Chapitre 7 : Racine carrée I) Définition : La racine carrée d'un nombre positif a est le nombre positif, noté a, dont le carré est a. Exemples : 16 Remarque : a = 4 1024 = 32 n'a pas de sens lorsque a est un nombre strictement négatif. Une utilisation : On donne AB = 10 cm et et AC = 6 cm, calculons BC : B A – Le triangle ABC est rectangle, – D'après le théorème de Pythagore, – On a AB² = AC² + BC² donc 10² = 6² + BC² C 100 = 36 + BC² BC² = 100 – 36 = 64 BC = 64 = 8 Le segment [BC] mesure 8 cm. II) A connaître Pour tout nombre positif a, Exemples : 1 2 = 1 donc 2 3,6 1 = 1 = 3,6 5 est positif donc 52 = 5 a2 = a . et 2 a = a III) Règle de calculs Pour tous nombres positifs a et b, a×b= a× b Exemples : A = 3× 27 B = 32 = = 3×27 81 = 9 peut s'écrire sous la forme a b avec a et b deux nombres entiers positifs, b étant le plus petit possible. B = 32 = 16×2 On fait apparaître le produit d'un carré parfait (le plus grand possible) par un entier. B = 42×2 = 42 × 2 = 4× 2 = 4 2 Pour tous nombres positifs a et b (b ≠ 0), √ a √a = b √b IV) Réduire une somme de racines carrées : Exemples : Réduire la somme A = 2 √ 72 – 7 √ 18 sous la forme c √d , où c et d sont deux entiers relatifs, d étant le plus petit possible. A = = 2 72 – 7 18 2 36×2 – 7 9×2 (On décompose 72 et 18 pour faire apparaître le produit d'un carré parfait le plus grand possible par un même entier.) = 2 36× 2 – 7× 9× 2 = 12 2 – 21 2 = – 9 2 = = 2×6× 2 – 7×3× 2 12 – 21 2 (on a factorisé par 2 )