Séquence 13 : Intervalle de fluctuation - Utilisation I. Définition Activité d'approche : Dans une usine automobile, on contrôle les défauts de peinture de type "grains ponctuels sur le capot". Lorsque le processus est sous contrôle, on a 20% de ce type de défauts. Lors du contrôle aléatoire de 500 véhicules, on observe 26% de défauts (130 sur 500). Faut-il s'inquiéter? Pour modéliser cela, nous allons simuler un échantillon de 500 fois un nombre aléatoire compris entre 1 et 10. Si la valeur est égale à 1 ou à 2, cela représente une voiture avec défaut (nous avons bien la même probabilité de tomber sur 1 ou 2 que de tomber sur une voiture avec défauts, c'est à dire 20%). Après avoir répété un certains nombres de fois cette simulation et représenter chaque fréquence obtenue à l'aide d'un nuage de points, on s'aperçoit qu'il faut en effet s'inquiéter. Nous allons expliquer pourquoi : Théorème de l'intervalle de fluctuation : Conditions d'applications: - La taille de l'échantillon doit être supérieure ou égale à 25. - La proportion de la population vérifiant le caractère étudié noté doit appartenir à l'intervalle[ Dans ces conditions, dans plus de 95% des cas, la proportion de l'échantillon notée appartient à l'intervalle . . Exercice : Calculer l'intervalle de fluctuation de la situation précédente et répondre à la question. Ici l'intervalle de fluctuation est de c'est à dire un peu près Or n'appartient pas à l'intervalle II. donc on doit s'inquiéter. Prendre une décision à partir d'un échantillon Activité d'approche : Réussite à un concours Cette année, 55% des candidats qui ont passé un certain concours l'ont réussi. Voici les résultats obtenus par deux centres qui préparaient ce concours. Centre A : sur 100 personnes qui ont présenté ce concours, 46 ont réussi. Centre B : sur 2500 personnes qui ont présenté ce concours, 1275 ont réussi. a) Quel est le pourcentage de réussite du centre A ? Quel est le pourcentage Lequel de ces centres a le mieux réussi à ce concours ? donc le pourcentage de réussite du centre A est de de réussite du centre B? donc le pourcentage de réussite du centre B est de Le centre qui a le mieux réussi est donc le centre B. b) On assimile le centre A à un échantillon de taille n=100 relevant du modèle de Bernoulli de probabilité . Donner l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%. Est-ce que appartient à cet intervalle ? L'intervalle de fluctuation sera : En effet appartient à cet intervalle. c) On assimile le centre B à un échantillon de taille n=2500 relevant du modèle de Bernoulli de probabilité . Donner l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%. Est-ce que appartient à cet intervalle ? L'intervalle de fluctuation sera : n'appartient à cet intervalle. d) Conclure sur le centre qui est le plus représentatif du résultat national à ce concours. Le centre A est donc plus représentatif du résultat national à ce concours. Synthèse: Prendre une décision à partir d'un échantillon Pour apprécier si une fréquence observée f sur un échantillon de taille est compatible ou non avec un modèle de Bernoulli de probabilité p, on teste l'appartenance de f à l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% (c'est à dire l'intervalle ). • Si f n'est pas dans l'intervalle de fluctuation, alors on peut rejeter l'hypothèse que l'échantillon soit compatible avec le modèle. • Si f est dans l'intervalle de fluctuation, alors on ne peut pas rejeter l'hypothèse que l'échantillon soit compatible avec le modèle. Remarque: quelle que soit la décision prise, il y a toujours le risque que ce ne soit pas la bonne décision dans 5% des cas.