ELASTICITE

Élasticité
ELASTICITE
Les corps solides sont considérés comme des milieux continus. La théorie de l'élasticité
décrit les déformations réversibles de ces corps soumis à des contraintes extérieures. Si les
déformations sont par contre permanentes, on parle alors de déformations plastiques
(présentes par exemples dans les opérations de tréfilage, emboutissage, étirage) et au delà
d'une certaine limite, on atteint le seuil de rupture.
Le but de ce TP est de vous montrer l'existence de ces deux domaines, élastique et
plastique, dans la déformation d'un matériau sous contrainte. C'est également d'introduire
l'idée d'essai mécanique pour caractériser un matériau. Il existe en effet différents type d'essais
mécaniques, qui peuvent être utilisés soit à des fins d'études physiques d'un matériau, soit à
des fins de contrôle d'une produit en vue de son utilisation industrielle:
- l'essai de dureté consiste à imprimer à la surface du matériau un pénétrateur (pyramide,
cône ou bille) sous une certaine charge et à mesurer la taille de l'empreinte.
- l'essai de résilience, caractérisant la fragilité, ou la résistance au choc d'un matériau,
consiste à casser un échantillon de matériau avec un lourd pendule et à mesurer l'énergie
absorbée lors de la rupture.
- l'essai de traction, consiste à soumettre un échantillon de matériau à des contraintes
longitudinales qui tendent à l'allonger voire le casser, son comportement étant alors caractérisé
par un diagramme effort-déformation.
Si on laisse de côté des corps exceptionnels comme le caoutchouc, pour se borner à des
corps tels que les métaux ou les minéraux, les déformations élastiques que l'on peut observer
sont toujours très faibles : dans les relations qui expriment les forces en fonction des
déformations, on peut négliger les termes du second ordre. C'est ce qu'on appelle la loi de
Hooke et on parle alors d'élasticié linéaire. Dans le domaine élastique, un matériau isotrope
peut se caractériser par son module d'Young et son coefficient de Poisson, que vous allez
déterminer dans deux situations de sollicitations différentes: en traction et en flexion. Dans
une autre expérience de traction (d'un fil cette fois) vous allez mettre en évidence les
domaines élastique puis plastique, jusqu'à la rupture. Dans cette expérience, vous
caractériserez le matériau par sa limite élastique, ainsi que sa contrainte et son allongement à
la rupture.
I. EXPÉRIENCE DE TRACTION
1. Dispositif expérimental
Le montage expérimental comporte :
- une machine de traction (figure 1) permettant de fixer une éprouvette entre deux mors. Le
mors supérieur est fixe tandis que le mors inférieur est mobile, relié à un bras de levier
permettant d'appliquer une contrainte variable à l'aide de masses marquées.
- une éprouvette métallique de D U R A L de 30 cm de long, 25 mm de large et 6 mm
d'épaisseur. Sur l'une des faces est collée une jauge de déformation qui mesure la déformation
longitudinale de l'échantillon (son allongement relatif dans le sens de la contrainte), et sur
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Élasticité
l'autre face une deuxième jauge mesure la déformation transversale (son allongement relatif
dans le sens perpendiculaire à la la contrainte). Ces deux jauges de déformation sont noyées
dans une résine souple les protégeant. Les jauges sont constituées d'un fil de Constantan
(alliage cupro-nickel 55%-45%) sur un film flexible de polyimide. Leur résistance au repos
est R = 120 W et le facteur de jauge K est de l'ordre de 2,080 (voir précisément l'indication
portée sur chacune des jauges).
- un pont d'extensométrie VISHAY - MICROMESURES P-3500 permettant de mesurer les
déformations à partir des variations de résistance des jauges. Les déformations sont mesurées
jusqu'à ±19 999 mm/m avec une résolution de 1 mm/m. La précision est de ±3 mm/m.
A
fil rouge
fil gris
fil gris
éprouvette
jauge de contrainte A
jauge de contrainte B
fil rouge
B
fil gris
fil gris
contrepoids
marbre
masses
Figure 1: Dispositif de traction à contrainte imposée
2. Manipulation
Mesure de l'éprouvette
Mesurer la section S de l'éprouvette avec un pied à coulisse et évaluer les erreurs faites.
Connexion de l'éprouvette au pont d'extensométrie
Connecter une des jauges de l'éprouvette au pont d'extensométrie en montage 1/4 de pont :
le fil rouge à la borne rouge P+, un des deux fils gris à la borne blanche S– et l'autre à la borne
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Élasticité
jaune D120 si la jauge a une résistance interne de 120 W (ou D350 si sa résistance interne est
de 350 W).
Réglage du pont d'extensométrie
Réglage du zéro : Enfoncer le bouton ZERO AMP, et régler le zéro en agissant sur la vis ZERO
AMP par simple rotation à l'aide de l'extrémité du doigt.
Réglage du facteur de jauge : Appuyer sur le bouton FACTEUR DE JAUGE, et rentrer la valeur
correspondante de la jauge avec les deux potentiomètres grossier et fin.
Équilibrage : Appuyer sur le bouton MESURE , et faire le zéro avec les potentiomètres
grossier et fin d'EQUILIBRAGE. Verrouiller le potentiomètre EQUILIBRAGE.
Étalonnage : Cet étalonnage a pour but de compenser les résistances de ligne (i.e. des fils).
A cet effet, le pont d'extensométrie contient une résistance d'étalonnage shunt qui est mise en
parallèle sur la jauge lorsque le bouton CAL est enfoncé. Cette résistance simule une
déformation de 5000 mm/m avec un facteur de jauge égal à 2,000. Calculer la valeur
d'étalonnage :
2, 000
¥ 5000 mm / m .
Kconstructeur
Ajuster alors le réglage du potentiomètre FACTEUR DE JAUGE pour afficher cette valeur.
Verouiller le potentiomètre FACTEUR DE JAUGE.
Mesures: appuyer sur le bouton mesure. La valeur affichée est la déformation en mm/m.
Montée en traction
Ajouter successivement les masses marquées, et mesurer la déformation en fonction en
fonction de la charge imposée (entre 0 et 20 kg). Attention au facteur multiplicaif dû au bras
de levier qu'on mesurera.
Attention : il faut faire deux montées en traction pour chaque échantillon: l'une pour prendre
les mesures correspondant à la déformation longitudinale et l'autre pour la déformation
transversale. Entre les deux montées, les connexions doivent donc être changées. D'autre part,
il faut s'arranger pour que les valeurs de contrainte lors les deux montées successives
coïncident.
3. Calculs et Résultats
Avec l'ensemble des résultats de mesures obtenus, dresser un tableau faisant apparaître les 4
colonnes suivantes : la masse m, la contrainte axiale s1 = F/S , la déformation axiale -e1 et la
déformation relative radiale e2 .
Tracer la courbe s1 = f(e1) et en déduire le module d'Young E du matériau. Commenter.
Tracer la courbe e 2 = f(e 1) et en déduire le coefficient de Poisson n diu matériau.
Commenter.
II. EXPÉRIENCE DE FLEXION: LA POUTRE-CONSOLE
Les applications pratiques de la poutre-console sont nombreuses: voilures d'avion,
suspensions des automobiles, dents d'engrenages, ressorts, toits en auvent,… Les détails de
fixation de l'extrêmité fixe peuvent être très différents. Il en est de même de la nature des
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Élasticité
charges appliquées, soit ponctuelles soit réparties. La section peut être constante ou variable.
Tous ces exemples ont une caractéristique commune!: une pièce de forme allongée est
rigidement fixée, encastrée à l'une de ses extrêmité. Dans le dispositif expérimental étudié, la
section est constante et la charge est ponctuelle.
1. Dispositif expérimental
Figure 2: Dispositif de flexion à contrainte imposée.
Le montage expérimental comporte :
- un dispositif de flexion (figure 2) permettant d'encastrer une éprouvette à l'une de ses
extrémité, tandis que l'autre extrémité peut fléchir sous un poids variable.
- une éprouvette métallique de D U R A L de 30 cm de long, 25 mm de large et 3 mm
d'épaisseur. Sur l'une des faces sont disposées trois jauges de déformation mesurant la
déformation longitunale de l'échantillon (son allongement relatif dans le sens de la contrainte)
à trois distances différentes des points d'encastrement et de sollicitation.
- un pont d'extensométrie Vishay-micromesures P-3500 permettant de mesurer les
déformations à partir des variations de résistance des jauges.
2. Manipulation
Le principe de la manipulation est le même que précédemment. Il s'agit ici de mesurer la
déformation de l'éprouvette en deux positions que vous choisirez (sur les trois possibles) en
fonction de la force de la charge imposée par des masses marquées (entre 0 et 2 kg). On
mesurera également les distances x du centre de chaque jauge au point de charge.
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Élasticité
3. Calculs et Résultats
Avec l'ensemble des résultats de mesures obtenus, dresser un tableau faisant apparaître les 4
colonnes suivantes : la masse m, la contrainte s = F/S , les deux déformations axiales e aux
deux positions considérées.
Tracer les deux courbes s = f(e). Quel est le rapport des pentes ? Déterminer le module
d'Young E. Commenter.
II. EXPÉRIENCE DE TRACTION D'UN FIL
1. Dispositif expérimental.
fixation du fil de cuivre sur la glissiére
fil de cuivre
Butée micro métrique
potence
Bati
fixation du fil de cuivre
masse
vis de blocage
Balance
Cavalier de positionnement du fil
Figure 3: Dispositif de traction d'un fil à déformation imposée
Le montage expérimental comporte :
- un dispositif de traction (figure 2) d'un fil à déformation imposée. Une extrémité d'un fil
est fixée à une masse posée sur une balance à plateau "fixe" permettant la mesure de la force
de traction. L'autre extrémité est fixée à une glissière coulissant dans un rail, son déplacement
longitudinal étant imposé par une vis micrométrique disposant d'un vernier de lecture.
- un fil de cuivre de diamètre d = 0,1 mm.
2. Manipulation
Couper environ 40 cm de fil de cuivre. Fixer une extrémité à la masse posée sur la balance,
puis l'autre extrémité à la glissière. Tendre très légèrement le fil passé dans la gorge de la
poulie en jouant sur les deux emplacements réglables du porte glissière, du porte-vernier
(vernier au voisinage de son minimum). Mesurer la longueur initiale l0 du fil. Tarer la
balance, puis commencer l'essai de traction en imposant et en mesurant simultanément
l'allongement à l'aide du vernier et la force à l'aide de la balance.
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Élasticité
3. Calculs et Résultats
Avec l'ensemble des résultats de mesures obtenus, dresser un tableau faisant apparaître les 4
colonnes suivantes : le masse m, la contrainte s = F /S , l'allongement l, la déformation
e = (l - l0 ) / l0 .
Tracer la courbe s = f(e ). En déduire le module d'Young E et son incertitude, la limite
élastique se, la contrainte à la rupture sr et l'allongement à la rupture exprimée en pourcentA
(%)= 100emax.
Remerciements!: les deux dispositifs expérimentaux de flexion et de traction d'un fil ont
été conçus et réalisés par Patrice Jenffer et Gilles Marteau.
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Élasticité
ANNEXE THÉORIQUE
On ne traite ici que le cas des corps homogènes isotropes!: dans ce cas là, la relation entre
contrainte et déformation est la même dans toutes les directions et on peut se contenter d'une
seule relation scalaire ; dans le cas plus général des corps anisotropes, la relation contraintedéformation dépend de la direction et devient alors une relation tensorielle.
1. Déformation axiale sous contrainte et module d'Young.
Considérons un corps cylindrique de longueur l0 et de section S et appliquons lui une force
F parallèle aux génératrices du cylindre (figure 4); soit l la nouvelle longueur prise par le
cylindre. La loi de Hooke traduit le fait que la déformation axiale du cylindre e1 = (l-l0)/l0 =
Dl/l est proportionnel à la contrainte appliquée s = F/S :
Dl 1
Dl
ou
= s
s=E
l
E
l
où le coefficient de proportionnalité E s'appelle le module d'Young. Le paramètre e1 = Dl/l
étant sans dimension, la dimension de E est celle d'une contrainte (exprimée en Pa, kPa, MPa
ou GPa). La relation est une relation algébrique : e et s sont positifs pour une traction et
négatifs pour une compression.
Figure 4
2. Déformation transverse sous contrainte et coefficient de Poisson
En même temps qu'un cylindre soumis à une traction s'allonge dans la direction
longitudinale, il se rétrécit dans sa direction transversale. Si nous désignons par d0 le diamètre
initial du cylindre qui est la dimension transversale du corps, cette dimension diminue et
prend la valeur d0+Dd lorsqu'on applique la force de traction sur le corps, de telle sorte que la
déformation transverse e2 = (d-d0)/d0 = Dd/d est proportionnelle à déformation axiale e1=Dl/l :
Dd
Dl
= -n
d
l
où n s'appelle le coefficient de Poisson.
74
Élasticité
3. Variation de volume et coefficient de compressibilité.
Le volume du cylindre étant V=lS, la variation relative de volume D V/V est alors (par
différentiation logarithmique) :
DV Dl DS
=
+
V
l
S
2
Mais S=(p/4)d entraîne :
DS
Dd
Dl
s
=2
= -2n
= -2 n
S
d
l
E
La variation relative de volume est alors :
DV
Dl
s
= (1- 2 n ) = (1 - 2 n )
V
l
E
L'expérience montre que le volume V du cylindre augmente généralement lors d'une
traction. La valeur du coefficient de Poisson, dépendant du matériau considéré, est donc
généralement comprise entre 0 et 0,5.
On peut montrer que le coefficient de compressibilité k défini par
1 DV
k=V DP
s’écrit aussi :
3(1 - 2 n )
k=
E
le coefficient 3 venant du fait qu'il faut considérer une pression (ou contrainte) uniforme sur
toute la surface du corps et donc dans 3 directions perpendiculaires.
4. La poutre-console
Considérons une poutre chargée ponctuellement, d'épaisseur e, de largeur b, et dont la
distance du point de charge P au point d'encastrement est L (figure 5).
Figure 5
Le moment fléchissant pour une section d'abscisse x est le produit de la force P par sa
distance à cette section: M = Px. Dans le cas présent, il varie donc linéairement de 0 au point
de charge jusqu'à la valeur PL à l'extrémité encastrée.
dM
L'effort tranchant est la dérivée du moment fléchissant par rapport à la distance: T =
.
dx
Dans le cas présent, il est constant et vaut P.
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Élasticité
Une autre caractéristique de la poutre considérée est que la contrainte est partout uniaxiale
sauf au voisinage de l'encastrement et du point d'application de la force. La théorie de la
résistance des matériaux donne comme valeur de la contrainte:
s (x) =
M(x)C
,
I
où C est la distance de la ligne neutre1 (C = e/2) et I le moment d'inertie de la section de la
be 3
poutre ( I =
). L'expresion de la contrainte est alors :
12
s (x) =
6Px
be2
Pour une contrainte uniaxiale, la loi de Hooke étant e = s/E, la déformation longitudinale à
la surface est
6Px
e (x) =
Ebe 2
La déformation est donc linéaire par rapport au point de charge.
5. Mesures des déformations par jauges de contraintes.
Les résultats rappelés ci-dessus ont été utilisé dans la conception d'un dispositif, appelé
"jauge de contrainte", étalonné pour la mesure des déformations. Cette jauge est collée sur la
surface du corps que l'on veut étudié et la déformation solidaire de la jauge renseigne alors sur
la déformation du corps soumis à une contrainte extérieure. La jauge est constituée
principalement d'un fil dont on mesure la variation de résistance électrique en fonction de la
déformation.
Soit un fil de longueur l et de diamètre d. Une force de traction appliquée aux extrémités du
fil provoque un allongement Dl. L'allongement relatif Dl/l et la variation relative du diamètre
Dd/d sont alors relié par le coefficient de Poisson n :
Dd
Dl
= -n
d
l
l
,
s
la variation relative de résistance est alors (par différentiation logarithmique) :
La résistance R du fil de section s et de résistivité r étant : R = r
dR dr dl ds
=
+ R
r
l
s
Le premier terme est faible pour les métaux mais prépondérant pour les semi-conducteurs.
Il est sensiblement proportionnel à la variation de volume à T constant, c'est-à-dire :
1
Dans le cas d'une poutre en flexion, une partie de la poutre est en étirement tandis que l'autre partie est en
compression; la ligne qui sépare ces deux parties et qui est ni étirée ni comprimée, c'est-à-dire le siège d'aucune
déformation, est appelée ligne neutre. Cette ligne se trouve dans le cas présent à la moitié de l'épaisseur.
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Élasticité
dr
dl
= C(1 - 2 n )
r
l
d'autre part :
ds
dl
= -2 n
s
l
On a en définitive :
dR
dl
dl
= [ C(1 - 2 n ) + 1 + 2 n ] = K
R
l
l
où K est le facteur de jauge. K est de l'ordre de 2 à 4 pour un fil métallique ; il peut atteindre
100 à 150 pour des dépôts semi-conducteurs. Ceux-ci sont intéressants lorsque le matériau
étudié est très rigide et les déformations faibles. Malheureusement dans ce cas, la variation de
résistance n'est plus vraiment linéaire ; un étalonnage est alors nécessaire.
Une jauge de contrainte est en général constituée par un dépôt d'alliage résistant, en général
du constantan, dont le coefficient de température est très faible, sur une feuille de polyamide,
le motif semblable à la figure 6(a) étant obtenu par photogravure. L'élément ainsi obtenu est
collé sur l'échantillon à tester avec une colle cyanacrylate avec catalyseur assurant une bonne
cohésion sans risque de cassures. C'est en fait l'opération la plus délicate. Lorsqu'on désire
mesurer les variations de dimensions d'une structure de grande dimension, par exemple un
barrage, on utilise des fils résistants tendus.
R
Ro
!!!!!!!!!!!Vo
(excitation)
R
a) Jauge de contrainte
b) Rosette de jauges
perpendiculaires
igure 6
Rx
!!!!Vs
(mesure)
c) Montage en pont
!!!!! de Wheatstone
F
La détection de la variation de résistance d'un élément est meilleure lorsque l'élément à
mesurer est insérée dans un pont. Dans le montage en pont de Wheatstone (figure 6(c)), on
utilise un potentiomètre constitué par deux résistances égales R (en fait une résistance réglable
et une résistance fixe de valeurs voisines), une résistance de valeur R0 égale à la résistance de
la jauge au repos et la jauge de valeur Rx. Si une tension d'excitation V0 est appliquée au pont
(figure 6(c)), la tension de sortie Vs est donnée par :
Ê Rx
1ˆ
Vs = V0 Á
- ˜
Ë Rx + R0 2 ¯
avec Rx = R0+DRx :
Vs =
V 0 Ê 2Rx - Rx - R0 ˆ V0 DRx
Á
˜=
2 Ë Rx + R0 ¯
2 Rx + R0
ce qui donne à l'ordre 1 :
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Élasticité
Vs ª
V0 D Rx
4 R0
V0 D l
4 l
La variation D R/R0 étant petite, la tension V s est sensiblement proportionnelle à
l'allongement de la jauge.
Le facteur de jauge variant avec la température, il est préférable de régler le courant
d'excitation du pont de mesure à une valeur raisonnable, pour limiter cet effet. Pour s'en
affranchir totalement, on peut monter deux jauges (l'une sollicitée l'autre pas) dans un même
pont pour compenser l'effet thermique, ou encore prendre des résistances constituée du même
matériau que la jauge.
Vs ª
et en faisant apparaître le facteur de jauge :
5. Le diagramme effort-déformation
Si l'on représente en ordonnée la force appliquée F et en abscisse l'allongement de
l'échantilon Dl = l - l0 , on obtient le diagramme force-allongement.
En rapportant la force à la section initiale S0, s = F / S0 et l'allongement à la longueur
initiale e = Dl / l0 , on obtient le diagramme contrainte-déformation.
Au début de l'essai, on obtient une augmentation rapide de la force appliquée et
proportionnelle à la contrainte. Dans ce domaine, si l'on diminue à nouveau la charge, on
constate que la déformation diminue et peut disparaître pour une charge nulle. La déformation
était élastique.
Lorsque la contrainte dépasse une certaine valeur s e appelée limite élastique, la
proportionnalité entre contrainte et déformation n'est plus respectée et il reste une
déformation permanente pour une charge nulle: la déformation est dite plastique. Il est
important de noter que si on réaugmente la contrainte, le domaine élastique est augmentée et
la limite élastique également (figure 7b)!: cette limite élastique dépend donc en partie de
l'histoire du matériau.
Pour des matériaux fragiles, la rupture se produit rapidement avant que l'échantillon ne soit
soumis à une grande déformation plastique (figure 7a). Pour des matériaux moins fragiles, dits
ductiles, l'augmentation de contrainte pour un même allongement devient de plus en plus
faible. Lorsque la capacité de déformation du matériau est dépassée, l'échantillon casse. La
rupture peut se produire sur la branche montante contrainte-déformation (figure 7b), la force
augmente alors jusqu'à la rupture. Mais la force peut aussi atteindre un maximum puit
diminuer (figure 7c). Dans ce cas au moment d'atteindre le maximum de contrainte, il se
produit un rétrécissement local de la section de l'échantillon, appelé striction, et seule cette
partie participe ensuite à l'essai, ce qui explique la diminution de la force appliquée.
Figure 7: Différents types de diagrammes contrainte-déformation. (a) pour un matériau
fragile; (c) pour un matériau ductile.
78
Élasticité
6. Propriétés mécaniques de quelques matériaux.
Le tableau ci-dessous donne les caractéristiques mécaniques de quelques matériaux.
Aluminium
Cuivre
Fer
Plomb
Argent
Zinc
Laiton
Acier (moyen)
Verre (crown)
E (109 Pa)
71
130
211
17
76
109
100
212
70
n
0,33
0,36
0,3
se (106 Pa)
35-150
35-50
150
0,35
0,3
0,25
60-600
800-1000
sr *(106 Pa)
100-450
300-500
400-600
10-15
300-350
100-150
300-900
1000-1200
30-100
A (%)
5-35
60-80
50-70
3-60
20-25
* Les contraintes à la rupture citées sont celles de spécimens sous forme de barreau ou fil.
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