèle à celle d u canal d u G a n g e , d u
Lint-Canal et d e la Seine à Paris établies p o u r des rugosités
m o i n s grandes. E n passant d e R = 1 m . à R = 3 m., l'application d e la loi d e R e e c h , c o m p a r é e a u x résultats e x p é r i m e n t a u x
d o n n e u n e erreur m o y e n n e d e 1 0 % .
R )
N o u s a v o n s recherché, d a n s toutes les expériences citées p a r
Bazin, s'il était possible d e tracer des courbes C = /
depuis
u n e faible valeur d e R jusqu'à R = 5 m . pour des parois d e
gravier, d a n s l'espoir d'établir les corrections à la loi d e similitude qui paraissent s'imposer, particulièrement d a n s le cas
des parois rugueuses. M a i s d a n s le plus grand n o m b r e d'expériences, les pentes sont trop variables p o u r permettre d e tracer
correctement les courbes C = / . D'autre part, les mesures
précises exécutées par M . L . E s c a n d e a u Laboratoire d e l'Institut Electrotechnique et de M é c a n i q u e appliquée d e Toulouse (*)
sur des modèles réduits d'un barrage projeté sur l'Hérault
v; ~
y
0,1
' ^ y
L a cause exacte, des corrections à appliquer est très liée à la
viscosité et à la question très c o m p l e x e d e la turbulence à des
vitesses et des charges variables.
D a n s u n canal à parois d e ciment lissé d e pente I ----- 0,00026
(B)
CR]
FIÇ. 4
et d e tirant d'eau h, n o u s a v o n s m e s u r é la c o m p o s a n t e verticale
V ! de, la vitesse el nous a v o n s o b t e n u V = 0,045 m./s.
v
A u point o ù la fluorescéine apparaît à la surface, l'eau est
colorée sur u n e largeur / telle q u e / ----- 2 /; environ. D o n c ,
e n écrivant
i
,;
..
(
L
( ) C o m p t e rendu d e l'Académie des Sciences, t. 18tt, p . 2K
séance d u 3 janvier 1928.
(') Lu Houille lilunc.he, tuai-juin 1927.
LA HOUILLE BLANCHE
109
on obtient
Vitesse transversale
V,
mesurés, l'influence des c o m p o s a n t e s
plus g r a n d e (figure 8 ) .
2 V,
a
C e p e n d a n t , V , n'est pas la c o m p o s a n t e transversale d e l
vitesse. O n n e peut, en effet, considérer, pour calculer la quantit
de m o u v e m e n t d'une particule d'eau d e m a s s e m q u e son dépla"
cernent selon la trajectoire qu'elle parcourt réellement.
; I
U
m/
transversales est bien
5
e
sV
Or, les c o m p o s a n t e s transversales d e la vitesse V d e cette
particule son) égales à V , puisque
15
y,
v
Af
e
V,
l'y
ri
R
L a résultante V est d o n c la diagonale O D (figure 5 ) .
0,s
r
5
'î-
4,5
o,s
l'ar suite, le d i a g r a m m e permettant d e calculer U connaissant
la c o m p o s a n t e horizontale pour u n rayon m o y e n déterminé et la
c o m p o s a n t e verticale q u e n o u s considérons c o m m e constante
pour des rayons plus grands est celui de la figure 6.
11 suffit d'appliquer à la résultante d e base V la relation
v
L a relation V = K Y/"^
donnerait
de bons
résultats
pour
des rayons m o y e n s plus grands q u e 1 ni. Au-dessous d e cette
valeur d e R , les variations d u frottement intérieur, conséquence
k^ »
[)our obtenir les valeurs d e U .
s
L a c o m p a r a i s o n des valeurs d e U ainsi obtenues avec celle
qui sont calculées par la formule de Bazin e n prenant y = 0,06
et I = 0,00026 est faite d a n s la figure 7.
11 convient d e n e pas oublier : 1° Q u e le d i a g r a m m e ci-dessus
s'applique à u n canal d e largeur indéfinie et q u e la présence d e
parois latérales peut modifier les résultats dans le sens d e la
formule d e B a z i n ; 2 ° Q u e la formule d e B a z i n d o n n e pour les
parois lisses des résultats u n p e u trop forts p o u r les grands
rayons m o y e n s . E n outre, l'indice 1,93 ne peut être considéré
c o m m e définitif. Il peut varier avec le r a y o n m o y e n et surtout
avec l'agitation.
P o u r des parois d e gravier, u n e penle I = 0,0045, u n e c o m p o sante horizontale mesurée U = 0,37 m./s., u n e vitesse verticale
V , = 0,14 m./s. et u n r a y o n m o y e n R = 0,11 m . également
Fïf : 8
des variations des m o u v e m e n t s t u m u l t u e u x , sous des charges
décroissantes sont telles qu'une relation simple n e peut rendre
c o m p t e des résultats expérimentaux,