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Exercices
Ondes sonores
1. Équation d’onde. Ordres de grandeur
Figure 1 – Dilatation d’une tranche de
gaz
Equation d’onde et ordres de grandeur
Un cylindre horizontal, d’axe Ox, de section Sconstante
est rempli d’un fluide non visqueux, compressible. Au
repos, une masse dm de ce fluide est comprise entre
les abscisses xet x+dx (dx est un infiniment petit
macroscopique). La pression est alors P0et la masse
volumique ρ0. Les effets de pesanteur sont négligés.
Après une perturbation, les mouvements de faible
amplitude du fluide le long de l’axe Ox sont caractéri-
sés par ξ(x, t), déplacement du fluide en xà l’instant
tet p(x, t) = P(x, t)−P0, la surpression (algébrique) ou écart de pression par rapport à la pression
statique encore appelée pression acoustique, en représentation lagrangienne.
1. Équation d’onde à une dimension - Célérité
(a) Donner l’expression (1) de la dilatation δ, supposée petite, c’est-à-dire de la variation
relative de volume d’une tranche de masse dm.
(b) Justifier l’utilisation du coefficient de compressibilité isentropique χS, et donner son
expression (2) en fonction de δet p. Éliminer δentre (1) et (2) ; relation (2’).
(c) Écrire la relation fondamentale de la dynamique pour l’élément de masse considéré à
l’ordre le plus bas ; relation (3).
(d) Déduire de (2’) et (3) les équations différentielles satisfaites par ξ(x, t)et p(x, t)et
donner la célérité cdes ondes acoustiques.
AN : eau : ρ0= 103kg.m−3;χ= 5.10−10 Pa−1.
Montrer que pour un gaz parfait, elle ne dépend que de la température T.
air : γ= 1,4,R= 8,31 J.K−1.mol−1,T0= 20 ◦C, et M= 29 g.mol−1.
2. Justification de la condition d’adiabaticité
(a) Si la chaleur s’écoulait très rapidement depuis les tranches comprimées (plus chaudes)
vers les tranches dilatées (plus froides), l’équilibre thermique se réaliserait "instanta-
nément" et la transformation thermodynamique serait alors isotherme (c’est ce que
pensait en particulier Newton).
Montrer que cela conduirait, pour l’air par exemple, à une célérité fausse.
(b) Une approche plus fine compare la distance parcourue par la chaleur pendant une
période, soit xchaleur , à la distance parcourue par l’onde pendant le même temps, soit
xonde , toujours pour l’air.
– à partir de l’équation de d’Alembert, donner xonde
– à partir d’une analyse dimensionnelle de l’équation de la chaleur, ∂T
∂t =D∂2T ∂x2avec
D=λ/ρ0.cp, que l’on nomme la diffusivité thermique ou coefficient de diffusion
(λ= 2,5.10−2W/m/K conductivité thermique, ρ0= 1,2kg.m−3masse volumique ;
cp= 103J.K−1.kg−1chaleur massique à pression constante), donner xchaleur .
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Montrer que l’approximation xchaleur ≪xonde est très correcte tant que la fréquence
ne dépasse pas une limite fl. Conclusion.
3. Ordres de grandeur en acoustique
La surpression se propageant, on l’écrit sous forme d’une onde plane progressive sinusoïdale :
p(x, t) = √2peff cos(ωt −kx)
(a) Voici d’abord les caractéristiques physiologiques du son.
– l’intensité √2peff est l’amplitude de l’onde (valeur maximale de la surpression) ; plus
elle est grande, plus le son est fort. Vers 1000 Hz, le seuil d’audibilité en pression
acoustique est de 2.10−5Pa, ce qui fixe l’intensité sonore de référence à 0 dB, et
donc pour une valeur quelconque IdB = 20 log peff
2.10−5en dB. (conversation de deux
personnes : 60 dB ; seuil de douleur 120 dB). Justifier la présence du facteur 20.
– la hauteur f=ω
2πest la fréquence ; plus elle est grande, plus le son est aigu. Une
oreille humaine jeune perçoit les sons depuis 20 Hz jusqu’à 20 000 Hz.
Donner dans l’air les longueurs d’onde correspondantes ainsi que celle de la fréquence
1000 Hz.
– le timbre. Pour une onde non purement sinusoïdale, mais un son avec fondamental
et harmoniques, on parle du spectre sonore lié au timbre du son qui fait la différence
"de couleur" entre une soprano et une basse chantant le même Ré3avec la même
intensité.
(b) Ce paragraphe concerne une onde sonore d’intensité 60 dB et de fréquence 1000 Hz
pour l’air (gaz parfait) à 20 ◦C.
– pression acoustique : calculer peff et vérifier l’hypothèse p≪P0= 1 bar.
– déplacement particulaire : calculer ξeff et comparer à dx et λ.
– vitesse particulaire : calculer
– écart de température acoustique : calculer ∆Teff. Conclusion.
2. Réflexion sur un bouchon
On suppose un tuyau sonore fermé par un bouchon rigide en x= 0.
1. Une onde incidente sinusoïdale est réfléchie par le bouchon : vi=v0cos (ωt −kx).
Calculer les coefficients de réflexion et de transmission en vitesse rvet tven x= 0.
2. Calculer de même les coefficients de réflexion et de transmission en pression, rpet tpet en
énergie Ret Tpour un tuyau fermé. Commenter.
3. Énergie acoustique
Notation : < X > représente la moyenne temporelle de la fonction périodique X(t).
1. Une tranche de fluide de masse dm est mise en mouvement par le passage de l’onde acous-
tique dans le cylindre d’axe Ox et de section S.
(a) Donner l’expression de la densité volumique d’énergie cinétique ec, en fonction de la
vitesse particulaire v=∂ξ/∂t.
(b) À l’équilibre, la pression est P0(p= 0) et le volume dV0. La tranche est amenée jusqu’au
volume dV sous pression finale P=P0+p.
Calculer l’énergie potentielle dEpacquise par l’élément de fluide comme travail reçu
et stocké pendant la compression en notant dVile volume intermédiaire entre dV0et
dV et pila surpression entre 0 et p(démonstration analogue à celle de la corde). En
déduire la densité d’énergie potentielle epen fonction de p.
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(c) Donner la relation (en valeur instantanée) entre surpression p(x, t)et vitesse particu-
laire v(x, t)pour une onde plane progressive OPP (non nécessairement sinusoïdale se
propageant suivant Ox+prise sous la forme ξ(x, t) = f(t−x/c). (On pourra noter ˙
f
la dérivée de fpar rapport à t−x/c).
En déduire la densité d’énergie totale e=ec+eppour une telle onde. Que se passe-t-il
pour une OPP se propageant suivant Ox−, et ensuite pour une onde stationnaire ?
Montrer que pour une OPP sinusoïdale de pulsation ωet d’amplitude vibratoire a,
on retrouve pour < e > les résultats classiques de l’oscillateur harmonique. Donner
ensuite < e > en fonction de p0, amplitude de p(x, t).
2. L’intensité acoustique Iest l’énergie moyenne qui traverse l’unité de surface normale à Ox
pendant l’unité de temps (c’est un flux d’énergie).
(a) Montrer que I=< pv >.
Quelle expression obtient-on pour une OPP suivant Ox+en fonction de < e > ? Et
pour une OPP suivant Ox−?
Cas d’une OPP sinusoïdale en fonction de peff . Comment utiliser la notation com-
plexe ?
Généraliser à −→ I(M, t)un champ de vecteur dont le flux à travers une surface orientée
est égal à la puissance acoustique instantanée.
(b) Soit vela vitesse de propagation de l’énergie. En raisonnant sur un petit cylindre
convenablement choisi, exprimer veen fonction de la célérité c.
3. (a) Faire un bilan d’énergie acoustique (en dehors des sources), d’abord sous forme intégrale
(surface Sfermée limitant un volume V), puis donner l’équation de conservation de
l’énergie sous forme locale.
(b) Vérifier explicitement cette équation spatio-temporelle dans le cas d’un problème à une
dimension avec les expressions de −→ Iet eci-dessus.
4. Utilisation de la glycérine pour la transmission des ultrasons
Une onde plane ultrasonore se propage dans un échantillon d’aluminium suivant l’axe (0x).
On désire étudier cette onde à l’aide d’un détecteur (céramique piézo-électrique reliée à un am-
plificateur) placé contre l’échantillon. Malgré un bon contact, une couche d’air subsiste.
1. En supposant les milieux non absorbants, déterminer l’intensité sonore Idreçue par le détec-
teur en fonction des résistivités acoustiques respectives ral,rair,rdde l’échantillon d’alumi-
nium, de l’air, du détecteur et de l’intensité incidente I0. On tiendra compte des réflexions
multiples et on expliquera préalablement pourquoi, compte tenu des fluctuations d’épaisseur
le long de la couche, on peut, dans ce calcul, simplement ajouter les intensités des ondes
émergentes. On rappelle que les coefficients de réflexion et de transmission énergétiques
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entre deux milieux de résistivités acoustiques respectives r1et r2valent : R=r1−r2
r1+r22
et T= 1 −R=4r1r2
(r1+r2)2.
2. Calculer le rapport Id
I0
.
3. Sachant que rdet ral sont très grand devant rair simplifier l’expression précédente. On fera
apparaître des infiniment petits du premier ordre.
Données : ral = 16,9 106kg.m−2.s−1,rd= 31 . 106kg.m−2.s−1;rair = 428 kg.m−2.s−1
4. Pour limiter la perte d’intensité, on place entre l’aluminium et le détecteur une couche de
glycérine assurant un bon contact. Déterminer la nouvelle valeur I′
dde l’intensité sonore
dans le détecteur en fonction de ral,rgl,rdet de I0.
5. Calculer la nouvelle valeur du rapport . Commenter.
Donnée : rgl = 2,42 106kg.m−2.s−1
5. Transmission à travers une cloison. Isolation
Dans le plan x= 0 se trouve une cloison et le milieu unique de part et d’autre (pour x < 0et
pour x > 0) est de l’air d’impédance Z0=ρ0c.
Une onde plane progressive harmonique décrite par pi(x, t) = p0exp i(ωt −kx)arrive dans
la région x < 0sur la cloison. L’amplitude de l’onde de pression transmise est cherchée sous la
forme tp0.
1. Pourquoi prévoir un coefficient de transmission ta priori complexe ?
2. La cloison est d’épaisseur aet de masse volumique ρ. A quelle condition à expliciter et
supposée vérifiée par la suite, peut-on la décrire par un modèle surfacique de masse surfacique
σà déterminer ?
3. Indiquer, en les justifiant, les relations permettant d’établir l’expression :
t=1
1 + iωσ
2Z0
4. En déduire le coefficient de transmission Ten énergie, rapport des flux moyens d’énergie
transmise et incidente.
5. Tracer l’allure de la courbe TdB = 10 log T(ω)en fonction de log ω. Quelle est la nature du
filtre, la fréquence de coupure fc, à -3 dB et la pente pour f > fc?
6. On souhaite un affaiblissement de 40 dB pour une fréquence de 200 Hz. Dans quel domaine
se situe la fréquence de coupure fc?
Conclure quant à l’atténuation entre deux pièces voisines, pour un son grave ou un son aigu.
Avec p0= 1,2kg.m−3et c= 343 m.s−1, en déduire la masse surfacique σ, puis l’épaisseur
ade la cloison sachant que sa masse volumique est ρ= 1200 kg.m−3.
L’hypothèse envisagée à la question 2 est-elle vérifiée ? Quels sont les facteurs permettant
d’améliorer l’isolation phonique ?
6. Généralités sur les ondes sonores (CCP, PSI, 2003)
On étudie la propagation des ondes sonores dans l’air, initialement au repos, assimilé à un gaz
parfait subissant des transformations isentropiques.
On note P,ρet −→ vla pression, la masse volumique et le vecteur vitesse en un point de l’air.
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On rappelle la définition du coefficient de compressibilité isentropique de l’air (que l’on sup-
posera constant) : χS=−1
V∂V ∂P S
=1
ρ∂ρ ∂P S
.
On néglige les effets de la pesanteur. De plus, l’air, supposé parfait, est non visqueux.
L’étude est menée dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen.
1. Soit une particule de fluide de volume dτ =dx.dy.dz.
Montrer que la résultante des forces de pression exercées sur la particule par le fluide situé
à l’extérieur de l’élément dτ s’écrit :
−→
df =−−−→ gradP.dτ.
2. L’équation d’Euler s’écrit :
ρ∂v
∂t + (v.grad)v=fV−gradP. (1)
Que représente le premier membre de cette équation (on veillera à la précision de la ré-
ponse) ?
3. ρet −→ v(masse volumique et vitesse) satisfont également la relation (2) suivante :
∂ρ
∂t +div(ρ.−→
v) = 0 (2)
Que traduit cette relation ?
4. En l’absence d’ondes sonores, on a : −→ v=−→ 0, P =P0, ρ =ρ0.
En présence d’ondes sonores, on obtient : −→ v6=−→ 0, P =P0+p, ρ =ρ0+µ. où pest la
surpression acoustique et µla variation de masse volumique.
−→
v,pet µont en tout point du fluide une valeur moyenne nulle et sont considérés comme
des infiniment petits ainsi que leurs dérivées spatiales et temporelles.
Dans toute la suite, on se place dans l’approximation acoustique. Cela signifie que tous
les calculs seront menés à l’ordre 1 des infiniment petits, ce qui permettra d’obtenir des
équations linéaires.
Que deviennent les deux équations (1) et (2) dans cette approximation ?
5. Justifier la relation :
µ=ρ0.χS.p (3)
6. On rappelle que div(−−→ gradf ) = ∆f,fdésignant une fonction scalaire et ∆l’opérateur
laplacien.
(a) Montrer que la surpression vérifie l’équation de propagation (tridimensionnelle) de
D’Alembert.
(b) Donner l’expression de la vitesse de propagation du son, notée c("célérité du son").
7. On étudie la propagation d’une onde sonore dans l’air qui remplit un long cylindre d’axe
Ox et de section Sconstante. On considère que l’onde est plane, progressive, sinusoïdale et
qu’elle se propage selon Ox dans le sens des xcroissants (x > 0).
On pose, en notation complexe :
p(x, t)=p0exp(j(ωt −kx)) = p0exp(j(ωt −kx))
pour la surpression (complexe) instantanée, et
−→
v(x, t)=v(x, t).−→
ex=v0exp(j(ωt −kx −φ)).−→ ex=v0exp(j(ωt −kx)).−→ ex
pour la vitesse (complexe) instantanée.
Dans ces expressions, kest supposé réel (et non pas complexe).
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(a) Etablir la relation entre ket ω?
(b) Exprimer p(x, t)en fonction de v(x, t),ρ0et c(c: célérité du son). En déduire la valeur
de φ?
(c) On définit l’impédance acoustique d’un milieu par la relation
Z=Z=p(x, t)
v(x, t)
Exprimer Zen fonction de ρ0et c(on vérifiera que Zest réelle).
(d) Application numérique : on veut calculer la valeur de Zpour l’air à 20◦C, à pression
usuelle P0= 105Pa. L’air est assimilé à un gaz parfait diatomique (γ= 7/5).
Données numériques :
– masse molaire de l’air : 29.10−3kg.mol−1
– constante des gaz parfaits : R= 8,31 J.K−1.mol−1.
i. Etablir la relation liant χSàP0.
ii. Calculer χS,c(célérité) et Z(on prendra le kg.m−2.s−1comme unité de Z).
(e) Dans le cas d’une onde régressive (se propageant dans le sens des xdécroissants), que
deviennent :
i. les expressions de v(x, t)et p(x, t)
ii. l’expression de l’impédance acoustique que l’on notera Zr=p(x, t)
v(x, t)?
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