Exploitation - Les angles

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Van In © - Actimath 3 1 Ch. 1 – Les angles
Exploitation - Les angles
Questions relatives à la restitution des connaissances
1) Réponds par VRAI ou FAUX à chacune des affirmations suivantes.
Si tu réponds VRAI, justifie par une définition ou une propriété.
Si tu réponds FAUX, donne un contre-exemple.
a) Deux angles ayant leurs côtés respectivement parallèles ont toujours la même amplitude.
b) Si un angle inscrit est droit, alors il est sous-tendu par une corde passant par le centre du
cercle.
c) Un triangle est toujours inscriptible dans un cercle.
d) Dans un quadrilatère convexe (1), deux angles opposés sont supplémentaires.
e) Un angle au centre a une amplitude double de celle de l'angle tangentiel qui intercepte le même
arc.
f) Un angle inscrit est toujours aigu.
(1) Un polygone est convexe si, en prolongeant chaque côté, celui-ci ne "traverse" pas le polygone; dans le cas contraire,
il est concave.
2) Tu as vu que :
a) Deux angles à côtés parallèles ont la même amplitude s'ils sont tous deux aigus ou tous deux
obtus.
b) Deux angles à côtés parallèles sont supplémentaires si l'un est aigu et l'autre obtus.
Les propriétés réciproques sont-elles vraies ? Justifie.
3) Tu as vu que :
a) Deux angles à côtés perpendiculaires ont la même amplitude s'ils sont tous deux aigus ou tous
deux obtus.
b) Deux angles à côtés perpendiculaires sont supplémentaires si l'un est aigu et l'autre obtus.
Les propriétés réciproques sont-elles vraies ? Justifie.
4) Cite les propriétés relatives aux angles au centre, inscrits et tangentiels qui te permettent de
démontrer que deux angles ont la même amplitude.

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Van In © - Actimath 3 2 Ch. 1 – Les angles
Questions relatives à l'application et à l'exploitation de la matière vue en classe
1) Trace deux angles aigus à côtés respectivement parallèles et construis leurs bissectrices.
Que peux-tu dire de leur position relative ? Justifie.
Et si les deux angles étaient obtus ?
Et si un angle était aigu et l'autre obtus ?
2) Trace deux angles aigus à côtés respectivement perpendiculaires et construis leurs bissectrices.
Que peux-tu dire de leur position relative ? Justifie.
Et si les deux angles étaient obtus ?
Et si un angle était aigu et l'autre obtus ?
3) Parmi les quadrilatères suivants, lesquels sont inscriptibles dans un cercle ?
a) Carré
b) Rectangle
c) Losange
d) Parallélogramme
e) Trapèze rectangle
f) Trapèze isocèle
g) Trapèze quelconque
4) a) Dans un triangle isocèle, la bissectrice d'un angle extérieur au sommet principal est parallèle à
la base. Représente et justifie cette proposition.
b) Que peux-tu dire des bissectrices des angles extérieurs au sommet principal d'un triangle
isocèle ? Justifie ta réponse.
Remarque : pour répondre à la question 4b, tu peux utiliser l'exercice 4a ou solutionner
l'exercice de manière indépendante.
5) Dans tout triangle rectangle, la hauteur relative à l'hypoténuse partage l'angle droit en deux
angles dont les amplitudes sont égales à celles des angles aigus du triangle.
Fais une figure et justifie cette proposition.
6) Un triangle ABC est inscrit dans un cercle de centre O et est tel que ?AÔB? = 120°, ?CÂO? = 20°.
Sachant que le point O est à l'intérieur du triangle ABC, calcule l'amplitude de l'angle CB
ˆ
O.

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Van In © - Actimath 3 3 Ch. 1 – Les angles
7) Dans la figure ci-contre, les angles RP
ˆ
O et RQ
ˆ
O mesurent
respectivement 25° et 55°.
Calcule l'amplitude de l'angle QR
ˆ
P.
8) Construis un triangle équilatéral ABC inscrit dans un cercle de centre O.
Choisis un point M de l'arc BC ne contenant pas le point A.
Construis le point N de [AM] tel que ?MN?=?MC?
a) Quelle est la nature du triangle MNC ? Justifie.
b) La droite CN recoupe le cercle en P.
Quelle est la nature du triangle APN ? Justifie.
9) Le quadrilatère ABCD est inscrit dans le cercle de centre O. Je te dis que les angles de sommet
B et de sommet D sont supplémentaires. Choisis une seule des deux situations proposées ci-
dessous pour prouver mon affirmation.
Attention : si tu utilises le premier dessin, tu obtiendras 2 points, mais si tu utilises le second
dessin, tu obtiendras 4 points.
10) Soit ABC un triangle isocèle en A. Le cercle de diamètre [BC] coupe [AB] en P et [AC] en Q.
a) Quelle est la nature des triangles BPC et BQC ? Justifie.
b) Compare les amplitudes des angles BC
ˆ
P et CB
ˆ
Q.
c) Démontre que les droites PQ et BC sont parallèles.
11)Trace un cercle de centre O et de rayon r. Trace deux diamètres perpendiculaires [AE] et
[CG]. Trace la médiatrice du segment [AC]; elle coupe l'arc AC en B et l'arc EG en F. Trace la
médiatrice du segment [CE]; elle coupe l'arc CE en D et l'arc AG en H.
Quelle est la nature du polygone ABCDEFGH ? Justifie.