Mayhem Solutions: M146-M150

a b c a +b+c= 1
(ab)5/4+ (bc)5/4+ (ca)5/4<1
4
(ab)5/4+ (bc)5/4+ (ca)5/42
≤√ab +√bc +√ca(a2b2+b2c2+c2a2)
√ab +√bc +√ca ≤1
2(a+b) + 1 2(b+c) + 1 2(c+a) = a+b+c= 1
a2b2+b2c2+c2a2<1
16
a≤b≤c
p(a+b)c≤1
2(a+b) + c=1 2
1
16 ≥c2(a+b)2=a2c2+b2c2+ 2abc2> a2c2+b2c2+abc2
a≤b≤c abc2> a2b2
n
n n
3 : 1
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···
r
r
nπr2−nπ r n2
=πr21−1
n
nπ r
n2
=πr21
n
3 =
πr21−1
n
πr21
n=n1−1
n=n−1
n= 4

x > 1y > 1z > 1x2=yz
logzx xy4zlogxy xyz4
x y z x > 1y > 1z > 1
x2=yz f = logzx(xy4z)g= logxy(xyz4)
(xz)f=xy4z=x3y3= (xy)3
(xy)g=xyz4=x3z3= (xz)3
(xz)fg =(xy)3g=(xy)g3= (xz)9
xz > 1f g = 9
12
ABC
λ λ
(a, b, λ)
a= 2xyt
b= (x2−y2)t
c= (x2+y2)t

x y t x y x > y a
b
P A
P=a+b+c= 2xyt + (x2−y2)t+ (x2+y2)t= 2xt(x+y)
A=1
2ab =1 2(2xyt)(x2−y2)t=xyt2(x2−y2)
λ
xyt2(x2−y2) = λ2xt(x+y)
λ λ =1
2y(x−y)t λ
t y
(a, b, c) = 2xyt, (x2−y2)t, y(x−y)t
2
x y x > y y t
z1z2
z1+z2=−(i+ 1)
z1·z2=−i
z1z2z1·z2
z1·z2=z1
z2· |z2|2(z1+z2)2= 2i=−2z1·z2
z2
1+ 4z1z2+z2 2= 0
z1
z22
+ 4 z1
z2+ 1 = 0
z1
z2
z1·z2
|z1·z2|=|z1·z2|= 1 z1·z2=−1