Les théorèmes limites - Université de Bretagne-Sud

Introduction Existence d’une fonction harmonique Les théorèmes limites
Théorèmes limites pour une marche
Markovienne conditionnée à rester
positive
Ronan LAUVERGNAT
Université de Bretagne Sud
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Introduction Existence d’une fonction harmonique Les théorèmes limites
1Introduction
Positionnement du problème
Les modèles résolus
La récursion stochastique
2Existence d’une fonction harmonique
Motivation
Idées de la preuve
Positivité de la fonction harmonique
3Les théorèmes limites
L’exemple brownien
Couplage
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Introduction Existence d’une fonction harmonique Les théorèmes limites
Théorèmes limites pour une marche Markovienne
conditionnée à rester positive
On se propose d’étudier l’évolution d’une population.
Soit y>0 la population initiale.
Soit Xnla variable aléatoire réelle représentant l’accroissement de la
population l’année n.
La population l’année nest alors notée
y+Sn:= y+X1+··· +Xn−1+Xn
=y+Sn−1+Xn.
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Introduction Existence d’une fonction harmonique Les théorèmes limites
Théorèmes limites pour une marche Markovienne
conditionnée à rester positive
Puisque l’on souhaite décrire une population qui ne s’éteint pas, on
considère le temps d’arrêt
τy:= min {k∈N∗,y+Sk60}.
Le fait que la population ait survécu jusqu’à l’instant ns’écrit
{y+S1>0,y+S2>0, . . . , y+Sn>0}={τy>n}.
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Introduction Existence d’une fonction harmonique Les théorèmes limites
Théorèmes limites pour une marche Markovienne
conditionnée à rester positive
On souhaite déterminer
d’une part la probabilité que la population survive :
P(τy>n)−→
n→+∞???,
et d’autre part la loi du nombre de grenouilles sachant que la
population a survécue :
Ly+Sn
σ√n
τy>n−→
n→+∞???.
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