Cours et activités

CHAPITRE
Construction de
triangles
Énigme du chapitre.
Soit ABC un triangle tel que AB = 140 cm,
BC = 53 cm et CA = 82 cm. Calculer le perimètre et l’aire du triangle ABC.
2
Objectifs du chapitre.
— Connaître et utiliser l’inégalité triangulaire
— Construire un triangle connaissant :
— la longueur d’un côté et les deux
angles qui lui sont adjacents,
— les longueurs de deux côtés de
l’angle compris entre ces deux côtés,
— les longueurs des trois côtés.
I/ Construction de triangles
Activité A. Construire des triangles
1. Construire le triangle ABC suivant avec la règle et le compas :
C
BC = 6 cm
AC = 3 cm
A
B
AB = 5 cm
Comparer ensuite la figure obtenue avec celle des autres élève de la classe et du dessin.
2. (a) Tracer un segment [EF ] de longueur 7 cm, puis construire tous les triangles de côté
[EF ] et dont les autres côtés mesurent
respectivement 5 cm et 4 cm.
S0
(b) Comment passe-t-on de l’un de ces triangles à chacun des autres ?
3. Le triangle ST U est en partie effacé. On sait de plus que SU = 3 cm.
S
40◦T
ST = 4 cm
(a) Reproduire la figure ci-dessus et retrouver le point U.
(b) Tous les élèves de la classe obtiennent-ils le même triangle ?
1) connaissant trois côtés du triangle (rappel de 6e)
On veut construire le triangle KLM tel quel KL = 6 cm, ML = 5 cm, KM = 4,5 cm.
2) connaissant deux côtés et un angle
[ = 99◦ .
On veut construire le triangle BAS tel que AB = 10,4 cm, BS = 8 cm et ABS
3) connaissant deux angles et un côté
[ = 100◦ et AZG
[ = 31◦ .
On veut construire le triangle GAZ tel que AZ = 11,2 cm, GAZ
1. Tracer le segment [AZ] de longueur 11,2 cm.
[ = 100◦ .
2. Tracer la demi-droite [AX) d’extrémité A et tel que XAZ
3. Tracer la demi-droite [ZY ) d’extrémité Z et tel que Y[
ZA = 31◦ .
4. Prolonger les demi-droites [AX) et [ZY ). Elles s’intersectent au point G.
Faire les exercices 1 2 3 4 5 F 6 F
II/ Inégalité triangulaire
Activité B. Hasardons-nous à construire des triangles ?
1. Choisir trois nombres compris entre 2 et 15. Notez-les sur votre cahier. À main levée, trace
un triangle dont les trois nombres choisis sont les mesures de ses côtés (en cm).
2. Essayer de construire précisement ce triangle (en vous aidant de votre règle et de votre
compas).
3. Est-ce que tous les élèves de la classe ont forcément réussi à tracer leur triangle ? Expliquer
pourquoi.
4. Penses-tu qu’il soit possible de tracer précisement le triangle représenté ci-contre à main
levée ? Justifier.
B
13 cm
7 cm
A
4 cm
C
1) L’inégalité triangulaire
Propriété (Inégalité triangulaire)
Quels que soient les points A, B, C, on a :
AB + BC ≥ AC.
Remarques
En particulier
— Si AM + MB = AB, alors le point M
appartient au segment [AB]
— Si le point M appartient au segment
[AB], alors AB = AM + MB.
AM + MB = AB
B
M
A
Attention
Si AM + MB = AB, alors M n’est pas nécessairement le milieu du segment [AB].
2) Conséquence pour les triangles
Conséquence
On ne peut pas construire un triangle dont les
côtés ont pour longueurs trois nomres données
a, b, c que si chacun d’eux est inférieur à la
somme des deux autres :
a
c
b
a <b+c
b <a+c
c <a+b
Remarque
Il suffit en fait de vérifier que le plus grand des trois nombres est inférieur à la somme des deux
autres.
Faire les exercices 7 8 9 10 11 12 F 13 F 14 F