Ch 3 : Triangles et Quadrilatères

LFM$–$Mathématiques$–$3ème$
!
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!"#$#%#&'()*+,-.#-/#01)2'(,)/3'-.#
!
I"Vocabulaire"des"angles"
1) Angles"complémentaires,"angles"supplémentaires"
!
#$%&!'()*$+!+,(-!complémentaires!*,.+/%$!*'!+,00$!1$!
*$%.+!0$+%.$+!$+-!2)'*$!3!4567!
#$%&!'()*$+!+,(-!supplémentaires!*,.+/%$!*'!+,00$!1$!
*$%.+!0$+%.$+!$+-!2)'*$!3!"8567!
!
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2) Angles"adjacents"
!
#$%&!'()*$+!+,(-!adjacents!*,.+/%$!9!!
:!;*+!,(-!*$!0<0$!+,00$-7!
:!;*+!,(-!%(!=>-2!=,00%(7!
:!;*+!+,(-!+;-%2+!1$!?'.-!$-!1@'%-.$!1%!=>-2!=,00%(7!
!
3) Angles"opposés"par"le"sommet"
!
#$%&!'()*$+!+,(-!opposés"par"le"sommet!*,.+/%$!9!!
:!;*+!,(-!*$!0<0$!+,00$-7!
:!*$%.+!=>-2+!+,(-!1'(+!*$!?.,*,()$0$(-!*@%(!1$!*@'%-.$7!
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Propriété":!!!!!!#$%&!'()*$+!,??,+2+!?'.!*$!+,00$-!,(-!*'!0<0$!0$+%.$!
4) Angles"alternes?internes"et"correspondants"
!
#$%&!1.,;-$+!A1B!$-!A1@B!=,%?2$+!?'.!%($!+2='(-$!A#B!
12C;(;++$(-!1$%&!?';.$+!1@'()*$+!alternes?internes7!
#$%&!1.,;-$+!A1B!$-!A1@B!=,%?2$+!?'.!%($!+2='(-$!A#B!
12C;(;++$(-!/%'-.$!?';.$+!1@'()*$+!correspondants7!
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LFM$–$Mathématiques$–$3ème$
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D!
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II"Angles"et"droites"parallèles"
!
1) Deux"propriétés"servent"à"démontrer"que"des"angles"ont"la"même"mesure."
"
Propriété"1":!E;!1$%&!1.,;-$+!?'.'**F*$+!+,(-!=,%?2$+!?'.!%($!+2='(-$G!'*,.+!1$%&!'()*$+!'*-$.($+:;(-$.($+!
,(-!0<0$!0$+%.$7!
!
Hypothèses"de"l’énoncé":""
ce"que"je"sais"(données)"
!
Conclusion":"ce"que"je"démontre"
!
•!H(!+';-!/%$!*$+!
1.,;-$+!A1B!$-!A1@B!
+,(-!parallèles7!
!
•!H(!+';-!'%++;!
/%$!A1B!$-!A1@B!
+,(-!coupées"par"
une"sécante.!
!
!
I$+!1$%&!'()*$+!
=,12+!+,(-!
alternes?internes7!
!
#,(=G!3!*@';1$!1$!
*'!?.,?.;2-2!"G!,(!
120,(-.$!/%$!=$+!
1$%&!'()*$+!,(-!la"
même"mesure.!
→!
!
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
Propriété"2":!E;!1$%&!1.,;-$+!?'.'**F*$+!+,(-!=,%?2$+!?'.!%($!+2='(-$G!'*,.+!1$%&!'()*$+!=,..$+?,(1'(-+!,(-!
0<0$!0$+%.$7!
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Hypothèses"de"l’énoncé":"ce"que"je"sais"(données)"
!
Conclusion":"ce"que"je"démontre"
!
•!H(!+';-!/%$!*$+!
1.,;-$+!A1B!$-!A1@B!
+,(-!parallèles7!
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/%$!A1B!$-!A1@B!
+,(-!coupées"par"
une"sécante.!
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correspondants7!
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#,(=G!3!*@';1$!1$!
*'!?.,?.;2-2!DG!,(!
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1$%&!'()*$+!,(-!la"
même"mesure.!
→!
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LFM$–$Mathématiques$–$3ème$
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J!
2) Deux"propriétés"servent"à"démontrer"que"deux"droites"sont"parallèles."
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Propriété"3":!E;!1$%&!1.,;-$+!=,%?2$+!?'.!%($!+2='(-$!C,.0$(-!1$%&!'()*$+!'*-$.($+:;(-$.($+!1$!0<0$!0$+%.$G!'*,.+!
=$+!1.,;-$+!+,(-!?'.'**F*$+7!!
Hypothèses"de"l’énoncé":"ce"que"je"sais"(données)"
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Conclusion":"ce"que"je"démontre"
!
•!H(!+';-!/%$!A1B!$-!
A1@B!+,(-!coupées"
par"une"sécante."
"
•"H(!+';-!'%++;!/%$"
*$+!1$%&!'()*$+!
alternes?internes!
=,12+!,(-!*'!0<0$!
0$+%.$7!
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#,(=G!3!*@';1$!1$!
*'!?.,?.;2-2!JG!,(!
120,(-.$!/%$!A1B!
$-!A1@B!+,(-!
parallèles7!
→!
!
"
Propriété"4":!E;!1$%&!1.,;-$+!=,%?2$+!?'.!%($!+2='(-$!C,.0$(-!1$%&!'()*$+!=,..$+?,(1'(-+!1$!0<0$!0$+%.$G!'*,.+!
=$+!1.,;-$+!+,(-!?'.'**F*$+7!!
Hypothèses"de"l’énoncé":"ce"que"je"sais"(données)"
!
Conclusion":"ce"que"je"démontre"
!
•!H(!+';-!/%$!A1B!$-!
A1@B!+,(-!coupées"
par"une"sécante."
"
•"H(!+';-!'%++;!/%$"
*$+!1$%&!'()*$+!
correspondants!
=,12+!,(-!*'!0<0$!
0$+%.$7!
!
!
#,(=G!3!*@';1$!1$!
*'!?.,?.;2-2!KG!,(!
120,(-.$!/%$!A1B!
$-!A1@B!+,(-!
parallèles7!
→!
!
Remarque":!H(!1;-!/%$!*$+!?.,?.;2-2+!J!$-!K!+,(-!*$+!?.,?.;2-2+!réciproques"1$+!?.,?.;2-2+!"!$-!D7!!
III"Angles"et"Triangles"
Propriété":"
#'(+!%(!-.;'()*$G!*'!+,00$!1$+!0$+%.$+!1$+!'()*$+!$+-!2)'*$!3!"85!°!
Propriété":!E;!%(!-.;'()*$!$+-!LLLLLLLLLLLL77G!'*,.+!;*!'!1$%&!'()*$+!1$!0<0$!0$+%.$7!
Propriété":!!
E;!%(!-.;'()*$!$+-!LLLLLLLLLLLLLLLLLL77G!'*,.+!=M'=%(!1$!+$+!'()*$+!0$+%.$!LLLL!
Propriété":!!
E;!%(!-.;'()*$!$+-!.$=-'()*$G!'*,.+!*'!+,00$!1$!+$+!1$%&!'()*$+!';)%+!$+-!2)'*$!3!LLLLLL77!
H(!1;-!'%++;!/%$!*$+!1$%&!'()*$+!';)%+!1@%(!-.;'()*$!.$=-'()*$!!+,(-!COMPLEMENTAIRES"
!

LFM$–$Mathématiques$–$3ème$
!
K!
IV"Inégalité"triangulaire"
!
Dans!un!triangle,!la!longueur!de!chaque!côté!est!inférieure!à!la!somme!des!longueurs!des!deux!autres!côtés.!
Exemple':''
#'(+!*$!-.;'()*$!NOPG!,(!'!9!!
!
𝑨𝑩 <𝐴𝐶 +𝐶𝐵!
!
𝑨𝑪 <𝐴𝐵 +𝐵𝐶!
!
𝑩𝑪 <𝐵𝐴 +𝐴𝐶!
!
!
4#5-67**)8/'-#2-.#/'()*+,-.#9+)1:#-/#2-.#/'()*+,-.#.-;<,)<,-.#
=9>(*(/(7*#%#
Deux!triangles!sont!égaux!lorsque!leurs!côtés!sont!deux!à!deux!de!même!longueur.!
!
#
#
?'7@'(9/9.#%#
Si!deux!triangles!ont,!deux!à!deux,!!
<!un!angle!de!même!mesure!compris!entre!deux!côtés!de!même!longueur!
ou!
<!un!côté!de!même!longueur!compris!entre!deux!angles!de!même!mesure.!
alors!ils!sont!égaux!
!
#
#
=9>(*(/(7*#%#
Deux!triangles!sont!semblables!lorsque!leurs!angles!sont!deux!à!deux!de!même!mesure.!
!
?'7@'(9/9.#%#
<!Si!deux!triangles!sont!égaux!alors!ils!sont!semblables.!Par!contre!deux!triangles!semblables!ne!sont!pas!
forcément!égaux.!
!
<!Pour!démontrer!que!deux!triangles!sont!semblables,!il!suffit!de!démontrer!que!deux!paires!d’angles!sont!de!
même!mesure.!
!
!
!
?'7@'(9/9#
Si!deux!triangles!ABC!et!A’B’C’!sont!semblables,!alors!les!longueurs!des!côtés!opposés!aux!angles!égaux!sont!
proportionnelles.!!
On!a!donc!!!!!
!"
=!!!!
!"
=!!!!
!"
=𝑘!!(k!est!un!réel!non!nul)!
Si!𝑘<1!,!alors!A’B’C’est!une!réduction!de!ABC!de!rapport!k!
Si!𝑘>1!,!alors!A’B’C’!est!un!agrandissement!de!ABC!de!rapport!k!
!
!
!

LFM$–$Mathématiques$–$3ème$
!
Q!
4A#5-67**)8/'-#1*#@)'),,9,7+');;-#
!
=9>(*(/(7*##%!Un!quadrilatère!qui!a!un!centre!de!symétrie!est!un!parallélogramme.!Le!centre!de!
symétrie!est!appelé!centre!du!parallélogramme.!
!
?'7@'(9/9!%!!
<!Si!un!quadrilatère!est!un!parallélogramme!alors!ses!diagonales!se!coupent!en!leurs!milieux.!!
<!Si!un!quadrilatère!est!un!parallélogramme!alors!ses!côtés!opposés!sont!parallèles!
<!Si!un!quadrilatère!est!un!parallélogramme!alors!ses!côtés!opposés!ont!la!même!longueur.!!
?'7@'(9/9#%#=9;7*/'-'#B1C1*#B1)2'(,)/3'-#-./#1*#@)'),,9,7+');;-#
<!Si!un!quadrilatère!*7*#6'7(.9!a!ses!côtés!opposés!de!la!même!longueur,!alors!ce!quadrilatère!est!un!
parallélogramme.!
D#Si!un!quadrilatère!*7*#6'7(.9!a!deux!côtés!opposés!parallèles!et!de!même!longueur,!alors!ce!
quadrilatère!est!un!parallélogramme!
<!Si!un!quadrilatère!a!ses!côtés!opposés!parallèles!alors!ce!quadrilatère!est!un!parallélogramme!
<!Si!un!quadrilatère!a!ses!diagonales!qui!se!coupent!en!leur!milieu!alors!c’est!un!parallélogramme!
#
4AA#5-67**)8/'-#1*#@)'),,9,7+');;-#@)'/(61,(-'#
Définitions!:!
<!Un!rectangle!est!un!quadrilatère!dont!les!4!angles!sont!droits!
<!Un!losange!est!un!quadrilatère!dont!les!4!côtés!sont!de!même!longueur!
<!Un!carré!est!un!quadrilatère!dont!les!4!angles!sont!droits!et!les!4!côtés!de!même!longueur.!
Les!carrés!sont!des!rectangles!et!des!losanges!particuliers!
Le!rectangle,!le!losange!et!le!carré!sont!des!parallélogrammes!particuliers!donc!ils!ont!toutes!les!
propriétés!du!parallélogramme.!!
Si!un!quadrilatère!est!un!RECTANGLE!alors!ses!diagonales!sont!de!même!longueur!
Si!un!quadrilatère!est!un!LOSANGE!alors!ses!diagonales!sont!perpendiculaires!
Le!carré!possède!les!propriétés!du!losange!et!du!rectangle!
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