PHQ954 Nucléosynthèse primordiale stellaire

PHQ954 Nucléosynthèse primordiale stellaire
18 décembre 2009
Autiwa
Table des matières
2
Table des matières
1 Dénition
1.1 Nucléosynthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Pic du fer . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Synthèse des éléments lourds . . . . . .
1.2 Masse moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Limite des gazs parfaits . . . . . . . . .
1.2.2 Pression de dégénérescence des électrons
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Milieu interstellaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modèle de Jeans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modèle actuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modèle standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Masse limite à la contraction d'un nuage froid .
2.4.2 Nuage ionisé en contraction . . . . . . . . . . .
2.4.3 Température au centre d'une étoile . . . . . . .
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2 Formation Stellaire
2.1
2.2
2.3
2.4
3 Structure interne d'une étoile
3.1
3.2
3.3
3.4
Distribution de masse . . . . . . . . . . .
Équation d'équilibre mécanique . . . . . .
Équation d'équilibre énergétique . . . . .
Transport de l'énergie . . . . . . . . . . .
3.4.1 Transport radiatif et opacité . . .
3.4.2 Transport d'énergie par convection
3.5 Structure stellaire . . . . . . . . . . . . . .
4 Éléments de nucléosynthèse
4.1 Cinématique et chaleur de réaction . . .
4.2 Section ecace et taux de réactions . .
4.3 Étapes d'une réaction nucléaire . . . . .
4.3.1 Réaction nucléaire non résonante
4.3.2 Réaction nucléaire résonante . .
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3
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3
3
4
5
5
5
5
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8
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9
9
9
9
10
10
10
11
11
12
12
12
13
14
15
5 Nucléosynthèse stellaire
15
6 Nucléosynthèse primordiale
16
Index
17
5.1 Combustion de l'hydrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Combustion de l'hélium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
15
3
1 Dénition
1 Dénition
1.1 Nucléosynthèse
La nucléosynthèse est un ensemble de processus physiques conduisant à la synthèse de noyaux atomiques, par ssion ou fusion nucléaire.
Il y a plusieurs étapes :
1. nucléosynthèse primordiale : Formation des tout premiers noyaux avant même de former les étoiles.
En gros 75% de proton (H) et 25% d'Hélium, très peu de deutérium.
2. nucléosynthèse stellaire : formation des noyaux au sein des étoiles.
Tout va se jouer sur la répulsion coulombienne que l'on doit vaincre. Pour celà, il faut des température avoisinant les 100 millions de kelvin. Dans le soleil, la température au c÷ur est d'environ
15 millions de Kelvin, ce qui est insusant pour vaincre la répulsion coulombienne. La barrière est
donc traversée par eet tunnel, mais c'est un eet rare, ce qui explique la durée de vie des étoiles
(les étoiles plus massives auront une durée de vie plus faible).
3. nucléosynthèse explosive (mort des étoiles 1 de plus de 6M )
Si la masse de l'étoile est supérieure à six masses solaires, par fusion successive, on pourra créer du
56
Fe qui est l'élément le plus stable de l'univers. La réaction de fusion du fer est endothermique, et va
rapidement faire cesser toute réaction dans le c÷ur de l'étoile. On aura donc un c÷ur de fer sur lequel les
couches externes vont se contracter (la pression de radiation qui compensait l'eondrement gravitationnel
ayant disparu). Ces couches externes vont rebondir sur le c÷ur et créer une explosion sous la forme d'une
onde de choc appelée supernovae.
Il existe deux autres processus :
La spallation : formation ou destruction de gros noyaux par des particules de très haute énergie
(essentiellement de protons) ;
photodésintégration : destruction de noyaux par des photons.
abondance relative
nucléosynthèse primordiale
H
nucléosynthèse stellaire (jusqu'à 6Ms)
He
nucléosynthèse stellaire (>6Ms)
CNO
Fe
nucléosynthèse explosive
spallation et photodésintégration
Li Be B
nombre de masse
Fig.
1 Tendance des abondances isotopiques dans l'univers et processus à l'origine de ces tendances
1.1.1 Pic du fer
Le fer étant l'élément le plus stable, les fusions successives vont amener à la formation de ce dernier.
La fusion avec le fer est possible mais elle est endothermique. Il va donc se former un équilibre entre
formation et destruction du fer. Les éléments voisins du fer vont tendrent vers le 56 Fe par désintégration
β.
1.1.2 Synthèse des éléments lourds
Les éléments qui ont A > 65 ne peuvent être créés dans les c÷urs stellaires ; ils sont créés par réactions
successives de capture de neutrons sur les éléments du groupe du fer (les neutrons ne voient pas la barrière
coulombienne).
il apparaît des doubles pics riches en noyaux magiques. Ces doubles pics montrent l'ecacité de la
capture de neutrons et correspondent à deux processus distincts :
1. On ne parle d'étoiles que quand on a un état d'équilibre entre la contraction gravitationnelle et la pression de radiation
due aux réactions de fusion.
1.2 Masse moyenne
4
processus s (slow) : Si le ux de neutrons est faible, l'isotope A+xZ X se désintègrera par désintégration
β − (un neutron devient un proton) avant de capturer un autre neutron.
processus r (rapide) : Avec un ux de neutrons très intense, les éléments vont pouvoir être beaucoup
plus enrichis en neutrons avant de se désintégrer pour donner des noyaux de plus grand Z .
1.2 Masse moyenne
Les étoiles sont constituées de diérents types de particules de masse diérente. Pour simplier le
problème, on cherche à caractériser les étoiles par une masse moyenne d'une particule ctive dont serait
exclusivement constituée l'étoile. Suivant la composition du gaz de l'étoile, la masse moyenne variera
donc.
Cette masse moyenne µ est exprimée en masse du proton (mp ).
Pn
Xi mXi
n × mp
i=1
µ=
(1.1)
où mX est la masse de l'élément X , l'indice i permettant de répertorier toutes les particules présentent
dans le milieu.
Exemple : Si l'étoile est composée d'hydrogène, il n'y a qu'un seul type de particule, d'où :
µ=
[mp ]
1 × mp
=1
Si c'est de l'hydrogène ionisé :
[mp ] + [me− ]
2 × mp
1
=
2
µ=
Remarque : La masse de l'électron est négligeable devant celle du proton.
de l'hélium ionisé :
[4 × mp ] + [me− ] + [me− ]
3 × mp
4
=
3
µ=
En astrophysique, on ne diérencie que 3 catégories de particules. L'hydrogène, l'hélium, et les métaux.
Les métaux sont tous les éléments qui ont une masse supérieure à celle de l'hélium.
Pour les métaux, on considère qu'ils sont sur la vallée de stabilité et qu'ils ont donc autant de neutrons
que de protons que d'électrons.
2Zmp + Zme−
(Z + 1)mp
2Zmp
=
(Z + 1)mp
µ=
On considère que Z est grand devant 1
µ'2
(1.2)
Pour caractériser la composition d'une étoile, il sut donc de connaître les abondances de ces trois
catégories. Pour celà, on dénit trois abondances (en pourcentage) :
X : Abondance d'Hydrogène
5
2 Formation Stellaire
Y : Abondance d'Hélium
Z : Abondance de métaux
On dénit ainsi une masse spécique moyenne µ qui vaut :
µ=
1
2X +
3Y
4
+
Z
2
(1.3)
Je ne saurais pas vraiment démontrer cette relation proprement et n'ai trouvé nulle part d'explications à ce sujet. Par contre, voici ma version des faits. Si on considère que la masse moyenne a
la dimension de l'inverse d'une masse, on arrive à redémontrer facilement la relation. Seulement elle est
censé être sans dimension, donc du coup, je sais pas bien d'où ça sort. . .
1.2.1 Limite des gazs parfaits
Un gaz parfait est un gaz dans lequel on peut négliger les interactions.
La limite des gazs parfait sera quand la distance entre les particules est telle qu'il y a toujours
interaction. En clair, la limite des gazs parfait, c'est quand les particules se touchent.
À la limite, on a donc une densité, en particules par centimètres cubes qui vaut :
N=
4
3
1
πr3
(1.4)
(nombres de particules divisé par le volume associé. Ici, une particule occupe son volume, vu que les
particules se touchent)
1.2.2 Pression de dégénérescence des électrons
Dans une boite de l'espace des phases, il ne peut y avoir deux électrons avec les mêmes nombres
quantiques. En pratique, ça signie que dans chaque boite de l'espace des phases, on ne peut mettre
que deux électrons de spin opposé.
Quand la pression deviendra si forte qu'elle tendra à conner deux électrons qui ne peuvent pas se
retrouver dans la même boite , alors la pression de dégénérescence va conférer à un des deux électrons
une impulsion diérente. Ainsi, même si les nombres quantiques sont égaux, ils ne seront plus dans la
même boite de l'espace des phases, vu que les impulsions seront diérentes.
À chaque particule, on associe une onde de l'ongueur d'onde de de Broglie
λ=
h
mv
(1.5)
La taille de la boite quantique pour une particule donnée sera donc :
(∆x)3 = λ3
(1.6)
2 Formation Stellaire
2.1 Milieu interstellaire
Les étoiles se forment à partir de gaz interstellaire que l'on trouve essentiellement sous deux formes :
Les nuages d'hydrogène neutre H I
température : 10 à 100 K
densité : 10 à 100 at/cm3
observation : grâce à la transition hyperne (transition de spin) à 21cm de l'hydrogène
Les nuages d'hydrogène ionisés H II
température : 5000 à 10000 K
densité : 50 à 1000 at/cm3
observation : grâce à la raie Hα de la série de Balmer à 656, 3 nm (rouge)
En plus de l'hydrogène et l'hélium, principaux constituants du milieu insterstellaire, se trouve des
grains et des poussières, particules solides essentiellement composés de glaces et de carbone. Ils constituent
moins de 0.1% du milieu interstellaire. Les particules ont une dimension typique comprise entre 10 et
100 nm et sont les principales responsable de l'extinction de la lumière. La poussière est donc un problème
lors de l'observation de certaines régions du ciel.
2.2 Modèle de Jeans
6
2.2 Modèle de Jeans
On prend un nuage d'hydrogène pur supposé sphérique de rayon R, totalement isolé, de température
T , de masse volumique ρ.
On cherche la condition pour que le nuage s'eondre sur lui même et ainsi commence à former des
étoiles. On a d'une part l'énergie d'agitation thermique qui vaut 12 kB T pour chaque degré de liberté pour
une particule donnée, et d'autre part l'énergie potentielle gravitationnelle GM
.
r
Si l'énergie cinétique est supérieure à l'énergie potentielle, les particules auront tendance à se disperser,
et le nuage à se dilater. Par contre, si c'est la situation inverse, alors les particules auront tendance à se
regrouper, et le nuage à se concentrer.
dR
R
Fig.
2 Représentation de l'élément de masse pour le calcul de l'énergie potentielle
On va donc calculer l'énergie potentielle du nuage sphérique et le comparer à l'énergie cinétique de
celui-ci. La limite étant quand les deux énergies sont égales.
L'énergie potentielle vue par l'élément de masse dM à la distance r du centre du nuage vaut GMr(r) .
D'où l'expression intégrale de l'énergie potentielle totale du nuage Ep :
ˆ
R
Ep =
0
GM (r)
dM (r)
r
(2.1)
On a
M (r) =
4 3
πr ρ
3
dM (r) vaut donc (en dérivant par rapport à r)
dM (r) = 4πr2 ρ dr
ˆ
G 34 πr3 ρ
4πr2 ρ dr
r
0
ˆ R
16 2 4 2
=
π Gr ρ
3
0
16 2 2 R5
=
π Gρ
3
5
R
Ep =
en remplaçant 43 πr3 ρ par M on obtient
=
3 GM 2
5 R
(2.2)
La masse volumique peut être exprimée en fonction du nombre de particules par unité de volume,
sachant que le nuage est composé exclusivement par de l'hydrogène : ρ = N × mH . L'énergie cinétique
globale devient :
3
4
Ec = N × ( kB T ) × πr3
2
3
(2.3)
7
2 Formation Stellaire
Ec = Ep
4
3
3 GM 2
N × ( kB T ) × πR3 =
2
3
5 R
N kB T
GM
=
2mH
5R
N kB T
G 4 3
=
πR N mH
2mH
5R 3
1/2 1/2
15kB
T
R=
8πGmH 2
N
(2.4)
Ceci donne, pour une température et une densité donnée, le rayon minimal pour qu'il y ait contraction
du nuage. En pratique, le nuage ne se concentre pas en un seul endroit. Au fur et à mesure de la
contraction, la densité augmente, (la température aussi, mais moins rapidement le calcul pour le
montrer est compliqué et non discuté ici). Si la densité augmente, on voit dans (2.4) que le rayon de
Jeans va lui aussi diminuer. Ainsi, le rayon minimal pour qu'il y ait contraction va diminuer, autorisant
le nuage a se subdiviser autour de zones localement plus dense
Fig.
3 Représentation de l'eondrement gravitationnel d'un nuage de gaz d'après le modèle de Jeans
2.3 Modèle actuel
En pratique, un nuage totalement isolé est extrêmement rare. Pour permettre l'eondrement gravitationnel d'un nuage de gaz, il faut que sa masse soit inférieure à la masse de Jeans correspondant à
sa densité et sa température. Si sa masse n'est pas susante, mais que celui-ci est comprimé par un
évènement extérieur, alors il est possible que l'augmentation de densité qui en résulte soit susante pour
rendre la masse critique (qui est une fonction de la densité on le rappelle) inférieure à la masse du nuage
(qui elle reste constante).
M<Mj
M>Mj
Explosion
Onde de choc
Compression des nuages
Contraction
gravitationnelle
4 Modèle actuel de l'eondrement gravitationnel des nuages grâce à une aide extérieure qui modie la
densité, et donc la masse critique au delà de laquelle la compression est possible.
Fig.
2.4 Modèle standard
8
2.4 Modèle standard
On part de la contraction d'un nuage. Il n'est donc plus en équilibre. Cette contraction va ammener de
l'énergie à l'étoile et le gaz en contraction peut se comprimer jusqu'à diérents niveaux de compressibilité :
1. contraction d'un nuage froid : si le nuage, arrivé à un certain stade, n'est pas assez chaud pour
permettre l'ionisation de l'hydrogène, alors il arrive à une limite de compressibilité
2. nuage ionisé en contraction : arrivé à un certain stade, si le nuage n'est pas assez chaud pour
enclencher les réactions de fusions, alors on arrive à une limite où la contraction est arrêtée par un
gaz dégénéré d'électrons non relativiste. Ce sont ce que l'on appelle les naines brune
3. allumage des réactions nucléaires : si la température est susante pour que les réactions de fusions
commencent, alors une étoile est née.
nuage
froid
nuage
ionisé
fusion de
l'hydrogène
fusion de
l'hélium
fusion du carbo-ne et au delà
nuage
froid stable
naine
brune
naine
blanche
étoile à
neutron
trou
noir
5 Évolution d'un nuage de gaz en contraction en fonction de sa masse. Les états bleus sont des états de
contraction. Les états rouges des états de fusion, et les états en noir sont les états de n de vie.
Fig.
2.4.1 Masse limite à la contraction d'un nuage froid
Un nuage de gaz a pour énergie potentielle et cinétique (thermique) :
3G
3 GM 2
=
(N.mH )2
5 R
5R
3
Et = N kB T
2
Ep =
(2.5)
(2.6)
(voir (2.2) pour l'expression de l'énergie potentielle)
On utilise le théorème du Viriel qui dit que l'augmentation de la température se fait au détriment de
l'énergie potentielle, selon la relation suivante :
Et =
1
Ep
2
(2.7)
La limite correspond à une température susante pour ioniser l'hydrogène, c'est à dire que l'énergie
thermique doit être d'environ 13.6 eV. Il vient :
E = kB T
T = 1, 58 × 105 K
(2.8)
La limite en contraction est donnée par la distance minimale entre les atomes. Ces atomes étant non
ionisé, ceci vaut environ a0 = 10−10 m. Ceci nous donne un rayon limite que l'on peut réinjecter dans le
téhorème du Viriel. On obtient donc une masse limite en fonction de la température. Or la température
est donnée pour qu'on ait ionisation de l'hydrogène. On peut donc montrer que la masse limite est :
Mlim = 3 × 10−3 M
(2.9)
2.4.2 Nuage ionisé en contraction
le nuage ionisé va se contracter et doit atteindre une température d'au moins 107 K avant que la
pression de dégénérescence des électrons n'apparaisse, sinon elle n'atteindra jamais le stade de fusion et
deviendra une naine brune.
9
3 Structure interne d'une étoile
2.4.3 Température au centre d'une étoile
Normalement c'est un calcul compliqué de structure stellaire, mais nous allons voir ici un calcul plus
simple qui donne un bon ordre de grandeur de la température du c÷ur stellaire.
On considère un atome d'hydrogène qui arrive en surface uniquement grâce à l'énergie thermique du
c÷ur.
Ep = G
Et =
M m H
R
3
kB Tc
2
(2.10)
(2.11)
D'où
Tc =
2 GM mH
3 kB R
(2.12)
3 Structure interne d'une étoile
3.1 Distribution de masse
La masse comprise entre les sphères de rayon r et r + dr vaut :
dM (r) = 4πr2 ρ(r) dr
(3.1)
3.2 Équation d'équilibre mécanique
Fig.
6 Représentation des forces s'appliquant sur un volume innitésimal dV .
À l'équilibre, dV est soumis à deux forces :
1. une force de pression
−
→
−
−
dFp = P (r)→
r − P (r + dr)→
r
→
dP (r)
−
= P (r) − P (r) + dr dr
r
dP (r)
→
−
= − dr dr r
(3.2)
(On a considéré une surface unité ici. On rappelle que F = P S )
Remarque : Le gradient est négatif donc la force est dirigée vers l'extérieur.
2. la force gravitationnelle (l'élément de volume dV a une masse dm = ρ(r) dr en considérant toujours
une surface unité qui se simpliera avec la surface unité qu'on a pris pour la pression)
−
→
M (r)ρ(r) dr →
−
dFg = −G
r
r2
(3.3)
3.3 Équation d'équilibre énergétique
10
Remarque : Une particule dans une boule n'est soumise qu'à la force gravitationnelle créée par la
masse contenue dans la sphère intérieure (de rayon égal à la distance de la particule au centre de la
boule totale).
L'équilibre des force nous donne l'équation d'équilibre hydrostatique :
GM (r)
ρ(r)
r2
− dPdr(r) =
(3.4)
3.3 Équation d'équilibre énergétique
+
Fig. 7 Représentation des échanges d'énergie d'une couche d'épaisseur dr . L
représente le ux lumineux se
propageant vers l'extérieur de la source (sens des r croissant) alors qu'L− se propage dans l'autre sens.
Dans la couche, l'énergie produite par seconde est :
ε(r) dM (r) = ε(r)ρ(r)4πr2 dr
(3.5)
Avec L(r) = L+ (r) − L− (r) on obtient l'équation de variation de l'énergie :
dL(r)
dr
D'où
= ε(r)ρ(r)4πr2
ˆ
R
ε(r)ρ(r)4πr2 dr
L(R) =
(3.6)
(3.7)
0
3.4 Transport de l'énergie
Le transport se fait suivant deux mécanismes essentiellement :
le transport radiatif (transport par les photons) ;
le transport convectif (transport par des bulles d'atomes)
Remarque : Il pourrait y avoir la conduction (chocs entre atomes qui s'échangent de l'énergie) mais
dans le cas d'étoiles normales, on a un gaz parfait donc un peut négliger la conduction.
3.4.1 Transport radiatif et opacité
Les photons produits sont diusés et absorbés pa le plasma stellaire ; ils mettent environ un million
d'année pour sortir.
Diérents mécanismes sont à l'origine de l'opacité :
La photoionisation (ou transition bf Bound-Free) qui provoque la disparition de photons au
prot de l'ionisation (il faut donc un milieu composé d'atomes neutres ce qui n'est pas le cas du
c÷ur stellaire trop chaud).
Le bremmstrahlung ou rayonnement de freinage (transition )
11
3 Structure interne d'une étoile
Opacité Thomson où les photons sont diusés par des électrons libres
transitions bound-bound où il y a transition d'un état lié à un autre état lié par absorption d'un
photon.
Au lieuP
de tenir compte de chaque opacité, on dénit une opacité moyenne appelée la moyenne de
Rosseland R qui dépend de l'abondance en hydrogène X , de la densité ρ et de la température T .
On arrive donc à l'équation de transport radiatif :
dT (r)
dr
=−
P
3L(r) R
16πacr2 T 3 (r)
(3.8)
où a est la distance interatomique
3.4.2 Transport d'énergie par convection
C'est le transport de l'énergie par mouvement de la matière.
La convection s'établit si la valeur absolue du gradient de température est supérieure à la valeur du
gradient de température qui existerait dans une bulle de matière subissant une transformation adiabatique.
Remarque : On peut voir la convection comme le fait que les atomes n'ont pas le temps de s'échanger
de la chaleur par collision. Ainsi, les particules de la zone à haute température ont une grande vitesse,
et se déplacent dans la zone à faible température, transportant l'énergie avec eux sans avoir le temps
de la transmettre (d'où l'aspect adiabatique, c'est à dire sans échange de chaleur).
La loi des gazs adiabatiques est donnée par
pV γ = cte
0
en utilisant pV = nRT il vient
p = cte T
γ
/γ−1
(3.9)
En diérenciant l'expression on obtient
γ
γ
T γ−1 −1 dT
γ−1
γ
γ 1
dT
dp = |cte T{zγ−1}
γ−1T
dp = cte
p
γ p
dp =
dT
γ−1T
γ p dT
dp
=
dr
γ − 1 T dr
(3.10)
D'où l'expression du gradient de température adiabatique
dT dr Si
dT
dr
>
dT
dr
ad
1 T dp
= 1−
γ p dr
(3.11)
alors on est dans une zone convective, sinon on est dans une zone radiative.
ad
3.5 Structure stellaire
On fait la résolution simultanée de 4 équations diérentielles couplées
1. conservation de la masse
dM (r)
dr
= 4πr2 ρ(r)
(3.12)
12
2. pression
dP (r)
dr
GM (r)
ρ(r)
r2
(3.13)
= ε(r)ρ(r)4πr2
(3.14)
=−
3. équilibre énergétique
dL(r)
dr
4. transport de l'énergie
P
3L(r) R
dT (r)
=−
dr
16πacr2 T 3 (r)
2 T dp
dT =
dr 5 p dr
radiatif
(3.15a)
convectif
(3.15b)
ad
(dans le cas du gaz parfait monoatomique non relativiste, γ = 35 )
4 Éléments de nucléosynthèse
4.1 Cinématique et chaleur de réaction
Soit la réaction
A+a→B+b
(4.1)
Le noyau A est bien souvent pris au repos. La conservation de l'énergie donne alors :
MA c2 + Ma c2 + Ta = MB c2 + TB + Mb c2 + Tb
(4.2)
La chaleur de réaction Q est dénie comme la somme des énergies de masses des noyaux d'entrées
moins la somme des énergies de masses des noyaux en sortie. En eet, comme son nom l'indique, la
chaleur de réaction rend compte de l'énergie qu'il reste à distribuer à l'issue de la réaction.
Q = [(MA + Ma ) − (MB + Mb )] c2
Q = TB + Tb − Ta
(4.3)
Remarque : En pratique, on ne tient pas compte des positrons e+ car ils vont s'annihiler pour donner
de la chaleur.
4.2 Section ecace et taux de réactions
r est le taux de réactions, c'est à dire le nombre de réactions par unité de temps et de masse (g).
Le taux de production d'énergie ε
ε = Qr
(4.4)
est donc l'énergie libérée par unité de temps et de masse, où Q est la chaleur de réaction.
La section ecace σ(v) (qui dépend de la vitesse v ) est assimilable à la surface d'une particule cible.
Ainsi, le taux de réaction par unité de volume r vaut :
raX = σ(v)nX na v
(4.5)
σnX représente la surface totale des cibles (nX est la densité volumique de particules) et na V est le ux
de particules incidentes (v est la vitesse).
Pour un gaz parfait en équilibre thermodynamique, la vitesse relative de a par rapport
à X présente
´
un spectre de valeurs où la probabilité d'avoir une vitesse v (à dv près) vaut φ(v) ( φ(v) dv = 1).
13
4 Éléments de nucléosynthèse
On a donc
ˆ
∞
raX = nX na
σ(v)vφ(v) dv
0
= nX na hσvi
(4.6)
Pour na particules incidentes, et nX noyaux cibles, le nombre de paires que l'on peut établir est na nX .
Si les particules sont toutes identiques, le nombre de paires vaut 21 na 2 .
Apparemment, c'est dû à la loi des grands nombres, mais le prof n'a donné aucune justication
rigoureuse à ce sujet, et je n'en ai pas non plus trouvé.
Le taux de réactions devient donc
raX =
1
nX na hσvi
1 + δaX
(4.7)
4.3 Étapes d'une réaction nucléaire
Une réaction nucléaire se fait en deux étapes principalement :
1. Formation d'un noyau composé ;
2. désexcitation de ce noyau sous diérentes formes
émission d'un photon
collision élastique (le noyau composé se retransforme en les deux noyaux initiaux)
le noyau composé ce scinde en deux autres noyaux plus petits
États
quasi-liés
États
liés
8 Représentation des niveaux d'énergies du noyau composés. Les états quasi-liés correspondent à des états
liés qui n'existent que par la présence de la barrière potentielle des deux noyaux qui sont proches l'un de l'autre.
Ceux-ci ne servent qu'à l'état de résonnance pour favoriser la réaction nucléaire.
Fig.
Remarque : Le canal de sortie dépend de l'énergie incidente et des règles de sélection quantiques.
Pour le noyau composé, on a diérents niveaux d'énergie excités à des énergies discrètes (e0 , e1 , e2 , . . . ).
Lors d'une collision, vient s'ajouter une barrière coulombienne à la barrière nucléaire et on trouve qu'on
a des niveaux dits quasi-liés ou quasi-stationnaires.
Tous ces états sont associés à un temps caractéristique de désexcitation τ . D'après le principe d'incertitude, ceci nous amène à une énergie Γ = τ~ qui est interprétée comme la largeur en énergie du niveau
excité.
4.3 Étapes d'une réaction nucléaire
14
La section ecace s'écrit, en termes de largeur d'énergie des canaux d'entrée Γe et de sortie Γs :
σ(E) = πλt 2 g
Γe Γs
ζ(E)
Γ2
(4.8)
où πλt 2 représente la section ecace géométrique (avec λt longueur d'onde de de Broglie) et g un facteur
statistique contenant les informations sur les spins J ). ΓΓe Γ2 s est la probabilité d'avoir formé W ∗ par le
canal d'entrée X + a et de le désexciter par le canal de sortie Y + b.
Si l'énergie E disponible est proche de l'énergie qui correspond à un état quasi-lié de W ∗ , on aura,
en fonction des règles de sélecton, une réaction résonante. À l'inverse, si E est loin de l'énergie d'un état
quasi-lié, on aura une réaction nucléaire non résonante.
4.3.1 Réaction nucléaire non résonante
Lors d'une réaction X + a → W ∗ , on a une énergie d'excitation
(4.9)
E∗ = Q + E
où Q est la chaleur de réaction et E l'énergie cinétique dans le centre de masse.
Si E ∗ est très diérente de l'énergie résonante d'un état quasi-lié, alors le facteur de forme ζ(E) ' cte ,
on parle de réaction non-résonante et on a :
σ(E) = πλt 2 Pl (E)f (E)
où Pl (E) est la probabilité de pénétration de la barrière coulombienne (l est le nombre quantique de
moment orbital).
Au nal, la section ecace vaut :
σ(E) =
S(E) −2πη
e
E
(4.10)
où S(E) est appelé facteur astrophysique, lentement variable avec E , et η le paramètre de Sommerfeld.
Remarque : On est dans le cas non résonant, c'est à dire loin d'un état quasi-lié. Comme les niveaux
quasi-liés ont des résonnances qui se chevauchent, on a donc toutes les chances d'être au dessus du
potentiel coulombien. Ainsi E ∗ ∼ Ecoul .
facteur de pénétration de la barrière coulombienne
distribution de maxwell
taux de réaction
Fig.
9 Mise en évidence d'une énergie appelée
énergie de Gamow qui maximise le taux de réaction
Le taux de réaction est relié à hσvi. Dans le cas d'une réaction non résonnante on a :
ˆ
∞
√
S(E)e−E/kT e−η̃/
hσviaXb ∝
E
(4.11)
0
Les réactions nucléaires vont concerner les nucléides qui réalisent le double compromis d'être susamment énergétique pour franchir la barrière coulombienne et d'être susamment nombreux pour que
le taux de réactions ne soit pas négligeable.
15
5 Nucléosynthèse stellaire
Il existe une énergie idéale E0 pour laquelle on atteint un maximum de taux de réaction. Cette
énergie est appelée énergie de Gamow.
On arrive à une expression de la forme
2
hσviN R ∝ aT − /3 e−bT
1/3
+···
1 + cT 1/3 + · · ·
(4.12)
4.3.2 Réaction nucléaire résonante
Si E ∗ = Q + Ec est proche de l'énergie Eres d'un état quasi-lié, on a une réaction résonnante :
ζ(E) =
Γ2
(E − Eres )2 +
Γ 2
2
(4.13)
On a alors deux possibilités pour le canal de sortie Y + b :
1. b est un photon, dans ce cas il n'y a pas de barrière coulombienne : la largeur en énergie Γs de
la voie de sortie ne dépend pas de E , on aura Γs > Γe . On traite la réaction comme une réaction
non-résonnante.
2. b est une particule chargée, on doit alors garder Γs dans l'expression de σ car on ne peut plus le
considérer comme de l'ordre de 1.
Remarque : Les réactions non-résonnantes sont plus pratiques car on n'a pas besoin de connaître les
largeurs en énergie Γe et Γs des entrées et sorties. De plus le facteur astrophysique S(E) est accessible
à l'expérience, donc au lieu de le calculer, on le mesure expérimentalement à diérentes énergies.
Si on a une énergie de résonnance Eres Γ, la contribution essentielle au taux de réaction provient
des énergies qui sont proches des énergies de résonnances. On peut donc remplacer toutes les fonctions
lentement variables avec E par leur valeur au point E = Eres .
On obtient ainsi une expression de la forme :
3
hσviR ∝ aT − /2 e−b/T
(4.14)
5 Nucléosynthèse stellaire
5.1 Combustion de l'hydrogène
On a vu précédemment que les espèces en collision sont celles où ZA ZX est petit. Immédiatement, on
remarque que la réaction la plus courante est :
1
H + 1 H 2 He
(5.1)
Mais le noyau 2 He est extrêmement instable et redonne quasi-instantanément deux protons. D'un
point de vue énergétique, il n'y a donc pas de réactions.
Il arrive rarement (une fois toutes les 1018 collisions) qu'un proton se désintègre en un neutron selon
la réaction p → n + e+ + νe avant que l'hélium deux ne se désintègre.
C'est cette lenteur de la combustion qui explique la grande durée de vie des étoiles.
Il existe d'un coté les chaînes p-p (3 chaînes qui fusionnent des protons pour donner de l'hydrogène)
et de l'autre, les chaînes CNO qui fusionnent aussi des protons, mais en utilisant du carbonne de l'azote
et de l'oxygène comme catalyseurs.
5.2 Combustion de l'hélium
Elle se fait via la réaction triple alpha et forme du carbone. C'est une réaction à trois corps car le 84 Be
est très instable.
La chaleur de réaction est très faible, il doit donc y avoir beaucoup de réactions pour avoir une pression
radiative susante ; c'est ce que l'on appelle le ash de l'hélium.
À plus haute température, on va pouvoir former ce qu'on appelle les éléments alpha c'est à dire
des noyaux formés par fusion successive avec des noyaux d'42 He.
16
6 Nucléosynthèse primordiale
Cette synthèse des éléments est obtenue via un big bang. Cette idée est apparue pour expliquer divers
phénomènes observés, comme le fond dius cosmologique ou l'expansion de l'univers. En eet, la loi de
Hubble indique une relation entre la vitesse des galaxies et leur éloignement :
v = H0 d
(6.1)
où H0 est la constante de Hubble.
Les diérents stades de la formation de l'univers seraient ainsi :
1. Ère hadronique (1012 K < T < 1013 K) :
2. Ère leptonique ( T < 1012 K) :
3. Ère radiatique : la température de l'univers est gouvernée par les photons (on peut négliger les
collisions entre particules et ne considérer que les collisions particules-photon).
4. Ère stellaire
Index
énergie de Gamow, 14, 15
équation d'équilibre hydrostatique, 10
équation de transport radiatif, 11
équation de variation de l'énergie, 10
bremmstrahlung, 10
facteur astrophysique, 14
ash de l'hélium, 15
gradient de température adiabatique, 11
loi de Hubble, 16
masse spécique moyenne, 5
moyenne de Rosseland, 11
naines brune, 8
nucléosynthèse, 3
nucléosynthèse explosive, 3
nucléosynthèse primordiale, 3
nucléosynthèse stellaire, 3
paramètre de Sommerfeld, 14
photodésintégration, 3
photoionisation, 10
processus r, 4
processus s, 4
réaction résonante, 14
rayon de Jeans, 7
section ecace, 12
spallation, 3
supernovae, 3
taux de réactions, 12
théorème du Viriel, 8
zone convective, 11
zone radiative, 11
17