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CIBLE PRINCIPALE
SERIE
MATIERE
TITRE
Première – Terminale
Série F1-2-3-4-C-D
Mathématiques
RESUME DU SUJET
Thème abordé :
Exercice 28
L’objet de l’exercice est une application du calcul des probabilités à la génétique. Une première question est consacrée
à une étude de suites qui interviennent dans cette application.
1. Soit α un nombre réel non nul différent de 1. On considère les suites a n et bn définies par :
a 0 = 0 et b0 = 1

a = a + 1 − α . b et b = α . b
n
n
n +1
n
 n +1
2
a. Exprimer bn en fonction de n et de α pour tout n.
b. En déduire la valeur de a n +1 − a n et montrer que a n =
1
(1 − α n ) pour tout entier n
2
2. Etant donné un gène possédant un couple d’allèles A et a, on dit qu’une plante est homozygote lorsqu’elle contient
les deux mêmes allèles sur une paire de chromosomes homologues : elle est alors de génotype AA ou aa. Une plante
est hétérozygote lorsqu’elle est de génotype Aa. Certaines plantes se reproduisent par autogamie ou autofécondation :
tout se passe pour la descendance comme si on fécondait deux plantes de même génotype, chaque chromosome d’une
paire étant sélectionné au hasard.
a. Calculer les probabilités pour qu’une plante de génotype AA, ou Aa, ou aa donne par autogamie une plante
de génotype AA, Aa ou aa . On présentera les résultats sous forme de tableau :
Génotype de la plante initiale
AA
Aa
aa
AA
Génotype du descendant
Aa
aa
Ainsi à l’intersection de la colonne Aa et de la ligne aa on fera figurer la probabilité pour qu’une plante de génotype
Aa donne par autogamie une plante de génotype aa. ( le total de chaque colonne est donc forcément 1)
b. Partant d’une plante hétérozygote (Aa) (génération 0) on constitue par autogamie des générations
successives. On note
AAn l’événement « la plante de la n-ième génération est de génotype AA »
Aa n l’événement « la plante de la n-ième génération est de génotype Aa »
aa n l’événement « la plante de la n-ième génération est de génotype aa »
on appelle x n la probabilité de AAn , yn la probabilité de Aa n , zn la probabilité de aa n ,en particulier x 0 = 0 ,
y 0 = 1 , et z 0 = 0 .
Calculer x1 , y1 , et z1.
Déterminer les probabilités conditionnelles suivantes :
un+1=P(AAn+1/AAn),
vn+1=P(AAn+1/Aan),
wn+1=P(Aan+1/Aan),
Utiliser ces probabilités conditionnelles pour montrer que x n +1 = x n +
1
1
yn ,et y n +1 = y n .
4
2
Utiliser les résultats du 1° pour donner les valeurs de xn et yn. Que vaut xn + yn + zn ? en déduire zn .
c. On garde les hypothèses et notations du b. Calculer la probabilité pn pour qu’une plante de la n-ième
génération ne soit pas homozygote. A partir de quelle génération a-t-on pn ≤ 0,01?